【高中数学】同构式下的函数体系

第五章导数

专题6同构式下的函数体系

秒杀秘箝：第一讲同构式的三问三答

又到了最后一个章节，自从秒群在2018年跟大家交流同构式开始，全国各地的老师和学生似乎都很迷

这个“神招”，同构式并不神秘，和很多之前的专题一样，我们需要细化它，透彻理解它，所以我们需要一个同构

式的“说明书”.

问题一：同构式到底是什么？

同构式源于指对跨阶的问题，e，+x与x+Inx属于跨阶函数，而e*+Inx属于跳阶函数，所以指对跳

阶的函数问题，在中学阶段没有解决它的巧妙方法，只能构造隐零点代换来简化，但通过指对跨阶函数进

xexxinx

行同构，即/2(%)=衿+/n/?(lnx)=x+lnx我们发现将一个指数、直线、对数三阶的问题通过跨阶

X

[c-x-\x-Inx-1

函数的同构，变成了两阶问题，类似于二阶递推数列通过一次递推后变成了一阶数列，所以，通过构造跨

阶函数的同构式，大大简化了分析和计算.

问题二：同构式能解决什么问题？

同构式是属于跨阶的复合函数，所以复合函数能解决的一切问题，同构式均能解决.在一些求参数的

取值范围、零点个数、证明不等式中，利用复合函数单调性，复合函数零点个数以及复合函数的最值保值

性来快速解题.

问题三：同构式怎么构造？如何选取函数？

同构式需要一个构造一个母函数，即外函数，用表示，这个母函数需要满足：①指对跨阶；②单

(xer

I

调性和最值易求；通常，〃(x)=『+ex,基本上搞定这三个母函数，就看内函数，即子函数的构造了.

[J_X_]

下面，我们分别利用同构式的单调性、保值性和零点个数问题来对同构式进行系统分析.

1

第五章导数

秒杀秘籍：考点1利用同构式单调性秒杀

[例1](2020•武邑期中)设实数%0,若对任意的xw(0,yo),不等式a-四20恒成立，则;I的取值

范围是.

【解析】3Vzmr,由于指数和对数的“跳阶”问题，故需要构造连续的“跨阶”函数来化简，

A

故不等式两边同乘以x,构成疝乘法的式子构造/?(%)=,故不等式满足/z(Zx)>/?(lnx),易

知/?(X)在区间(0,+8)为增函数，即於MX恒成立，加(I”')mx=L故答案为J,+8).

Xmaxee

注意：h(x)x+ex在区间(0,+8)为增函数，当构造h(p(x))>/20(x))恒成立的时候，只需要p(x)>g(x)

x

e-x-1

恒成立即可.由于/?(》)=xe'在(-1,+)，这个在秒1中已经详细介绍，这里不再详述.Mx)=k"在区间

,、1

(0,e)一,在(e,+),易知p(x)皿=P®=——

e

【例2】设攵>0,若存在正实数x,使得不等式log?x-比2依之0成立，则人的最大值为()

A.：logeB.1加2C.elogeD.\_ln2

~e2~e22

注意：我们会介绍几个重要的“亲戚函数”，X"、x\nx.的利用它们之间的同构式原理来快速求出

exx

最值.

【例3】(2019•长郡中学月考)已知函数f(x)=mln(x+l)-3x_3,若不等式f(x)>/nr-3d在xe(0,+oo)

上恒成立，则实数机的取值范围是.

【解析】法一：f^x')=m\n(x+\)-3x-3>mx-3ex=>m-In(x+1)-3(x+l)>nvc-3ex,令〃(x)=，nr-3e”即

〃(ln(x+l))>〃(x)恒成立，由于x21n(x+l),故函数〃(x)，对xw(0,+8)上恒成立，h'(x)=m-3ex<0,

解得m<3<lin=3,故答案为in<3.

法二：/(x)=m-In(x+1)-3%-3>tnx-3ev=>3^x-3(x+1)>nvc-/??•In(A+1),构造函数力(x)=e*-x-1,

则3/i(x)>/n/j(ln(x+l)),这里要用到我们接下来讲的同构式“保值性”，由于xNln(x+l)恒成立,取等条件为

x=0,不在定义域内，故x>ln(x+1)恒成立，所以当时，3〃(x)>/"/?(ln(x+l))恒成立，故答案为〃?43.

【例4】(2019•衡水金卷)已知avO,不等式x*xe，+alnx3。对任意的实数%>1恒成立，则实数。的

最小值是()

AJ_1

—B.-2,eCr—D.-e

2ee

11in-11

【解析】由题意得：xaexa\nx0xex-------——In—=ex<，In—xIn—对%>1恒成

Zx'x"/f

2

第五章导数

X

立，此时-——，即々3-3,故选£).

WXmax

注意：这一类均是属于外函数hW=x"的同构式模型，那么在h{x}=x+e，或者飘x)=-X-1的模型会是

什么情况呢？

秒杀挚养，考点2同构式问题构造恒等式：x+e'2ex+/〃ex

构造函数h(x)=x+ex,易知h[x}在区间(0,+<»)T,根据p(x)=ex-x-l>0，恒成立，则p(lnx)=x-lnx-l>0

恒成立，当仅当lnx=O,即x=l时等号成立.由此能得到恒等式：x21nx+l=lnex,所以再利用同构式

h(,x)>/?(lnex),即x+e*2:ex+Inex恒成立，当仅当x=1时等号成立.

[例5](2019•榆林一模)已知不等式ex-l>kx+lnx,对于任意的XG(0,+W)恒成立，则左的最大值

注意：若人(p(x))2力(观幻)恒成立，且/z(p(x))2〃(g(x))+ax),则一定要满足初》)40,此方法属于同构式的

单调性和同构式的“保值性”综合题，有一定难度，原理其实很简单，同构式一旦搞定，剩下的就是基本的函数方

程不等式的简单思想.以此题为背景的考题非常多，从选填题压轴到解答题压轴，无处不在，常规方法我们不在

这里讲述了，大家可以去看一下常规的解答方案.

【例6】(2019•武汉调研)已知函数/(x)=e*-aln(or-a)+o(a>0),若关于X的不等式/(x)>0恒成立，

则实数a的取值范围为()'''

A.(0,e]B.(0,<?2)C.[\,e2]D.(l,e2)

【总'析】由题意可知：e'>aIn(ax-a^-a-a\na+aln(x-1)-a,由于e*和ln(x-1)明显存在"差一”的错

位，无法构造出乘法同构式，思考加法的同构，由于不等式的右边可以提出公因式“，故将其除去，得到式

子->lna+ln(x-l)-lPe'"">lna+ln(x-l)-l,式子右边没有参数人但左边存在，根据同构式的形式

相似原理，我们需要将Ina移至不等式左边，即e*Tn“-lna>ln(x-l)-l,显然不等式的两边都加上x即可

同构成功，ex']na+x-\na>eln^+ln(x-Q,构造函数/i(x)=x+e[h(x-\na)>/?(ln(x-1)),易知/?(x)在

区间(0,+8)T,只需1・lna>ln(x-l)Px-In(xT)>Ina,两边取指数得：一了>。，这里求最值也可以

利用同构式来解决，令g(x)=,易知g(x)之e,6=e=eg(x-l)>e2>a,故选B.

xx-\x-1

3

第五章导数

注意：指数和对数的变量中出现2和lnx+1,或者F-i和Inx,或者d和ln(x+l),这些有着明显的指对不

等式恒成立的式子，通常是加法同构式/x)=x+炭的常客，在内函数的解不等式中，经常需要几个“亲戚函数”

来帮忙，所以我们接下来介绍一下同构式的保值性.

1~1秒杀秘籍：考点3利用同构式的保值性秒杀

同构式保值性：若〃(x),〃(p(x)),〃(q(x))中，xeD,p(x)eD,q(x)e。，故〃(x),〃(p(x)),〃(q(x))的

最值相等.概括起来就是构造了同构式，可以根据外函数的性质直接求出函数的最值.

同构式倍值性：在h(x)和g(x)=m•/?(p(x))满足xeD,p(x)eD,则g(x)=m-〃(p(x))的最值是h(x)的m倍

我们将这个性质概括为同构式的倍值性.

下面我们仅以“亲戚函数”的图像和性质来验证这个理论.关

于/(x)=x-e'，的亲戚函数

一、通过平移和拉伸得到的同构函数

如图1：根据求导后可知：/(X)=小C在区间(-8,-1",在区间(-1,+CO)T,/Oin=/(T)=='

e

如图2：(x-l)./=e・G-1)・炉」=^(、-1),即将/(x)向右平移1个单位，再将纵坐标扩大为原来的e倍，

故可得y=(x-l)・e”在区间(一8,0)J,在区间(0,+8)T,当x=0时，％面=一1.

如图3：(x-2)-=e2(x-2).e-2=e2f(x-2),即将/(x)向右平移2个单位，再将纵坐标扩大为原来的那

倍，故可得y=(2)/在区间,在区间(1,+8)T,当x=l时，ymin=-e.

如图4：(x+l).F=e」・(x+l)・N+i=e」/G+l),即将/(%)向左平移1个单位，再将纵坐标缩小为原来的

1

e

倍,故可得y=(犬+在区间(-8,-2)J,在区间(-2,+00)T,当工=-2时，Knin=~H-'

e

4

第五章导数

二、通过乘除和取倒数导致凹凸反转同构函数

如图5：y==x,即将f(x)关于原点;对称后得到y=上,故可得y=上在区间(-ooj)T,

exe'

在区间(l,+oo)J,当x=l时，ymax=--

A4^

图5图6图7图8

X118M

如图6:y=-=(x-])e-(xT)=-1(-(•-))’o关于原点对称后，向右移一个单位，再招纵坐

exee

1x—1x—11

标缩小一倍，得到y=——，故可得y=--在区间(-•8,2)T,在区间(2,+8)J,当x=2时,ymax=-T-

e炉ee

,111炉

如图7：y=--()<x>0),属于分式函数，?右()关于原点对称后得到，故可得尸入在

区间(0,1)J,在区间(l,+oo)f,当

尤=1时，ymin=e-

/11111

如图8:y=-=--=-/z、、(x>0)，属于分式函数，将K关于原点对称后，左

x+le(-x-\ye-x~xe/(_(x+l))l)/(x)

移一个单位，再将纵坐标缩小L倍,故可得y=W在区间(7,0)1,在区间(0,+oo)T,当x=0时，ymin=1.

e

三、通过取反函数构成的同构函数

/>'1吓rA

U-

oTyT1

图9图10图11图12

5

第五章导数

如图9：xlnx=elnx-lnx=/(inx),当Inx即当lnxw(-l,+8),即xw[：+oojT,

_1

'min=

e

如图10：^=-\nx-^x-]=-f(-\nx),实现了凹凸反转，原来最小值反转后变成了最大值，当

x

=

-lnxG(-oo,-l),即nw(e,+8)J,当一Inxw(—1,+8),即xw(0,e)T,ymax—•

如图11Jn*+1=小巴丫=-ef(-lnex),当一InexG(-OO,-1),即％w(l,+oo)J,当一InexW(-1,-KO),即xe(0,1)T,

x-ex-

222

Inx_1Inx_1/_2\-e(-oo-)£(+oo)J-e(-+oo)

如图12：二^^二一八一。，当Inx,1,即x4,，当Inx1,,即

入N人Z.

xe(0,Ve)T,ymax=~.

注意：y4可以成为模型函数，也可以作为模板来进行同构，本专题之所以这样设计是让读者思考这一

X

系列函数的同构原理，达到举一反三的目的.例题中我们会以为模板进行求最值讨论.

X

【例7】(2019•凌源市一模)若函数/(x)=e*-»2在区间(0,+oo)上有两个极值点x,x(0<x<x),则实

12I2

数。的取值范围是()

A出一B.a>eC./D«>-

22

M2

【例8】(2019•广州一模)已知函数f(x)=e-axf对任意.<0,x<0,都有(x—x)(f(x)—f(x))vO,

122121

则实数。的取值范围是()

A.(-8：B.(-8,->C.[0,1]D.[-1,0]

12222

【例9】(2019•荆州期末)函数/(x)=l+竺的单调增区间为()

XX

A.(田,1)B.(0,1)C.(0,e)D.(l,+oo)

【例10】(2019•广州期末)函数犹-〃/有两个极值点,则实数机的取值范围是()

1

A.(Or)B.(-00,0)C.(0,1)D.(0,+oo)

2

Inxi_

【例11】(2019•深圳月考)已知函数/(%)=--区在区间e]上有两个不同的零点，则实数k的取值

X

范围为()

A.[二，±)B.(_L,±)C.11,4D.」，1]

&e2e^[e2ee~4-Vee

2

【解析】/(x)J""一丘=OnkJ：“=1I"j,当xe^e\e\时，.re[e\e],由于函数叱在区间(O,e)T,

xx22x2X

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第五章导数

(e,+8)J,则当fe/e]时，雪工[4]1当刀玉泮]时，粤egl—],由于/，故当

x22$ex2e2e2点e1

Z="n时，/Xx)=如-依有两个不同零点，故选A.

2/4j2ex

1।秒者秘养，第二讲同构式保值性定理

保值性定理1：若〃(p(x))N〃(q(x))恒成立，且满足h(p(x))>h(q(x))+(p(x),则一定要满足贝0WO;

保值性定理2：若h(p(x))>h(q(x))恒成立，且满足h(p(x))>m-h(q(x))(h(x)>0),则一定要满足m<\；

若要满足=mh(q(x))有实根，则一定要满足ZH>1;

保值性定理3：若h(p(x))>0,h(q(x))>0,且满足当x=m时,/?(p(x))=h(q(x))=0,则一定满足不等式

h[p(x))+h(q(x))>0;若Mpa))=0时和%(g(%))=0时的工取的值不相等,则h(p(x))+h(q(x))>0

【例12】(2019•保山一模)若函数"x)="+4Hnx有两个极值点，则。的取值范围是()

A.(-co,-e)B.(-00,-2e)C.(e,+s)D.(2e,+co)

由r(x)=e'+a/m;+a=0,得e*=-alnexnx/=aex\r\ex.构造人。)=工"，则

e

由于/z(x)在(0,+oo)T,JLx>Inex,故〃(x)2/?(lnex)恒成立，若/z(x)=-"/z(lnex)有两不等实根，则一定需

e

要一解得〃〈一e,故选：A.

e

注意：相比此题的传统方法，同构式确实可以一步秒杀，还有什么理由不学习研究同构式呢？下面我们来

讲解一下高考题中的同构式保值定理的应用.

【例13](2018•新课标I)已知函数/(冗)=。/-/心-1.

(1)设x=2是/⑴的极值点，求。，并求一。)的单调区间；

(2)证明：当aJ时，/(%)>0.

e

【解析】(1)略：

xrxv

(2)当时，ae-lnx-\>-e-Inex,故只需证^-e>\nexf故只需证^exe>exlnex,即证明

eeee

xe"NexInex恒成立，由于g(x)=x—lnex中，g\x)=1-1,易知g(x)=g(D=O,故xNlnex恒成立，构

x

造函数力。)=%"，易知力(尤)在区间(0,+oo)为增函数，故不等式满足/i(x)N〃(lnex),即/(x)20

恒成立.注意:此题也可以采用反证法，当/(x)>0,只需ae'Nlnex,只需2exine戈恒，只需

h(x)>h(\nex)

1

【例14].(2014•全国卷I)设函数/(x)=a/lnx+虻二，曲线y=/(x)在点(1J⑴)处的切线方程为

X

y=心-1)+2.

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学习数学领悟数学秒杀数学第五章导数

(1)求a,b；

(2)证明：f(x)>1.

注意：保值性不仅仅是保大于零或者恒成立，也可以保最大值或者最小值，知道指对跨阶的同构式，基本

上就是一步到位，怎么样？有点感觉了吧，再看看下一道高考题.

【例15](2015•新课标I)设函数f(x)=e2x-alnx.

(1)讨论的导函数/⑴零点的个数；

(2)证明：当〃>0时，f(x)>2a+aln_.

a

注意：看不到乘法同构就用加法，的同构式通常用于单调性，因为无最值，所以无法采用保值

性来使用，而以力=/-工-1既能实现单调性，又能实现保值性，堪称同构式的桥头堡，下面关于同构式

=在涉及保值性问题上，有一个特殊的名词，叫做改头换面.

M秒杀梨普，第三讲改头换面，-也卜+加)32-旭类型

构造h(x)=1,则h(\n(x+m))=(x+机)-ln(x+/n)-1,

故"-ln(x+机)=/-x-1+(%+加)-ln(x+1+2—加=h(x)+h(\n(x+m))+2—〃7,由于

h(x)+h(ln(x+m))>0,ex-ln(x+m)>2-nt,当仅当x=0,且ln(x+m)=0时等号成立，这里就提出了

一个问题就是，当仅当m=1时可以取等，其余均是大于.此题也可以表示为/(%)=镇-加-ln(x+⑷22-2机，

当仅当；时，/(x)min=1

【例16](2013•新课标H)已知函数/(*)=d-/〃(*+刈.

(1)设x=0是f(x)的极值点，求m,并讨论f(x)的单调性；

(2)当团<2时，证明/(x)>0.

【解析】(1)•.,/'(冗)="一一-—，x=。是/(x)的极值点，/(0)=1-，解得m=1.所以函数

x+mm

e

f(x)=ex-/M(X+1),其定义域为(-l,+oo).,/f\x)=ex---!—=0\”一-.设g(x)=，(尤+1)-1,

x+lX+1

则g'a)=/a+i)+/>o,所以g。)在(—i,+oo)上为增函数，又・・・g(o)=o,所以当x〉o时，g(x)>o,

即广。)〉0;当-1<冗<0时，g(x)<0,fM<0.所以在(-1,0)上为减函数；在(0,+8)上为增函数；

(2)(常规方法)证明：当mK2,工£(一加,+8)时，ln(x+m)<ln(x+2),故只需证明当，％=2时f(x)>0.

当"7=2时，函数/'(x)="--5一在(-2,+8)上为增函数，且((_1)<0,f'(0)>0.故r(x)=0在(-2,用)

x+2

上有唯一实数根与,且与£(一1,0).当XE(-2,々)时，fr(x)<0,当X£(X(),+00)时，//(X)>0,从而当x=x()

时，f(x)取得最小值.

由/(卬=0,得八:，历a+2)=-x故/(x)N/(x)尸1c+x0=『)->0

壬+21r%+2玉)+2

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学习数学领悟数学秒杀数学第五章导数

综上，当加42时，/(%)>0.

(2)秒杀解法：构造〃(x)="-x-l,则於(x)=e'-l=O时，故当x=0,/J(X)MIN=0；

e'-In(x+加)=e*-x-1+(x+机)-ln(x+m)-1+2-m=h(x)+/?(ln(x+m))+2-m32-m,•/m£2,

f(x)>0,由于取等号时，m=0,而此时〃(x)=0=x=0,/z(ln(x+，〃))=/z(lnx)=0=x=1,两式取得等

号的条件不一致，故/(x)>0.

注意：所m和In(x+〃)在同构式里面仅仅在n-m=\的时候获得取等条件，最常见就是构造h{x}>A(ln(x+1))

或者构造/7(x-l)2/?(lnx),诸如此类的改头换面，我们也可以称为差一同构式.

针对X"和Inx,没有了差一同构式，却多了个不对称构造，一个有xe1一个却不是xInx,此类也是可以

改头换面的，就是将指数部分进行改头换面，构成〃(x)="-x-l的同构式应用.

秒杀徐籍，第四讲"、°与1门改头换面

利用h(x)=eA-x-130,则有①x/="+加'3x+Inx+1；x2ex=ex+2ln'3x+2Inx+1

这一系列放缩的取等条件就是x+In工=0(尤»0.6),或者x+2\nx=»0.7)；

利用优v)=c"-"30(取等条件x=l),则有②扬x=3e(%+inx)；—=ex-,nV3e[x-In；

Ve-3“戈+21nx)；这一系列放缩的取等条件就是x+lnx=l(x=l),x-ln/=l(x=l)或者

x+2Inx=l(x=1)；

【例17】(2018•江苏期末)函数的最小值为.

【解析】构造〃(x)=ex-x-1,f(x)-xex-x-\nx=ex+inx-x-lnx-l+l=h(x+lnx)+l,当仅当x()+\nx0

时，/zQo+ln沏)=0,此时，。濡=/(%)=1.故答案为1.)恒成立，则”的取值范围

【例18】(2018•长沙模拟)已知/(x)=xe*-or-lnx31对于任意的x|(0,+oo

是.

【例19】(2019•深圳月考)已知道*-幻31门+1对于任意的述(0,+s)恒成立，则。的最大值为()

A.1B.2C.c-\D・e

【解析】力(x)=ex-x-l,xe2x-ax-\nx-l=^2x+,nv-2x-lnx-1+2x-67jc3/2(2x+lnx)+(2-6Z)x30/1^^.

立，可知a£2,取等条件为2x+lnx=0,此时a取得最大值2.

秒杀秘箝；第五讲利用同构式的内外函数单调性秒杀零点极值点问题

极值存在问题:若函数f(x)=〃(g(x)),则令/=g(X),根据复合函数求导/i'(g(x))=h'(t)-t'原理，若存在一

个极值,则〃fg⑺'(x工)=。O或者(鼠g'(x)=)-00，若不存在极值，Cg(x)*o(g'(x)=0

则i,、八，若存在多个极值，贝八­此方

[/?(?)*ow⑺=°

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学习数学领悟数学秒杀数学第五章导数

法叫做同构式内外函数分离法，通常可以简化求导计算，达到事半功倍效果.

零点个数问题：若函数/(X)=〃(g(X)),贝I]令f=g(X),先确定内值外定，即内函数的值域是外函数的定义域，

再确定内外函数在相应区间的单调性，利用乘法原理来确定相应区间根的个数.

【例20】(2019•陕西一模)已知函数f(x)=C+&(//ir-x),若x=1是函数/(x)的唯一极值点，则实数人的

X

取值范围是()

A.(-co,e]B.(-00,e)C.(一e,+oo)D.[-e,4-co)

注意：复合函数求导分离，此题就是/'(x)=(eT，-%)Yx-lnxy=(d-%).(l-1_),看明白函数的复合性质，

X

g)=--股为外函数，求导为/z'(f)=e'-左=0,Z=x-Inx,fe[l,+8)为内函数，求导为，=1」，复合

x

函数求导是将内外函数相乘，故内函数取得零点时外函数一定无零点或者和内函数在同一位置取得非变号

零点.采用分别求零点策略，能大大简化求导过程，所以关于极值点存在的问题，此招无处不在，很多学

生会因为求导出错而丢分，此来源于复合函数本质，高观点低运算.

【例21】(2019•霆阳模拟)已知/(x)=x2e*-a(x+21nx)有两个零点，则a的取值范围是._

【解析】由于炉炉=，+2、工，故可以换元，令x+21nx=/，易知『是关于光的单调增函数，且flR,令

h(x)=ex-ax故根据复合函数零点原理可得：/(x)=x2ex-a{x+21nx)=e1-at=h(t)在f£R上有两个零点，

参变分离加指数找基友得：gCQ)=号，如图，易知当f<l时，g(f)_,当01时，g(f)-,

g(f)max=Ml)=e，当f<0时，显然"0时，由于f®0和f®+8时g(7)®0,故当,？((),”

即aI(e,+oo)时，f(x)=x2ex-a(x+2Inx)有两个零点.

注意：求出内函数的值域后，内函数由于单调递增，所有一切交给了外函数，此法又能大大简化求导和分

析计算，一个导数题，确实分析主要矛盾是最重要的，同构式将内外函数分别分析，达到事半功倍效果.

【例22】(2019•保山一模)若函数/(x)=e*+axlnx有两个极值点，则a的取值范围是()

A.(-co,-e)B.(-00,-2e)C.(e,+oo)D.(2e,+oo)

【例23](2019•广东四校)已知函数/(x)=a(x+Inx)(x>0).

(1)当a=e时，求函数/(x)的单调区间；

(2)讨论函数/(x)的零点个数.

注意：这里给到了一个思维过程，具体写解答题需要证明t=单调，且在区间(0,+8)的一一对应性，故

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学习数学领悟数学秒杀数学第五章导数

只考虑外函数"aInt=0的零点个数.

【例24](2019•全国模拟)己知函数/(X)=表£

(1)讨论函数/(x)的单调性；

(2)已知函数g(x)=/(x)-21n尤-ar,且函数g(x)的最小值恰好为1.求a的最小值.

92

【解析】(1)f'(x)=eax+2'nx'(ax+2\nx)'=^,t+2lnx-(a+±),由于e"ZM.r之。，故只要讨论a+；的零点问

XX

0

题，当〃20时，〃+>()恒成立，此时广(无)>(),/(/)在区间(0,+00)为增函数；当〃<()时，r(x)=o则

X

2222

x=-,且当0<x<—时，/'(x)>0,当x>—时，/'(x)<0,故/(x)在区间(0,-)为增函数，在区

aaaa

2

间(-，+o。)为减函数.

a

2M2lnx+tLX

(2)^(x)=/(x)-2]nx-cix=xe-2]nx-ax=e-(2Inx+ax)=h(2]nx+ax),令/=21nx+ar。£R),

l21nx+axf21nx+ax

h(t)=e-tf根据复合函数求导原理可得g(、)=h(2lnx+ax)=(e-l)-(21nx+ax)=(e-1)-(a#)

x

易得〃⑺皿析=〃(。)=1,即f=0=21nxo+ar=0<=>"入。=一"方程有解，即y=一"与y=图像有交点，

m，n

x022x

2

即a1.

e

注意：此题只需要外函数求导有解，对于内函数求导后的式子并无太大要求，内函数求导后可以有零点，

也可以无零点，如果内函数求导后出现零点了，那么就是多了几个极值点，在这些极值点当中，只要有一

个极小值点是恰好是1即可满足题意.同构式一般都在同一位置取到极值，如果同构以后发现不是极值点，

会怎样呢？同构式也会出现一种极值偏移的情况，下面我们来看一下是什么状况.

卜彳秒杀於符..第六讲同构式的极值偏移

同构式最常见模型〃(x)=ex-x-\,以/?(x)+〃(ln(x+1))或者h(x)-/z(ln(x+1))均在x=0时取得最小值，我

们称之为同构式的单调性和保值性.在这类型同构式当中，一定满足外函数单调性和内函数单调性统一，

且取得极值的位置也统一.

例(1)e，-ln(x+l)+n-120恒成立,(2)e，+ln(x+1)+mx-120对[0,+8)恒成立，则根据一定有:

(1)ex-ln(x+1)+-1=e*-x-1+x-ln(x+1)+mx=h(x)+〃(ln(x+1))+/nr>0=>/n>0.

(2)ex+ln(x+\)+mx-\=ex-x-\-\x-ln(x+1)]+(/«+2)x=〃(x)-/z(ln(x+1))+(m+2)x>0=>w>

-2.原理就来自于x=0时，A(x)min=0,A(ln(x+l))min=0,/z(x)-如n(x+1))在区间[0,+oo)单调递增,

(1)式是同时取最小，(2)式是单调性问题，在同构式的题目设计中，加法同构和减法同构都共同指向它

们的共同最值部分.

当同构式取得的极值不是整个函数的极值时，那就是同构式的“极值偏移”，我们只需要分析同构式的极值和

整个函数的极值大小关系，即可得出结论，题根和本质还是同构式极值问题.

【例25](2019•衡水金卷)已知/(x)=lnx+ar-a.

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(1)若尸0)="x)求尸(X)的单调区间；

2

(2)若g(x)=gi-/(%)的最小值为M,求证MK1.

【例26](2019•佛山二模)己知函数/(x)=ex+In(x+1)-ox-cosx,其中aeR.

(1)若aWl,证明：/(x)是定义域上的增函数；

(2)是否存在a,使得f(x)在x=0处取得极小值？说明理由.

达标训练

I,对于下列不等式或方程进行同构变形，并写出相应的同构函数.

(1)log2x-k-2^>0(2)d-_Jn8>0

A

(3)x2Xnx-tne^>0⑷a(^A+l)>2(x+2)lnx

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(5)aln(x-1)+2(x-l)>ax+2ex(6)x+«lnx+e~x>xa{x>1)

(7)-2x-lnx=0(8)xV+lnx=O

2.若对任意x>0,恒有。(e"，+l)W2(x+l)lnx,则实数。的最小值为

X

3.对任意x>0,不等式2〃/刀一Inx+lnaNO恒成立，则实数〃的最小值为.

4.已知事是方程2fe2x+lnx=0的实根，则关于实数而的判断正确的是.

A.x3ln2B./£1_C.2x+Inx=0D.2e"+In尢=0

OO—e000

5.已知闻是函数=+inx-2的零点，则e2T<>+lnxo=.

6.若关于x的方程然/以=V只有一个实数解，则上的取值范围是.

7.设实数小0,若对任意的xe(0,“o),不等式/<，巴_0恒成立，则猫最小值为

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m

8.设实数,〃>0,若