高中数学新人教B版教学素材：集合的概念8

集合

o集合的概念

我们把所要研究的事物全体称为集合，构成集合的事物称为元素，集合一般用大写字母A、

B、C...表示，元素■，般用小写字母a、b、c...表示。

如果元素a是集合A中的元素，记。已力，否则记aWR。

有限集：只有有限个元素的集合。

无限集：有无穷多个元素的集合。

空集：不含有任何元素的集合叫空集，记”。

❷集合的表示方法

列举法：如j={a，&，c，d},3={1,2,3,…,10)

描述法：如，={x|/+l=0，xeK),5=(x|l<x<5,xe^)

❸子集

如果集合A中的元素都是B的元素，称A是B的子集(或称A包含于B),记

Ac8或BDA。

如：8={123,4,5,6〉=[2,4,6),则上匚8。

o并集:

集合A与集合B的元素放在一起构成的集合，称为A与B的并集。记jUB,即

A[jB=（x|xe幺或xeB）

如：A=（x\\<x<4,xeR）,B=（x\-2<x<3,xeR）

则,A<JB=（x|-2<x<4,xe

o交集：

记集合A与集合B的公共元素构成的集合，称为A与B的交集，记

即工riB=｛芥|才£工且、e3）

H={x|-l<x<0,xe©,B=(^>--,xeR)

AcyB(x--<x<0,xe7?)

绝对值与绝对值不等式

x>0

x<0

几何意义：点x到原点的距离。

x>y

y-x,x<y

几何意义：点x到点丁的距离。

性质：

1）而=卜1,2）同2。，3）~\x\<x<|x|

4)设a>0,(小|4。}={H-a«x«a}

(x||x|>a)=(x|x<-a]U(x|x>a}

k+M«kl+M，

W=WM

例i：解下列不等式

1)心小4,2)X2<9,3)卜+4|>1

•)x

4)0<(x-2)<4,5)1+x1+x

解：1)-4<x-4<4=>0<z<8

2)|x|<3=>-3<x<3

3)x+4>1或x+4<-l=x〉-3或x<-5

|x-2|<2|0<x<4

XK2\x^2

X..(x>0G<0

---<0=4

5)1+xU+x<0或(l+x>0=>_1<z<0

区间与邻域

设a力为实数，a<b,

(a,6)=仲<x<6}称为以“、b为端点的开区间，

[a,8]=(x|a"*"为称为以。、b为端点的闭区间，

[a,b](a,b)

।1-J-(!>«

OabxOab

图1-1

(a,b]=<x<b)[a,b)=(x|a<x<b)

9

以上为有限区间

(a,+8)=(x]x>a}[a,+8)=(x|x>a)

(-8,5),(-8,旬,(-8,+8)=R

以上为无穷区间

[a,+8)(8,b]

Oa+00-8di■

图1-2

(飞拓飞+与=耶-而|<85>0)称为x。点的J邻域,

”。为对称中心，5

为半径。

(xo-J,xo)u(xo,xo+J)=(x|O<|x-xo|<^J>O)称为X。点的去心b邻域。

66

Xe-6XuXo+fi

图1-3

函数的定义

设有两个变量x与丁，当变量x在实数某范围任取一值时，变量y按确定的规则有确

定的值与之对应，那么称是x的函数，记丁=/（工）。x叫自变量，尸叫因变量，x的取值

范围称为函数的定义域，记巧。对而，。/'%=/（质）称为函数/（X）在点的的函数值，

所有函数值的集合称为值域。记O

说明：

（1）定义中的记号）表示自变量与因变量的对应法则。

（2）函数的两要素：定义域与对应法则。

丁=/与5=/表示同一函数；

丁=卜|与丁=、京表示同_函数；

X2-1

y=-------__1

X+1与丁-x-l表示不同的函数；

丁=2也才与丁=国一表示不同函数。

（3）单值函数与多值函数

对于函数丁=/0）,如果对自变量x的一个取值，函数丁只有一个数值与之对应，

则称函数丁=/（*）是单值函数；如果对自变量x的一个取值，函数y有两个或更多个数值

与之对应，则称函数是多值函数；如：yn'+v是单值函数，y=一储，

y=是多值函数。

(4)定义域

实际问题中建立的函数关系，其定义域要根据实际问题来确定，而用数学式表达的函数,

当不表示任何实际意义时，其定义域由函数表达式来确定。

定义域求法

(i)分母不能为零;

(ii)偶次根号内部分不能小于零;

(iii)对数函数中，真数部分要大于零;

(iv)反三角函数打csinX,arccosX中要团41

例2求下列函数的定义域

x-]

y=arcsin----+lg(x-2)

1)1-x2)2

。-x

y-----------

3)y=/+e*+sinx4)M(x+2)

xT

x+4>0

解：⑴

定义域为：L4-1)5-1,1)5L+8)

[―<1(-1<x<3

\2..

x>2

卜-2>0

定义域为：(2,3]

(—8,+8)

（3）定义域为:

9-x2>0（\x\<3

«x+2>0=卜>一2

x+2m1xh_1

（4）[

所以定义域为：（一2,7）5-整]

例3已知/（X）的定义域为（-8,0）,求」3工）的定义域。

解-8<lnx<o=o<x<i

,'/gx）的定义域为（0,1）

y

0

图17

例4设/⑶=方1,求/⑴JL2）,分，

,〃1）=。（-2）=-1,"）=亍二

解2t2+1

例5设/⑶满足外浓2X）=X，求/（X）。

解设〃=1他2x,则2"=X,•1•/(«)=2、即/(X)=2\

例6已知，求」(X)。

解令“=x+l,则%=^-1,

/(«)=(u-I)2+3Q-1)+5=〃2+u+3

：.f(x)=x2+x+3

函数的表示方法

公式法，表格法，图示法。

分段函数：在不同区间上.用不同的解析式表示的函数

\+1,x<0

图『5图1-6

1

X<0

2

/(x)=(x+1,0<x<l

x2-6x,1<z<4

例7设

求⑴/(X)的定义域；

♦

(3)时，〃&)-/(0)

解⑴

定义域为：(-8,4]

-1心=3+1)

“°)=54-。=0,/(3)=(/-6x)k=-9

(3)/(Ax)-/(O)=(Ar+l)-O=Ax+l

例8将函数/(R=3-|2一司写成分段函数的形式。

4t(2-x,x<2

1+x,x<2

-1-/W=<

5-x,x>2

flnx,x>0finx,x>1

S(x)=

例9设卜+3,x«°,e,x<1

则力g(D]=he=1,x>1时，力g(x)]的表达式为Inlnx。

函数的简单性质

Q单调性

yu

7^

/\:f:

1|1'(x2)1

11r31)11:%",

11111|1W

1!

n―!----1----!---1--0——————

UaXix-fbYu3XiX?

设J。）在（a,b）内有定义,如果对于公,工2e（a,b）且x1<x2>

有了（与））/（町），则称/（X）在（aJ）内单调增加;

如果有了（々）>/（为2）,则称在3»）内单调减少。

单调增加、单调减少统称单调。

如果/（X）在整个定义域内单调，称/S）为单调函数。

如：丁=*在（-8,0］单调减，在［6+8）单调增，所以不是单调函数。

y=e\y=x3

都是单调函数。

o有界性

设了（x）在区间有定义，如果存在数跖，使对于一切xe（a»）,有了"）4及1

成立，则称在区间（风切有上界，氏是了（X）在区间3田）的一个上界。如果存在

数”2,使对于一切xe（a»）,有/@）2卫2,则称/（x）在区间力）有下界，的是

J（x）在区间3»）的一个下界。

设了（X）在区间（名切有定义，如果存在正数M,使对于一切xe（a力），有

火刈""成立，则称〃x）在区间（久与有界，否则称在（“㈤为无界。

如果/S）在它的整个定义域内有界，称/（X）为行界函数.

图1-9

y=-

如：X在区间［1,2］有界，在(0,1)无界，它不是有界函数。

图1-10

y=smx是有界函数，因为对一切xe(-8,+8)有

X

y=-------

1+二是有界函数。

显然，函数/（X）在区间3，与有界的充分必要条件是：它在区间（名切既有上界又有

下界。

❸.奇偶性

设丁=/＜＞）的定义域关于原点对称，如果对定义域中任何x,有/（-R=力＞）,称

」（x）为偶函数，如果有了（-乃=-/@）,称/（X）为奇函数。

偶函数的图形关于J轴对称，奇函数的图形关于原点对称。

图1-12

例10判断下列函数的奇偶性

y

（1）

丁=卜+1(4)-=+J1+，)

(3)

/(x)=Zgxln罟

(5)1-X

解

-K户

八-x)=---=----=寸⑶

所以是奇函数；

-TTX

'：f(-X)=I-x\cos——=\x\cos—

⑵是偶函数；2112

(3)是非奇非偶函数；

\1，+(-x+Jl+x2)(x+J1+，)

j{-X)=ln(-%+vl+x)=In-----------『----------

(4)(x+Jl+/)

=ln(x+Jl+x2尸=_/(x)

所以是奇函数；

(5)是偶函数

奇函数义奇函数为偶函数，奇函数X偶函数为奇函数，偶函数X偶函数为偶函数。

例11设/（X）在（-4°）内有定义，T⑶=/（x）-/（-x），G（x）=」（力+」（-为,

/(x)=i[F(x)+G(x)]

则?5）为奇函数,6屏）为偶函数,

o.周期性

对函数丁=」（了），如果存在正数?，使对于定义域中的x有〃工+力=/（»,称

/a）为周期函数，使此式成立的最小正数丁，称为最小正周期。

如：y=$111兀丁=85X是周期为2笈的周期函数,

丁=坦4^=松司是周期为笈的周期函数。

r/

如果/Q）是以丁为最小正周期的函数，则/（cx+d）的最小正周期为Ho

如：/（%）=sin（2x+3）的最小正周期是冗。

❺、反函数

给定