2024年内蒙古赤峰市中考数学试卷附答案

2024年内蒙古赤峰市中考数学试卷一、选择题（每小题给出的选项中只有一个符合题意，请将符合题意的选项序号，在答题卡的对应位置上按要求涂黑．每小题3分，共42分）1．（3分）在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（）A． B． C． D．2．（3分）央视新闻2024年5月31日报道，世界最大清洁能源走廊今年一季度累计发电超52000000000度，为我国经济社会绿色发展提供了强劲动能．将数据52000000000用科学记数法表示为（）A．5.2×109 B．0.52×1011 C．52×10﹣9 D．5.2×10103．（3分）将一副三角尺（厚度不计）按如图所示摆放，使有刻度的两条边互相平行（）A．100° B．105° C．115° D．120°4．（3分）下列计算正确的是（）A．a2+a3＝a5 B．（a+b）2＝a2+b2 C．a6÷a3＝a2 D．（a3）2＝a65．（3分）在数据收集、整理、描述的过程中，下列说法错误的是（）A．为了解1000只灯泡的使用寿命，从中抽取50只进行检测，此次抽样的样本容量是50 B．了解某校一个班级学生的身高情况，适合全面调查 C．了解商场的平均日营业额，选在周末进行调查，这种调查不具有代表性 D．甲、乙二人10次测试的平均分都是96分，且方差S甲2＝2.5，S乙2＝2.3，则发挥稳定的是甲6．（3分）解不等式组时，不等式①和不等式②的解集在数轴上表示正确的是（）A． B． C． D．7．（3分）如图，是正n边形纸片的一部分，其中l，若l，m所在的直线相交形成的锐角为60°（）A．5 B．6 C．8 D．108．（3分）某市为了解初中学生的视力情况，随机抽取200名初中学生进行调查，整理样本数据如表．根据抽样调查结果，视力不低于4.8的人数是（）视力4.7以下4.74.84.94.9以上人数3941334047A．120 B．200 C．6960 D．96009．（3分）等腰三角形的两边长分别是方程x2﹣10x+21＝0的两个根，则这个三角形的周长为（）A．17或13 B．13或21 C．17 D．1310．（3分）如图，AD是⊙O的直径，AB是⊙O的弦，连接CD，交OB于点E，则∠OED的度数是（）A．61° B．63° C．65° D．67°11．（3分）用1块A型钢板可制成3块C型钢板和4块D型钢板；用1块B型钢板可制成5块C型钢板和2块D型钢板．现在需要58块C型钢板、40块D型钢板，问恰好用A型钢板、B型钢板各多少块？如果设用A型钢板x块，则可列方程组为（）A． B． C． D．12．（3分）如图，△ABC中，AB＝BC＝1，点B′与点B是对应点，点C′与点C是对应点．若点C′恰好落在BC边上π；②B′A∥BC；③BD＝C′D；④（）A．①②③④ B．①②③ C．①③④ D．②④13．（3分）数轴上点A，M，B分别表示数a，a+b，b（）A．a+b B．a﹣b C．ab D．|a|﹣b14．（3分）如图，正方形ABCD的顶点A，C在抛物线y＝﹣x2+4上，点D在y轴上．若A，C两点的横坐标分别为m，n（m＞n＞0）（）A．m+n＝1 B．m﹣n＝1 C．m＝1 D．＝1二、填空题（请把答案填写在答题卡对应的横线上．每小题3分，共12分）15．（3分）写出一个比小的整数．16．（3分）因式分解：3ax2﹣3a＝．17．（3分）综合实践课上，航模小组用无人机测量古树AB的高度．如图，点C处与古树底部A处在同一水平面上，无人机从C处竖直上升到达D处，测得古树顶部B的俯角为45°，则古树AB的高度约为米（结果精确到0.1米；参考数据：sin65°≈0.906，cos65°≈0.423，tan65°≈2.145）．18．（3分）编号为A，B，C，D，E的五台收割机，若同时启动其中两台收割机收割机编号A，BB，CC，DD，EA，E所需时间（小时）2319202218则收割最快的一台收割机编号是．三、解答题（在答题卡上解答，答在本试卷上无效，解答时要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．共8题，满分96分）19．（12分）（1）计算：+（π+1）0+2sin60°+|2﹣|；（2）已知a2﹣a﹣3＝0，求代数式（a﹣2）2+（a﹣1）（a+3）的值．20．（10分）如图，在△ABC中，D是AB中点．（1）求作：AC的垂直平分线l（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；（2）若l交AC于点E，连接DE并延长至点F，使EF＝2DE，CF．补全图形，并证明四边形BCFE是平行四边形．21．（10分）某校田径队为了调动队员体育训练的积极性，计划根据成绩情况对队员进行奖励．为确定一个适当的成绩目标，进行了体育成绩测试，数据如下：收集数据777876728475918578798278767991917674758575918077757587857677整理、描述数据成绩/分72747576777879808284858791人数/人11a433b111314分析数据样本数据的平均数、众数、中位数如表：平均数众数中位数80c78解决问题：（1）表格中的a＝；b＝；c＝；（2）分析平均数、众数、中位数这三个数据，如果想让一半左右的队员都能达到成绩目标，你认为成绩目标应定为分，如果想确定一个较高的成绩目标，这个成绩目标应定为分；（3）学校要从91分的A，B，C，D四名队员中，随机抽取两名队员去市里参加系统培训．请利用画树状图法或列表法，B两名队员恰好同时被选中的概率．22．（12分）一段高速公路需要修复，现有甲、乙两个工程队参与施工，已知乙队平均每天修复公路比甲队平均每天修复公路多3千米（1）求甲、乙两队平均每天修复公路分别是多少千米；（2）为了保证交通安全，两队不能同时施工，要求甲队的工作时间不少于乙队工作时间的2倍，两队最多能修复公路多少千米？23．（12分）在平面直角坐标系中，对于点M（x1，y1），给出如下定义：当点N（x2，y2），满足x1+x2＝y1+y2时，称点N是点M的等和点．（1）已知点M（1，3），在N1（4，2），N2（3，﹣1），N3（0，﹣2）中，是点M等和点的有；（2）若点M（3，﹣2）的等和点N在直线y＝x+b上，求b的值；（3）已知，双曲线y1＝和直线y2＝x﹣2，满足y1＜y2的x取值范围是x＞4或﹣2＜x＜0．若点P在双曲线y1＝上，点P的等和点Q在直线y2＝x﹣2上，求点P的坐标．24．（12分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，⊙O经过B，C两点，连接CO并延长交AB于点M，交⊙O于点D，交AC于点F．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若BM＝4，tan∠BCD＝，求OM的长．25．（14分）如图，是某公园的一种水上娱乐项目．数学兴趣小组对该项目中的数学问题进行了深入研究．下面是该小组绘制的水滑道截面图，如图1，过腾空点B与x轴垂直的直线为y轴，O为坐标原点，设计了以下三个问题，请你解决．（1）如图1，点B与地面的距离为2米，水滑道最低点C与地面的距离为米，则水滑道ACB所在抛物线的解析式为；（2）如图1，腾空点B与对面水池边缘的水平距离OE＝12米，人腾空后的落点D与水池边缘的安全距离DE不少于3米．若某人腾空后的路径形成的抛物线BD恰好与抛物线ACB关于点B成中心对称．①请直接写出此人腾空后的最大高度和抛物线BD的解析式；②此人腾空飞出后的落点D是否在安全范围内？请说明理由（水面与地面之间的高度差忽略不计）；（3）为消除安全隐患，公园计划对水滑道进行加固．如图2，水滑道已经有两条加固钢架，另一条是点M与点B之间连接支撑的钢架BM．现在需要在水滑道下方加固一条支撑钢架，为了美观，且与水滑道有唯一公共点，一端固定在钢架MN上（结果保留根号）．26．（14分）数学课上，老师给出以下条件，请同学们经过小组讨论，在△ABC中，AB＝AC，过点D作DE⊥BC于点E，延长ED交BA延长线于点F．请你解决下面各组提出的问题：（1）求证：AD＝AF；（2）探究与的关系；某小组探究发现，当时，；当时，．请你继续探究：①当时，直接写出的值；②当时，猜想的值（用含m，n的式子表示）；（3）拓展应用：在图1中，过点F作FP⊥AC，垂足为点P，得到图2，当点D运动到使∠ACF＝∠ACB时，若的值（用含m，n的式子表示）．

1．A．2．D．3．B．4．D．5．D．6．C．7．B．8．D．9．C．10．B．11．C．12．A．13．A．14．B．15．2（答案不唯一）．16．3a（x+1）（x﹣2）．17．11.5．18．C．19．解：（1）+（π+1）6+2sin60°+|2﹣|＝3+1+7×+3﹣＝3+6++2﹣＝6；（2）（a﹣2）7+（a﹣1）（a+3）＝a7﹣4a+4+a5+3a﹣a﹣3＝4a2﹣2a+4，∵a2﹣a﹣3＝3，∴a2﹣a＝3，当a8﹣a＝3时，原式＝2（a7﹣a）+1＝2×7+1＝6+4＝7．20．（1）解：图形如图所示：（2）证明：由作图可知AE＝EC，∵AD＝DB，∴DE∥BC，BC＝2DE，∵EF＝2DE，∴EF＝BC，∵EF∥BC，∴四边形BCFE是平行四边形．21．解：（1）由题意得，a＝5，c＝75．故答案为：5；3；75．（2）∵样本数据的中位数为78，∴如果想让一半左右的队员都能达到成绩目标，成绩目标应定为78分．∵平均数、众数，平均数最大，∴如果想确定一个较高的成绩目标，这个成绩目标应定为80分．故答案为：78；80．（3）列表如下：ABCDA（A，B）（A，C）（A，D）B（B，A）（B，C）（B，D）C（C，A）（C，B）（C，D）D（D，A）（D，B）（D，C）共有12种等可能的结果，其中A，B），A），∴A，B两名队员恰好同时被选中的概率为＝．22．解：（1）由题意，设甲队平均每天修复公路x千米，则＝，∴x＝6．经检验，x＝7是原方程的解．∴x+3＝9．答：甲队平均每天修复公路4千米，则乙队平均每天修复公路9千米．（2）设甲队工作时间为m天，则乙队的工作时间为（15﹣m）天，两队能修复公路w千米，由题意得，w＝6m+7（15﹣m）＝﹣3m+135．又m≥2（15﹣m），∴m≥10．又﹣7＜0，∴w随x的增大而减小．∴当m＝10时，w有最大值．答：15天的工期，两队最多能修复公路105千米．23．解：（1）由M（1，3），N3（4，2）得，∴x3+x2＝y1+y4＝5．∴点N1（2，2）是点M的等和点．由M（1，6），N2（3，﹣4）得，x1+x2＝6，y1+y2＝7，∴x1+x2≠y4+y2．∴N2（5，﹣1）不是点M的等和点．由M（1，6），N3（0，﹣2）得，∴x1+x2＝y4+y2＝1．∴点N7（0，﹣2）是点M的等和点．故答案为：N3（4，2），N4（0，﹣2）．（2）由题意，设点N的横坐标为a，∵点N是点M（7，﹣2）的等和点，∴点N的纵坐标为3+a﹣（﹣6）＝a+5．∴点N的坐标为（a，a+5）．又∵点N在直线y＝x+b上，∴a+6＝a+b．∴b＝5．（3）由题意得，k＞0、第三象限．设直线与双曲线的交点分别为点A、B，如图，由y6＜y2的x取值范围是x＞4或﹣3＜x＜0，∴A的横坐标为4，B的横坐标为﹣5．把x＝4代入y＝x﹣2得，y＝4﹣2＝2，∴A（5，2）．把A（4，2）代入y1＝得，2＝．∴k＝8．∴反比例函数的解析式为y＝．设P（m，），点Q的横坐标为n，∵点Q是点P的等和点，∴点Q的纵坐标为m+n﹣．∴Q（n，m+n﹣）．∵点Q在直线y3＝x﹣2上，∴m+n﹣＝n﹣4．∴m﹣+2＝3．∴m＝﹣4或m＝2．经检验，m＝﹣5+2＝5的解．∴点P的坐标为（﹣4，﹣2）或（7．24．（1）证明：连接OE，∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠A＝∠ABC＝45°，∴∠COE＝2∠ABC＝90°，∵EF∥CD，∴∠COE+∠OEF＝180°，∴∠FEO＝90°，∵OE是⊙O的半径，∴EF是⊙O的切线；（2）解：过M作MH⊥BC于H，则△BMH是等腰直角三角形，∵BM＝4，∴BH＝MH＝BM＝6，在Rt△CHM中，∵tan∠BCD＝＝，∴CH＝5MH＝8，∴CM＝＝4，连接BD，∵CD是⊙O的直径，∵BD⊥BC，∴MH∥BD，∴，∴，∴DM＝2，∴OD＝＝3，∴OM＝OD﹣DM＝．25．解：（1）由题意，水滑道ACB所在抛物线的顶点C（﹣3，），∴可设抛物线为y＝a（x+3）2+．又B（0，4），∴2＝a（0+6）2+．∴a＝．∴抛物线为y＝（x+3）2+．故答案为：y＝（x+3）6+．（2）①由题意，∵抛物线BD恰好与抛物线ACB关于点B成中心对称，∴抛物线BD的顶点与抛物线ACB的顶点C关于点B成中心对称．∴B是它们的中点． 又C（﹣6，），B（8，∴抛物线BD的顶点为（3，）．∴此人腾空后的最大高度为米．又此时可设抛物线BD为y＝a'（x﹣3）2+，将B（0，2）代入得，∴a'（3﹣3）2+＝2．∴a'＝﹣．∴抛物线BD的解析式y＝﹣（x﹣4）2+．②由①得y＝﹣（x﹣3）8+，令y＝0，∴4＝﹣（x﹣2）2+．∴x＝6或x＝﹣2（舍去）．∴OD＝8米．又OE＝12米，∴DE＝12﹣2＝4＞3．∴落点D在安全范围内．（3）由题意，如图．∵ACB所在抛物线y＝（x+3）3+，令y＝5，∴4＝（x+3）2+．∴x＝﹣8或x＝6（舍去）．∴M（﹣8，4）．又B（5，2），∴直线BM为y＝﹣x+2．∵EF∥BM