高一数学下学期考点精讲+精练(人教A版2019必修第二册)第01讲数系的扩充和复数的概念(原卷版+解析)

第1讲数系的扩充和复数的概念知识点1复数的概念及代数表示1.数系扩充的脉络自然数集→整数集→有理数集→实数集→复数集．2.复数集①定义：全体复数所成的集合叫做复数集．②表示：通常用大写字母C表示．3.复数①定义：把集合C＝{a＋bi|a，b∈R}中的数，即形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位．满足i2＝－1.a叫做复数的实部，b叫做复数的虚部．②表示方法：复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)，这一表示形式叫做复数的代数形式．注：复数概念的三点说明(1)复数集是最大的数集，任何一个数都可以写成a＋bi(a，b∈R)的形式，其中0＝0＋0i.(2)复数的虚部是实数b而非bi.(3)复数z＝a＋bi只有在a，b∈R时才是复数的代数形式，否则不是．易错辨析：任意两个复数都能比较大小？任意两个复数都不能比较大小？当两个复数有虚数时，不可以比较大小，当两个复数都是实数时，可以比较大小.知识点2两个复数相等的充要条件在复数集C＝{a＋bi|a，b∈R}中任取两个数a＋bi，c＋di(a，b，c，d∈R)，我们规定：a＋bi与c＋di相等的充要条件是a＝c且b＝d.注：(1)在两个复数相等的条件中，注意前提条件是a，b，c，d∈R，即当a，b，c，d∈R时，a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d.若忽略前提条件，则结论不能成立．(2)利用该条件把复数的实部和虚部分离出来，达到“化虚为实”的目的，从而将复数问题转化为实数问题来求解．知识点3复数的分类(1)复数(a＋bi，a，b∈R)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(实数b＝0,虚数b≠0\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(纯虚数a＝0,非纯虚数a≠0))))(2)集合表示：考点一复数的有关概念解题方略：复数概念的几个关注点(1)复数的代数形式：若z＝a＋bi，只有当a，b∈R时，a才是z的实部，b才是z的虚部，且注意虚部不是bi，而是b.(2)不要将复数与虚数的概念混淆，实数也是复数，实数和虚数是复数的两大构成部分．(3)举反例：判断一个命题为假命题，只要举一个反例即可，所以解答判断命题真假类题目时，可按照“先特殊，后一般，先否定，后肯定”的方法进行解答．【例1】给出下列几个命题：①若z∈C，则z2≥0；②2i－1虚部是2i；③2i的实部是0；④若实数a与ai对应，则实数集与纯虚数集一一对应；⑤实数集的补集是虚数集．⑥的平方根是其中真命题的个数为()A．0 B．1C．2 D．3变式1：已知复数z＝1＋i，则下列结论中正确的个数是()①z的实部为1；②z>0；③z的虚部为i.A．1B．2C．3 D．0变式2：下列命题正确的是________．①复数－i＋1的虚部为－1.②若z1，z2∈C且z1－z2>0，则z1>z2.③任意两个复数都不能比较大小．【例2】请说出下列复数的实部和虚部．（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）0；（7）3i2＋7i变式1：已知复数z＝a2－(2－b)i的实部和虚部分别是2和3，则实数a，b的值分别是________．变式2：若复数2－bi(b∈R)的实部与虚部互为相反数，则b的值为()A．－2B.eq\f(2,3)C．－eq\f(2,3) D．2变式3：【多选】已知复数的实部与虚部互为相反数，则的取值可能为（）A． B． C． D．变式4：已知复数z＝a2＋(2a＋3)i的实部大于虚部，则实数a的取值范围是（

）A．－1或3 B．或C．或 D．或考点二复数的分类解题方略：复数分类解题策略判断一个复数在什么情况下是实数、虚数或者纯虚数，应首先保证复数的实部、虚部均有意义．其次根据分类的标准，列出实部、虚部应满足的关系式再求解．【例3】给出下列命题：①自然数集是非负整数集；②实数集与复数集的交集为实数集；③实数集与虚数集的交集是｛0｝；④纯虚数集与实数集的交集为空集.其中，假命题是________.（填序号）变式1：下列结论中，正确的是（）A． B．C． D．变式2：设集合，，，则，，间的关系为（）A． B． C． D．变式3：【多选】有下列四个命题，其中正确的是（

）①方程2x－5＝0在自然数集N中无解；②方程2x2＋9x－5＝0在整数集Z中有一解，在有理数集Q中有两解；③x＝i是方程x2＋1＝0在复数集C中的一个解；④x4＝1在R中有两解，在复数集C中也有两解.A．① B．②C．③ D．④【例4】对于复数，下列结论中正确的是（）A．若，则为纯虚数B．若，则，C．若，则为实数D．若，则z不是复数变式1：实数m取什么值时，复数是：（1）实数？（2）虚数？（3）0？变式2：当m为何实数时，复数z＝eq\f(m2－m－6,m＋3)＋(m2－2m－15)i.(1)是虚数；(2)是纯虚数；（3）z为实数.(4)当m为何值时，z>0.变式3：已知，若复数是纯虚数，则（）A．0 B．2 C． D．变式4：已知为虚数单位，复数是纯虚数，则实数的值为（）A．1或2 B．2 C．1或2 D．1变式5：已知复数，，则“”是“为纯虚数”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件变式6：已知，i为虚数单位，则“”是“复数是纯虚数”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件变式7：复数为纯虚数的充要条件是（

）A． B．且C．且 D．且变式8：若复数是虚数，则实数的取值范围是________．变式9：已知z＝log2(1＋m)＋ilog(3－m)(m∈R)，若z是虚数，求m的取值范围．变式10：若复数(a2－a－2)＋(|a－1|－1)i(a∈R)不是纯虚数，则a的取值范围是________．变式11：复数z＝eq\f(1,a－1)＋(a2－1)i是实数，则实数a的值为()A．1或－1B．1C．－1 D．0或－1变式12：若复数a+(a+1)i是实数，则实数a的值为（）A．1 B．0 C．-1 D．变式13：已知复数是负实数，则实数的值为___________．变式14：已知复数z＝m＋(m2－1)i(m∈R)满足z<0，则m＝________.变式15：如果(m2－1)＋(m2－2m)i＞1则实数m的值为______．变式16：已知，，若(为虚数单位)，则实数的取值范围是（

）A．或 B．或 C． D．变式17：如果复数，那么实数a的值是（）.A．不等于1的实数 B．不等于—1的实数C．不等于的实数 D．任意实数变式18：求实数分别取什么值时，复数是：（1）当实数求值；（2）当纯虚数求值．考点三复数相等及其应用解题方略：复数相等问题的解题技巧(1)必须是复数的代数形式才可以根据实部与实部相等，虚部与虚部相等列方程组求解．(2)根据复数相等的条件，将复数问题转化为实数问题，为应用方程思想提供了条件，同时这也是复数问题实数化思想的体现．(3)如果两个复数都是实数，可以比较大小，否则是不能比较大小的．【例5】若a－2i＝bi＋1，a，b∈R，则a2＋b2＝________.变式1：已知x2－y2＋2xyi＝2i，求实数x，y的值；变式2：满足x－3i＝(8x－y)i的实数x，y的值为()A．x＝0且y＝3B．x＝0且y＝－3C．x＝5且y＝3D．x＝3且y＝0变式3：已知复数z1＝a＋2i，z2＝3＋(a2－7)i，a∈R，若z1＝z2，则a＝()A．2 B．3C．－3 D．9变式4：若，则实数的值为（）A．8 B． C．0 D．8或0变式5：已知A＝{1,2，(a2－3a－1)＋(a2－5a－6)i}，B＝{－1,3}，A∩B＝{3}，求实数a的值．变式6：若(x＋y)i＝x－1(x，y∈R)，则2x＋y的值为()A.eq\f(1,2)B．2C．0 D．1变式7：已知复数z1＝m＋(4－m2)i(m∈R)，z2＝2cosθ＋(λ＋3sinθ)i(λ，θ∈R)，并且z1＝z2，则λ的取值范围为()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－7，\f(9,16))) B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(9,16)，7))C．[－1,1] D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(9,16)，7))【例6】为虚数单位，若关于的方程有实根，则实数___________，变式1：关于x的方程3x2－eq\f(a,2)x－1＝(10－x－2x2)i有实根，求实数a的值．变式2：已知关于x的方程x2＋(m＋2i)x＋2＋2i＝0(m∈R)有实数根n，且z＝m＋ni，则复数z等于()A．3＋i B．3－iC．－3－i D．－3＋i变式3：若关于的方程有实根，求纯虚数.练习一复数的有关概念1、下列命题中，正确的是（）A．任意两个复数都能比较大小 B．任意两个复数都不能比较大小C．设，如果，那么 D．设，如果，那么2、下列说法正确的是（

）A．表示虚数单位，所以它不是一个虚数B．的平方根是C．是纯虚数D．若，则复数没有虚部3、【多选】已知i为虚数单位,下列命题中正确的是A．若,则是纯虚数 B．虚部为的虚数有无数个C．实数集是复数集的真子集 D．两个复数相等的一个必要条件是它们的实部相等4、有下列说法：①两个复数相等的一个必要条件是它们的实部相等；②两个复数不相等的一个充分条件是它们的虚部不相等；③是一个复数；④纯虚数的平方不小于0；⑤－1的平方根只有一个，即为；⑥是一个无理数．其中正确的有________(填序号)．5、【多选】已知i为虚数单位，下列说法正确的是A．若，且，则B．任意两个虚数都不能比较大小C．若复数，满足，则D．的平方等于16、【多选】下列命题中错误的有（

）A．若，则的充要条件是B．纯虚数集相对于复数集的补集是虚数集C．，若，则D．若实数与对应，则实数集与复数集一一对应7、已知i是虚数单位，则“”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件8、已知复数z的实部为－1，虚部为－3，则______.9、若复数（是虚数单位），则复数的虚部是（）A．1 B．-2 C． D．10、复数eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(\r(3),2)))i的虚部为()A．2B．－eq\f(\r(3),2)C．2－eq\f(\r(3),2) D．011、据记载，欧拉公式是由瑞士著名数学家欧拉发现的，该公式被誉为“数学中的天桥”特别是当时，得到一个令人着迷的优美恒等式，将数学中五个重要的数（自然对数的底，圆周率，虚数单位，自然数的单位和零元）联系到了一起，有些数学家评价它是“最完美的数学公式”.根据欧拉公式，复数的虚部（

）A． B． C． D．12、已知复数z1＝1＋3i的实部与复数z2＝－1－ai的虚部相等，则实数a等于()A．－3 B．3C．－1 D．1练习二复数的分类1、设集合A＝{实数}，B＝{纯虚数}，C＝{复数}，若全集S＝C，则下列结论正确的是()A．A∪B＝CB．A＝BC．A∩(∁SB)＝∅D．(∁SA)∪(∁SB)＝C2、在2＋eq\r(7)，eq\f(2,7)i,8＋5i，(1－eq\r(3))i,0.68这几个数中，纯虚数的个数为()A．0B．1C．2 D．33、下列命题：①若a∈R，则(a＋1)i是纯虚数；②若(x2－4)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，则实数x＝±2；③实数集是复数集的真子集．其中正确说法的个数是()A．0B．1C．2D．34、若复数(a2－3a＋2)＋(a－1)i是纯虚数，则实数a的值为______．5、已知a为实数，若复数为纯虚数，则________．6、若是纯虚数，则（

）A．或2 B．2 C． D．37、若z=（m2+6）+（2）i为纯虚数，则实数m的值为________.8、若复数（a，b为实数）则“”是“复数z为纯虚数”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件9、已知复数，，则“”是“为纯虚数”的______条件．（填写“充要”、“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分也不必要”中的一个）10、使不等式成立的实数______．11、已知＝－4a＋1＋(2a2＋3a)i，＝2a＋(a2＋a)i，其中，，则a的值为（

）A．0 B．－1C． D．12、实数m分别为何值时，复数是（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数.13、已知复数z＝(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)i(m∈R)．（1）若复数z是实数，求实数m的值；（2）若复数z是虚数，求实数m的取值范围；（3）若复数z是纯虚数，求实数m的值；（4）若复数z是0，求实数m的值．14、当实数m分别为何值时，(1)复数是：实数？虚数？(2)复数纯虚数？15、设复数z＝lg(m2－2m－2)＋(m2＋3m＋2)i(m∈R)，试求m取何值时？(1)z是实数；(2)z是纯虚数；(3)z对应的点位于复平面的第一象限．16、设z1＝2x+1+（x2﹣3x+2）i，z2＝x2﹣2+（x2+x﹣6）i（x∈R）．（1）若z1是纯虚数，求实数x的取值范围；（2）若z1＞z2，求实数x的取值范围．17、求使成立的自然数，的值.练习三复数相等及其应用1、已知，其中，为虚数单位，则___________.2、若(x-2y)i=2x+1+3i，则实数x，y的值分别为____.3、若4－3a－a2i＝a2＋4ai，则实数a的值为________．4、已知，则实数的取值分别为______．5、若实数、满足，则的值为（

）A．1 B．2 C． D．6、分别求满足下列条件的实数x，y的值．(1)2x－1＋(y＋1)i＝x－y＋(－x－y)i；(2)eq\f(x2－x－6,x＋1)＋(x2－2x－3)i＝0.7、已知，则__________．8、若复数，（），，则等于（

）A．（） B．（）C．（） D．（）9、已知关于x的方程x2＋(1－2i)x＋(3m－i)＝0有实根，求实数m的值．10、若方程有实数根，则实数k的取值是____________．11、设两个复数集N={z|z=2cosθ+i(λ+3sinθ)，θ∈R}，M={z|z=t+i(4﹣t2)，t∈R}的交集为非空集合，则实数λ的取值范围是（

）A．[0，7] B．[1，7] C．[，0] D．[，7]第1讲数系的扩充和复数的概念知识点1复数的概念及代数表示1.数系扩充的脉络自然数集→整数集→有理数集→实数集→复数集．2.复数集①定义：全体复数所成的集合叫做复数集．②表示：通常用大写字母C表示．3.复数①定义：把集合C＝{a＋bi|a，b∈R}中的数，即形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位．满足i2＝－1.a叫做复数的实部，b叫做复数的虚部．②表示方法：复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)，这一表示形式叫做复数的代数形式．注：复数概念的三点说明(1)复数集是最大的数集，任何一个数都可以写成a＋bi(a，b∈R)的形式，其中0＝0＋0i.(2)复数的虚部是实数b而非bi.(3)复数z＝a＋bi只有在a，b∈R时才是复数的代数形式，否则不是．易错辨析：任意两个复数都能比较大小？任意两个复数都不能比较大小？当两个复数有虚数时，不可以比较大小，当两个复数都是实数时，可以比较大小.知识点2两个复数相等的充要条件在复数集C＝{a＋bi|a，b∈R}中任取两个数a＋bi，c＋di(a，b，c，d∈R)，我们规定：a＋bi与c＋di相等的充要条件是a＝c且b＝d.注：(1)在两个复数相等的条件中，注意前提条件是a，b，c，d∈R，即当a，b，c，d∈R时，a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d.若忽略前提条件，则结论不能成立．(2)利用该条件把复数的实部和虚部分离出来，达到“化虚为实”的目的，从而将复数问题转化为实数问题来求解．知识点3复数的分类(1)复数(a＋bi，a，b∈R)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(实数b＝0,虚数b≠0\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(纯虚数a＝0,非纯虚数a≠0))))(2)集合表示：考点一复数的有关概念解题方略：复数概念的几个关注点(1)复数的代数形式：若z＝a＋bi，只有当a，b∈R时，a才是z的实部，b才是z的虚部，且注意虚部不是bi，而是b.(2)不要将复数与虚数的概念混淆，实数也是复数，实数和虚数是复数的两大构成部分．(3)举反例：判断一个命题为假命题，只要举一个反例即可，所以解答判断命题真假类题目时，可按照“先特殊，后一般，先否定，后肯定”的方法进行解答．【例1】给出下列几个命题：①若z∈C，则z2≥0；②2i－1虚部是2i；③2i的实部是0；④若实数a与ai对应，则实数集与纯虚数集一一对应；⑤实数集的补集是虚数集．⑥的平方根是其中真命题的个数为()A．0 B．1C．2 D．3【解析】令z＝i∈C，则i2＝－1<0，故①不正确．②中2i－1的虚部应是2，故②不正确．④当a＝0时，ai＝0为实数，故④不正确，∴只有③，⑤,⑥正确．故选D变式1：已知复数z＝1＋i，则下列结论中正确的个数是()①z的实部为1；②z>0；③z的虚部为i.A．1B．2C．3 D．0【解析】易知①正确，②③错误，故选A.变式2：下列命题正确的是________．①复数－i＋1的虚部为－1.②若z1，z2∈C且z1－z2>0，则z1>z2.③任意两个复数都不能比较大小．【解析】①复数－i＋1＝1－i，虚部为－1，正确；②若z1，z2不全为实数，则z1，z2不能比较大小，错误；③若两个复数都是实数，可以比较大小，错误．答案：①【例2】请说出下列复数的实部和虚部．（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）0；（7）3i2＋7i【解析】直接根据复数实部虚部的定义得到答案.（1）的实部为2，虚部为3.（2）的实部为，虚部为.（3）的实部为，虚部为1.（4）的实部为，虚部为0.（5）的实部为0，虚部为.（6）0实部为0，虚部为0.（7）3i2＋7i＝－3＋7i，实部为－3，虚部为7.变式1：已知复数z＝a2－(2－b)i的实部和虚部分别是2和3，则实数a，b的值分别是________．【解析】由题意知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝2，,b－2＝3，))∴a＝±eq\r(2)，b＝5.变式2：若复数2－bi(b∈R)的实部与虚部互为相反数，则b的值为()A．－2B.eq\f(2,3)C．－eq\f(2,3) D．2【解析】复数2－bi的实部为2，虚部为－b，由题意知2＝－(－b)，即b＝2.故选D.变式3：【多选】已知复数的实部与虚部互为相反数，则的取值可能为（）A． B． C． D．【解析】由题意得：，解得：或或或故选：变式4：已知复数z＝a2＋(2a＋3)i的实部大于虚部，则实数a的取值范围是（

）A．－1或3 B．或C．或 D．或【解析】由已知实部大于虚部，可得a2>2a＋3，即a2－2a－3>0，即，解得或，故实数a的取值范围是或.故选：B.考点二复数的分类解题方略：复数分类解题策略判断一个复数在什么情况下是实数、虚数或者纯虚数，应首先保证复数的实部、虚部均有意义．其次根据分类的标准，列出实部、虚部应满足的关系式再求解．【例3】给出下列命题：①自然数集是非负整数集；②实数集与复数集的交集为实数集；③实数集与虚数集的交集是｛0｝；④纯虚数集与实数集的交集为空集.其中，假命题是________.（填序号）【解析】①②④显然正确，②中复数包括实数和虚数，③中实数和虚数只能是并列关系，不存在交集，故③实数集与虚数集的交集是空集，故③错.故答案为：③变式1：下列结论中，正确的是（）A． B．C． D．【解析】根据范围的大小关系得到：.故选：C.变式2：设集合，，，则，，间的关系为（）A． B． C． D．【解析】根据复数的定义，复数包含虚数和实数，虚数包含纯虚数和非纯虚数的虚数．因此只有B正确．故选：B．变式3：【多选】有下列四个命题，其中正确的是（

）①方程2x－5＝0在自然数集N中无解；②方程2x2＋9x－5＝0在整数集Z中有一解，在有理数集Q中有两解；③x＝i是方程x2＋1＝0在复数集C中的一个解；④x4＝1在R中有两解，在复数集C中也有两解.A．① B．②C．③ D．④【解析】①方程2x－5＝0根为，故方程在自然数集N中无解，正确；②方程2x2＋9x－5＝0即，故在整数集Z中有一解-5，在有理数集Q中有两解-5和，正确；③x＝i代入方程x2＋1＝0成立，故x＝i是方程x2＋1＝0在复数集C中的一个解；④x4＝1在R中有两解，在复数集C中也有四解，，故错误.故选：ABC.【例4】对于复数，下列结论中正确的是（）A．若，则为纯虚数B．若，则，C．若，则为实数D．若，则z不是复数【解析】对A，当时，为实数，故A错；对B，根据对应关系，，，故B错；对C，若，则为实数，C正确；对D，若，，也是复数，故D错.故选：C变式1：实数m取什么值时，复数是：（1）实数？（2）虚数？（3）0？【解析】（1）若复数是实数，则有，解得（2）若复数是虚数，则有，即（3）若复数，则有，解得变式2：当m为何实数时，复数z＝eq\f(m2－m－6,m＋3)＋(m2－2m－15)i.(1)是虚数；(2)是纯虚数；（3）z为实数.(4)当m为何值时，z>0.【解析】(1)当eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＋3≠0，,m2－2m－15≠0，))即m≠5且m≠－3时，z是虚数．(2)当eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(m2－m－6,m＋3)＝0，,m2－2m－15≠0，))即m＝3或m＝－2时，z是纯虚数．(3)当eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＋3≠0，,m2－2m－15＝0，))即m＝5时，z是实数．(4)因为z>0，所以z为实数，需满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(m2－m－6,m＋3)>0，,m2－2m－15＝0，))解得m＝5.变式3：已知，若复数是纯虚数，则（）A．0 B．2 C． D．【解析】因为是纯虚数，所以解得.故选：D.变式4：已知为虚数单位，复数是纯虚数，则实数的值为（）A．1或2 B．2 C．1或2 D．1【解析】由题设，，解得.故答案为：B变式5：已知复数，，则“”是“为纯虚数”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【解析】若复数为纯虚数，则，解得：或，所以由可得出为纯虚数，但由为纯虚数，得不出，所以“”是“为纯虚数”的充分不必要条件，故选：A.变式6：已知，i为虚数单位，则“”是“复数是纯虚数”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【解析】若复数是纯虚数，则；若，则是实数，所以“”是“复数是纯虚数”的必要不充分条件．故选：B.变式7：复数为纯虚数的充要条件是（

）A． B．且C．且 D．且【解析】要使得复数为纯虚数，则，若，则；若，则.所以，且.故选：D.变式8：若复数是虚数，则实数的取值范围是________．【解析】∵复数z＝＋i(m∈R)是虚数，∴解得m>1或m<0且m≠－2.故实数m的取值范围是．故答案为：。变式9：已知z＝log2(1＋m)＋ilog(3－m)(m∈R)，若z是虚数，求m的取值范围．【解析】∵z是虚数，∴log(3－m)≠0，且1＋m>0，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3－m>0，,3－m≠1，,1＋m>0，))∴－1<m<2或2<m<3.∴m的取值范围为(－1,2)∪(2,3)．变式10：若复数(a2－a－2)＋(|a－1|－1)i(a∈R)不是纯虚数，则a的取值范围是________．【解析】若复数为纯虚数，则有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|a－1|－1≠0，,a2－a－2＝0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a≠0且a≠2，,a＝2或a＝－1，))∴a＝－1.故复数不是纯虚数时a≠－1.答案：(－∞，－1)∪(－1，＋∞)变式11：复数z＝eq\f(1,a－1)＋(a2－1)i是实数，则实数a的值为()A．1或－1B．1C．－1 D．0或－1【解析】因为复数z＝eq\f(1,a－1)＋(a2－1)i是实数，且a为实数，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2－1＝0，,a－1≠0，))解得a＝－1.故选C.变式12：若复数a+(a+1)i是实数，则实数a的值为（）A．1 B．0 C．-1 D．【解析】由题意可得，解得.故选：C变式13：已知复数是负实数，则实数的值为___________．【解析】因为为负实数，所以解得故答案为：变式14：已知复数z＝m＋(m2－1)i(m∈R)满足z<0，则m＝________.【解析】∵z<0，∴z为实数且小于0，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2－1＝0，,m<0，))解得m＝－1.变式15：如果(m2－1)＋(m2－2m)i＞1则实数m的值为______．【解析】由题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2－2m＝0，,m2－1＞1，))解得m＝2.变式16：已知，，若(为虚数单位)，则实数的取值范围是（

）A．或 B．或 C． D．【解析】因为，，，所以，即，解得或故选：B变式17：如果复数，那么实数a的值是（）.A．不等于1的实数 B．不等于—1的实数C．不等于的实数 D．任意实数【解析】因为复数，所以或，解得，所以实数a的值是任意实数，故选：D变式18：求实数分别取什么值时，复数是：（1）当实数求值；（2）当纯虚数求值．【解析】（1）要使是实数，则，解得或．（2）要使是纯虚数，则，解得．考点三复数相等及其应用解题方略：复数相等问题的解题技巧(1)必须是复数的代数形式才可以根据实部与实部相等，虚部与虚部相等列方程组求解．(2)根据复数相等的条件，将复数问题转化为实数问题，为应用方程思想提供了条件，同时这也是复数问题实数化思想的体现．(3)如果两个复数都是实数，可以比较大小，否则是不能比较大小的．【例5】若a－2i＝bi＋1，a，b∈R，则a2＋b2＝________.【解析】由两个复数相等可知，a＝1，－2＝b，所以a2＋b2＝5.变式1：已知x2－y2＋2xyi＝2i，求实数x，y的值；【解析】∵x2－y2＋2xyi＝2i，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－y2＝0，,2xy＝2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝－1.))变式2：满足x－3i＝(8x－y)i的实数x，y的值为()A．x＝0且y＝3B．x＝0且y＝－3C．x＝5且y＝3D．x＝3且y＝0【解析】依题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝0，,－3＝8x－y，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝3.))故选A.变式3：已知复数z1＝a＋2i，z2＝3＋(a2－7)i，a∈R，若z1＝z2，则a＝()A．2 B．3C．－3 D．9【解析】因为z1＝a＋2i，z2＝3＋(a2－7)i，且z1＝z2，所以有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝3，,a2－7＝2，))解得a＝3.故选B.变式4：若，则实数的值为（）A．8 B． C．0 D．8或0【解析】，又，所以，解得或，所以或8．故选：D．变式5：已知A＝{1,2，(a2－3a－1)＋(a2－5a－6)i}，B＝{－1,3}，A∩B＝{3}，求实数a的值．【解析】由题意，得(a2－3a－1)＋(a2－5a－6)i＝3，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2－5a－6＝0，,a2－3a－1＝3，))解得a＝－1.变式6：若(x＋y)i＝x－1(x，y∈R)，则2x＋y的值为()A.eq\f(1,2)B．2C．0 D．1【解析】由复数相等的充要条件知，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝0，,x－1＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝－1，))∴x＋y＝0.∴2x＋y＝20＝1.故选D.变式7：已知复数z1＝m＋(4－m2)i(m∈R)，z2＝2cosθ＋(λ＋3sinθ)i(λ，θ∈R)，并且z1＝z2，则λ的取值范围为()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－7，\f(9,16))) B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(9,16)，7))C．[－1,1] D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(9,16)，7))【解析】由z1＝z2得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝2cosθ，,4－m2＝λ＋3sinθ，))消去m得λ＝4sin2θ－3sinθ＝4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sinθ－\f(3,8)))2－eq\f(9,16).由于－1≤sinθ≤1，故－eq\f(9,16)≤λ≤7.故选D.【例6】为虚数单位，若关于的方程有实根，则实数___________，【解析】设该方程的实根为，则，整理得，因为，所以解得.故答案为：.变式1：关于x的方程3x2－eq\f(a,2)x－1＝(10－x－2x2)i有实根，求实数a的值．【解析】设方程的实数根为x＝m，则3m2－eq\f(a,2)m－1＝(10－m－2m2)i，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3m2－\f(a,2)m－1＝0，,10－m－2m2＝0，))解得a＝11或a＝－eq\f(71,5).变式2：已知关于x的方程x2＋(m＋2i)x＋2＋2i＝0(m∈R)有实数根n，且z＝m＋ni，则复数z等于()A．3＋i B．3－iC．－3－i D．－3＋i【解析】由题意知n2＋(m＋2i)n＋2＋2i＝0，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n2＋mn＋2＝0，,2n＋2＝0.))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝3，,n＝－1.))∴z＝3－i.故选B.变式3：若关于的方程有实根，求纯虚数.【解析】设纯虚数，其中且，可得方程，设方程有一实根，即因为，可得，解得，所以.练习一复数的有关概念1、下列命题中，正确的是（）A．任意两个复数都能比较大小 B．任意两个复数都不能比较大小C．设，如果，那么 D．设，如果，那么【解析】当两个复数有虚数时，不可以比较大小，所以A错误；当两个复数都是实数时，可以比较大小，所以B错误；因为，且，所以是实数，故，所以C正确；因为，若，则，但是此时与不能比较大小，所以D错误.故选:C.2、下列说法正确的是（

）A．表示虚数单位，所以它不是一个虚数B．的平方根是C．是纯虚数D．若，则复数没有虚部【解析】A：表示虚数单位，也是一个虚数，故A错误；B：由，可知的平方根是，故B正确；C：当是实数，故C错误；D：若，则复数虚部为0，故D错误；故选：B3、【多选】已知i为虚数单位,下列命题中正确的是A．若,则是纯虚数 B．虚部为的虚数有无数个C．实数集是复数集的真子集 D．两个复数相等的一个必要条件是它们的实部相等【解析】对于A,若,则,不是纯虚数,故A错误；对于B,虚部为的虚数可以表示为,有无数个,故B正确；根据复数的分类,判断C正确；两个复数相等一定能推出实部相等,必要性成立,但两个复数的实部相等推不出两个复数相等,充分性不成立,故D正确.故选:BCD.4、有下列说法：①两个复数相等的一个必要条件是它们的实部相等；②两个复数不相等的一个充分条件是它们的虚部不相等；③是一个复数；④纯虚数的平方不小于0；⑤－1的平方根只有一个，即为；⑥是一个无理数．其中正确的有________(填序号)．【解析】若两个复数相等，则它们的实部、虚部均相等，故①正确；若虚部不相等，则两个复数一定不相等，故②正确；满足形如的数均为复数，故③正确；纯虚数的平方小于0，如，故④错误；的平方根不止一个，因为，故⑤错误；是虚数，故⑥错误．综上可得，①②③正确．5、【多选】已知i为虚数单位，下列说法正确的是A．若，且，则B．任意两个虚数都不能比较大小C．若复数，满足，则D．的平方等于1【解析】对于选项A，∵，且，根据复数相等的性质，则，故正确；对于选项B，∵虚数不能比较大小，故正确；对于选项C，∵若复数，满足，则，故不正确；对于选项D，∵复数，故不正确；故选：AB．6、【多选】下列命题中错误的有（

）A．若，则的充要条件是B．纯虚数集相对于复数集的补集是虚数集C．，若，则D．若实数与对应，则实数集与复数集一一对应【解析】A.因为，所以的充要条件不是，故A不正确；B.纯虚数集相对于复数集的补集是实数集合和虚数集中的非纯虚数集，故B不正确；C.因为，若，则不一定相等，比如，，满足，此时不相等，故C不正确；D.因为规定实数与复数对应，所以复数却没有实数与之对应，所以只有纯虚数和有原象，因此不满足实数集与复数集一一对应，故D不正确.故选：ABCD7、已知i是虚数单位，则“”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【解析】i是虚数单位，则，“”是“”的充分条件；由，得，故“”是“”的不必要条件；故“”是“”的充分不必要条件，故选：A8、已知复数z的实部为－1，虚部为－3，则______.【解析】由已知可得－1.故答案为：－19、若复数（是虚数单位），则复数的虚部是（）A．1 B．-2 C． D．【解析】的虚部是.故选：B10、复数eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(\r(3),2)))i的虚部为()A．2B．－eq\f(\r(3),2)C．2－eq\f(\r(3),2) D．0【解析】由复数定义知C正确．故选C.11、据记载，欧拉公式是由瑞士著名数学家欧拉发现的，该公式被誉为“数学中的天桥”特别是当时，得到一个令人着迷的优美恒等式，将数学中五个重要的数（自然对数的底，圆周率，虚数单位，自然数的单位和零元）联系到了一起，有些数学家评价它是“最完美的数学公式”.根据欧拉公式，复数的虚部（

）A． B． C． D．【解析】由题意，得，则复数的虚部为.故选：D.12、已知复数z1＝1＋3i的实部与复数z2＝－1－ai的虚部相等，则实数a等于()A．－3 B．3C．－1 D．1【解析】易知1＋3i的实部为1，－1－ai的虚部为－a，则a＝－1.故选C.练习二复数的分类1、设集合A＝{实数}，B＝{纯虚数}，C＝{复数}，若全集S＝C，则下列结论正确的是()A．A∪B＝CB．A＝BC．A∩(∁SB)＝∅D．(∁SA)∪(∁SB)＝C【解析】集合A，B，C的关系如图，可知只有(∁SA)∪(∁SB)＝C正确．故选D.2、在2＋eq\r(7)，eq\f(2,7)i,8＋5i，(1－eq\r(3))i,0.68这几个数中，纯虚数的个数为()A．0B．1C．2 D．3【解析】由纯虚数的定义可知eq\f(2,7)i,(1－eq\r(3))i是纯虚数．故选C.3、下列命题：①若a∈R，则(a＋1)i是纯虚数；②若(x2－4)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，则实数x＝±2；③实数集是复数集的真子集．其中正确说法的个数是()A．0B．1C．2D．3【解析】对于复数a＋bi(a，b∈R)，当a＝0且b≠0时，为纯虚数．对于①，若a＝－1，则(a＋1)i不是纯虚数，故①错误．对于②，若x＝－2，则x2－4＝0，x2＋3x＋2＝0，此时(x2－4)＋(x2＋3x＋2)i＝0，不是纯虚数，故②错误．显然，③正确．故选B.4、若复数(a2－3a＋2)＋(a－1)i是纯虚数，则实数a的值为______．【解析】因为复数(a2－3a＋2)＋(a－1)i是纯虚数，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2－3a＋2＝0，,a－1≠0，))解得a＝2.5、已知a为实数，若复数为纯虚数，则________．【解析】若复数是纯虚数，则，解得.故答案为：.6、若是纯虚数，则（

）A．或2 B．2 C． D．3【解析】是纯虚数，，解得：.故选：C.7、若z=（m2+6）+（2）i为纯虚数，则实数m的值为________.【解析】为纯虚数，则，解得，故答案为：．8、若复数（a，b为实数）则“”是“复数z为纯虚数”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件【解析】根据复数的概念，当且时，复数z为纯虚数，反之，当复数z为纯虚数时，且所以“”是“复数z为纯虚数”的必要不充分条件故选：B9、已知复数，，则“”是“为纯虚数”的______条件．（填写“充要”、“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分也不必要”中的一个）【解析】当时，为纯虚数，充分性成立，若纯虚数，则，解得，必要性成立，∴“”是“为纯虚数”的充要条件．故答案为：充要．10、使不等式成立的实数______．【解析】因为，所以，解得或；解得或；解得综上可得故答案为：11、已知＝－4a＋1＋(2a2＋3a)i，＝2a＋(a2＋a)i，其中，，则a的值为（

）A．0 B．－1C． D．【解析】由，可知两个复数均为实数，即其虚部为零，故，即，解得a＝0.故选：A.12、实数m分别为何值时，复数是（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数.【解析】复数.（1）要使z为实数，只需，解得：m=0或m=3；（2）要使z为虚数，只需，解得：且；（3）要使z为纯虚数，只需，解得：m=2.13、已知复数z＝(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)i(m∈R)．（1）若复数z是实数，求实数m的值；（2）若复数z是虚数，求实数m的取值范围；（3）若复数z是纯虚数，求实数m的值；（4）若复数z是0，求实数m的值．【解析】（1）当m2－2m－15＝0时，复数z为实数，所以m＝5或－3.（2）当m2－2m－15≠0时，复数z为虚数．所以m≠5且m≠－3.所以实数m的取值范围为{m|m≠5且m≠－3}．（3）当时，复数z是纯虚数，所以m＝－2.（4）当时，复数z是0，所以m＝－3.14、当实数m分别为何值时，(1)复数是：实数？虚数？(2)复数纯虚数？【解析】(1)若