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文档简介
第1讲数系的扩充和复数的概念知识点1复数的概念及代数表示1.数系扩充的脉络自然数集→整数集→有理数集→实数集→复数集.2.复数集①定义:全体复数所成的集合叫做复数集.②表示:通常用大写字母C表示.3.复数①定义:把集合C={a+bi|a,b∈R}中的数,即形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数,其中i叫做虚数单位.满足i2=-1.a叫做复数的实部,b叫做复数的虚部.②表示方法:复数通常用字母z表示,即z=a+bi(a,b∈R),这一表示形式叫做复数的代数形式.注:复数概念的三点说明(1)复数集是最大的数集,任何一个数都可以写成a+bi(a,b∈R)的形式,其中0=0+0i.(2)复数的虚部是实数b而非bi.(3)复数z=a+bi只有在a,b∈R时才是复数的代数形式,否则不是.易错辨析:任意两个复数都能比较大小?任意两个复数都不能比较大小?当两个复数有虚数时,不可以比较大小,当两个复数都是实数时,可以比较大小.知识点2两个复数相等的充要条件在复数集C={a+bi|a,b∈R}中任取两个数a+bi,c+di(a,b,c,d∈R),我们规定:a+bi与c+di相等的充要条件是a=c且b=d.注:(1)在两个复数相等的条件中,注意前提条件是a,b,c,d∈R,即当a,b,c,d∈R时,a+bi=c+di⇔a=c且b=d.若忽略前提条件,则结论不能成立.(2)利用该条件把复数的实部和虚部分离出来,达到“化虚为实”的目的,从而将复数问题转化为实数问题来求解.知识点3复数的分类(1)复数(a+bi,a,b∈R)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(实数b=0,虚数b≠0\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(纯虚数a=0,非纯虚数a≠0))))(2)集合表示:考点一复数的有关概念解题方略:复数概念的几个关注点(1)复数的代数形式:若z=a+bi,只有当a,b∈R时,a才是z的实部,b才是z的虚部,且注意虚部不是bi,而是b.(2)不要将复数与虚数的概念混淆,实数也是复数,实数和虚数是复数的两大构成部分.(3)举反例:判断一个命题为假命题,只要举一个反例即可,所以解答判断命题真假类题目时,可按照“先特殊,后一般,先否定,后肯定”的方法进行解答.【例1】给出下列几个命题:①若z∈C,则z2≥0;②2i-1虚部是2i;③2i的实部是0;④若实数a与ai对应,则实数集与纯虚数集一一对应;⑤实数集的补集是虚数集.⑥的平方根是其中真命题的个数为()A.0 B.1C.2 D.3变式1:已知复数z=1+i,则下列结论中正确的个数是()①z的实部为1;②z>0;③z的虚部为i.A.1B.2C.3 D.0变式2:下列命题正确的是________.①复数-i+1的虚部为-1.②若z1,z2∈C且z1-z2>0,则z1>z2.③任意两个复数都不能比较大小.【例2】请说出下列复数的实部和虚部.(1);(2);(3);(4);(5);(6)0;(7)3i2+7i变式1:已知复数z=a2-(2-b)i的实部和虚部分别是2和3,则实数a,b的值分别是________.变式2:若复数2-bi(b∈R)的实部与虚部互为相反数,则b的值为()A.-2B.eq\f(2,3)C.-eq\f(2,3) D.2变式3:【多选】已知复数的实部与虚部互为相反数,则的取值可能为()A. B. C. D.变式4:已知复数z=a2+(2a+3)i的实部大于虚部,则实数a的取值范围是(
)A.-1或3 B.或C.或 D.或考点二复数的分类解题方略:复数分类解题策略判断一个复数在什么情况下是实数、虚数或者纯虚数,应首先保证复数的实部、虚部均有意义.其次根据分类的标准,列出实部、虚部应满足的关系式再求解.【例3】给出下列命题:①自然数集是非负整数集;②实数集与复数集的交集为实数集;③实数集与虚数集的交集是{0};④纯虚数集与实数集的交集为空集.其中,假命题是________.(填序号)变式1:下列结论中,正确的是()A. B.C. D.变式2:设集合,,,则,,间的关系为()A. B. C. D.变式3:【多选】有下列四个命题,其中正确的是(
)①方程2x-5=0在自然数集N中无解;②方程2x2+9x-5=0在整数集Z中有一解,在有理数集Q中有两解;③x=i是方程x2+1=0在复数集C中的一个解;④x4=1在R中有两解,在复数集C中也有两解.A.① B.②C.③ D.④【例4】对于复数,下列结论中正确的是()A.若,则为纯虚数B.若,则,C.若,则为实数D.若,则z不是复数变式1:实数m取什么值时,复数是:(1)实数?(2)虚数?(3)0?变式2:当m为何实数时,复数z=eq\f(m2-m-6,m+3)+(m2-2m-15)i.(1)是虚数;(2)是纯虚数;(3)z为实数.(4)当m为何值时,z>0.变式3:已知,若复数是纯虚数,则()A.0 B.2 C. D.变式4:已知为虚数单位,复数是纯虚数,则实数的值为()A.1或2 B.2 C.1或2 D.1变式5:已知复数,,则“”是“为纯虚数”的(
)A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件变式6:已知,i为虚数单位,则“”是“复数是纯虚数”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件变式7:复数为纯虚数的充要条件是(
)A. B.且C.且 D.且变式8:若复数是虚数,则实数的取值范围是________.变式9:已知z=log2(1+m)+ilog(3-m)(m∈R),若z是虚数,求m的取值范围.变式10:若复数(a2-a-2)+(|a-1|-1)i(a∈R)不是纯虚数,则a的取值范围是________.变式11:复数z=eq\f(1,a-1)+(a2-1)i是实数,则实数a的值为()A.1或-1B.1C.-1 D.0或-1变式12:若复数a+(a+1)i是实数,则实数a的值为()A.1 B.0 C.-1 D.变式13:已知复数是负实数,则实数的值为___________.变式14:已知复数z=m+(m2-1)i(m∈R)满足z<0,则m=________.变式15:如果(m2-1)+(m2-2m)i>1则实数m的值为______.变式16:已知,,若(为虚数单位),则实数的取值范围是(
)A.或 B.或 C. D.变式17:如果复数,那么实数a的值是().A.不等于1的实数 B.不等于—1的实数C.不等于的实数 D.任意实数变式18:求实数分别取什么值时,复数是:(1)当实数求值;(2)当纯虚数求值.考点三复数相等及其应用解题方略:复数相等问题的解题技巧(1)必须是复数的代数形式才可以根据实部与实部相等,虚部与虚部相等列方程组求解.(2)根据复数相等的条件,将复数问题转化为实数问题,为应用方程思想提供了条件,同时这也是复数问题实数化思想的体现.(3)如果两个复数都是实数,可以比较大小,否则是不能比较大小的.【例5】若a-2i=bi+1,a,b∈R,则a2+b2=________.变式1:已知x2-y2+2xyi=2i,求实数x,y的值;变式2:满足x-3i=(8x-y)i的实数x,y的值为()A.x=0且y=3B.x=0且y=-3C.x=5且y=3D.x=3且y=0变式3:已知复数z1=a+2i,z2=3+(a2-7)i,a∈R,若z1=z2,则a=()A.2 B.3C.-3 D.9变式4:若,则实数的值为()A.8 B. C.0 D.8或0变式5:已知A={1,2,(a2-3a-1)+(a2-5a-6)i},B={-1,3},A∩B={3},求实数a的值.变式6:若(x+y)i=x-1(x,y∈R),则2x+y的值为()A.eq\f(1,2)B.2C.0 D.1变式7:已知复数z1=m+(4-m2)i(m∈R),z2=2cosθ+(λ+3sinθ)i(λ,θ∈R),并且z1=z2,则λ的取值范围为()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(-7,\f(9,16))) B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(9,16),7))C.[-1,1] D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(-\f(9,16),7))【例6】为虚数单位,若关于的方程有实根,则实数___________,变式1:关于x的方程3x2-eq\f(a,2)x-1=(10-x-2x2)i有实根,求实数a的值.变式2:已知关于x的方程x2+(m+2i)x+2+2i=0(m∈R)有实数根n,且z=m+ni,则复数z等于()A.3+i B.3-iC.-3-i D.-3+i变式3:若关于的方程有实根,求纯虚数.练习一复数的有关概念1、下列命题中,正确的是()A.任意两个复数都能比较大小 B.任意两个复数都不能比较大小C.设,如果,那么 D.设,如果,那么2、下列说法正确的是(
)A.表示虚数单位,所以它不是一个虚数B.的平方根是C.是纯虚数D.若,则复数没有虚部3、【多选】已知i为虚数单位,下列命题中正确的是A.若,则是纯虚数 B.虚部为的虚数有无数个C.实数集是复数集的真子集 D.两个复数相等的一个必要条件是它们的实部相等4、有下列说法:①两个复数相等的一个必要条件是它们的实部相等;②两个复数不相等的一个充分条件是它们的虚部不相等;③是一个复数;④纯虚数的平方不小于0;⑤-1的平方根只有一个,即为;⑥是一个无理数.其中正确的有________(填序号).5、【多选】已知i为虚数单位,下列说法正确的是A.若,且,则B.任意两个虚数都不能比较大小C.若复数,满足,则D.的平方等于16、【多选】下列命题中错误的有(
)A.若,则的充要条件是B.纯虚数集相对于复数集的补集是虚数集C.,若,则D.若实数与对应,则实数集与复数集一一对应7、已知i是虚数单位,则“”是“”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件8、已知复数z的实部为-1,虚部为-3,则______.9、若复数(是虚数单位),则复数的虚部是()A.1 B.-2 C. D.10、复数eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2-\f(\r(3),2)))i的虚部为()A.2B.-eq\f(\r(3),2)C.2-eq\f(\r(3),2) D.011、据记载,欧拉公式是由瑞士著名数学家欧拉发现的,该公式被誉为“数学中的天桥”特别是当时,得到一个令人着迷的优美恒等式,将数学中五个重要的数(自然对数的底,圆周率,虚数单位,自然数的单位和零元)联系到了一起,有些数学家评价它是“最完美的数学公式”.根据欧拉公式,复数的虚部(
)A. B. C. D.12、已知复数z1=1+3i的实部与复数z2=-1-ai的虚部相等,则实数a等于()A.-3 B.3C.-1 D.1练习二复数的分类1、设集合A={实数},B={纯虚数},C={复数},若全集S=C,则下列结论正确的是()A.A∪B=CB.A=BC.A∩(∁SB)=∅D.(∁SA)∪(∁SB)=C2、在2+eq\r(7),eq\f(2,7)i,8+5i,(1-eq\r(3))i,0.68这几个数中,纯虚数的个数为()A.0B.1C.2 D.33、下列命题:①若a∈R,则(a+1)i是纯虚数;②若(x2-4)+(x2+3x+2)i是纯虚数,则实数x=±2;③实数集是复数集的真子集.其中正确说法的个数是()A.0B.1C.2D.34、若复数(a2-3a+2)+(a-1)i是纯虚数,则实数a的值为______.5、已知a为实数,若复数为纯虚数,则________.6、若是纯虚数,则(
)A.或2 B.2 C. D.37、若z=(m2+6)+(2)i为纯虚数,则实数m的值为________.8、若复数(a,b为实数)则“”是“复数z为纯虚数”的(
)A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件9、已知复数,,则“”是“为纯虚数”的______条件.(填写“充要”、“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分也不必要”中的一个)10、使不等式成立的实数______.11、已知=-4a+1+(2a2+3a)i,=2a+(a2+a)i,其中,,则a的值为(
)A.0 B.-1C. D.12、实数m分别为何值时,复数是(1)实数;(2)虚数;(3)纯虚数.13、已知复数z=(m2+5m+6)+(m2-2m-15)i(m∈R).(1)若复数z是实数,求实数m的值;(2)若复数z是虚数,求实数m的取值范围;(3)若复数z是纯虚数,求实数m的值;(4)若复数z是0,求实数m的值.14、当实数m分别为何值时,(1)复数是:实数?虚数?(2)复数纯虚数?15、设复数z=lg(m2-2m-2)+(m2+3m+2)i(m∈R),试求m取何值时?(1)z是实数;(2)z是纯虚数;(3)z对应的点位于复平面的第一象限.16、设z1=2x+1+(x2﹣3x+2)i,z2=x2﹣2+(x2+x﹣6)i(x∈R).(1)若z1是纯虚数,求实数x的取值范围;(2)若z1>z2,求实数x的取值范围.17、求使成立的自然数,的值.练习三复数相等及其应用1、已知,其中,为虚数单位,则___________.2、若(x-2y)i=2x+1+3i,则实数x,y的值分别为____.3、若4-3a-a2i=a2+4ai,则实数a的值为________.4、已知,则实数的取值分别为______.5、若实数、满足,则的值为(
)A.1 B.2 C. D.6、分别求满足下列条件的实数x,y的值.(1)2x-1+(y+1)i=x-y+(-x-y)i;(2)eq\f(x2-x-6,x+1)+(x2-2x-3)i=0.7、已知,则__________.8、若复数,(),,则等于(
)A.() B.()C.() D.()9、已知关于x的方程x2+(1-2i)x+(3m-i)=0有实根,求实数m的值.10、若方程有实数根,则实数k的取值是____________.11、设两个复数集N={z|z=2cosθ+i(λ+3sinθ),θ∈R},M={z|z=t+i(4﹣t2),t∈R}的交集为非空集合,则实数λ的取值范围是(
)A.[0,7] B.[1,7] C.[,0] D.[,7]第1讲数系的扩充和复数的概念知识点1复数的概念及代数表示1.数系扩充的脉络自然数集→整数集→有理数集→实数集→复数集.2.复数集①定义:全体复数所成的集合叫做复数集.②表示:通常用大写字母C表示.3.复数①定义:把集合C={a+bi|a,b∈R}中的数,即形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数,其中i叫做虚数单位.满足i2=-1.a叫做复数的实部,b叫做复数的虚部.②表示方法:复数通常用字母z表示,即z=a+bi(a,b∈R),这一表示形式叫做复数的代数形式.注:复数概念的三点说明(1)复数集是最大的数集,任何一个数都可以写成a+bi(a,b∈R)的形式,其中0=0+0i.(2)复数的虚部是实数b而非bi.(3)复数z=a+bi只有在a,b∈R时才是复数的代数形式,否则不是.易错辨析:任意两个复数都能比较大小?任意两个复数都不能比较大小?当两个复数有虚数时,不可以比较大小,当两个复数都是实数时,可以比较大小.知识点2两个复数相等的充要条件在复数集C={a+bi|a,b∈R}中任取两个数a+bi,c+di(a,b,c,d∈R),我们规定:a+bi与c+di相等的充要条件是a=c且b=d.注:(1)在两个复数相等的条件中,注意前提条件是a,b,c,d∈R,即当a,b,c,d∈R时,a+bi=c+di⇔a=c且b=d.若忽略前提条件,则结论不能成立.(2)利用该条件把复数的实部和虚部分离出来,达到“化虚为实”的目的,从而将复数问题转化为实数问题来求解.知识点3复数的分类(1)复数(a+bi,a,b∈R)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(实数b=0,虚数b≠0\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(纯虚数a=0,非纯虚数a≠0))))(2)集合表示:考点一复数的有关概念解题方略:复数概念的几个关注点(1)复数的代数形式:若z=a+bi,只有当a,b∈R时,a才是z的实部,b才是z的虚部,且注意虚部不是bi,而是b.(2)不要将复数与虚数的概念混淆,实数也是复数,实数和虚数是复数的两大构成部分.(3)举反例:判断一个命题为假命题,只要举一个反例即可,所以解答判断命题真假类题目时,可按照“先特殊,后一般,先否定,后肯定”的方法进行解答.【例1】给出下列几个命题:①若z∈C,则z2≥0;②2i-1虚部是2i;③2i的实部是0;④若实数a与ai对应,则实数集与纯虚数集一一对应;⑤实数集的补集是虚数集.⑥的平方根是其中真命题的个数为()A.0 B.1C.2 D.3【解析】令z=i∈C,则i2=-1<0,故①不正确.②中2i-1的虚部应是2,故②不正确.④当a=0时,ai=0为实数,故④不正确,∴只有③,⑤,⑥正确.故选D变式1:已知复数z=1+i,则下列结论中正确的个数是()①z的实部为1;②z>0;③z的虚部为i.A.1B.2C.3 D.0【解析】易知①正确,②③错误,故选A.变式2:下列命题正确的是________.①复数-i+1的虚部为-1.②若z1,z2∈C且z1-z2>0,则z1>z2.③任意两个复数都不能比较大小.【解析】①复数-i+1=1-i,虚部为-1,正确;②若z1,z2不全为实数,则z1,z2不能比较大小,错误;③若两个复数都是实数,可以比较大小,错误.答案:①【例2】请说出下列复数的实部和虚部.(1);(2);(3);(4);(5);(6)0;(7)3i2+7i【解析】直接根据复数实部虚部的定义得到答案.(1)的实部为2,虚部为3.(2)的实部为,虚部为.(3)的实部为,虚部为1.(4)的实部为,虚部为0.(5)的实部为0,虚部为.(6)0实部为0,虚部为0.(7)3i2+7i=-3+7i,实部为-3,虚部为7.变式1:已知复数z=a2-(2-b)i的实部和虚部分别是2和3,则实数a,b的值分别是________.【解析】由题意知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2=2,,b-2=3,))∴a=±eq\r(2),b=5.变式2:若复数2-bi(b∈R)的实部与虚部互为相反数,则b的值为()A.-2B.eq\f(2,3)C.-eq\f(2,3) D.2【解析】复数2-bi的实部为2,虚部为-b,由题意知2=-(-b),即b=2.故选D.变式3:【多选】已知复数的实部与虚部互为相反数,则的取值可能为()A. B. C. D.【解析】由题意得:,解得:或或或故选:变式4:已知复数z=a2+(2a+3)i的实部大于虚部,则实数a的取值范围是(
)A.-1或3 B.或C.或 D.或【解析】由已知实部大于虚部,可得a2>2a+3,即a2-2a-3>0,即,解得或,故实数a的取值范围是或.故选:B.考点二复数的分类解题方略:复数分类解题策略判断一个复数在什么情况下是实数、虚数或者纯虚数,应首先保证复数的实部、虚部均有意义.其次根据分类的标准,列出实部、虚部应满足的关系式再求解.【例3】给出下列命题:①自然数集是非负整数集;②实数集与复数集的交集为实数集;③实数集与虚数集的交集是{0};④纯虚数集与实数集的交集为空集.其中,假命题是________.(填序号)【解析】①②④显然正确,②中复数包括实数和虚数,③中实数和虚数只能是并列关系,不存在交集,故③实数集与虚数集的交集是空集,故③错.故答案为:③变式1:下列结论中,正确的是()A. B.C. D.【解析】根据范围的大小关系得到:.故选:C.变式2:设集合,,,则,,间的关系为()A. B. C. D.【解析】根据复数的定义,复数包含虚数和实数,虚数包含纯虚数和非纯虚数的虚数.因此只有B正确.故选:B.变式3:【多选】有下列四个命题,其中正确的是(
)①方程2x-5=0在自然数集N中无解;②方程2x2+9x-5=0在整数集Z中有一解,在有理数集Q中有两解;③x=i是方程x2+1=0在复数集C中的一个解;④x4=1在R中有两解,在复数集C中也有两解.A.① B.②C.③ D.④【解析】①方程2x-5=0根为,故方程在自然数集N中无解,正确;②方程2x2+9x-5=0即,故在整数集Z中有一解-5,在有理数集Q中有两解-5和,正确;③x=i代入方程x2+1=0成立,故x=i是方程x2+1=0在复数集C中的一个解;④x4=1在R中有两解,在复数集C中也有四解,,故错误.故选:ABC.【例4】对于复数,下列结论中正确的是()A.若,则为纯虚数B.若,则,C.若,则为实数D.若,则z不是复数【解析】对A,当时,为实数,故A错;对B,根据对应关系,,,故B错;对C,若,则为实数,C正确;对D,若,,也是复数,故D错.故选:C变式1:实数m取什么值时,复数是:(1)实数?(2)虚数?(3)0?【解析】(1)若复数是实数,则有,解得(2)若复数是虚数,则有,即(3)若复数,则有,解得变式2:当m为何实数时,复数z=eq\f(m2-m-6,m+3)+(m2-2m-15)i.(1)是虚数;(2)是纯虚数;(3)z为实数.(4)当m为何值时,z>0.【解析】(1)当eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m+3≠0,,m2-2m-15≠0,))即m≠5且m≠-3时,z是虚数.(2)当eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(m2-m-6,m+3)=0,,m2-2m-15≠0,))即m=3或m=-2时,z是纯虚数.(3)当eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m+3≠0,,m2-2m-15=0,))即m=5时,z是实数.(4)因为z>0,所以z为实数,需满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(m2-m-6,m+3)>0,,m2-2m-15=0,))解得m=5.变式3:已知,若复数是纯虚数,则()A.0 B.2 C. D.【解析】因为是纯虚数,所以解得.故选:D.变式4:已知为虚数单位,复数是纯虚数,则实数的值为()A.1或2 B.2 C.1或2 D.1【解析】由题设,,解得.故答案为:B变式5:已知复数,,则“”是“为纯虚数”的(
)A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【解析】若复数为纯虚数,则,解得:或,所以由可得出为纯虚数,但由为纯虚数,得不出,所以“”是“为纯虚数”的充分不必要条件,故选:A.变式6:已知,i为虚数单位,则“”是“复数是纯虚数”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【解析】若复数是纯虚数,则;若,则是实数,所以“”是“复数是纯虚数”的必要不充分条件.故选:B.变式7:复数为纯虚数的充要条件是(
)A. B.且C.且 D.且【解析】要使得复数为纯虚数,则,若,则;若,则.所以,且.故选:D.变式8:若复数是虚数,则实数的取值范围是________.【解析】∵复数z=+i(m∈R)是虚数,∴解得m>1或m<0且m≠-2.故实数m的取值范围是.故答案为:。变式9:已知z=log2(1+m)+ilog(3-m)(m∈R),若z是虚数,求m的取值范围.【解析】∵z是虚数,∴log(3-m)≠0,且1+m>0,即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3-m>0,,3-m≠1,,1+m>0,))∴-1<m<2或2<m<3.∴m的取值范围为(-1,2)∪(2,3).变式10:若复数(a2-a-2)+(|a-1|-1)i(a∈R)不是纯虚数,则a的取值范围是________.【解析】若复数为纯虚数,则有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|a-1|-1≠0,,a2-a-2=0,))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a≠0且a≠2,,a=2或a=-1,))∴a=-1.故复数不是纯虚数时a≠-1.答案:(-∞,-1)∪(-1,+∞)变式11:复数z=eq\f(1,a-1)+(a2-1)i是实数,则实数a的值为()A.1或-1B.1C.-1 D.0或-1【解析】因为复数z=eq\f(1,a-1)+(a2-1)i是实数,且a为实数,则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2-1=0,,a-1≠0,))解得a=-1.故选C.变式12:若复数a+(a+1)i是实数,则实数a的值为()A.1 B.0 C.-1 D.【解析】由题意可得,解得.故选:C变式13:已知复数是负实数,则实数的值为___________.【解析】因为为负实数,所以解得故答案为:变式14:已知复数z=m+(m2-1)i(m∈R)满足z<0,则m=________.【解析】∵z<0,∴z为实数且小于0,∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2-1=0,,m<0,))解得m=-1.变式15:如果(m2-1)+(m2-2m)i>1则实数m的值为______.【解析】由题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2-2m=0,,m2-1>1,))解得m=2.变式16:已知,,若(为虚数单位),则实数的取值范围是(
)A.或 B.或 C. D.【解析】因为,,,所以,即,解得或故选:B变式17:如果复数,那么实数a的值是().A.不等于1的实数 B.不等于—1的实数C.不等于的实数 D.任意实数【解析】因为复数,所以或,解得,所以实数a的值是任意实数,故选:D变式18:求实数分别取什么值时,复数是:(1)当实数求值;(2)当纯虚数求值.【解析】(1)要使是实数,则,解得或.(2)要使是纯虚数,则,解得.考点三复数相等及其应用解题方略:复数相等问题的解题技巧(1)必须是复数的代数形式才可以根据实部与实部相等,虚部与虚部相等列方程组求解.(2)根据复数相等的条件,将复数问题转化为实数问题,为应用方程思想提供了条件,同时这也是复数问题实数化思想的体现.(3)如果两个复数都是实数,可以比较大小,否则是不能比较大小的.【例5】若a-2i=bi+1,a,b∈R,则a2+b2=________.【解析】由两个复数相等可知,a=1,-2=b,所以a2+b2=5.变式1:已知x2-y2+2xyi=2i,求实数x,y的值;【解析】∵x2-y2+2xyi=2i,∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2-y2=0,,2xy=2,))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x=1,,y=1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x=-1,,y=-1.))变式2:满足x-3i=(8x-y)i的实数x,y的值为()A.x=0且y=3B.x=0且y=-3C.x=5且y=3D.x=3且y=0【解析】依题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x=0,,-3=8x-y,))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x=0,,y=3.))故选A.变式3:已知复数z1=a+2i,z2=3+(a2-7)i,a∈R,若z1=z2,则a=()A.2 B.3C.-3 D.9【解析】因为z1=a+2i,z2=3+(a2-7)i,且z1=z2,所以有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a=3,,a2-7=2,))解得a=3.故选B.变式4:若,则实数的值为()A.8 B. C.0 D.8或0【解析】,又,所以,解得或,所以或8.故选:D.变式5:已知A={1,2,(a2-3a-1)+(a2-5a-6)i},B={-1,3},A∩B={3},求实数a的值.【解析】由题意,得(a2-3a-1)+(a2-5a-6)i=3,∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2-5a-6=0,,a2-3a-1=3,))解得a=-1.变式6:若(x+y)i=x-1(x,y∈R),则2x+y的值为()A.eq\f(1,2)B.2C.0 D.1【解析】由复数相等的充要条件知,eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x+y=0,,x-1=0,))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x=1,,y=-1,))∴x+y=0.∴2x+y=20=1.故选D.变式7:已知复数z1=m+(4-m2)i(m∈R),z2=2cosθ+(λ+3sinθ)i(λ,θ∈R),并且z1=z2,则λ的取值范围为()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(-7,\f(9,16))) B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(9,16),7))C.[-1,1] D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(-\f(9,16),7))【解析】由z1=z2得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m=2cosθ,,4-m2=λ+3sinθ,))消去m得λ=4sin2θ-3sinθ=4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sinθ-\f(3,8)))2-eq\f(9,16).由于-1≤sinθ≤1,故-eq\f(9,16)≤λ≤7.故选D.【例6】为虚数单位,若关于的方程有实根,则实数___________,【解析】设该方程的实根为,则,整理得,因为,所以解得.故答案为:.变式1:关于x的方程3x2-eq\f(a,2)x-1=(10-x-2x2)i有实根,求实数a的值.【解析】设方程的实数根为x=m,则3m2-eq\f(a,2)m-1=(10-m-2m2)i,∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3m2-\f(a,2)m-1=0,,10-m-2m2=0,))解得a=11或a=-eq\f(71,5).变式2:已知关于x的方程x2+(m+2i)x+2+2i=0(m∈R)有实数根n,且z=m+ni,则复数z等于()A.3+i B.3-iC.-3-i D.-3+i【解析】由题意知n2+(m+2i)n+2+2i=0,即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n2+mn+2=0,,2n+2=0.))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m=3,,n=-1.))∴z=3-i.故选B.变式3:若关于的方程有实根,求纯虚数.【解析】设纯虚数,其中且,可得方程,设方程有一实根,即因为,可得,解得,所以.练习一复数的有关概念1、下列命题中,正确的是()A.任意两个复数都能比较大小 B.任意两个复数都不能比较大小C.设,如果,那么 D.设,如果,那么【解析】当两个复数有虚数时,不可以比较大小,所以A错误;当两个复数都是实数时,可以比较大小,所以B错误;因为,且,所以是实数,故,所以C正确;因为,若,则,但是此时与不能比较大小,所以D错误.故选:C.2、下列说法正确的是(
)A.表示虚数单位,所以它不是一个虚数B.的平方根是C.是纯虚数D.若,则复数没有虚部【解析】A:表示虚数单位,也是一个虚数,故A错误;B:由,可知的平方根是,故B正确;C:当是实数,故C错误;D:若,则复数虚部为0,故D错误;故选:B3、【多选】已知i为虚数单位,下列命题中正确的是A.若,则是纯虚数 B.虚部为的虚数有无数个C.实数集是复数集的真子集 D.两个复数相等的一个必要条件是它们的实部相等【解析】对于A,若,则,不是纯虚数,故A错误;对于B,虚部为的虚数可以表示为,有无数个,故B正确;根据复数的分类,判断C正确;两个复数相等一定能推出实部相等,必要性成立,但两个复数的实部相等推不出两个复数相等,充分性不成立,故D正确.故选:BCD.4、有下列说法:①两个复数相等的一个必要条件是它们的实部相等;②两个复数不相等的一个充分条件是它们的虚部不相等;③是一个复数;④纯虚数的平方不小于0;⑤-1的平方根只有一个,即为;⑥是一个无理数.其中正确的有________(填序号).【解析】若两个复数相等,则它们的实部、虚部均相等,故①正确;若虚部不相等,则两个复数一定不相等,故②正确;满足形如的数均为复数,故③正确;纯虚数的平方小于0,如,故④错误;的平方根不止一个,因为,故⑤错误;是虚数,故⑥错误.综上可得,①②③正确.5、【多选】已知i为虚数单位,下列说法正确的是A.若,且,则B.任意两个虚数都不能比较大小C.若复数,满足,则D.的平方等于1【解析】对于选项A,∵,且,根据复数相等的性质,则,故正确;对于选项B,∵虚数不能比较大小,故正确;对于选项C,∵若复数,满足,则,故不正确;对于选项D,∵复数,故不正确;故选:AB.6、【多选】下列命题中错误的有(
)A.若,则的充要条件是B.纯虚数集相对于复数集的补集是虚数集C.,若,则D.若实数与对应,则实数集与复数集一一对应【解析】A.因为,所以的充要条件不是,故A不正确;B.纯虚数集相对于复数集的补集是实数集合和虚数集中的非纯虚数集,故B不正确;C.因为,若,则不一定相等,比如,,满足,此时不相等,故C不正确;D.因为规定实数与复数对应,所以复数却没有实数与之对应,所以只有纯虚数和有原象,因此不满足实数集与复数集一一对应,故D不正确.故选:ABCD7、已知i是虚数单位,则“”是“”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【解析】i是虚数单位,则,“”是“”的充分条件;由,得,故“”是“”的不必要条件;故“”是“”的充分不必要条件,故选:A8、已知复数z的实部为-1,虚部为-3,则______.【解析】由已知可得-1.故答案为:-19、若复数(是虚数单位),则复数的虚部是()A.1 B.-2 C. D.【解析】的虚部是.故选:B10、复数eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2-\f(\r(3),2)))i的虚部为()A.2B.-eq\f(\r(3),2)C.2-eq\f(\r(3),2) D.0【解析】由复数定义知C正确.故选C.11、据记载,欧拉公式是由瑞士著名数学家欧拉发现的,该公式被誉为“数学中的天桥”特别是当时,得到一个令人着迷的优美恒等式,将数学中五个重要的数(自然对数的底,圆周率,虚数单位,自然数的单位和零元)联系到了一起,有些数学家评价它是“最完美的数学公式”.根据欧拉公式,复数的虚部(
)A. B. C. D.【解析】由题意,得,则复数的虚部为.故选:D.12、已知复数z1=1+3i的实部与复数z2=-1-ai的虚部相等,则实数a等于()A.-3 B.3C.-1 D.1【解析】易知1+3i的实部为1,-1-ai的虚部为-a,则a=-1.故选C.练习二复数的分类1、设集合A={实数},B={纯虚数},C={复数},若全集S=C,则下列结论正确的是()A.A∪B=CB.A=BC.A∩(∁SB)=∅D.(∁SA)∪(∁SB)=C【解析】集合A,B,C的关系如图,可知只有(∁SA)∪(∁SB)=C正确.故选D.2、在2+eq\r(7),eq\f(2,7)i,8+5i,(1-eq\r(3))i,0.68这几个数中,纯虚数的个数为()A.0B.1C.2 D.3【解析】由纯虚数的定义可知eq\f(2,7)i,(1-eq\r(3))i是纯虚数.故选C.3、下列命题:①若a∈R,则(a+1)i是纯虚数;②若(x2-4)+(x2+3x+2)i是纯虚数,则实数x=±2;③实数集是复数集的真子集.其中正确说法的个数是()A.0B.1C.2D.3【解析】对于复数a+bi(a,b∈R),当a=0且b≠0时,为纯虚数.对于①,若a=-1,则(a+1)i不是纯虚数,故①错误.对于②,若x=-2,则x2-4=0,x2+3x+2=0,此时(x2-4)+(x2+3x+2)i=0,不是纯虚数,故②错误.显然,③正确.故选B.4、若复数(a2-3a+2)+(a-1)i是纯虚数,则实数a的值为______.【解析】因为复数(a2-3a+2)+(a-1)i是纯虚数,所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2-3a+2=0,,a-1≠0,))解得a=2.5、已知a为实数,若复数为纯虚数,则________.【解析】若复数是纯虚数,则,解得.故答案为:.6、若是纯虚数,则(
)A.或2 B.2 C. D.3【解析】是纯虚数,,解得:.故选:C.7、若z=(m2+6)+(2)i为纯虚数,则实数m的值为________.【解析】为纯虚数,则,解得,故答案为:.8、若复数(a,b为实数)则“”是“复数z为纯虚数”的(
)A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件【解析】根据复数的概念,当且时,复数z为纯虚数,反之,当复数z为纯虚数时,且所以“”是“复数z为纯虚数”的必要不充分条件故选:B9、已知复数,,则“”是“为纯虚数”的______条件.(填写“充要”、“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分也不必要”中的一个)【解析】当时,为纯虚数,充分性成立,若纯虚数,则,解得,必要性成立,∴“”是“为纯虚数”的充要条件.故答案为:充要.10、使不等式成立的实数______.【解析】因为,所以,解得或;解得或;解得综上可得故答案为:11、已知=-4a+1+(2a2+3a)i,=2a+(a2+a)i,其中,,则a的值为(
)A.0 B.-1C. D.【解析】由,可知两个复数均为实数,即其虚部为零,故,即,解得a=0.故选:A.12、实数m分别为何值时,复数是(1)实数;(2)虚数;(3)纯虚数.【解析】复数.(1)要使z为实数,只需,解得:m=0或m=3;(2)要使z为虚数,只需,解得:且;(3)要使z为纯虚数,只需,解得:m=2.13、已知复数z=(m2+5m+6)+(m2-2m-15)i(m∈R).(1)若复数z是实数,求实数m的值;(2)若复数z是虚数,求实数m的取值范围;(3)若复数z是纯虚数,求实数m的值;(4)若复数z是0,求实数m的值.【解析】(1)当m2-2m-15=0时,复数z为实数,所以m=5或-3.(2)当m2-2m-15≠0时,复数z为虚数.所以m≠5且m≠-3.所以实数m的取值范围为{m|m≠5且m≠-3}.(3)当时,复数z是纯虚数,所以m=-2.(4)当时,复数z是0,所以m=-3.14、当实数m分别为何值时,(1)复数是:实数?虚数?(2)复数纯虚数?【解析】(1)若
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