2024年全国高考数学试题及解析答案（新课标Ⅱ卷）

新课标II卷（适用地区：重庆、海南、辽宁、黑龙江、吉林、云南、山西、贵州、广西、甘肃、新疆）

2024年普通高等学校招生全国统一考试

数学

注意事项：

1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形

码粘贴在答题卡上的指定位置。

2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试卷、

草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3.填空题和解答题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和

答题卡上的非答题区域均无效。

4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个

选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.

1.已知z=T—i,则忖=（）

A.0B.1C.行D.2

2,已知命题0：VxeR,|x+l|>l.命题/3x>0,x3=x,则（）

A.p和g都是真命题B.「夕和q都是真命题

C.p和f都是真命题D.「P和F都是真命题

u=+2M=2（b-2a\Lb同=

3,已知向量a*满足"।।,且',，则门（）

,V2V3

A.2B.2C.2D.1

4.某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻，得到各块稻田的亩产量（单位：kg）

并部分整理下表

[1100,

亩产量[900,950)[950,1000)[1000,1050)[1150,1200)

1150)

频数612182410

据表中数据，结论中正确的是（）

A.100块稻田亩产量的中位数小于1050kg

B.100块稻田中亩产量低于1100kg的稻田所占比例超过80%

C.100块稻田亩产量的极差介于200kg至300kg之间

D.100块稻田亩产量的平均值介于900kg至1000kg之间

5.已知曲线C：X2+/=16（V>0）,从C上任意一点尸向X轴作垂线段PP,P为垂足，则线段

PP'的中点M的轨迹方程为（）

二+J1n。

>0

A.164（y）B.168（y>o）

y2x2y2x2

c164（J>0）D168（N>°）

6.设函数+g（x）=cosx+2ox,当时，曲线昨/（幻与N=g（x）恰有一

个交点，则（）

52

7.已知正三棱台"BO-4AG的体积为3,4B=6,44=2,则4/与平面/Be所成角的正切值

为（）

8,设函数〃x）=（x+a）皿x+b）,若/（x）»0,则力+尸的最小值为（

A.8B.4

二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符

合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.

g（x）=sin（2x——）

9,对于函数/（x）=sm2x和4,下列正确的有（

A.”幻与且。）有相同零点B.“幻与g（x）有相同最大值

C.与g（x）有相同的最小正周期D.”刈与g"）的图像有相同的对称轴

10.抛物线C：/=4x的准线为/,尸为c上的动点，过尸作。么：》2+3-4）2=1的一条切线，。为切

点，过P作/的垂线，垂足为2,则（）

A./与。/相切B.当P,/,8三点共线时，।0

C当|08]=2时，PALABD,满足口出=口切的点尸有且仅有2个

11.设函数/（"）=2/—3分+1,则（）

A.当。＞1时，/（X）有三个零点

B.当°＜°时，》=°是"X）的极大值点

C.存在a,b,使得x=b为曲线＞=/（x）的对称轴

D,存在a,使得点O'/。））为曲线J=/（x）的对称中心

三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.

12.记S”为等差数列."｝的前〃项和，若%+%=7,3%+%=5,则品=.

13.已知&为第一象限角，,为第三象限角，tana+tan〃=4,tanatan〃=亚+1,则

sin（＜z+〃）=

14.在如图的4x4方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则共有种选法,

在所有符合上述要求的选法中，选中方格中的4个数之和的最大值是.

II213140

12223342

13223343

15243444

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.（13分）

记△45。的内角N,B,C的对边分别为a,b,C,已知sinN+百cosN=2.

(1)求

(2)若。=2,®sinC=csin28,求△43C的周长.

16.（15分）

已知函数〃x）=e*—

（1）当。=1时，求曲线J=〃x）在点（1，/。））处的切线方程；

（2）若"X）有极小值，且极小值小于0,求a的取值范围.

17.（15分）

如图，平面四边形/BCD中，幺8=8,CD=3,AD=5^,

—■2—■

。。AE=-AD

AADC=90,ABAD=30,点总尸满足5,

AF=LAB厂

2，将沿斯对折至！PE7"使得尸C=4j3.

（1）证明：EFLPD.

（2）求面PCD与面PAF所成的二面角的正弦值.

18.（17分）

某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中

一名队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成员为0分；若至少投中一次，则该队进入

第二阶段，由该队的另一名队员投篮3次，每次投中得5分，未投中得0分.该队的比赛成绩为第二阶段

的得分总和.某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为p,乙每次投中的概率为各次

投中与否相互独立.

（D若0=0.4,q=0.5,甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率.

（2）假设°＜”九

（i）为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大，应该由谁参加第一阶段比赛？

（ii）为使得甲、乙，所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛？

19.（17分）

已知双曲线C：——「=机（掰＞°）,点小5'4）在。上，无为常数，0＜后＜1.按照如下方式依次

构造点匕（〃=2,3,…），过々t作斜率为k的直线与C的左支交于点2-1,令勺为Qm关于7轴的对称

点,记匕的坐标为（％'券）.

（1）若2,求％2，歹2；

\+k

（2）证明：数列｛“"一以｝是公比为1一%的等比数列；

（3）设S”为的面积，证明：对任意的正整数〃，S"=S,+1.

2024新课标II卷数学参考答案及解析

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个

选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.

1.【答案】C

【解析】

【分析】由复数模的计算公式直接计算即可.

【详解】若2=-1-i,则忖=J（T）+G°.

故选：C

2.【答案】B

【解析】

【分析】对于两个命题而言，可分别取％=一1、%=1,再结合命题及其否定的真假性相反即可得解.

【详解】对于°而言，取则有卜+"=°<1,故0是假命题，「夕是真命题，

对于1而言，取％=1,则有x3=F=i=x,故0是真命题，「4是假命题，

综上，可和1都是真命题.

故选：B.

3.【答案】B

【解析】

【分析】由仅一2"）"得结合M=1」"+2耳=2,得1+4H+4片=1+6片=4,由

此即可得解.

\b-2a\Lb\b-2a]'b=Q7-置

【详解】因为'），所以'），即b=2〃），

\a\=iJtz+2b\=2

又因知।।।

所以1+4Q・6+4b=1+66=4,

从而

故选：B.

4.【答案】C

【解析】

【分析】计算出前三段频数即可判断A；计算出低于1100kg的频数，再计算比例即可判断B；根据

极差计算方法即可判断C；根据平均值计算公式即可判断D.

【详解】对于A,根据频数分布表可知，6+12+18=36<50,

所以亩产量的中位数不小于l°50kg,故人错误；

对于B,亩产量不低于I10°kg的频数为24+10=34,

100-34

=66%

H

所以低于0°kg的稻田占比为100故B错误;

对于C,稻田亩产量的极差最大为1200-900=300,最小为1150-950=200,故c正确；

对于D,由频数分布表可得，亩产量在口050/100）的频数为100-（6+12+18+24+10）=30,

—X（6x925+12x975+18x1025+30x1075+24x1125+10x1175）=1067

所以平均值为10°,故

D错误.

故选；C.

5.【答案】A

【解析】

【分析】设点用（XJ）,由题意，根据中点的坐标表示可得尸（x，2y）,代入圆的方程即可求解.

【详解】设点"（尤/）,则P（x，%），P（x,O）,

因为“为尸尸'的中点，所以为=2p，即「（无,2P），

又尸在圆1+/=163>0）上,

22

-1

所以X2+4.2j?=y1r6i(y>r\\0),即-1-6--14=1(>>0)

±+匕=l（y>0）

即点加的轨迹方程为164

故选：A

6.【答案】D

【解析】

【分析】解法一：令尸(x)=一+"LG(x)=cosx,分析可知曲线尸尸(x)与kG(x)恰有一

个交点，结合偶函数的对称性可知该交点只能在y轴上，即可得°=2,并代入检验即可；解法二：令

/z(x)=/(x)-g(x),xe(-l,l)；可知〃(％)为偶函数，根据偶函数的对称性可知〃(x)的零点只能为

0,即可得•=2,并代入检验即可.

［详解］解法一:令/(x)=g(x),即a(x+l)2—l=cosx+2ax,+a-l=cosx,

^F(x)=ax2+tz-l,G(x)=cosx

原题意等价于当“e(—LD时，曲线'=/(幻与>=G(X)恰有一个交点，

注意到“(“'G(X)均为偶函数，可知该交点只能在》轴上，

可得“⑼⑼，即"1=1,解得。=2,

若a=2,令E(x)=G(x),可得21+1-cosx=0

因为xe(Tl),贝20,1—cosxNO,当且仅当x=。时，等号成立,

可得ZY+l—cosxNO,当且仅当x=0时，等号成立,

则方程2x2+l-cosx=0有且仅有一个实根0,即曲线>=砥幻与N=G(x)恰有一个交点，

所以。=2符合题意;

综上所述：。=2.

令〃(X)=/(X)-g(x)=ax2+a-1-cosx,xe(-1,1)

解法二:

原题意等价于h(“有且仅有一个零点，

因为力(-x)=a(一+a-1-cos(-x)=ax2+a-1-cosx=h(x)

则”(x)为偶函数,

根据偶函数的对称性可知“X)的零点只能为0,

即人⑼一一2=0,解得”2,

若a=2,则力(%)=2/+1—cosx,xe(—l,l)

又因为2/20,l_cosx»0当且仅当x=0时，等号成立,

可得"x),0,当且仅当x=°时，等号成立，

即〃(x)有且仅有一个零点0,所以。=2符合题意；

故选：D.

7.【答案】B

【解析】

「4G

h----

【分析】解法一：根据台体的体积公式可得三棱台的高3，做辅助线，结合正三棱台的结构

…4百

特征求得3，进而根据线面夹角的定义分析求解；解法二：将正三棱台“8C-44。补成正

三棱锥尸一4BC,4'与平面N2C所成角即为P4与平面N3C所成角，根据比例关系可得噎血=18,

进而可求正三棱锥产―的高，即可得结果.

【详解】解法一：分别取8c4G的中点2〃，贝!AD=373,ZQi=V3

['\fi]

用4而=7x6x6x亏=9百,5口型心=；x2x■\/3=VJ

可知222

设正三棱台“8C-481G的为〃，

力=迪

^ABC-A^C,=^973+73+7973x73jA=^-

解得3,

如图，分别过4,作底面垂线，垂足为M，N,设AM=x,

2

AA{=个AM?+AlM~=Jx+—

则V3,

DN=AD-AM-MN=2s/3-x

2

DDX=JDN+DN=(2百-xV+—

可得Y'，3,

B

+DD2

结合等腰梯形8cq4可得l2J

八3=(2百—J+%4%=迪

即3'，3,解得3.

C一cAM

tanD4^D=-J—

所以A与A平面/2C所成角的正切值为AM

解法二：将正三棱台"c-48c补成正三棱锥尸一/BC,

则4'与平面ABC所成角即为PA与平面ABC所成角，

尸4__1%4B£=_L

因为PAAB3,则VP-ABC27,

可——G27"jBc3,则乙^5,

V_ADC=—dx—x6x6x—=18r~

设正三棱锥尸—4SC的高为d,则P322，解得d=2j3,

取底面N8C的中心为°,则尸°工底面N8C,且幺°=2百,

tan/PAO=----=1

所以P/与平面/2C所成角的正切值A0.

故选：B.

8.【答案】C

【解析】

【分析】解法一：由题意可知："X)的定义域为(―分类讨论一。与一41一6的大小关系，

结合符号分析判断，即可得6=°+1,代入可得最值；解法二：根据对数函数的性质分析M(x+6)的符

号，进而可得x+a的符号，即可得6=a+l,代入可得最值.

【详解】解法一：由题意可知：/⑴的定义域为(一“十°°),

令x+a=0解得x=-a；令ln(x+b)=O解得x=l-6.

若—aW—b,当xe(—"J')时，可知x+a〉0/n(x+A)<0,

此时不合题意；

若—当xe(一见1一')时，可知x+a〉0/n(x+6)<0,

此时不合题意；

若-a=l-b,当xe(一瓦1—3时，可知x+a<0,ln(x+b)<0,此时/(x)〉0；

当》式1一8+°°)时，可知x+aN0/n(x+b)20,此时/⑴沟

可知若一0=1-6,符合题意；

若-a〉T—b,当xe(l一九—。)时，可知x+a<O/n(x+b)〉0,

此时/(乃<°,不合题意；

综上所述：_a="b,即b=a+l,

a1+b2=a2+(a+l)2=2^+-^+->-a=--b^-

贝UI2J22,当且仅当2'2时，等号成立，

j_

所以/+〃的最小值为万；

解法二：由题意可知：小)的定义域为(一”十⑹，

令x+a=0解得x=-a；令ln(x+6)=0解得x=l—6；

则当xe(-“1-6)时，ln(x+6)<0,故x+aWO,所以1-6+aWO；

》41一4+8)时，ln(x+6)〉0,故x+a»0,所以l—b+aNO；

a2+b2=a2+(a+1)2=1{a+^-\+—>—

故1—b+a=O,则I2)22,

1,1

a=­b="—

当且仅当2'2时，等号成立，

所以/+〃的最小值为万.

故选：C.

【点睛】关键点点睛：分别求x+a=°、1n(x+6)=°的根，以根和函数定义域为临界，比较大小

分类讨论，结合符号性分析判断.

二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符

合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.

9.【答案】BC

【解析】

【分析】根据正弦函数的零点，最值，周期公式，对称轴方程逐一分析每个选项即可.

【详解】A选项，令/(x)=sin2x=°,解得2',即为"X)零点，

g(x)=sin(2x--)=0x=—+—,A;eZ

令4,解得28,即为gW零点，

显然/(x),g(x)零点不同，A选项错误；

B选项，显然/(x)max=g(x)max=1,B选项正确；

2兀

——兀

C选项，根据周期公式，/(x)，g(x)的周期均为2,C选项正确；

c7兀knTi]

2x—kitH—x----1—，左£Z

D选项，根据正弦函数的性质的对称轴满足224

2x--=ATI+—<4>x=-+—,A;eZ

g(x)的对称轴满足4228,

显然/(x),g(x)图像的对称轴不同，D选项错误.

故选：BC

10.【答案】ABD

【解析】

【分析】A选项，抛物线准线为》=-1,根据圆心到准线的距离来判断；B选项，R48三点共线

时，先求出P的坐标，进而得出切线长；C选项，根据卢4=2先算出2的坐标，然后验证脑1

是否成立；D选项，根据抛物线的定义，户"=|尸司，于是问题转化成归"H比1的P点的存在性问题,

此时考察//的中垂线和抛物线的交点个数即可，亦可直接设尸点坐标进行求解.

【详解】A选项，抛物线「=4x的准线为产-1,

□N的圆心(°，4)到直线》=-1的距离显然是1,等于圆的半径，

故准线/和□/相切，A选项正确；

B选项，己48三点共线时，即尸4,/,则尸的纵坐标力=支

由"=4打，得到马=支故尸(4,4),

此时切线长因B选项正确；

C选项,当1psi=2时，Xp=l,此时，=4%=4,故P(1,2)或尸(1,-2),

42

k=上2=_2kAB=-=2

当尸(1,2)时，2(0,4),8(—1,2),50-1,0-(-1),

不满足⑥=-1；

/_4_(_2)=_£卜=4_(-2)_6

当P(l,-2)时，40,4),8(—1,2),%—(J〒一一°,AB0-(-1),

不满足勺/^=—1；

于是P4_L4B不成立，C选项错误；

D选项，方法一：利用抛物线定义转化

根据抛物线的定义，闸=|明，这里尸a，。)，

于是户H引尸到时p点的存在性问题转化成卢闻=lPFl时尸点的存在性问题,

化,2)

”(0,4),尸(1,0),中点12人中垂线的斜率为kAF、

2x+15

y=---------22

于是力/的中垂线方程为：,8,与抛物线广=4》联立可得/-16歹+30=°

A=162-4X30=136>0,即//的中垂线和抛物线有两个交点，

即存在两个p点，使得归D选项正确.

方法二：(设点直接求解)

P—t

设〔4J由尸83可得8(山)，又工(0,4),又陷=附

J-+a-4)2=^+l

根据两点间的距离公式，丫164,整理得

16/+30=0

△=16?-4x30=136〉0,则关于/的方程有两个解，

即存在两个这样的尸点，D选项正确.

故选：ABD

11.【答案】AD

【解析】

【分析】A选项，先分析出函数的极值点为x=°，x=",根据零点存在定理和极值的符号判断出了(X)

在(-1,0),(0,a),(a,2a)上各有一个零点；B选项，根据极值和导函数符号的关系进行分析；C选项，假

设存在这样的凡6,使得x=b为/⑴的对称轴，则/(》)=/(2办一%)为恒等式，据此计算判断；D选项,

若存在这样的使得为/a)的对称中心，则/(x)+/(2-x)=6-6a,据此进行计算判断，

亦可利用拐点结论直接求解.

2

【详解】A选项,f'(^=6x-6ax=6x(x-a))由于。>1,

故xe(f°)。(凡+。)时/'(X)>0,故在S，°)，(d+“)上单调递增,

xe(0,a)时，/'(x)<0,/(x)单调递减，

贝V(x)在x=°处取到极大值，在％。处取到极小值，

3

由/(0)=1〉0,/(«)=1-«<0；则/(0)/伍)<0,

根据零点存在定理/(X)在(°，。)上有一个零点，

又/(一1)=一1一3。<0,/(2a)=4/+l>0,则/(—l)/(0)<0J(a)/(2a)<0,

则/(幻在(-1，0)，(a，2。)上各有一个零点，于是a>1时，/⑴有三个零点，A选项正确；

B选项，/'(x)=6x(x-a),"0时，xe(a,0),/'(x)<0,/(x)单调递减，

xe(0,+8)时/'(x)>0,/(x)单调递增，

此时"X)在x=°处取到极小值，B选项错误；

C选项，假设存在这样的凡6,使得x=b为"X)的对称轴，

即存在这样的口力使得/(X)=fQb-%),

即2x3-3ax2+1=2(26-x)3-3a(2b-x)2+1

根据二项式定理，等式右边(2b—x)3展开式含有丁的项为2C；(26)°(-x)3=-2/,

于是等式左右两边V的系数都不相等，原等式不可能恒成立，

于是不存在这样的见“，使得x=b为"X)的对称轴，C选项错误；

D选项，

方法一：利用对称中心的表达式化简

/(1)=3—3a,若存在这样的使得(1，3-3。)为y(x)的对称中心，

则/(x)+/(2_x)=6_6。，事实上，

/(x)+/(2-x)=2x3-3ax2+1+2(2-x)3-3a(2-x)2+1=(12-6a)x2+(12a-24)x+18-12a

于是6-6a=(12-6a+(12。-24)x+18-12a

12-6a=0

<12a—24=0

即〔18-12。=6-6a,解得0=2,即存在。=2使得。，/⑴)是/⑴的对称中心，D选项正确.

方法二：直接利用拐点结论

任何三次函数都有对称中心，对称中心的横坐标是二阶导数的零点，

/(x)=2x3-3ax2+1/'(%)=6x2-6ax,/"(x)=12x-6a

/"(x)=0ox=9，/1万］

由2,于是该三次函数的对称中心为I"

—<^>q=2

由题意(L/⑴)也是对称中心，故2,

即存在。=2使得(1，/⑴)是“冷的对称中心，D选项正确.

故选：AD

【点睛】结论点睛：(1)/⑴的对称轴为X=A=/(X)=/(2'—X)；(2)/(x)关于(。，6)对称

=/(x)+/(2"x)=2b；⑶任何三次函数+加：2+cx+d都有对称中心，对称中心是三

，，，，小々I、

次函数的拐点，对称中心的横坐标是/〃(》)=°的解，即I3"I3a〃是三次函数的对称中心

三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.

12.【答案】95

【解析】

【分析】利用等差数列通项公式得到方程组，解出％”,再利用等差数列的求和公式节即可得到答

案.

%+2d+a1+3d—7a】=—4

【详解】因为数列0〃为等差数列，则由题意得13（6+"）+%+4"=5,解得〔"=3,

10x9

品=叫+-----d=10x(—4)+45x3=95

则2

故答案为：95.

2A/2

13.【答案】3

【解析】

【分析】法一：根据两角和与差的正切公式得tan（a+"）=—2/，再缩小伞+’的范围，最后结

合同角的平方和关系即可得到答案；法二：利用弦化切的方法即可得到答案.

tan（a+m=*+--=\_20

1-tan6Ztanpi_（J2+1）

【详解】法一：由题意得\），

因为I2厂I2人k,meZ,

a+/?e（（2加+2人）兀+兀,（2加+2左）兀+2兀）

则k,meZ

又因为tan(a+#=-2/<0

则"«"+2左）兀+^（2切+2左）兀+2兀［鼠…,则仙（"）<0

sin(a+£).20./公_2V2

则cosja+夕)，联立sin2(a+0+cos2(a+夕)=1,解得sm(a+#--亍

法二：因为I为第一象限角，£为第三象限角，贝ucosa>°,cos〃<0.

cosa1Qcos/?-1

cosa=/__COSP=/.=I=

Vsin26z+cos2a,1+tan2aJsi「尸+cos2〃Jl+tan?"

贝［jsin(6Z+/?)=sinacos°+cosasinfi=cosacos尸(tana+tan/?)

-4-4-42V2

尸

=4cosacos=—j=-

Vi+tan2a^/1+tan2/?J(tana+tan分了+(tanatan/一J，+2"I

2V2

故答案为：3.

14.【答案】

①.24

②.112

【解析】

【分析】由题意可知第一、二、三、四列分别有4、3、2、1个方格可选；利用列举法写出所有的可

能结果，即可求解.

【详解】由题意知，选4个方格，每行和每列均恰有一个方格被选中，

则第一列有4个方格可选，第二列有3个方格可选，

第三列有2个方格可选，第四列有1个方格可选，

所以共有4x3x2x1=24种选法；

每种选法可标记为(处"G"),劣"Gd分别表示第一、二、三、四列的数字，

则所有的可能结果为：

(11,22,33,44),(11,22,34,43),(11,22,33,44),(11,22,34,42),(11,24,33,43),(11,24,33,42)

(12,21,33,44),(12,21,34,43),(12,22,31,44),(12,22,34,40),(12,24,31,43),(12,24,33,40)

(13,21,33,44),(13,21,34,42),(13,22,31,44),(13,22,34,40),(13,24,31,42),(13,24,33,40)

(15,21,33,43),(15,21,33,42),(15,22,31,43),(15,22,33,40),(15,22,31,42),(15,22,33,40)

所以选中的方格中，(氏21，33,43)的4个数之和最大，为15+21+33+43=112.

故答案为：24；112

【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是确定第一、二、三、四列分别有4、3、2、1个方格可选，

利用列举法写出所有的可能结果.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.【答案】

A,=—兀

(1)6

(2)2+76+372

【解析】

【分析】（1）根据辅助角公式对条件sin"+Geos"=2进行化简处理即可求解，常规方法还可利

用同角三角函数的关系解方程组，亦可利用导数，向量数量积公式，万能公式解决；

（2）先根据正弦定理边角互化算出B,然后根据正弦定理算出A，即可得出周长.

【小问1详解】

方法一：常规方法（辅助角公式）

.,rr,八一sm/+——cosA=1sin(/+一)=l

由sm/+A/3cosN=2可得22，即3

，小、,兀/兀4兀、.7171,71

T4+—€(—,—)A+—=—Z=£

由于333,故32,解得6

方法二：常规方法(同角三角函数的基本关系)

由sin/+Gcos/=2,又sin?4+cos?4=1,消去sin/得到：

4cos24—4GCOS/+3=OO(2COS/—G)2=0,解得—2

A=-

又4W(0,TI),故6

方法三：利用极值点求解

/(x)=2sin[x+；卜0<x<兀)

设/(%)=sinx+Gcosx(0<x<71)则

x=-r（x_9/（4）=sinZ+VicosZ=2=2sin（4+巴）

显然6时，JWmax-2,注意到3,

/（X）max=/（"）,在开区间（°，兀）上取到最大值，于是X=Z必定是极值点，

即/'⑷=0=cosN-百sin/,即an-5，

A=-

又“e（0,无），故6

方法四：利用向量数量积公式（柯西不等式）

=(l,V3),S=(sinJ,cos^)；由题意，Z4=sin/+百cosN=2,

a-b=\a\\b\cos(a.b)=2cos(N,B

根据向量的数量积公式，।'l।

则2cos方,B=2ocos1,B=l,此时。,3=。，即凡书同向共线,

1-cosN=G•sinNotanN=

根据向量共线条件，3

/=一

又/e(0,兀)，故6

方法五：利用万能公式求解

,+N.人A4、2tV3(l-?2)

t=tan—sin/+cosA=2=------+——-——

设2，根据万能公式，1+厂1+厂

整理可得，干-2(2-5t+(2-V3)2=0=(r-(2-6))2,

tan—=/=2-73tanA==—

解得2,根据二倍角公式，1一/3,

A=-

又/右（0,兀），故6

【小问2详解】

由题设条件和正弦定理

42bsinC=csin2Bo也sin8sinC=2sinCsinBcosB,

arm、.„.„cosB=—B=-

又比Ce(0,兀)，贝ijsmBsmCHnO,进而2,得到4

C^n-A-B=—

于是12

V2+V6

sinC=sin(兀—A—B)=sin(Z+B)=sinAcos5+sin5cosA

4

2b_c

.兀.7兀

sin—sm——

由正弦定理可得，sin/sinBsinC,即6412

b=20c=瓜+亚

故口480的周长为2+6+3a

16.【答案】

⑴（e-1卜7-1=0

⑵…）

【解析】

【分析】（1）求导，结合导数的几何意义求切线方程；

（2）解法一：求导，分析a4°和°>°两种情况，利用导数判断单调性和极值，分析可得

/+lna—1〉0,构建函数解不等式即可；解法二：求导，可知/‘（x）=e*一口有零点，可得a>°,进

而利用导数求/（“）的单调性和极值，分析可得/+lna-l〉0,构建函数解不等式即可.

【小问1详解】

当。=1时，则/（x）=e'—xT,/'（x）=e*T,

可得〃l）=e-2,/”）=e-1,

即切点坐标为（l'e—力，切线斜率后=e—l,

所以切线方程为'不一2）=（e-1）（1）,即（e-1=0.

【小问2详解】

解法一：因为“X）的定义域为R,且/'（x）=e，—a,

若aK0,则/'（X）-0对任意xeR恒成立，

可知/（*）在R上单调递增，无极值，不合题意；

若。>0,于（）>°,解得x>lna；令/'（x）<0,解得x<lna；

可知/（X）在（fina）内单调递减，在（Ma，+8）内单调递增，

则小）有极小值/（Ma）="aIna-/,无极大值，

由题意可得：/（lna）="alna-/〈0,即/+山”1〉（），

构建g（a）“2+lna—l,a〉0,则g'（"）=+7°,

可知g(")在(°,+")内单调递增,且g⑴=°,

不等式/+lna—1>0等价于g(a)>g(l),解得a>1,

所以a的取值范围为0,十°°)；

解法二：因为了⑺的定义域为R,且/'(%)=d-a,

若/⑴有极小值，则/‘(X)=e'一0有零点，

x

令/‘(X)=e'—a=0,可得e=at

可知V=e，与>=a有交点，则a>0,

若'()>°，解得X>111。；令/'(x)<0,解得X<lna；

可知/⑶在(一00[11")内单调递减，在('a，+°°)内单调递增，

则/(x)有极小值/(lna)="alna-/,无极大值,符合题意.

由题意可得：/(lna)="alna—a'<o,即/+比”1>。,

="+1口。-1,。〉0

构建、7，

因为则〉=//=111”1在(°，+8)内单调递增，

可知g⑷在(Q+")内单调递增,且g(l)=°,

不等式力+lna—1〉0等价于g(a)>目⑴，解得a>1,

所以。的取值范围为0,+°°).

17.【答案】

(1)证明见解析

8而

(2)65

【解析】

【分析】(1)由题意，根据余弦定理求得石尸=2,利用勾股定理的逆定理可证得所140,则

EF1PE，EF±DE,结合线面垂直的判定定理与性质即可证明；

(2)由(1),根据线面垂直的判定定理与性质可证明PELE。，建立如图空间直角坐标系

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