统计方法 压强公式 微观状态的描述

第九章热平衡统计分布规律研究对象：大量粒子组成的体系子系近独立：粒子相互作用能<<粒子自身能量粒子间微弱相互作用能使其在足够长时间内实现平衡例：理想气体本章重点：三个统计规律：麦克斯韦分子速率分布玻尔兹曼粒子按势能分布能均分定律两个基本概念：p,T1第一节统计方法的基本概念一、统计规律大量偶然事件整体所遵从的规律不能预测多次重复掷骰子抛硬币伽尔顿板实验例：要点：

统计规律概率分布函数统计平均值涨落2伽尔顿板实验每个小球落入哪个槽是偶然的少量小球按狭槽分布有明显偶然性大量小球按狭槽分布呈现规律性掷骰子每掷一次出现点数是偶然的掷少数次，点数分布有明显偶然性掷大量次数，每点出现次数约1/6，呈现规律抛硬币每抛一次出现正反面是偶然的抛少数次，正反数分布有明显偶然性抛大量次数，正反数约各1/2，呈现规律性3共同特点：1)群体规律：只能通过大量偶然事件总体显示出来，对少数事件不适用。2)量变—质变：整体特征占主导地位3)与宏观条件相关:如：伽尔顿板中钉的分布。4)伴有涨落。4二、统计规律的数学形式

——概率理论(1)定义：总观测次数N出现结果A次数

A出现的概率(2)意义：描述事物出现可能性的大小两类物理定律第一类：约束不可能事件第二类：约束可能性小事件违反能量守恒定律的事件不可能发生不违反能量守恒定律的事件并不都能发生例：一壶水在火上会沸腾？会结冰？5(3)

性质1)叠加定理不可能同时出现的事件——互斥事件出现几个互斥事件的总概率等于每个事件单独出现的概率之和出现所有可能的互斥事件的总概率为1归一化条件：出现例：掷骰子出现1—6：W=162)乘法定理同时发生两个相容独立事件的概率是两个事件单独发生时的概率之积相容统计独立事件：彼此独立，可以同时发生的事件例：同时掷两枚骰子其一出现2：另一出现3：同时发生7三、几个基本概念1.分布函数粒子出现在第i

槽内的概率为：例：伽尔顿板实验槽:1,2,3,......粒子数:N1,N2,N3

......1,2,3,4,...该槽内小球数小球总数(大量)小球在x附近，单位宽度区间出现的概率概率密度8概率密度是x

的函数——分布函数一般情况：分布曲线f(x)Ox曲线下总面积曲线下窄条面积9类比：黑体辐射能量按波长分布（将学）麦克斯韦分子运动速率分布（将学）……人口数量按年龄分布考试人数按分数分布大气中尘埃按直径分布星系中恒星按大小分布树上苹果按大小分布河床中卵石按尺度分布雹粒按尺度分布颗粒度问题f(x)Ox102.统计平均值分数平均值分数g出现的概率总人数人数按分数的分布Ng例：图示100人参加测试的成绩分布（满分50）分数平方平均值11一般情况测量值：出现次数：总次数：出现概率：统计平均值：同理：123.涨落实际出现的情况与统计平均值的偏差例伽尔顿板：某槽中小球数各次不完全相同，在平均值附近起伏。掷骰子：出现4，概率1/6，每掷600次，统计平均实际:13定量描述：误差理论前沿研究：控制论、（噪声、灵敏度…）非线性、非平衡态热力学（耗散结构）例：均方涨落(标准误差)144.微观量和宏观量对多粒子体系的两种描述：关系：宏观量是大量粒子运动的集体表现，是微观量的统计平均值。以系统整体为研究对象，表征整体特征的物理量。如：宏观量：微观量：以系统内各子系为研究对象，表征个别子系特征的物理量。如：15物质由分子组成，分子做无规则的热运动：第二节理想气体的压强和温度一、气体分子动理论①实体物质由大量的、不连续的微粒——分子组成

分子间相互作用rFOr0斥力引力合力16③分子永不停息地作热运动，其剧烈程度表现为温度微观模型：严格遵守三条实验定律质点：不计大小不计重量分子分子器壁除相撞外无相互作用自由质点：理想气体分子弹性质点：弹性碰撞分子器壁分子分子二、理想气体微观模型与统计假设1.模型微观模型：无规运动的弹性质点的集合172.统计性假设（平衡态下）(1)分子处于容器内任一位置处的概率相同(均匀分布)分子数密度(2)

分子沿各方向运动的概率相同

任一时刻向各方向运动的分子数相同

分子速率在各个方向分量的各种平均值相同1819三、理想气体的压强公式①提出模型；②统计平均；③建立宏观量与微观量的联系；④

阐明宏观量的微观实质。从公式推导中领会经典气体分子动理论的典型思想方法:出发点:

气体压强是大量分子不断碰撞容器壁的结果

压强等于器壁单位时间内，单位面积上所受的平均冲量

个别分子服从经典力学定律

大量分子整体服从统计规律20

(1)利用理想气体分子微观模型，考虑一个分子对器壁的一次碰撞而产生的冲量。推导思路：设分子质量为m，一个分子一次碰撞对dS

的冲量的大小为弹性碰撞：21的分子数密度该速度区间所有分子在dt

时间内给予器壁

dS

的总冲量为该速度区间，在dt时间内，与器壁相撞的分子数为(2)

该速度区间所有分子在dt时间内给予器壁的总冲量22为分子平均平动动能式中理想气体压强公式23讨论：

1)计入分子间相互碰撞，是否影响上述推导和结论？

2)如果容器中不是同种分子，结果如何？

3)以上推导中的哪些地方应用了理想气体模型？哪些地方应用了统计性假设？提示：1)同种理想气体分子——完全相同的弹性小球非对心碰撞：导致对dS相撞次数增加、减少机会相同，对心碰撞：甲代乙，乙代甲考虑分子间碰撞不会影响结果。2)道尔顿分压定律总压强等于各种气体单独充满容器时压强之和24(3)阐述宏观量的微观实质

压强是单位时间内所有气体分子施于单位面积容器壁的平均冲量。

压强公式是一个统计规律,离开“大量”、“平均”，

p失去意义，少数分子不能产生稳定，持续的压强。观测时间足够长（宏观小，微观大）dS

足够大（宏观小，微观大）分子数足够多

压强公式反映了宏观量p与微观量统计平均值的相互关系。宏观量是微观量的统计平均值25四、理想气体温度公式理想气体状态方程玻尔兹曼常数26

理想气体温度T

是分子平均平动动能的量度，是分子热运动剧烈程度的标志。

温度是大量分子热运动的集体表现，是统计性概念，对个别分子无温度可言。

热力学认为绝对零度只能逼近，不能达到。27练习：

1.半径R的球形容器内储有某种理想气体，每个分子质量为m，平衡时分子数密度为n，推导压强公式。

一个分子一次碰撞给器壁的冲量；

该分子连续两次碰撞器壁的时间间隔；

单位时间内该分子与器壁相撞次数；

单位时间内该分子对器壁的冲量；

单位时间内所有分子对器壁冲量；

单位时间内、单位面积器壁所受平均冲量p=？mR28

mR29一、近独立子系微观状态的经典描述子系：体系内的粒子经典描述量子描述近独立：不计入相互作用势能但粒子间微弱相互作用可以使系统实现平衡1.基本概念(1)自由度确定一个物体的空间位置所需的独立坐标数。第三节系统微观状态的描述30分子模型的改进推导压强公式：理想气体分子——质点讨论能量问题：考虑分子内部结构——质点组分子热运动平动转动分子内原子间振动总自由度数=平动自由度+转动自由度+振动自由度31A)质点：只有平动，最多三个自由度运动受限制时自由度减少例.飞机r=3，轮船r=2，火车r=1B)刚体决定质心位置r=3过质心转轴方位刚体相对于轴的方位t=3最多6个自由度:i=r+t=6定轴刚体:i=t=132C)气体分子单原子分子—自由质点i=r=3质心位置r=3双原子分子—轻弹簧联系的两个质点xyzOCm2m133多原子分子(原子数n)最多可能自由度i=3n平动r=3转动t=3振动s=3n-6刚性多原子分子r=3t=3s=0i=6(2)粒子的能量=

(位置，动量

)重力场中

=Ek+Ep34由于波粒二象性，需要用相格取代相点的描述。(3)相空间以坐标变量的状态参量描述系统的空间

——相空间(状态空间)。pxxO平衡态——对应相图中的点平衡过程——对应相图中的线

II在误差范围内近似认为：同一相格里不同粒子的状态相同——称为状态简并。粒子总数:N可能的能级:各能级中粒子数:各能级中不同状态:35经典粒子：用确定的描述其运动状态彼此可以区分量子粒子：用全同波函数描述其运动状态彼此不可以区分（例：势阱中粒子）2.近独立全同粒子系统微观状态的经典描述目标：讨论粒子按能量的概率分布约束条件粒子数守恒能量守恒即：N个粒子在

E

守恒条件下，如何分布在各能级、各状态中？361)将N个可区分粒子分为能量组的可能方式彼此对应总分组方式（相容统计独立事件）37

2)每一能量组将Ni个可区分粒子放入gi个量子态中去的可能方式例.将2个可区分粒子放入3个不同状态中去的可能方式38将2个可区分粒子放入3个不同状态的可能方式：3)39二、玻尔兹曼熵公式1.定义维也纳中央公园玻尔兹曼墓碑上没有任何墓志铭，只刻着熵的定义式“写下这些记号的难道是一位凡人吗？”——《浮士德》（歌德）物理学中最重要的公式之一40原始人计数规则毕达哥拉斯勾股定理阿基米德杠杆原理纳皮尔对数牛顿万有引力麦克斯韦电磁波方程齐奥尔科夫斯基火箭飞行原理

爱因斯坦质能公式德布罗意物质波波长玻尔兹曼熵公式尼加拉瓜曾发行一套10枚特种邮票——改变地球面貌的十大公式：412.物理意