2020年中考数学金榜冲刺卷（湖南长沙专版）（五）（解析版）

2020年中考数学金榜冲刺卷（湖南长沙专版）（五）

学校:姓名：班级：考号：

选择题（共12小题，每小题3分，共36分）

1.2020的相反数为（）

A.-2020B.」一C.±2020D.2020

2020

【解答】解：2020的相反数是：-2020.

故选：A.

2.下面计算正确的是（）

A.3a2-a2=2B.a20a3=a5C.4a=24=2/D.（a2）5-a5

【解答】解：A、原式=射2,不符合题意：

B、原式=/,符合题意：

C、原式=2",不符合题意；

D、原式=d,不符合题意.

故选：B.

3.下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

C.D.

【解答】解：A、不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误；

8、是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项错误；

C、是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项正确；

。、不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误；

故选：C.

4.如图，AB//CD,直线EF与他、8分别交于点G、H,/G_LEF于点G,NAG/=43。，则

的度数为（）

A.57°B.53°C.47°D.43°

【解答】解：

:.ZEGI=90°，

vZAG/=43°,

ZBGE=180°-90°-43°=47°,

-,-AB//CD,

.♦.NEHD=ZBGE=47°；

故选：C.

5.为备战中考体育一分钟跳绳项目考试，同学们坚持通过每天记录成绩来促进提高.下图是某班全体学生

一分钟跳绳成绩记录表：

成绩/次150160168170175178180

人数1546484

该班学生跳绳成绩的众数与中位数分别为（）

A.170,170B.178,172.5C.170,175D.178,170

【解答】解：众数是一组数据中出现次数最多的数，在这一组数据中178是出现次数最多的，故众数是178；

而将这组数据从小到大的顺序排列后，处于中间位置的那两个数的是170和175,那么由中位数的定义可知，

这组数据的中位数是172.5.

故选：B.

6.随着2020年重庆中招体育考试日益临近，初三同学坚持每天锻炼的热情也愈发高涨，某班甲、乙两名

同学相约利用课余时间进行跳绳锻炼.在一次锻炼中，甲同学完成跳绳180个，乙同学完成跳绳200个，

但乙同学所用时间比甲同学少10秒，两入计算后得知：甲同学每秒比乙同学少跳绳1个，则本次锻炼中甲

同学每秒跳绳多少个？设甲同学每秒跳绳x个，则由题意可列方程为（）

200180

A180200R-in

A.---------=10D.----------------------=1U

xx-lXX+1

「180200⑺n200180s

C.---------=1UD.---------=1(J

XX+1x+1X

【解答】解：设甲同学每秒跳绳X个，则乙同学每秒跳绳。+1）个，依题意有

180200，八

xx+\

故选：C.

7.不等式组的解集在数轴表示正确的是（）

-2x-6<-4

c.-1oI

x+L,3@

【解答】解:

-2x-6<-4②

解不等式①得，%,2,

解不等式②得，x>-l.

在数轴上表示如下：-1012

故选：D.

8.已知一次函数y=（〃?-3）x+6+2w,如果y随自变量x的增大而减小，那么机的取值范围为（）

A.m<3B.m>3C.m<-3D.m>—3

【解答】解：根据题意，得：相—3vO，

解得：m<3,

故选：A.

9.已知二次函数y=V+法+。，其函数y与自变量x之间的部分对应值如下表所示:

X—-11245.......

ym1Pnm.......

则相与〃的大小关系正确的是（）

A.in>nB.tn=nC.m<nD./?t.n

【解答】解：由表格可得，

二次函数y=f+bx+c的对称轴是直线兀=二*=2,该函数的图象开口向上,

2

当x>2时，y随x的增大而增大，

・・・2v4V5,

/.m>n,

故选：A.

10.如图，在平面直角坐标系中，四边形ABC。是矩形，点A的坐标为(2,0),点3的坐标为(0,4),

顶点C在反比例函数丫=人的图象上，若A£>:A8=1:2,则人的值是()

X

A.8B.10C.12D.6

【解答】解：作轴于石，

.•四边形ABCZ）是矩形，

\ZABC=90°,AD=BC,

•.ZABO+ZEBC=90°=ZABO+ZBAO，

=ZEBC=NBAO,

:ZBEC=ZAOB,

•2OBs耶EC,

.BEECBC

~OA~~OB~~AB'

•・•点A的坐标为(2,0),点5的坐标为(0,4),AD:AB=l:2,

OA=2,OB=4,BC:AB=l:2f

BEEC1

==—,

2----4-----2

BE=1,EC=2,

OE=OB+BE=\+4=5,

C(2,5),

顶点C在反比例函数y=七的图象上,

.4=2x5=10,

故选：B.

11.如图，在AABC中，AC=BC=2,。是3C的中点，过A,C,。三点的口。与AB边相切于点A,

则口。的半径为（）

.还C.1D.诬

57

【解答】解：如图，连接OC、OA,

作OE_LAC于点E，C产_LA8于点尸,

根据垂径定理可知：

\-AC=BC=2,。是BC的中点,

;.BD=CD=1，

•.•口0与A3边相切于点A,

根据切割线定理可知：

AB2=BIXBC=2,

AB=V2,

-,•CFA.AB，AC^BC,

AF=BF=-AB=—,

22

：.CF=JAC?—A尸2=巫，

2

•.•84切圆于点A,

:.OAVAB,

:.OA//CF,

:.ZOAC=ZACF,

•：OA=OC,

:.ZOAC=ZOCA,

:.ZOCA=ZACF,

ZOEC=ZAFC=90°.

:.NOCEs^^CF,

PCCE

~AC~~CF

OC1

2V14

F

解得。c产

所以口。的半径为半.

故选：D.

12.如图，已知在正方形45C£＞外取一点E,连接4E：、BE、DE.过点A作儿;的垂线交DE于点P,

若4E：=AP=1,PB=娓.下列结论：

①A4PD三A4EB；

®EB±ED；

③点B到直线AE的距离为6；

④S.+SwsJ26

iSnruUu\rD?

其中正确结论的序号是（）

A.①②④B.①②③C.②③④D.①③④

【解答】解：・.•四边形ABC。是正方形,

：.AB=AD,Za4D=90。，

vAP±AE,

:.ZBAE+ZBAP=90°

又・・・NZMP+NBAP=NBAD=90。，

：.ZBAE=ZDAP^

在AAP。和AAEB中，

AE=AP

</BAE=/.DAP,

AB=AD

:.^APD^MEB(SAS),故①正确；

\-AE=AP,APJLAE,

.•.AA£P是等腰直角三角形，

:.ZAEP=ZAPE=45°,

.•.ZA£B=ZAPD=180°-45°=135°,

vAAPD^ZVLEB,

:.ZAEB=ZAPD=\35°,

ZBEP=\35°-45°=90°,

；.EBLED,故②正确;

如图，过点B作交钻的延长线于点F,

-,-AE=AP=l,

:.PE=y/2AE=yf2,

BE=7BP2-PE2=76^2=2,

vZA£B=135°,

.,.々£F=45°,且BF_LAF,

;.ZBEF=ZEBF=45°,

:.BF=EF,

BE=立BF=2,

BF=42,

.•.点B到直线AE的距离为近，故③错误；

SA4M>+Sw>B=SftAEB+Sw>B=^HAEP+^&BEP，

।।]+2A

■,■^o+5AAPS=-xlxl+-xV2x2=—，故④正确,

故选：A.

二.填空题(共6小题，每小题3分，共18分)

13.纪录片《厉害了，我的国》里介绍中国高速公路网于2018年达到13万1千公里，总里程世界第一，

请你将13万1千公里用科学记数法表示为_1.3以105_千公里.

【解答】解：13万1=131000=1.31x1()5,

故答案为：1.31x1。.

14.如图，直线y=-2x-2与x轴交于点A,与y轴交于点8,把直线AS沿x轴的正半轴向右平移3个单

位长度后得到直线CD,则直线CD的函数解析式是=-2x+4一

【解答】解：把直线至:y=-2x-2沿x轴的正半轴向右平移3个单位长度后得到直线8,

贝IJ直线CD的函数解析式是：y=—2(x—3)—2=—2x+4,即y=—2x+4.

故答案是：y=—2x+4.

15.若关于x、y的方程组卜一%'=：的解是1,则，〃〃的值为-2.

[2x+ny=6[y=2Q——

【解答】解：将尸:代入广一呀

[y=2\2x+ziy=6

.13-26=5

\2+2n=6

/.mn=—2，

故答案为：-2.

16.如图，在扇形0AB中，半径。4与03的夹角为120。，点A与点8的距离为4方，若扇形0AB恰好是

一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面半径为-.

一3一

【解答】解：连接/W,过O作于M,

•.•ZAO3=120。，OA=OB,

:.ZBAO=30°.AM=243,

:.OA=4.

8

3

故答案是：--

3

17.经过某十字路口的汽车，它可能继续直行，也可能向左转或向右转.如果这三种可能性大小相同，三

辆汽车经过这个十字路口，则三辆车直行的概率是

一27一

【解答】解：画树状图得:

开始

直右左直右左直右左直右左直右左直右左直右左直右左直右左

共有27种等可能的情况数，其中三辆车全部直行的情况有1种，

则三辆车直行的概率是」■；

27

故答案为：—.

27

18.如图，在平面直角坐标系中，正方形A3CD的面积为20,顶点A在y轴上，顶点C在x轴上，顶点。在

双曲线y=q(x>0)的图象上，边8交y轴于点E,若CE=ED,则Z的值为4.

X

【解答】解：・••正方形ABCD的面积为20,

:.AB=BC=CD=DA=4^=20

:.CE=DE=&

\'ZCOE=ZADE=90°,ZCEO=ZAED,

.•.ACOESADE,

OEOCCEOEOC75

/.——=——=——，RI即I，—r=r=—产=——,

DEADAEV52V5AE

OE

-----=—,

OC2

-CE=y/5,

OE=1»OC=2，

过点。作轴，垂足为尸，

-.CE=DE,

.-.OF=OC=2,DF=2OE=2,

二。(2,2)代入反比例函数关系式得，A=2x2=4,

故答案为：4.

三.解答题（共8小题，其中19-20题每小题6分，共12分；21-22题每小题8分，共16分；23-24题每

小题9分，共18分；25-26题每小题10分，共20分）

19.计算：2cos300+1-21-石（2020-%）°+（-1产1m.

【解答】解：原式=2x^+2-gxl—1

2

=6+2-百-1

=1.

20.先化简，再求值：（I--二）/2+2加+1,其中机=&（「&）.

m+22m+2

I)川+2m+1

【解答】解：(1-

"2+22m+2

//z+2-12(//?+1)

"2+2(a+1)2

"7+1-2

-----U——

机+2m+\

2

------，

m+2

'|z|m=>/2(1—5/2)=-J2—21ft,原式=l2----=0.

及-2+2

21.某校为了解九年级学生每周平均课外阅读时间(单位：h),随机抽查了该学校九年级部分同学，对其

每周平均课外阅读时间进行统计，绘制了如下的统计图①和②，请根据相关信息，解答下列问题：

图②

(/)该校抽查九年级学生的人数为50,图①中的。值为一.

(2)求统计的这组每周平均课外阅读时间的样本数据的平均数、众数和中位数；

(3)若该校九年级共有400名学生，根据统计的这组每周平均课外阅读时间的样本数据，估计该校九年级

每周平均课外阅读时间为3〃的学生人数.

【解答】解：(1)该校抽查九年级学生的人数为：5+10%=50，

Q

«%=—xl00%=16%，

50

故答案为：50,16；

(2)平均数是：1X10%+2X24%+3X40%+4X16%+5X10%=2.92(小时)，

众数是3小时，中位数是3小时,

即统计的这组每周平均课外阅读时间的样本数据的平均数是2.92小时、众数是3小时一、中位数是3小时;

(3)400x40%=160(人)，

答：该校九年级每周平均课外阅读时间为3〃的学生有160人.

22.如图，在AABC中，。为中点，过点。作£>b//8C交AC于点E,且。E=，连接AP,CF，

CD.

(1)求证：四边形ADC厂为平行四边形；

(2)若NACE)=45。，Z£ZX7=3O°,BC=4,求CE的长.

【解答】(1)证明：•.•。为4?中点,

..AD=BD,

,:DF//BC,

AE=CE，

•••DE=EF,

.•・四边形ADCF为平行四边形;

(2)・.・AD=BD,AE=CE,

:.DE=-BC=-x4=2,

22

过E作E”_LC£)于，，

:.ZEHD=ZEHC=90°,

・・・NEDC=30。，

:.EH=-DE=\,

2

vZECD=45°.

:.CE=y/2EH=>J2.

23.为美化小区环境，物业计划安排甲、乙两个工程队完成小区绿化工作.已知甲工程队每天绿化面积是

乙工程队每天绿化面积的2倍，甲工程队单独完成600M的绿化面积比乙工程队单独完成600〃的绿化面积

少用2天.

（1）求甲、乙两工程队每天绿化的面积分别是多少用二

（2）小区需要绿化的面积为9600,7,物业需付给甲工程队每天绿化费为0.3万元，付给乙工程队每天绿化

费为0.2万元，若要使这次的绿化总费用不超过10万元，则至少应安排甲工程队工作多少天？

【解答】解：（1）设乙工程队每天能完成绿化的面积是x（，"2）,

根据题意得匕-2=丫以，

x2x

解得：x=150,

经检验：x=150是原方程的解,

则2x=300.

答：甲工程队每天能完成绿化的面积是300疗，乙工程队每天能完成绿化的面积是150加，

（2）设甲队工作y天完成：300），（小），乙队完成工作所需要”5詈也（天）,

木艮据题意得：（Uy+OZx9600二3°更,,10,

150

解得：y..28.

所以y最小值是28.

答：至少应安排甲队工作28天.

24.如图1,RtAABC中，ZABC=9O°,P是斜边AC上一个动点，以8P为直径作□O交于点。，与AC

的另一个交点为E（点E在点尸右侧），连结。E、BE,已知A8=3,BC=6.

（1）求线段BE的长;

（2）如图2,若BP平分NA8C,求N3Z史的正切值;

（3）是否存在点尸，使得AfiDE是等腰三角形，若存在，求出所有符合条件的CP的长；若不存在，请说

明理由.

【解答】解：（1）•.♦NABC=90。，AB=3,BC=6,

AC=>IAB2+BC2=yj32+62=3石,

•.•BP为口。的直径,

:.ZBEP=90°，

:.BErAC,

S.=—xACxBE=—xABxAC,

AARfirC22

,BF=ABXBC=6^；

AC5

(2)・・・族平分NABC,

ZDBP=-ZABC=45°,

2

连接［方,如图1,

B

・・・5P为口。的直径,

../DBP=NDPB=45°,

可设。P=3O=x,

-ZCDP=ZABC=90°

:.PD//AB、

:.NCPD^NCAB、

CDCBc

-----=2,

DPBA

/.CD=2x,

CB=3%=6,

..x=2,

，DP=BD=2,8=4,

:.CP=4DP2+CD'=VF+47=2下,

:.CE=y/BC2-BE2=小2-（卓）?=y75,

RFV7

tanZBDE=tan/BPE=—=—=3.

PE部

（3）解：存在这样的点P.

CPCD

由ADCPSMCA,得，—,

ACBC

若ABZ把是等腰三角形，可分一种情况:

①当时，BD=BE=|V5.

,CP=g石x（6_g⑹=3且3.

②当应）=£见时，此时点。是RtACBE斜边的中点,

:.CD=-BC=3,

：.CP=-y/5;

2

③当£）E=BE时，作EHLBC于点H,则”是班）的中点,

ZABC=ZEHC=90°.

:.EH//AB,

.BH_AE

~BC~'AC'

又•••AE=AC-CE=3yf5-yf5=-y/5,

八〃AExBC6

BH=DH=-------=-，

AC5

,8=6-9=更，

55

:.CP=《小.

综上所述，ABDE是等腰•.角形，符合条件的CP的长为3--3或2石或26.

25

25.如图1,平面内有一点P到AABC的三个顶点的距离分别为P4、PB、PC,PA2+PB2=PC2,

则称点P为AABC关于点C的勾股点.

(1)如图2,在4x3的方格纸中，每个小正方形的边长均为1,A48c的顶点在格点上，请找出所有的格

点、P,使点P为AABC关于点A的勾股点.

(2)如图3,AA8C为等腰直角三角形，尸是斜边8c延长线上一点，连接AP，以AP为直角边作等腰直

角三角形APD(点A、P、。顺时针排列)ZPAD=90°,连接。C,DB,求证：点P为ABOC关于点。

的勾股点.

(3)如图4,点E'是矩形A8CD外一点，且点C是AA3E关于点A的勾股点，若A£>=8,CE=5,AD=DE,

求相：的

长.

图1图2图3图4

【解答】解：（1）如图1,

图1

•.•PA2=12+32=1O,PB2=12+22=5,PC2=PB2=5,

PN=PC2+PB-,

.•.点P是AABC关于点A的勾股点；

如图2,

A

----1r

I/II---I

图2

vft42=32+32=18,PB2=12+42=17,PC2=1,

PfiC=PC2+PB；

.•.点P是MBC关于点A的勾股点；

(2)•.•A4BC和AAPD为等腰直角三角形，

:.AB=AC<AD=AP,ZBAC=ZDAP=90°,

.-.ZBAC-ZDAC=ZDAP-ZDAC,

即ZBAD=ZCAP,

:.MBD=MCP(SAS),

:.BD=PC，ZABD=ZACP=13,5°,

vZABC=45°,

/.ZDBP=ZABD-ZABC=135°-45°=90°,

BD1+PB2=PDr,

PC'+PB1=PD1,

.•.点P为\BDC关于点D的勾股点.

(3)解：•.•矩形ABCZJ中，4)=8,

.•.AD=BC=8,CD=AB,

•;AD=DE,

;.DE=8,

•.•点C是关于点A的勾股点，

AC2=CB2+CE2,

AC2=AB2+BC2,

CE=CD=5,

如图3,过点E作MN_LA8于点M,交£>C的延长线于点N,

图3

ZAME=ZMND=