高三数学一轮复习题型与战法精准训练(新高考专用)10.4.1随机变量及其分布列(题型战法)(原卷版+解析)

第十章计数原理与概率、随机变量及其分布列10.4.1随机变量及其分布列（题型战法）知识梳理一离散型随机变量的分布列一般地，当离散型随机变量X的取值范围是{x1，x2，…，xn}时，如果对任意k∈{1，2，…，n}，概率P(X=xk)=pk都是已知的，则称X的概率分布是已知的.离散型随机变量X的概率分布可以用如下形式的表格表示，这个表格称为X的概率分布或分布列.Xx1x2…xk…xnPp1p2…pk…pn二二项分布与超几何分布1.独立重复试验在相同条件下重复做n次伯努利试验时，人们总是约定这n次试验是互相独立的，此时这n次伯努利试验也常称为n次独立重复试验.2.二项分布一般地，如果一次伯努利试验中，出现“成功”的概率为p，记q=1-p，且n次独立重复试验中出现“成功”的次数为X，则X的取值范围是{0，1，2，…，k，…，n}，而且P(X=k)=，k=0，1，2，…，n，X的分布列为：01⋯k⋯n⋯⋯X服从参数为n，p的二项分布，记作X～B(n，p)3．超几何分布一般地，若有总数为N件的甲、乙两类物品，其中甲类有M件(M<N)，从所有物品中随机取出n件(n≤N)，则这n件中所含甲类物品数X是一个离散型随机变量，X能取不小于t且不大于s的所有自然数，其中s是M与n中的较小者，t在n不大于乙类物品件数(即n≤N-M)时取0，否则t取n减乙类物品件数之差(即t=n-(N-M))，而且P(X=k)=，k=t，t+1，…，s，这里的X称为服从参数N，n，M的超几何分布，记作X~H(N，n，M).如果X~H(N，n，M)且n+M-N≤0，则X能取所有不大于s的自然数，此时X的分布列如下表:01⋯k⋯s⋯⋯三随机变量的数字特征1、均值（1）定义：一般地，由离散型随机变量X的分布列E(X)=x1p1+x2p2+…+xnpn=xipi为离散型随机变量X的均值或数学期望(简称为期望).（2）常见的均值=1\*GB3①若离散型随机变量X服从参数为n和p的二项分布，即X~B(n，p)，则E(X)=np.=2\*GB3②若离散型随机变量X服从参数为N，n，M的超几何分布，即X~H(N，n，M)，则E(X)=（3）性质：已知X是一个随机变量，设都是实数且则Y+也是一个随机变量，那么，EY=aEX+b.2.方差（1）定义：由离散型随机变量X的分布列D(X)=[x1−E(X)]2p1+[x2−E(X)]2p2（2）常见的方差=1\*GB3①若离散型随机变量X服从参数为n和p的二项分布，即X~B(n，p)，则D(X)=np（1-p）.（3）性质：已知X是一个随机变量，设都是实数且则Y+也是一个随机变量，那么，DY=a2四正态分布1.正态曲线(1)定义:一般地，函数φ(x)=对应的图像称为正态曲线(也称“钟形曲线”，φ(x)也常记为φμ，σ(x).其中μ=E(X)，即X的均值;σ=，即X的标准差.(2)正态曲线的性质=1\*GB3①正态曲线关于x=μ对称(即μ决定正态曲线对称轴的位置)，具有中间高、两边低的特点;=2\*GB3②正态曲线与x轴所围成的图形面积为1;=3\*GB3③σ决定正态曲线的“胖瘦”:σ越大，说明标准差越大，数据的集中程度越弱，所以曲线越“胖”;σ越小，说明标准差越小，数据的集中程度越强，所以曲线越“瘦”.2．正态分布如果随机变量X落在区间[a，b]内的概率，总等于对应的正态曲线φμ，σ(x)与x轴在区间[a，b]内围成的面积，则称X服从参数为μ和σ的正态分布，记作X~N(μ，σ2).μ是X的平均值，σ是X的标准差，σ2是X的方差.由正态曲线的性质及前面例题可知，如果X~N(μ，σ2)，那么P(X≤μ)=P(X≥μ)=0.5，P(|X–μ|≤σ)=P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈68.3％，P(|X–μ|≤2σ)=P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈95.4％，P(|X–μ|≤3σ)=P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈99.7％.题型战法题型战法一离散型随机变量及其分布列典例1．设离散形随机变量X的分布列为X01234P0.20.10.10.30.3若随机变量，则等于（

）A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7变式1-1．设随机变量X的分布列如下表所示，且，则等于（

）X0123P0.1ab0.1A． B． C． D．变式1-2．已知随机变量X的分布列如下表：X012Pnm若，则（

）A．6 B．7 C．20 D．21变式1-3．随机变量的分布列如下：若，则的值是（

）X01PaA． B．1 C．2 D．3变式1-4．小林从A地出发去往B地，1小时内到达的概率为0.4，1小时10分到达的概率为0.3，1小时20分到达的概率为0.3.现规定1小时内到达的奖励为200元，若超过1小时到达，则每超过1分钟奖励少2元.设小林最后获得的奖励为X元，则（

）A．176 B．182 C．184 D．186典例2．甲，乙两位同学组队去参加答题拿小豆的游戏，规则如下：甲同学先答2道题，至少答对一题后，乙同学才有机会答题，同样也是两次机会.每答对一道题得10粒小豆.已知甲每题答对的概率均为，乙第一题答对的概率为，第二题答对的概率为.若乙有机会答题的概率为.(1)求;(2)求甲，乙共同拿到小豆数量的分布列及期望.变式2-1．第24届冬季奥林匹克运动会于2022年2月4日至20日在北京和张家口举行，而北京也成为全球唯一主办过夏季奥运会和冬季奥运会的双奥之城.某学校为了庆祝北京冬奥会的召开，特举行奥运知识竞赛.参加的学生从夏奥知识题中抽取2题，冬奥知识题中抽取1题回答，已知学生（含甲）答对每道夏奥知识题的概率为，答对每道冬奥知识题的概率为，每题答对与否不影响后续答题.(1)学生甲恰好答对两题的概率是多少？(2)求学生甲答对的题数的分布列和数学期望.变式2-2．甲､乙两名同学与同一台智能机器人进行象棋比赛，计分规则如下：在一轮比赛中，如果甲赢而乙输，则甲得1分；如果甲输而乙赢，则甲得分；如果甲和乙同时赢或同时输，则甲得0分.设甲赢机器人的概率为0.6，乙赢机器人的概率为0.5.求：(1)在一轮比赛中，甲的得分的分布列；(2)在两轮比赛中，甲的得分的分布列及期望.变式2-3．如图，小明家住H小区，他每天早上骑自行车去学校C上学，从家到学校有，两条路线，路线上有，，三个路口，每个路口遇到红灯的概率均为；路线上有，两个路口，且，路口遇到红灯的概率分别为，.(1)若走路线，求遇到3次红灯的概率；(2)若走路线，变量X表示遇到红灯次数，求X的分布列及数学期望.变式2-4．为了丰富学生的课外活动，某校举办“最强中学生”知识竞赛活动.经过前期的预赛和半决赛，最终甲､乙两个班级进人决赛.决赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局.三个项目比赛结束后，总得分高的班级获得冠军.已知甲班级在三个项目中获胜的概率分别为，各项目的比赛结果相互独立.(1)求甲班级获得冠军的概率；(2)用表示乙班级的总得分，求的分布列与期望.题型战法二二项分布典例3．已知随机变量，Y服从两点分布，，，则（

）A．0.2 B．0.4 C．0.6 D．0.8变式3-1．设随机变量，，若，则（

）A． B． C． D．变式3-2．假设某射手每次射击命中率相同，且每次射击之间相互没有影响.若在两次射击中至多命中一次的概率是，则该射手每次射击的命中率为（

）A． B． C． D．变式3-3．将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落．小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入袋或袋中．已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是，则小球落入袋中的概率为（

）A． B． C． D．变式3-4．若，则取得最大值时，（

）A．4或5 B．5或6 C．10 D．5典例4．为保护学生视力，让学生在学校专心学习，促进学生身心健康发展，教育部于2021年1月15日下发文件《关于加强中小学生手机管理工作的通知》，几对中小学生的手机使用和管理作出了相关的规定．某中学研究型学习小组调查研究“中学生每日使用手机的时间”．从该校学生中随机选取了100名学生，调查得到如下表所示的统计数据．时间人数630351064(1)从该校任选1名学生，估计该学生每日使用手机的时间小于36min的概率；(2)估计该校所有学生每日使用手机的时间t的中位数；(3)以频率估计概率，若在该校学生中随机挑选3人，记这3人每日使用手机的时间在的人数为随机变量，求的分布列和数学期望．变式4-1．在一个计算机网络服务器系统中，每一个设备能正常工作的概率称为设备的可靠度.(1)若该系统采用的是“一用两备”（即一台正常设备，两台备用设备）的配置，这三台设备中，只要有一台能正常工作，该网络就不会断掉.设三台设备的可靠度均为0.9，它们之间相互不影响.求能正常工作的设备数X的分布和数学期望；(2)若该网络中每台设备的可靠度是0.7，根据以往经验可知，计算机网络断掉可能带来约50万的经济损失.为减少经济损失，有以下两种方案：方案1：更换部分设备的硬件，使得每台设备的可靠度维持在0.9，更新设备硬件总费用为8万元；方案2：对系统的设备进行维护，使得设备可靠度维持在0.8，设备维护总费用为5万元.请从期望损失最小的角度判断决策部门该如何决策？变式4-2．青花釉里红，俗称“青花加紫”，是我国珍贵的瓷器品种之一．釉里红的烧制工艺难度较大，因此烧制成功率较低假设釉里红瓷器开窑后经检验分为成品和废品两类，从某工匠烧制的一批釉里红瓷器中，有放回地抽取两次，每次随机抽取1件，取出的2件瓷器中至多有1件是成品的概率为．记从该批瓷器中任取1件是成品的概率为p．(1)求p的值．(2)假设该工匠烧制的任意1件这种瓷器是成品的概率均为p，且每件瓷器的烧制相互独立，这种瓷器成品每件利润为10万元，废品的利润为0元．现他烧制3件这种资器，设这3件瓷器的总利润为X万元，求X的分布列及数学期望．变式4-3．某中学面向全校所有学生开展一项有关每天睡眠时间的问卷调查，调查结果显示，每天睡眠时间少于7小时的学生占到，而每天睡眠时间不少于8小时的学生只有．现从所有问卷中随机抽取4份问卷进行回访（视频率为概率）．(1)求抽取到的问卷中至少有两份调查结果为睡眠时间不少于7小时的概率；(2)记抽取到的问卷中调查结果为少于7小时的份数为，求的概率分布及数学期望．变式4-4．《关于加快推进生态文明建设的意见》，正式把“坚持绿水青山就是金山银山”的理念写进中央文件，成为指导中国加快推进生态文明建设的重要指导思想．为响应国家号召，某市2020年植树节期间种植了一批树苗，2022年市园林部门从这批树苗中随机抽取100棵进行跟踪检测，得到树高的频率分布直方图如图所示：(1)求树高在225-235cm之间树苗的棵数，并求这100棵树苗树高的平均值；(2)若将树高以等级呈现，规定：树高在185-205cm为合格，在205-235为良好，在235-265cm为优秀．视该样本的频率分布为总体的频率分布，若从这批树苗中机抽取3棵，求树高等级为优秀的棵数的分布列和数学期望．题型战法三超几何分布典例5．设10件同类型的零件中有2件是不合格品，从其中任取3件，以X表示取出的3件中的不合格的件数，则（

）A． B． C． D．变式5-1．已知6件产品中有2件次品，4件正品，检验员从中随机抽取3件进行检测，记取到的正品数为X，则（

）A．2 B．1 C． D．变式5-2．工厂为赶上618的电商大促，甲车间连夜生产了10个产品，其中有6个正品和4个次品，若从中任意抽取4个，则抽到的正品数比次品数少的概率为（

）A． B． C． D．变式5-3．甲同学参加青年志愿者的选拔，选拔以现场答题的方式进行，已知在备选的8道试题中，甲能答对其中的4道题，规定每次考试都从备选题中随机抽出4道题进行测试，设甲答对的试题数为X，则的概率为（

）A． B． C． D．变式5-4．含有海藻碘浓缩液的海藻碘盐，是新一代的碘盐产品．海藻中的碘80%为无机碘，10%~20%为有机碘，海藻碘盐兼备无机碘和有机碘的优点．某超市销售的袋装海藻碘食用盐的质量X（单位：克）服从正态分布，某顾客购买了4袋海藻碘食用盐，则至少有2袋的质量超过400克的概率为（

）A． B． C． D．典例6．为发展业务，某调研组对A，B两个公司的扫码支付情况进行调查，准备从国内个人口超过1000万的超大城市和8个人口低于100万的小城市中随机抽取若干个进行统计.若一次抽取2个城市，全是小城市的概率为.(1)求n的值；(2)若一次抽取4个城市，①假设抽取出的小城市的个数为X，求X的可能值及相应的概率；②若抽取的4个城市是同一类城市，求全为超大城市的概率.变式6-1．某校高一、高二的学生组队参加辩论赛，高一推荐了3名男生、2名女生，高二推荐了3名男生、4名女生．推荐的学生一起参加集训，最终从参加集训的男生中随机抽取3人，女生中随机抽取3人组成代表队．(1)求高一至少有1名学生入选代表队的概率；(2)某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，设X表示参赛的男生人数，求X的分布列．变式6-2．某工厂流水线检测员每天随机从流水线上抽取100件新生产的产品进行检测，某日抽取的100件产品的级别情况如柱状图所示：(1)根据样本估计总体的思想，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率.若从出厂的所有产品中随机取出3件，求至少有一件产品是一级品的概率；(2)现从样本产品中利用分层抽样的方法随机抽取10件产品，再从这10件产品中任意抽取3件，设取到二级品的件数为，求随机变量的分布列.变式6-3．中国北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统，作为国家战略性空间基础设施，我国北斗卫星导航系统不仅对国防安全意义重大，而且在民用领域的精准化应用也越来越广泛.2020年6月23日，中国第55颗北斗导航卫星成功发射标志着拥有全部知识产权的北斗卫星导航系统全面建成．据统计，2019年卫星导航与位置服务产业总产值达到亿元，较2018年约增长．从全球应用北斗卫星的城市中选取了个城市进行调研，上图是这个城市北斗卫星导航系统与位置服务产业的产值（单位：万元）的频率分布直方图．(1)根据频率分布直方图，求产值小于万元的调研城市个数；(2)在上述抽取的个城市中任取个，设为产值不超过万元的城市个数，求的分布列及期望和方差．(3)把频率视为概率，从全球应用北斗卫星的城市中任取个城市，求恰有个城市的产值超过万元的概率．变式6-4．某单位为丰富员工的业余生活，利用周末开展趣味野外拉练，此次拉练共分，，三大类，其中类有3个项目，每项需花费1小时，类有2个项目，每项需花费2小时，类有1个项目，每项需花费3小时.要求每位员工从中选择3个项目，每个项目的选择机会均等.(1)求小张在三类中各选1个项目的概率；(2)设小张所选3个项目花费的总时间为小时，求的分布列及期望.题型战法四正态分布典例7．甲、乙两类水果的质量（单位：kg）分别服从正态分布，，其相应的分布密度曲线如图所示，则下列说法正确的是（

）（注：正态曲线的函数解析式为，）A．甲类水果的平均质量B．乙类水果质量比甲类水果质量更集中于均值左右C．甲类水果平均质量比乙类水果平均质量大D．乙类水果的质量服从的正态分布的参数变式7-1．李明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到，假设坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布，．X和Y的分布密度曲线如图所示．则下列结果正确的是（

）A． B．C． D．变式7-2．已知随机变量，则的值约为（

）附：若，则，，A． B． C． D．变式7-3．小明通过调查研究发现，网络游戏《王者荣耀》每一局时长X（单位：分钟）近似满足．根据相关规定，所有网络游戏企业仅可在周五、周六、周日和法定节假日每日20时至21时向未成年人提供1小时网络游戏服务．小明还未成年，他在周五晚上20：45想打一局游戏，那么根据他的调查结果，他能正常打完一局比赛的概率为（

）（参考数据：，，）A．0.8414 B．0.1587 C．0.9773 D．0.0228变式7-4．若随机变量从正态分布，则，．现有40000人参加语文考试，成绩大致服从正态分布，则可估计本次语文成绩在116分以上的学生人数为（

）A．3640 B．1820 C．910 D．455典例8．为了响应2022年全国文明城市建设的号召，某市文明办对市民进行了一次文明创建知识的网络问卷调查，每一位市民仅有一次参加机会.该市文明办随机抽取了人的得分（满分：分），统计结果如下表所示：组别频数(1)若此次调查问卷的得分服从正态分布，近似等于样本的平均成绩（同一组数据用该组区间的中点值代替），求；(2)该市文明办为鼓励市民积极参与调查问卷，规定：调查问卷得分不低于的可以用本人手机随机抽取次手机话费奖励，次抽取互不影响，有三种话费奖励金额，每种金额每次被抽到的概率如下表：话费金额/元如果某市民参加调查问卷的得分不低于，记“该市民获得手机话费奖励总金额为”.（i）求时的概率；（ii）证明：.参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，.变式8-1．某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况.随机抽取该流水线上的40件产品作为样本并称出它们的质量（单位：克），质量的分组区间为，，…，，由此得到样本的频率分布直方图，如图所示.(1)根据频率分布直方图，求质量超过505克的产品数量和样本平均值；(2)由样本估计总体，结合频率分布直方图，近似认为该产品的质量指标值服从正态分布，其中近似为（1）中的样本平均值，计算该批产品质量指标值ξ⩾499.25的概率；(3)从该流水线上任取2件产品，设为质量超过505克的产品数量，求的分布列和数学期望.附；若，则Pμ−σ<ξ≤u+σ≈0.6827，Pμ−2σ<ξ变式8-2．为了切实维护居民合法权益，提高居民识骗防骗能力，守好居民的“钱袋子”，某社区开展“全民反诈在行动——反诈骗知识竞赛”活动，现从参加该活动的居民中随机抽取了100名，统计出他们竞赛成绩分布如下：成绩（分）人数242240284(1)求抽取的100名居民竞赛成绩的平均分和方差（同一组中数据用该组区间的中点值为代表）；(2)以频率估计概率，发现该社区参赛居民竞赛成绩X近似地服从正态分布，其中近似为样本成绩平均分，近似为样本成缋方差，若，参赛居民可获得“参赛纪念证书”；若，参赛居民可获得“反诈先锋证书”，①若该社区有3000名居民参加本次竞赛活动，试估计获得“参赛纪念证书”的居民人数（结果保留整数）；②试判断竞赛成绩为96分的居民能否获得“反诈先锋证书”．附：若，则，，．变式8-3．天和核心舱是我国目前研制的最大航天器，同时也是我国空间站的重要组成部分．2021年6月17日，神舟十二号载人飞船搭载着聂海胜、刘伯明和杨洪波三名宇航员升空并顺利“入住”天和核心舱．这是中国人首次进入自己的空间站，这也标志着中国载人航天事业迈入了一个新的台阶．为了能顺利的完成航天任务，挑选航天员的要求非常严格．经过统计，在挑选航天员的过程中有一项必检的身体指标服从正态分布，航天员在此项指标中的要求为．某学校共有1000名学生，为了宣传这一航天盛事，特意在本校举办了航天员的模拟选拔活动．学生首先要进行上述指标的筛查，对于符合要求的学生再进行4个环节选拔，且仅在通过一个环节后，才能进行到下一个环节的选拔．假设学生通过每个环节的概率均为，且相互独立．(1)设学生甲通过筛查后在后续的4个环节中参与的环节数量为X，请计算X的分布列与数学期望；(2)请估计符合该项指标的学生人数（结果取整数）．以该人数为参加航天员选拔活动的名额，请计算最终通过学校选拔的人数Y的期望值．参考数值：，，．变式8-4．某工厂为检验车间一生产线工作是否正常，现从生产线中随机抽取一批零件样本，测量它们的尺寸（单位：mm）并绘成频率分布直方图，如图所示．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件尺寸服从正态分布，其中近似为零件样本平均数，近似为零件样本方差．(1)求这批零件样本的和的值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；(2)假设生产状态正常，求；(3)若从生产线中任取一零件，测量其尺寸为30mm，根据原则判断该生产线工作是否正常．附：；若，则，，．第十章计数原理与概率、随机变量及其分布列10.4.1随机变量及其分布列（题型战法）知识梳理一离散型随机变量的分布列一般地，当离散型随机变量X的取值范围是{x1，x2，…，xn}时，如果对任意k∈{1，2，…，n}，概率P(X=xk)=pk都是已知的，则称X的概率分布是已知的.离散型随机变量X的概率分布可以用如下形式的表格表示，这个表格称为X的概率分布或分布列.Xx1x2…xk…xnPp1p2…pk…pn二二项分布与超几何分布1.独立重复试验在相同条件下重复做n次伯努利试验时，人们总是约定这n次试验是互相独立的，此时这n次伯努利试验也常称为n次独立重复试验.2.二项分布一般地，如果一次伯努利试验中，出现“成功”的概率为p，记q=1-p，且n次独立重复试验中出现“成功”的次数为X，则X的取值范围是{0，1，2，…，k，…，n}，而且P(X=k)=，k=0，1，2，…，n，X的分布列为：01⋯k⋯n⋯⋯X服从参数为n，p的二项分布，记作X～B(n，p)3．超几何分布一般地，若有总数为N件的甲、乙两类物品，其中甲类有M件(M<N)，从所有物品中随机取出n件(n≤N)，则这n件中所含甲类物品数X是一个离散型随机变量，X能取不小于t且不大于s的所有自然数，其中s是M与n中的较小者，t在n不大于乙类物品件数(即n≤N-M)时取0，否则t取n减乙类物品件数之差(即t=n-(N-M))，而且P(X=k)=，k=t，t+1，…，s，这里的X称为服从参数N，n，M的超几何分布，记作X~H(N，n，M).如果X~H(N，n，M)且n+M-N≤0，则X能取所有不大于s的自然数，此时X的分布列如下表:01⋯k⋯s⋯⋯三随机变量的数字特征1、均值（1）定义：一般地，由离散型随机变量X的分布列E(X)=x1p1+x2p2+…+xnpn=xipi为离散型随机变量X的均值或数学期望(简称为期望).（2）常见的均值=1\*GB3①若离散型随机变量X服从参数为n和p的二项分布，即X~B(n，p)，则E(X)=np.=2\*GB3②若离散型随机变量X服从参数为N，n，M的超几何分布，即X~H(N，n，M)，则E(X)=（3）性质：已知X是一个随机变量，设都是实数且则Y+也是一个随机变量，那么，EY=aEX+b.2.方差（1）定义：由离散型随机变量X的分布列D(X)=[x1−E(X)]2p1+[x2−E(X)]2p2（2）常见的方差=1\*GB3①若离散型随机变量X服从参数为n和p的二项分布，即X~B(n，p)，则D(X)=np（1-p）.（3）性质：已知X是一个随机变量，设都是实数且则Y+也是一个随机变量，那么，DY=a2四正态分布1.正态曲线(1)定义:一般地，函数φ(x)=对应的图像称为正态曲线(也称“钟形曲线”，φ(x)也常记为φμ，σ(x).其中μ=E(X)，即X的均值;σ=，即X的标准差.(2)正态曲线的性质=1\*GB3①正态曲线关于x=μ对称(即μ决定正态曲线对称轴的位置)，具有中间高、两边低的特点;=2\*GB3②正态曲线与x轴所围成的图形面积为1;=3\*GB3③σ决定正态曲线的“胖瘦”:σ越大，说明标准差越大，数据的集中程度越弱，所以曲线越“胖”;σ越小，说明标准差越小，数据的集中程度越强，所以曲线越“瘦”.2．正态分布如果随机变量X落在区间[a，b]内的概率，总等于对应的正态曲线φμ，σ(x)与x轴在区间[a，b]内围成的面积，则称X服从参数为μ和σ的正态分布，记作X~N(μ，σ2).μ是X的平均值，σ是X的标准差，σ2是X的方差.由正态曲线的性质及前面例题可知，如果X~N(μ，σ2)，那么P(X≤μ)=P(X≥μ)=0.5，P(|X–μ|≤σ)=P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈68.3％，P(|X–μ|≤2σ)=P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈95.4％，P(|X–μ|≤3σ)=P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈99.7％.题型战法题型战法一离散型随机变量及其分布列典例1．设离散形随机变量X的分布列为X01234P0.20.10.10.30.3若随机变量，则等于（

）A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7【答案】A【分析】直接利用，即可求解.【详解】因为，所以．故选：A．变式1-1．设随机变量X的分布列如下表所示，且，则等于（

）X0123P0.1ab0.1A． B． C． D．【答案】A【分析】根数学期望的公式，结合概率的性质求解即可【详解】由分布列的性质可得，，即①，，，即②，联立①②解得，，故．故选：A．变式1-2．已知随机变量X的分布列如下表：X012Pnm若，则（

）A．6 B．7 C．20 D．21【答案】D【分析】先由概率和为1以及求出，再计算，由方差的性质计算即可.【详解】由题可知，解得．则，所以．故选：D.变式1-3．随机变量的分布列如下：若，则的值是（

）X01PaA． B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】利用分布列的性质，求得，结合公式求得随机变量的期望，进而求得随机变量的期望.【详解】由题可得，∴，∴，∴，故选：C．变式1-4．小林从A地出发去往B地，1小时内到达的概率为0.4，1小时10分到达的概率为0.3，1小时20分到达的概率为0.3.现规定1小时内到达的奖励为200元，若超过1小时到达，则每超过1分钟奖励少2元.设小林最后获得的奖励为X元，则（

）A．176 B．182 C．184 D．186【答案】B【分析】根据已知条件求出随机变量X的分布列，利用分布列即可求出随机变量的X的均值.【详解】依题意可得X的可能值为200，180，160.，，，X的分布列为2001801600.40.30.3所以.故选：B.典例2．甲，乙两位同学组队去参加答题拿小豆的游戏，规则如下：甲同学先答2道题，至少答对一题后，乙同学才有机会答题，同样也是两次机会.每答对一道题得10粒小豆.已知甲每题答对的概率均为，乙第一题答对的概率为，第二题答对的概率为.若乙有机会答题的概率为.(1)求;(2)求甲，乙共同拿到小豆数量的分布列及期望.【答案】(1)(2)分布列见解析，【分析】（1）用对立事件求概率公式进行求解；（2）求出的可能取值，及对应的概率，从而求出分布列，计算出数学期望.（1）由已知得，当甲至少答对1题后，乙才有机会答题.所以乙有机会答题的概率为，解得；（2）X的可能取值为0，10，20，30，40；所以X的分布列为：X010203040P.变式2-1．第24届冬季奥林匹克运动会于2022年2月4日至20日在北京和张家口举行，而北京也成为全球唯一主办过夏季奥运会和冬季奥运会的双奥之城.某学校为了庆祝北京冬奥会的召开，特举行奥运知识竞赛.参加的学生从夏奥知识题中抽取2题，冬奥知识题中抽取1题回答，已知学生（含甲）答对每道夏奥知识题的概率为，答对每道冬奥知识题的概率为，每题答对与否不影响后续答题.(1)学生甲恰好答对两题的概率是多少？(2)求学生甲答对的题数的分布列和数学期望.【答案】(1)(2)分布列答案见解析，数学期望：【分析】（1）根据相互独立事件的概率乘法公式即可分两类求解，（2）根据随机变量的取值以及对应事件的概率，即可按步骤求解分布列，进而计算期望.（1）学生甲恰好答对两题的概率.（2）随机变量的可能取值为0，1，2，3，所以，，由（1）知，又，所以的分布列为0123.变式2-2．甲､乙两名同学与同一台智能机器人进行象棋比赛，计分规则如下：在一轮比赛中，如果甲赢而乙输，则甲得1分；如果甲输而乙赢，则甲得分；如果甲和乙同时赢或同时输，则甲得0分.设甲赢机器人的概率为0.6，乙赢机器人的概率为0.5.求：(1)在一轮比赛中，甲的得分的分布列；(2)在两轮比赛中，甲的得分的分布列及期望.【答案】(1)分布列见解析(2)分布列见解析，【分析】（1）依题意可得的可能取值为，，，利用相互独立事件的概率公式求出所对应的概率，即可得到分布列；（2）依题意可得的可能取值为，，，，，利用相互独立事件的概率公式求出所对应的概率，即可得到分布列及数学期望；（1）解：依题意可得的可能取值为，，，所以，，，所以的分布列为01（2）解：依题意可得的可能取值为，，，，，所以，，，，，所以的分布列为0120.040.20.370.30.09所以．变式2-3．如图，小明家住H小区，他每天早上骑自行车去学校C上学，从家到学校有，两条路线，路线上有，，三个路口，每个路口遇到红灯的概率均为；路线上有，两个路口，且，路口遇到红灯的概率分别为，.(1)若走路线，求遇到3次红灯的概率；(2)若走路线，变量X表示遇到红灯次数，求X的分布列及数学期望.【答案】(1)(2)分布列答案见解析，数学期望：【分析】（1）根据独立事件的乘法公式计算即可；（2）依题意，X的可能取值为，分别求出它们的概率后计算即可.（1）设“走路线遇到3次红灯”为事件A，则.（2）依题意，X的可能取值为.则,；.随机变量X的分布列为：X012P.变式2-4．为了丰富学生的课外活动，某校举办“最强中学生”知识竞赛活动.经过前期的预赛和半决赛，最终甲､乙两个班级进人决赛.决赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局.三个项目比赛结束后，总得分高的班级获得冠军.已知甲班级在三个项目中获胜的概率分别为，各项目的比赛结果相互独立.(1)求甲班级获得冠军的概率；(2)用表示乙班级的总得分，求的分布列与期望.【答案】(1)(2)分布列答案见解析，数学期望：【分析】（1）利用独立事件概率公式求解即可.（2）首先根据题意得到的可能取值为，再列出分布列求出数学期望即可.(1)设甲班级在三个项目中获胜的事件依次记为，所以甲班级获得冠军的概率为(2)依题可知，的可能取值为，所以，即分布列为0102030期望.题型战法二二项分布典例3．已知随机变量，Y服从两点分布，，，则（

）A．0.2 B．0.4 C．0.6 D．0.8【答案】C【分析】利用二项分布的概率公式可求p,然后利用两点分布概率公式计算可得结果.【详解】随机变量,，解得（舍去，注意：），．故选:C．变式3-1．设随机变量，，若，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】先建立方程求出，再计算即可.【详解】解：因为随机变量，，所以，则，因为，即，解得随机变量中，，故选：A【点睛】本题考查二项分布概率公式，是基础题.变式3-2．假设某射手每次射击命中率相同，且每次射击之间相互没有影响.若在两次射击中至多命中一次的概率是，则该射手每次射击的命中率为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】设该射手射击命中的概率为，两次射击命中的次数为，由可得答案.【详解】设该射手射击命中的概率为，两次射击命中的次数为，则，由题可知：，即，解得.故选：C.变式3-3．将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落．小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入袋或袋中．已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是，则小球落入袋中的概率为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用二项分布概率公式计算即得.【详解】由于小球每次遇到黑色障碍物时，有一次向左和两次向右或两次向左和一次向右下落时，小球将落入A袋，所以．故选：C．变式3-4．若，则取得最大值时，（

）A．4或5 B．5或6 C．10 D．5【答案】D【分析】根据二项分布的概率公式得到，再根据组合数的性质判断即可；【详解】解：因为，所以，由组合数的性质可知当时取得最大值，即取得最大值，所以；故选：D典例4．为保护学生视力，让学生在学校专心学习，促进学生身心健康发展，教育部于2021年1月15日下发文件《关于加强中小学生手机管理工作的通知》，几对中小学生的手机使用和管理作出了相关的规定．某中学研究型学习小组调查研究“中学生每日使用手机的时间”．从该校学生中随机选取了100名学生，调查得到如下表所示的统计数据．时间人数630351064(1)从该校任选1名学生，估计该学生每日使用手机的时间小于36min的概率；(2)估计该校所有学生每日使用手机的时间t的中位数；(3)以频率估计概率，若在该校学生中随机挑选3人，记这3人每日使用手机的时间在的人数为随机变量，求的分布列和数学期望．【答案】(1)；(2)；(3)分布列见解析，.【分析】（1）由频率估计概率即得；（2）设中位数为，由中位数定义知，即得；（3）由题可得，然后利用二项分布的概率公式可得概率，进而可得分布列及期望.（1）由表格数据可知：学生每日使用手机的时间小于36min共有人，所求概率；（2）设中位数为，由表格数据知：使用手机的时间小于分钟的频率为，使用手机的时间小于分钟的频率为，故，，解得：，即估计该校所有学生每日使用手机的时间t的中位数为；（3）由题可得学生每日使用手机的时间在内的概率为，则，所以,,,,所以的分布列为：0123所以.变式4-1．在一个计算机网络服务器系统中，每一个设备能正常工作的概率称为设备的可靠度.(1)若该系统采用的是“一用两备”（即一台正常设备，两台备用设备）的配置，这三台设备中，只要有一台能正常工作，该网络就不会断掉.设三台设备的可靠度均为0.9，它们之间相互不影响.求能正常工作的设备数X的分布和数学期望；(2)若该网络中每台设备的可靠度是0.7，根据以往经验可知，计算机网络断掉可能带来约50万的经济损失.为减少经济损失，有以下两种方案：方案1：更换部分设备的硬件，使得每台设备的可靠度维持在0.9，更新设备硬件总费用为8万元；方案2：对系统的设备进行维护，使得设备可靠度维持在0.8，设备维护总费用为5万元.请从期望损失最小的角度判断决策部门该如何决策？【答案】(1)分布列见解析，(2)应选择方案2【分析】（1）由题意可知，根据二项分布求出所对应的概率，即可得到分布列，再根据二项分布的期望公式计算可得；（2）分别计算两种方案的损失期望值，即可做出决策．（1）解：为正常工作的设备数，由题意可知.所以，，，，从而的分布列为：0123由，则；（2）解：设方案1、方案2的总损失分别为，，采用方案1，更换部分设备的硬件，使得设备可靠度达到，由（1）可知计算机网络断掉的概率为，不断掉的概率为，所以元；采用方案2，对系统的设备进行维护，使得设备可靠度维持在，可知计算机网络断掉的概率为，故元.因此，从期望损失最小的角度，决策部门应选择方案2.变式4-2．青花釉里红，俗称“青花加紫”，是我国珍贵的瓷器品种之一．釉里红的烧制工艺难度较大，因此烧制成功率较低假设釉里红瓷器开窑后经检验分为成品和废品两类，从某工匠烧制的一批釉里红瓷器中，有放回地抽取两次，每次随机抽取1件，取出的2件瓷器中至多有1件是成品的概率为．记从该批瓷器中任取1件是成品的概率为p．(1)求p的值．(2)假设该工匠烧制的任意1件这种瓷器是成品的概率均为p，且每件瓷器的烧制相互独立，这种瓷器成品每件利润为10万元，废品的利润为0元．现他烧制3件这种资器，设这3件瓷器的总利润为X万元，求X的分布列及数学期望．【答案】(1)(2)分布列见解析，【分析】（1）根据独立事件的乘法公式即可求解；（2）根据二项分布的概率公式即可求解分布列以及期望.(1)设A表示事件“取出的2件瓷器中至多有1件是成品”，表示事件“取出的2件瓷器中无成品”，表示事件“取出的2件瓷器中恰有1件是成品”，则，解得．(2)设这3件中成品的件数为Y．由题可知．因为，所以，，，，所以X的分布列为X0102030P所以．变式4-3．某中学面向全校所有学生开展一项有关每天睡眠时间的问卷调查，调查结果显示，每天睡眠时间少于7小时的学生占到，而每天睡眠时间不少于8小时的学生只有．现从所有问卷中随机抽取4份问卷进行回访（视频率为概率）．(1)求抽取到的问卷中至少有两份调查结果为睡眠时间不少于7小时的概率；(2)记抽取到的问卷中调查结果为少于7小时的份数为，求的概率分布及数学期望．【答案】(1)(2)分布列见解析，数学期望【分析】（1）根据题意得每位学生每天睡眠时间少于7小时的概率为，每位学生每天睡眠时间不少于7小时的概率为，所以所求事件概率为；（2）根据题意可知，随机变量服从二项分布，分别求概率，得到分布列，再求期望即可.（1）根据题意可知每位学生每天睡眠时间少于7小时的概率为，每位学生每天睡眠时间不少于7小时的概率为，所以4份问卷中至少有两份结果为睡眠时间不少于7小时的概率为：．（2）根据题意可知，则，，，，，所以的分布列为：01234所以．变式4-4．《关于加快推进生态文明建设的意见》，正式把“坚持绿水青山就是金山银山”的理念写进中央文件，成为指导中国加快推进生态文明建设的重要指导思想．为响应国家号召，某市2020年植树节期间种植了一批树苗，2022年市园林部门从这批树苗中随机抽取100棵进行跟踪检测，得到树高的频率分布直方图如图所示：(1)求树高在225-235cm之间树苗的棵数，并求这100棵树苗树高的平均值；(2)若将树高以等级呈现，规定：树高在185-205cm为合格，在205-235为良好，在235-265cm为优秀．视该样本的频率分布为总体的频率分布，若从这批树苗中机抽取3棵，求树高等级为优秀的棵数的分布列和数学期望．【答案】(1)；(2)分布列见解析；期望为【分析】（1）根据频率分布直方图计算可得；（2）首先求出树高为优秀的概率，依题意可知，根据二项分布的概率公式得到分布列，从而求出数学期望；（1）解：树高在225-235cm之间的棵数为：．树高的平均值为：（2）解：由（1）可知，树高为优秀的概率为：，由题意可知，则的所有可能取值为0，1，2，3，，，，，故的分布列为：0123P0.5120.3840.0960.008因为，所以题型战法三超几何分布典例5．设10件同类型的零件中有2件是不合格品，从其中任取3件，以X表示取出的3件中的不合格的件数，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据超几何分布的概率公式求解即可【详解】由题意，故选：A变式5-1．已知6件产品中有2件次品，4件正品，检验员从中随机抽取3件进行检测，记取到的正品数为X，则（

）A．2 B．1 C． D．【答案】A【分析】X服从超几何分布，求出X的分布列，根据数学期望的计算方法计算即可．【详解】X可能取1，2，3，其对应的概率为，，，∴．故选：A变式5-2．工厂为赶上618的电商大促，甲车间连夜生产了10个产品，其中有6个正品和4个次品，若从中任意抽取4个，则抽到的正品数比次品数少的概率为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据题意求得所有可能的情况，再分情况讨论计算正品数比次品数少的情况，进而得到正品数比次品数少的概率即可【详解】由题意可得，从10个产品中任意抽取4个，所有可能的情况有种，其中抽到的正品数比次品数少的情况有：①0个正品，4个次品，共种情况；②1个正品，3个次品，共种情况；故抽到的正品数比次品数少的概率为故选：C变式5-3．甲同学参加青年志愿者的选拔，选拔以现场答题的方式进行，已知在备选的8道试题中，甲能答对其中的4道题，规定每次考试都从备选题中随机抽出4道题进行测试，设甲答对的试题数为X，则的概率为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】依据古典概型去求时的概率【详解】在备选的8道试题中，甲能答对其中的4道题.则从备选题中随机抽出4道题进行测试，答对3道题的概率．故选：D．变式5-4．含有海藻碘浓缩液的海藻碘盐，是新一代的碘盐产品．海藻中的碘80%为无机碘，10%~20%为有机碘，海藻碘盐兼备无机碘和有机碘的优点．某超市销售的袋装海藻碘食用盐的质量X（单位：克）服从正态分布，某顾客购买了4袋海藻碘食用盐，则至少有2袋的质量超过400克的概率为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据X（单位：克）服从正态分布，可得所以每袋盐超过400克的概率为0.5，从而可求得0袋和1袋盐超过400克的概率，再利用对立事件的概率公式即可求出答案.【详解】解：因为某超市销售的袋装海藻碘食用盐的质量X（单位：克）服从正态分布，所以每袋盐超过400克的概率为0.5，不超过400克的概率为0.5，则有0袋盐超过400克的概率为，有1袋盐超过400克的概率为，所以至少有2袋的质量超过400克的概率为.故选：A.典例6．为发展业务，某调研组对A，B两个公司的扫码支付情况进行调查，准备从国内个人口超过1000万的超大城市和8个人口低于100万的小城市中随机抽取若干个进行统计.若一次抽取2个城市，全是小城市的概率为.(1)求n的值；(2)若一次抽取4个城市，①假设抽取出的小城市的个数为X，求X的可能值及相应的概率；②若抽取的4个城市是同一类城市，求全为超大城市的概率.【答案】(1)；(2)①X的可能取值为0，1，2，3，4，相应概率见解析；②.【分析】⑴利用古典概型求概率的公式把一次抽取2个城市全是小城市的概率表示出来，解方程即可；⑵①的分布符合超几何分布，根据超几何分布的概率计算方法求概率即可；②利用条件概率求概率的方法求概率即可.（1）从个城市中一次抽取2个城市，有种情况，其中全是小城市的有种情况，则全是小城市的概率为，解得（负值舍去）.（2）①由题意可知，X的可能取值为0，1，2，3，4，相应的概率分别记为，，，，，.②若抽取的4个城市全是超大城市，共有种情况；若抽取的4个城市全是小城市，共有种情况，所以若抽取的4个城市是同一类城市，则全为超大城市的概率为.变式6-1．某校高一、高二的学生组队参加辩论赛，高一推荐了3名男生、2名女生，高二推荐了3名男生、4名女生．推荐的学生一起参加集训，最终从参加集训的男生中随机抽取3人，女生中随机抽取3人组成代表队．(1)求高一至少有1名学生入选代表队的概率；(2)某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，设X表示参赛的男生人数，求X的分布列．【答案】(1)(2)分布列见解析【分析】（1）利用对立事件求得高一至少有1名学生入选代表队的概率.（2）根据超几何分布的分布列的计算公式，计算出的分布列.（1）高一高二共推荐名男生和名女生，高一没有学生入选代表队的概率为，所以高一至少有1名学生入选代表队的概率为.（2）根据题意得知，X的所有可能取值为1、2、3．，，，所以X的分布列为变式6-2．某工厂流水线检测员每天随机从流水线上抽取100件新生产的产品进行检测，某日抽取的100件产品的级别情况如柱状图所示：(1)根据样本估计总体的思想，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率.若从出厂的所有产品中随机取出3件，求至少有一件产品是一级品的概率；(2)现从样本产品中利用分层抽样的方法随机抽取10件产品，再从这10件产品中任意抽取3件，设取到二级品的件数为，求随机变量的分布列.【答案】(1)；(2)分布列见解析.【分析】（1）根据题意可得抽取的100件产品中一级品的频率是，再根据对立事件的概率公式求解即可；（2）根据超几何分布的概率公式求解即可.（1）由题图可知，抽取的100件产品中一级品的频率是，故从出厂的所有产品中任取1件，该产品是一级品的概率是.设从出厂的所有产品中随机取出3件，至少有一件是一级品的事件为A，则.（2）由题意可知抽取的10件产品中有一级品7件，二级品2件，三级品1件，故的可能取值为0，1，2，，，，∴的分布列为012P变式6-3．中国北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统，作为国家战略性空间基础设施，我国北斗卫星导航系统不仅对国防安全意义重大，而且在民用领域的精准化应用也越来越广泛.2020年6月23日，中国第55颗北斗导航卫星成功发射标志着拥有全部知识产权的北斗卫星导航系统全面建成．据统计，2019年卫星导航与位置服务产业总产值达到亿元，较2018年约增长．从全球应用北斗卫星的城市中选取了个城市进行调研，上图是这个城市北斗卫星导航系统与位置服务产业的产值（单位：万元）的频率分布直方图．(1)根据频率分布直方图，求产值小于万元的调研城市个数；(2)在上述抽取的个城市中任取个，设为产值不超过万元的城市个数，求的分布列及期望和方差．(3)把频率视为概率，从全球应用北斗卫星的城市中任取个城市，求恰有个城市的产值超过万元的概率．【答案】(1)(2)，(3)【分析】（1）根据频率分布直方图直接计算；（2）由（1）可知产值不超过万元的城市个数，利用超几何分布概率公式分别计算概率，可得分布列及期望与方差；（3）由已知可得该分布满足，根据二项分布概率公式直接计算概率.（1）由频率分布直方图可知产值小于万元的频率为，所以产值小于万元的调研城市个数为（个）；（2）由（1）得产值不超过万元的调研城市有个，超过万元的调研城市有（个），所以随机变量的取值可能为，，，所以，，，所以可得分布列期望；方差；（3）由频率分布直方图可知城市的产值超过万元的概率为，设任取个城市中城市的产值超过万元的城市个数为，可知随机变量满足，所以.变式6-4．某单位为丰富员工的业余生活，利用周末开展趣味野外拉练，此次拉练共分，，三大类，其中类有3个项目，每项需花费1小时，类有2个项目，每项需花费2小时，类有1个项目，每项需花费3小时.要求每位员工从中选择3个项目，每个项目的选择机会均等.(1)求小张在三类中各选1个项目的概率；(2)设小张所选3个项目花费的总时间为小时，求的分布列及期望.【答案】(1)(2)分布列见解析，5【分析】（1）利用超几何分布求概率公式进行求解；（2）计算出的可能取值及对应的概率，写出分布列，计算出期望.(1)记事件为在三类中各选1个项目，则，所以小张在三类中各选1个项目的概率为.(2)的可能取值为3，4，5，6，7，则；；；；；所以分布列如下表所示：34567所以.题型战法四正态分布典例7．甲、乙两类水果的质量（单位：kg）分别服从正态分布，，其相应的分布密度曲线如图所示，则下列说法正确的是（

）（注：正态曲线的函数解析式为，）A．甲类水果的平均质量B．乙类水果的质量比甲类水果的质量更集中于均值左右C．甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量大D．乙类水果的质量服从的正态分布的参数【答案】A【分析】根据正态分布的特征可得两者的均值、方差的大小关系，结合正态分布密度曲线可判断D，进而即得.【详解】由题图可知甲图象关于直线对称，乙图象关于直线对称，所以，，，故A正确，C错误；因为甲图象比乙图象更“高瘦”（曲线越“高瘦”，越小，表示总体的分布越集中），所以甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于均值左右，故B错误；因为乙图象的最高点为，即，所以，故D错误．故选：A．变式7-1．李明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到，假设坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布，．X和Y的分布密度曲线如图所示．则下列结果正确的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据给定的正态分布密度曲线，结合正态分布的对称性和性质，逐项判定，即可求解.【详解】对于A中，随机变量服从正态分布，且，可得随机变量的方差为，即，所以A错误；对于B中，根据给定的正态分布密度曲线图像，可得随机变量，所以，所以B错误；对于C中，根据正态分布密度曲线图像，可得时，随机变量对应的曲线与围成的面积小于时随机变量对应的曲线与围成的面积，所以，所以C正确；对于D中，根据正态分布密度曲线图像，可得，，即，所以D错误.故选：C.变式7-2．已知随机变量，则的值约为（

）附：若，则，，A． B． C． D．【答案】A【分析】由题意确定，根据，即可得答案.【详解】由题意知随机变量，故，故,故选：A变式7-3．小明通过调查研究发现，网络游戏《王者荣耀》每一局时长X（单位：分钟）近似满足．根据相关规定，所有网络游戏企业仅可在周五、周六、周日和法定节假日每日20时至21时向未成年人提供1小时网络游戏服务．小明还未成年，他在周五晚上20：45想打一局游戏，那么根据他的调查结果，他能正常打完一局比赛的概率为（

）（参考数据：，，）A．0.8414 B．0.1587 C．0.9773 D．0.0228【答案】B【分析】根据正态分布曲线的对称性求概率即可.【详解】由题意知，故.故选：B．变式7-4．若随机变量从正态分布，则，．现有40000人参加语文考试，成绩大致服从正态分布，则可估计本次语文成绩在116分以上的学生人数为（

）A．3640 B．1820 C．910 D．455【答案】C【分析】由于成绩大致服从正态分布，可知，，由正态分布的性质可求出数学成绩116分以上的概率，从而可求出答案【详解】依据题意可知，，由于，所以.因此本次考试116分以上的学生约有人.故选：C典例8．为了响应2022年全国文明城市建设的号召，某市文明办对市民进行了一次文明创建知识的网络问卷调查，每一位市民仅有一次参加机会.该市文明办随机抽取了人的得分（满分：分），统计结果如下表所示：组别频数(1)若此次调查问卷的得分服从正态分布，近似等于样本的平均成绩（同一组数据用该组区间的中点值代替），求；(2)该市文明办为鼓励市民积极参与调查问卷，规定：调查问卷得分不低于的可以用本人手机随机抽取次手机话费奖励，次抽取互不影响，有三种话费奖励金额，每种金额每次被抽到的概率如下表：话费金额/元如果某市民参加调查问卷的得分不低于，记“该市民获得手机话费奖励总金额为”.（i）求时的概率；（ii）证明：.参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，.【答案】(1)(2)（i）；（ii）证明见解析【分析】（1）由已知可得平均数，即，根据正态分布的性质可得概率（2）（i）利用事件相互独立事件的概率乘法公式直接可得概率；（ii）分别计算随机变量取各值时的概率，进而可得证.（1）这人的平均成绩为，所以近似等于，故；（2）（i）当时，次抽取话费的金额情况是有两次抽到元，一次抽到元，因为每次抽取是相互独立的，所以，（ii）证明：由题意知的所有可能取值为，，，，，，，，，，则，又，，，，由（1）知，，所以，又，所以，即，所以.变式8-1．某食品厂为了检查