专题19.2.1正比例函数（备课件）八年级数学下册系列（人教版）

19.2一次函数第十九章一次函数导入新课讲授新课当堂练习课堂小结

八年级数学下册（人教版）

教学课件19.2.1正比例函数情境引入学习目标1.理解正比例函数的概念；2.会求正比例函数的解析式，能利用正比例函数解决简单的实际问题.（重点、难点）3.理解正比例函数的图象的特点，会利用两点（法）画正比例函数的图象．（重点）4.掌握正比例函数的性质，并能灵活运用解答有关问题．（难点）讲授新课正比例函数的概念一问题1下列问题中，变量之间的对应关系是函数关系吗？如果是，请写出函数解析式：（1）圆的周长l随半径r的变化而变化．（2）铁的密度为7.8g/cm3,铁块的质量m（单位：g）随它的体积V（单位：cm3）的变化而变化．（3）每个练习本的厚度为0.5cm，一些练习本摞在一起的总厚度h（单位：cm）随练习本的本数n的变化而变化．（4）冷冻一个0℃的物体，使它每分钟下降2℃，物体温度T（单位：℃）随冷冻时间t（单位：min）的变化而变化．(3)h=0.5n(4)T=-2t

问题2认真观察以上出现的四个函数解析式，分别说出哪些是函数、常量和自变量．

函数解析式函数常量自变量l=2πrm

=7.8V

h

=0.5nT

=-2t这些函数解析式有什么共同点？这些函数解析式都是常数与自变量的乘积的形式！2，π

rl7.8VmhTt0.5-2n函数=常数×自变量ykx＝知识要点

一般地，形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数．思考为什么强调k是常数，

k≠0呢？y=kx(k≠0的常数)比例系数自变量正比例函数一般形式注:正比例函数y=kx(k≠0)的结构特征

①k≠0

②x的次数是11.判断下列函数解析式是否是正比例函数？如果是，指出其比例系数是多少？是，3不是是，π不是是，是，试一试2.回答下列问题：(1)若y=(m-1)x是正比例函数，m取值范围是

；(2)当n

时，y=2xn是正比例函数；(3)当k

时，y=3x+k是正比例函数.试一试m≠1=1=0函数是正比例函数函数解析式可转化为y=kx（k是常数，k≠0）的形式.即m≠1，

m=±1，∴m=-1.

解：∵函数是正比例函数，∴

m-1≠0，

m2=1，例

已知函数y=(m-1)是正比例函数，求m的值.

典例精析变式训练(1)若是正比例函数，则m=

；(2)若是正比例函数，则m=

；-2-1

m-2≠0，

|m|-1=1，∴m=-2.

m-1≠0，

m2-1=0，∴m=-1.

解:（1）设正比例函数解析式是y=kx，把x=-4,y=2代入上式，得2=-4k，∴所求的正比例函数解析式是y=-；2x解得k=-，21（2）当x=6时,y=-3.

例

若正比例函数的自变量x等于-4时，函数y的值等于2.

（1）求正比例函数的解析式；

（2）求当x=6时函数y的值.设代求写待定系数法做一做已知y与x成正比例，当x等于3时，y等于-1.则当x=6时，y的值为

.-2问题32011年开始运营的京沪高速铁路全长1318千米.设列车的平均速度为300千米/时.考虑以下问题：（1）乘高铁，从始发站北京南站到终点站上海站，约需多少小时（保留一位小数）？（2）京沪高铁的行程y（单位：千米）与时间t（单位：时）之间有何数量关系？（3）从北京南站出发2.5小时后，是否已过了距始发站1100千米的南京南站？正比例函数的简单应用二(1)乘京沪高速列车，从始发站北京南站到终点站海虹桥站，约需要多少小时(结果保留小数点后一位)？1318÷300≈4.4（小时）（2）京沪高铁列车的行程y（单位：千米）与运行时间t（单位：时）之间有何数量关系？y=300t（0≤t＜4.4）（3）京沪高铁列车从北京南站出发2.5小时后，是否已经过了距始发站1100千米的南京南站？y=300×2.5=750（千米）,这时列车尚未到达距始发站1100千米的南京南站.例

已知某种小汽车的耗油量是每100km耗油15L．所使用的汽油为5元/L．（1）写出汽车行驶途中所耗油费y（元）与行程x（km）之间的函数关系式，并指出y是x的什么函数；（2）计算该汽车行驶220km所需油费是多少？即.解：

（1）y=5×15x÷100，（2）当x=220时，答：该汽车行驶220km所需油费是165元．.y是x的正比例函数.

列式表示下列问题中y与x的函数关系，并指出哪些是正比例函数．（1）正方形的边长为xcm，周长为ycm.y=4x，是正比例函数

（2）某人一年内的月平均收入为x元，他这年（12个月）的总收入为y元．y=12x，是正比例函数（3）一个长方体的长为2cm，宽为1.5cm，高为xcm，体积为ycm3.y=3x，是正比例函数做一做复习引入列表描点连线问题1：下列函数哪些是正比例函数？（1）y=－3x；

（2）y=x+3；

（3）y=4x；

（4）y=x2.问题2：描点法画函数图象的三个步骤是_______、_______、_______.(1)(3)例

画出下列正比例函数的图象：（1）y=2x，；（2）y=-1.5x，y=-4x.xy100-12-2…………24-2-4解：（1）函数y=2x中自变量x可为任意实数.①列表如下：正比例函数的图象三y=2x②描点；③连线.同样可以画出函数的图象.观察发现：这两个图象都是经过原点的

．而且都经过第

象限；一、三直线解：（2）函数y=-1.5x，y=-4x的图象如下：y=-4xy=-1.5x发现：这两个函数图象都是经过原点和第

象限的直线.二、四要点归纳y=kx(k是常数，k≠0)的图象是一条经过原点的直线y=kx(k≠0)

经过的象限k＞0

第一、三象限

k＜0第二、四象限另外：函数y=kx

的图象我们也称作直线y=kx

用你认为最简单的方法画出下列函数的图象：

（1）y=-3x；（2）做一做怎样画正比例函数的图象最简单？为什么？由于两点确定一条直线，画正比例函数图象时我们只需描点(0，0)和点(1，k)，连线即可.两点作图法Ox01y=-3x0-30y=-3x函数y=-3x，的图象如下：解：列表如下：（1）若函数图象经过第一、三象限，则k的取值范围是________.例

已知正比例函数y=(k+1)x.k＞-1解析：因为函数图象经过第一、三象限，所以k+1>0，解得k>-1.（2）若函数图象经过点（2，4），则k_____.解析：将坐标（2，4）带入函数解析式中，得4=(k+1)·2，解得k=1.=1正比例函数的性质四问题：在函数y=x,y=3x,y=-

x和y=-4x中，随着x的增大,y的值分别如何变化?分析：对于函数y=x,当x=-1时，y=

;当x=1时，y=

;当x=2时，y=

;不难发现y的值随x的增大而

.-112增大我们还可以借助函数图象分析此问题.观察图象可以发现：直线y=x,y=3x向右逐渐

,即y的值随x的增大而增大;直线y=-x,y=-4x向右逐渐

，即y的值随x的增大而减小.

上升下降在正比例函数y=kx中：当k>0时，y的值随着x值的增大而增大;当k<0时，y的值随着x值的增大而减小.总结归纳练一练1.已知正比例函数y=2x的图象上有两点（3，y1），（5，y2），则y1

y2.<分析：因为k<0，所以y的值随着x值的增大而减小，又-3<1，则y1＞y2.2.已知正比例函数y=kx(k<0)的图象上有两点（-3，y1），（1，y2），则y1

y2.>例

已知正比例函数y=mx的图象经过点（m，4），且y的值随着x值的增大而减小，求m的值.解：∵正比例函数y=mx的图象经过点（m，4）,∴4=m·m，解得m=±2.又∵y的值随着x值的增大而减小，

∴m<0，故m=－2（1）正比例函数y=x和y=3x中，随着x值的增大y的值都增加了，其中哪一个增加得更快？你能说明其中的道理吗？（2）正比例函数y=-x和y=-4x中，随着x值的增大y的值都减小了，其中哪一个减小得更快？你是如何判断的？|k|越大，直线越陡，直线越靠近y轴.议一议课堂训练

【答案】D

【答案】B【点睛】本题考查正比例函数的定义及其性质，解决问题的关键是牢记一般形式和性质．

【答案】D【详解】把A（m，4），B（m＋3，10）两点坐标代入y=kx(k≠0)，得到：mk＝4①，（m＋3）k＝10②；由②变形得到mk＋3k＝10，把①代入②，得到4＋3k＝10，解得k＝2.故选D.4．（2021··九年级期中）已知正比例函数，那么y的值随x的值增大而__________．（填“增大”或“减少”）【答案】减少【点睛】本题考查了正比例函数的性质：正比例函数y=kx(k≠0)的图象为直线，当k>0时，图象经过第一、三象限，y值随x的增大而增大；当k<0时，图象经过第二、四象限，y值随x的增大而减小．5．（2022·陕西宝鸡·八年级期末）已知函数y＝（2m﹣4）x+m2﹣9（x是自变量）的图象只经过二、四象限，则m＝_____．【答案】-3解：函数y＝（2m﹣4）x+m2﹣9是关于x的一次函数，∵函数y＝（2m﹣4）x+m2﹣9（x是自变量）的图象只经过二、四象限，∴解得∵m=3＞2舍去，m=-3＜2,满足条件，∴m=-3，故答案为-3．6．（2022·安徽六安·八年级期末）已知y-2和2x+1成正比例，且x=-2时，y=-7，则y与x之间的函数表达式为_________．【答案】y=6x+5解：∵y-2和2x+1成正比例，∴设y-2=k(2x+1)当x=-2时，y=-7代入解析式得，-7-2=k×[2×