2020-2021学年新教材高中数学导数及其应用6.2利用导数研究函数的性质6.2.2.1函数的导数与极值课时素养检测含解析

十八函数的导数与极值(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共30分)1.下列说法正确的是 ()A.函数在闭区间上的极大值一定比极小值大B.函数在闭区间上的极大值一定比极小值小C.函数f(x)=|x|只有一个极小值D.函数y=f(x)在区间(a,b)上一定存在极值【解析】选C.函数的极大值与极小值之间无确定的大小关系,单调函数在区间(a,b)上没有极值,故A,B,D错误,C正确,函数f(x)=|x|只有一个极小值为0.2.设函数f(x)在R上可导,其导函数为f′(x),且函数f(x)在x=-2处取得极小值,则函数y=xf′(x)的图像可能是 ()【解析】选C.因为f(x)在x=-2处取得极小值,所以在x=-2附近的左侧f′(x)<0,当x<-2时,xf′(x)>0.在x=-2附近的右侧f′(x)>0,当-2<x<0时,xf′(x)<0,故选C.3.函数y=x3-3x2-9x(-2<x<2)有 ()A.极大值5,极小值-27B.极大值5,极小值-11C.极大值5,无极小值D.极小值-27,无极大值【解析】′=3x2-6x-9=0,得x=-1或x=3.当x<-1或x>3时,y′>0;当-1<x<3时,y′<0.所以当x=-1时,函数有极大值5;3∉(-2,2),故无极小值.4.函数f(x)=mlnx-cosx在x=1处取得极值,则m的值为 ()1 11 1【解析】选B.因为f′(x)=QUOTE+sinx,由题意得:f′(1)=m+sin1=0,所以m=-sin1.5.已知函数f(x)=2x3+ax2+36x-24在x=2处有极值,则该函数的一个递增区间是 ()A.(2,3) B.(3,+∞) C.(2,+∞) D.(-∞,3)【解析】选B.因为f′(x)=6x2+2ax+36,且在x=2处有极值,所以f′(2)=0,即24+4a+36=0,解得a=-15,所以f′(x)=6x2-30x+36=6(x-2)(x-3),由f′(x)>0,得x<2或x>3.6.若a>0,b>0,且函数f(x)=4x3-ax2-2bx在x=1处有极值,则QUOTE+QUOTE的最小值为 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选C.因为函数f(x)=4x3-ax2-2bx在x=1处有极值,所以f′(1)=12-2a-2b=0,即a+b=6,则QUOTE+QUOTE=QUOTE(a+b)QUOTE=QUOTE≥QUOTE=QUOTE(当且仅当QUOTE=QUOTE且a+b=6,即a=2b=4时取“=”).二、填空题(每小题5分,共10分)7.函数f(x)=QUOTEx3-QUOTEx4在区间QUOTE上的极值点为__________.

【解析】因为f(x)=QUOTEx3-QUOTEx4,所以f′(x)=x2-x3=-x2(x-1),令f′(x)=0,则x=0或x=1,因为x∈QUOTE,所以x=1,并且在x=1左侧f′(x)>0,右侧f′(x)<0,所以函数f(x)=QUOTEx3-QUOTEx4在区间QUOTE上的极值点为1.答案:1【警示误区】函数的极值点都是其导数等于0的根,但须注意导数等于0的根不一定都是极值点,应根据导数图像分析再下结论是不是其极值点.8.若函数y=-x3+6x2+m的极大值为13,则实数m等于__________.

【解析】y′=-3x2+12x=-3x(x-4).由y′=0,得x=0或4.且x∈(-∞,0)∪(4,+∞)时,y′<0;x∈(0,4)时,y′>0.所以x=4时函数取到极大值.故-64+96+m=13,解得m=-19.答案:-19三、解答题(每小题10分,共20分)9.设函数f(x)=alnx+QUOTE+QUOTEx+1,其中a∈R,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线垂直于y轴.(1)求a的值;(2)求函数f(x)的极值.【解析】(1)求导函数可得f′(x)=QUOTE-QUOTE+QUOTE.由题意知,曲线在x=1处的切线斜率为0,即f′(1)=0,从而a-QUOTE+QUOTE=0,解得a=-1.(2)由(1)知f(x)=-lnx+QUOTE+QUOTEx+1(x>0),f′(x)=-QUOTE-QUOTE+QUOTE=QUOTE=QUOTE.令f′(x)=0,解得x1=1,x2=-QUOTE(舍去).当x∈(0,1)时,f′(x)<0,故f(x)在(0,1)上为单调递减函数;当x∈(1,+∞)时,f′(x)>0,故f(x)在(1,+∞)上为单调递增函数.故f(x)在x=1处取得极小值,极小值为f(1)=3.10.设f(x)=xlnx-ax2+(2a-1)x,a∈R.(1)令g(x)=f′(x),求g(x)的单调区间.(2)已知f(x)在x=1处取得极大值,求实数a的取值范围.【解析】(1)g(x)=f′(x)=lnx-2ax+2a,所以g′(x)=QUOTE-2a=QUOTE.当a≤0,x∈QUOTE时,g′(x)>0,函数g(x)单调递增.当a>0,x∈QUOTE时,g′(x)>0,函数g(x)单调递增,x∈QUOTE时,g′(x)<0,函数g(x)单调递减.综上:当a≤0时,函数g(x)单调递增区间为(0,+∞).当a>0时,函数g(x)单调递增区间为QUOTE,函数g(x)单调递减区间为QUOTE.(2)由(1)知f′(1)=0.①当a≤0,f′(x)单调递增,所以x∈QUOTE时,f′(x)<0,f(x)单调递减,x∈QUOTE时,f′(x)>0,f(x)单调递增,所以f(x)在x=1处取得极小值,不合题意.②当0<a<QUOTE,QUOTE>1时,由(1)知f′(x)在QUOTE内单调递增,所以x∈QUOTE时,f′(x)<0,f(x)单调递减,x∈QUOTE时,f′(x)>0,f(x)单调递增,所以f(x)在x=1处取得极小值,不合题意.③当a=QUOTE,QUOTE=1时,f′(x)在QUOTE内单调递增,在(1,+∞)内单调递减,所以x∈QUOTE时,f′(x)≤0,f(x)单调递减,不合题意.④当a>QUOTE,0<QUOTE<1时,在QUOTE上,f′(x)>0,f(x)单调递增,当x∈QUOTE时,f′(x)<0,f(x)单调递减,所以f(x)在x=1处取得极大值,符合题意.综上可知a>QUOTE.(35分钟70分)一、选择题(每小题5分,共20分)1.设函数f(x)=ex(sinx-cosx)(0≤x≤2015π),则函数f(x)的各极大值之和为 ()A.QUOTE B.QUOTEC.QUOTE D.QUOTE【解析】选D.由题意,得f′(x)=(ex)′(sinx-cosx)+ex(sinx-cosx)′=2exsinx,所以x∈(2kπ,2kπ+π)时,f(x)递增,x∈(2kπ+π,2kπ+2π)时,f(x)递减,故当x=2kπ+π时,f(x)取极大值,其极大值为f(2kπ+π)=e2kπ+π[sin(2kπ+π)-cos(2kπ+π)]=e2kπ+π,又0≤x≤2015π,所以函数f(x)的各极大值之和为S=eπ+e3π+e5π+…+e2015π=QUOTE=QUOTE.2.已知函数f(x)的定义域为(0,+∞),且满足f(x)+xf′(x)=QUOTE,f(e)=QUOTE,则下列结论正确的是 ()A.f(x)有极大值无极小值B.f(x)有极小值无极大值C.f(x)既有极大值又有极小值D.f(x)没有极值【解析】选D.因为f(x)+xf′(x)=QUOTE,所以[xf(x)]′=QUOTE,所以xf(x)=QUOTE(lnx)2+c.又因为f(e)=QUOTE,所以e·QUOTE=QUOTE(lne)2+c,解得c=QUOTE,所以f(x)=QUOTE[(lnx)2+1]·QUOTE,f′(x)=QUOTE=QUOTE≤0,所以函数f(x)在(0,+∞)上为减函数,所以f(x)在(0,+∞)上没有极值.3.当函数f(x)=-QUOTEx3+QUOTEx2+2x取极小值时,x的值是 () B.2,-1 【解析】′(x)=-x2+x+2=-(x+1)(x-2),则在区间(-∞,-1)和(2,+∞)内,f′(x)<0,在区间(-1,2)内,f′(x)>0,故当x=-1时,f(x)取极小值.4.已知a∈R,且函数y=ex+ax(x∈R)有大于零的极值点,则 ()A.a<-1 B.a>-1C.a<-QUOTE D.a>-QUOTE【解析】选A.因为y=ex′=ex+a.令y′=0,即ex+a=0,则ex=-a,即x=ln(-a),又因为x>0,所以-a>1,即a<-1.二、填空题(每小题5分,共20分)5.已知函数f(x)=x4+9x+5,则f(x)的图像在(-1,3)内与x轴的交点的个数为________.

【解析】因为f′(x)=4x3+9,当x∈(-1,3)时,f′(x)>0,所以f(x)在(-1,3)上单调递增,又f(-1)=-3<0,f(0)=5>0,所以f(x)在(-1,3)内与x轴只有一个交点.答案:16.函数f(x)=x3-6x2-15x+2的极大值是________,极小值是________.

【解析】f′(x)=3x2-12x-15=3(x-5)(x+1),在(-∞,-1),(5,+∞)上f′(x)>0,在(-1,5)上f′(x)<0,所以f(x)极大值=f(-1)=10,f(x)极小值=f(5)=-98.答案:10-987.已知函数f(x)=6lnx-ax2-8x+b(a,b为常数),且x=3为f(x)的一个极值点.则a的值为________;函数f(x)的单调递减区间为________.

【解析】(1)因为f′(x)=QUOTE-2ax-8,所以f′(3)=2-6a-8=0,解得a=-1.(2)函数f(x)的定义域为(0,+∞).由(1)知f(x)=6lnx+x2-8x+b.所以f′(x)=QUOTE+2x-8=QUOTE.由f′(x)>0可得x>3或0<x<1,由f′(x)<0可得1<x<3(x<0舍去).所以函数f(x)的单调递增区间为(0,1),(3,+∞),单调递减区间为(1,3).答案:-1(1,3)8.已知函数f(x)=QUOTE·ex在定义域内有极值点,则实数a的取值范围是________.

【解析】f′(x)=QUOTE·ex+QUOTE·ex=QUOTE·ex.因为x2+(1-a)x+1=0有两个不相等且不等于-1的实数根,所以(1-a)2-4>0且a≠-1,解得a<-1或a>3.答案:(-∞,-1)∪(3,+∞)三、解答题(每小题10分,共30分)9.已知函数f(x)=x3-bx2+2cx的导函数的图像关于直线x=2对称.(1)求b的值;(2)若函数f(x)无极值,求c的取值范围.【解析】(1)f′(x)=3x2-2bx+2c,因为函数f′(x)的图像关于直线x=2对称,所以-QUOTE=2,即b=6.(2)由(1)知,f(x)=x3-6x2+2cx,f′(x)=3x2-12x+2c=3(x-2)2+2c-12,当2c-12≥0,即c≥6时,f′(x)≥0恒成立,此时函数f(x)无极值.10.已知函数f(x)=QUOTEax3-bx2+(2-b)x+1在x=x1处取得极大值,在x=x2处取得极小值,且0<x1<1<x2<2.(1)证明:a>0;(2)求z=a+2b的取值范围.【解析】(1)由函数f(x)在x=x1处取得极大值,在x=x2处取得极小值,知x1,x2是f′(x)=0的两个根.由题意,得f′(x)=ax2-2bx+2-b,所以f′(x)=a(x-x1)(x-x2).由题意,知在x=x1的左侧有f′(x)>0.又因为x-x1<0,x-x2<0,得a>0.(2)由题意,得0<x1<1<x2<2等价于:QUOTE即QUOTE整理,得QUOTE此不等式组表示的区域为平面aOb上三条直线2-b=0,a-3b+2=0,4a-5b+2=0所围成的△ABC的内部,如图所示.△ABC的三个顶点分别为AQUOTE,B(2,2),C(4,2).z=a+2b在这三点的值依次为QUOTE,6,8,所以z=a+2b的取值范围是QUOTE.1