高中数学公式总结19

高中数学公式总结

高中数学常用公式及常用结论

1.元素与集合的关系

xAxCUA,xCUAxA.

2.德摩根公式

CU(AB)CUACUB;CU(AB)CUACUB.

3.包含关系

ABAABBABCUBCUAACUBCUABR

4.容斥原理

card(AB)cardAcardBcard(AB)

card(ABC)cardAcardBcardCcard(AB)

card(AB)card(BC)card(CA)card(ABC).

5.集合｛al,a2,,an｝的子集个数共有2个；真子集有2-1个；非空子集有2-Innn个；非

空的真子集有2-2个.n

6.二次函数的解析式的三种形式

(1)一般式f(x)ax2bxc(a0);

(2)顶点式f(x)a(xh)k(a0);

(3)零点式f(x)a(xxl)(xx2)(a0).

7.解连不等式Nf(x)M常有以下转化形式2

Nf(x)M[f(x)M][fi(x)N]0MNMNf(x)N|0|f(x)22Mf(x)

11.fi(x)NMN

8.方程f(x)0在(kl,k2)上有且只有一个实根，与f(kl)f(k2)0不等价，前者是后者的一个必

要而不是充分条件,特别地，方程axbxc0(a0)有且只有一个实根在2

(kl,k2)内,等价于Rkl)f(k2)0,或Rkl)0且kl~kjk2b~k2.22akk2b1,或Rk2)0且

2a2

9.闭区间上的二次函数的最值

二次函数f(x)ax2bxc(a0)在闭区间p,q上的最值只能在x~间的两端点处取得，具体

如下：

(1)当a>0时，若xb处及区2a；bbp,q,()nmf(,x则

fxi2a2axmaxma(£)p()fq

bp,q,f(x)maxmaxfl(p),f(q),f(x)minminRp),f(q).2a

bp,q,则Rxm(2)当a<0时，若x)iminfp()f,,q(若)n2a

bxp,q,贝II1x)maxmaxRp),f(q),f(x)minminRp),f(q).2ax

10.一元二次方程的实根分布

依据：若f(m)f(n)0,则方程f(x)0在区间(m,n)设f(x)x2pxq,贝ij

p24q0(1)方程f(x)0在区间g,)内有根的充要条件为f(m)0或p；

m2

f(m)0f(n)0(2)方程f(x)0在区间(m,n)内有根的充要条件为f(m)f(n)0或

p24q0mpn2

f(m)00或或；af(n}Oaf(m)0

p24q0(3)方程戈x)0在区间，，n)内有根的充要条件为f(m)0或p.

m2

11.定区间上含参数的二次不等式恒成立的条件依据

(1)在给定区间(.，)的子区间L(形如，二，，,，.不同)上含参数的二

次不等式f(x,t)0(t为参数)恒成立的充要条件是f(x,t)min0(xL).

(2)在给定区间，，)的子区间上含参数的二次不等式f(x,t)0(t为参数)恒成立的充要条

件是f(x,t)man0(xL).

a0a042b0(3)f(x)axbxc0恒成立的充要条件是或2.

b4ac0c0

12.

13.

14.四种命题的相互关系

15.充要条件

<1)充分条件：若pq,则p是q充分条件.

(2)必要条件：若qp,则p是q必要条件.

(3)充要条件：若pq,且qp,则p是q充要条件.注：如果甲是乙的充分条件，则

乙是甲的必要条件；反之亦然.

16.函数的单调性

⑴设xlx2a,b,xlx2那么

(xlx2)f(xl)f(x2)0f(xl)f(x2)0f(x)在a,b上是增函数；xlx2

f(xl)f(x2)01x)在a,b上是减函数.(xix2)f(xl)f(x2)0xlx2

(2)设函数yf(x)在某个区间内可导，如果f(x)0,则f(x)为增函数；如果

f(x)0,则f(x)为减函数.

17.如果函数f(x)和g(x)都是减函数，则在公共定义域内，和函数f(%)g(x)也是减函数；如果函

数yf(u)和ug(x)在其对应的定义域上都是减函数，则复合函数yf[g(x)]是增函数.

18.奇偶函数的图象特征

奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称;反过来，如果一个函数的图象

关于原点对称，那么这个函数是奇函数：如果•个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数

是偶函数.

19.若函数yf(x)是偶函数，则f(xa)ftxa)；若函数yf(xa)是偶函数，则f(xa)fl；xa).

20.对于函数yf(x)(xR),f(xa)f(bx)恒成立，则函数f(x)的对称轴是函数x曲曲;两个函

数yf(xa)与yf(bx)的图象关于直线x对称.22

a21.若f(x)~fUa),则函数yf(x)的图象关于点(,0)对称；若2

f(x)~f(xa),则函数yf(x)为周期为2a的周期函数.

22.多项式函数P(x)anxfianlxn].a0的奇偶性

多项式函数P(x)是奇函数P(x)的偶次项(即奇数项)的系数全为零.

多项式函数P(x)是偶函数P(x)的奇次项(即偶数项)的系数全为零.

23.函数yf(x)的图象的对称性

(1)函数yfijx)的图象关于直线xa对称f(ax)f(ax)

f(2ax)f(x).

(2)函数yf(x)的图象关于直线xab对称f(amx)f(bmx)2

fifabmx)f(mx).

24.两个函数图象的对称性

(1)函数yf(x)与函数y取)的图象关于直线x0(即y轴)对称.

(2)函数yf(mxa)与函数yf(6mx)的图象关于直线x

(3)函数yf(x)和yflab对称.2m(x)的图象关于直线y=x对称.

25.若将函数yf(x)的图象右移a、上移b个单位，得到函数yf&a.)b的图象；若将曲线

f(x,y)0的图象右移a、上移b个单位，得到曲线f&a,yb)0的图象.

26.互为反函数的两个函数的关系

f(a)bfl(b)a.

27.若函数yf(kxb)存在反函数,则其反函数为y1并不是k

y[fl(kxb),而函数ym(kxb)是y

28.几个常见的函数方程的反函数.k

⑴正比例函数Rx)cx,f(xy)f(x)f(y),f(l)c.

(2)指数函数f(x)ax,f(xy)f(x)f(y),f(1)a0.

(3)对数函数f(x)logax,f(xy)f(x)f(y),f(a)I(a0,a1).

(4隔函数f(x)x,f(xy)f(x)f(y),f(l)

(5)余弦函数f(x)cosx,正弦函数g(x)sinx,f(xy)f(x)f(y.)g(x)g(y),

f(0)l,limx0g(x)1.x

29.几个函数方程的周期(约定a>O)

(1)f(x)f(xa),则f(x)的周期T=a；

(2)f(x)f(xa)0,l(f(x)0),f(x)

1或f(xa)~(f(x)0),

f(x)

1或f(xa),(f(x)0,1)，则氏x)的周期T=2a；2

l(f(x)0),则1x)的周期T=3a；(3)f(x)lf(xa)

f(xl.)f(x2)(4)f(xlx2)且f(a)l(f(xl)f(x2)1,0|xlx2|2a),则if(xl)f(x2)或f(xa)

f(x)的周期T=4a；

(5)f(x)f(xa)f(x2a)f(x3a)f(x4a)

f(x)f(xa)f(x2a)f(x3a)f(x4a),则f(x)的周期T=5a；

(6)f(xa)f(x)f(xa),则f(x)的周期T=6a.

30.分数指数累

(Da

(2)amnm

nl

m

na0,m,nN,且n1).(a0,m,nN，且n1)..a

31.根式的性质

(1

)na.

(2)当n

a；

当n

|a|a,a0.a,a0

32.有理指数幕的运算性质

(1)aaa(a0,r,s.Q)rsrs

(2)(a)a(a0,r,sQ).rs

rrs(3)(ab)ab(a0,b0,rQ).rr

注：若a>0,p是一个无理数，则ap表示一个确定的实数.上述有理指数塞的运算

性质，对于无理数指数幕都适用.

33.指数式与对数式的互化式

logaNbabN(a0,a1,N0).

34.对数的换底公式

logmN(a0,且al,m0,且m1,N0).logma

nn推论logamblogab(a0,且al,m,n0,且ml,n1,N0).mlogaN

35.对数的四则运算法则

若a>0,a#l,M>0,N>0,则

(l)loga(MN)logaMlogaN;MlogaMlogaN;N

(3)logaMnnlogaM(nR).(2)loga

36.设函数f(x)logm(ax2bxc)(a0),记&4ac.若f(x)的定义域为R,2

则a0,且0;若f(x)的值域为R,则a0,月.0.对于a0的情形，需要单独检验.

37.对数换底不等式及其推广

1,则函数ylogax(bx)a

11(1)当ab时，在(0,)和(，)±ylogax(bx)为增函数.aa

11,(2)当ab时，在(0,)和(，)±ylogax(bx)为减函数.aa若a0,b0,x0,x

推论:设nm1,p0,a0,且a1,贝

(1)logrnp(np)logmn.

(2)logamloganloga

38.平均增长率的问题

如果原来产值的基础数为N,平均增长率为p,则对于时间x的总产值y,有2mn.2yN(lp)x.

39.数列的同项公式与前n项的和的关系

n1sl,(数列｛an｝的前n项的和为snala2.an),anss,n2nnl

40.等差数列的通项公式

anal(nl)ddnald(nN*)；

其前n项和公式为

n(alan)n(nl)nald22dln2(ald)n.22sn

41.等比数列的通项公式analqnlalnq(nN*)；q

其前n项的和公式为

al(lqn),q1snIqna,q11

alanq,q1或snlq.

na,q11

42.等比差数列an:anlqand,alb(q0)的通项公式为

b(nl)d,q1anbqn(db)qnld；,q1ql

其前n项和公式为

nbn(nl)d,(q1)sn.dlqnd(blq)qllqn,(q1)

43.分期付款(按揭贷款)ab(lb)n

每次还款x元(贷款a元再次还清，每期利率为b).n(lb)l

44.常见三角不等式

(1)若x(0,

⑵若x

(0,2),则sinxxtanx.),则1sinxcosx2

(3)|sinx||cosx|1.

45.同角三角函数的基本关系式sin2,cos21,tan=

46.正弦、余弦的诱导公式sin,tancot1.cos

nn(l)2sin,sin()nl2(l)2cos,

n2cos,n(1)cos)nl2(l)2sin,47.和角与差角公式

sin()sincoscos;si

cos()coscossinsin;

tantantan().1tantan

sin(.)sin()sin2sin2（平方正弦公式）;

cos(.)cos()cos2sin2.

asin

bcos=

b定,tan).a

48.二倍角公式.)(辅助角所在象限由点(a,b)的象限决

sin2sincos.

cos2cos2sin22cos2112sin2

2tantan2.Itan2

49.三倍角公式

sin33sin4sin34sinsin()sin().33

cos34cos33cos4coscos()cos()33.

3tantan3tan3tantan()tan().13tan233

50.三角函数的周期公式

函数ysin(x),x£R及函数ycos(x),xR(A,co,为常数，且A#),co>0)的

周期T2

；函数ytan(x),xk.

2,kZ(A,co,为常数，且A#

0,co>O）的周期T

51.正弦定理.

abc2R.sinAsinBsinC

52.余弦定理

a2b2c22bccosA;

b2c2a22cacosB;

c2a2b22abeosC.

53.面积定理

111ahabhbchc(ha、hb>he分别表示a、b、c边上的高).222

111(2)SabsinCbesinAcasinB.

222(3)SOAB(1)S

54.三角形cosxax2karccosa(k

tanxax.arctana(kZ,aR).

特别地，有

sinsink.(l)k(kZ).

2k(kZ.)coscos

tantank.(kZ).

56.最简单的三角不等式及其解集

x(k2sinxa(|a|l)arcasink,2aarcskin.Z

sinxa(|a|1)x(2karcsina,2k.arcsina),kZ.

(k2

xa(|a|1)x(k2cosxa(|a|l)xcos

R)xtanxa(aarccaosk,2araccko.sZaarcckosZ.arccaosk,22(k

2arctaank,2k),.Ztanxa(aR)x(k

57.实数与向量的积的运算律

设QN为实数，那么

(1)结合律:X(|ia)=(X|i)a;,k.arctana),kZ.

(2)第一分配律：a+R)a=Xa+|ia;

(3)第二分配律：X(a+b)=Xa+Xb.

58.向量的数量积的运算律：

(1)ab=ba(交换律)；

(2)(a)b=(a-b)=ab=a-(b);

(3)(a+b)-c=ac+bc.

59.平面向量基本定理

如果el、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只

有一对实数Q、X2,使得a=Mel+入2e2.

不共线的向量el>e2叫做表示这一平面⑶设A(xl,yl),B(x2,y2),则

ABOBOA(x2xl,y2yl).

cos(a=(xl,yI),b=(x2,y2)).

64.平面两点间的距离公式

d

A,B=|AB|

65.向量的平行与垂直(x1,y1),B(x2,y2)).

设a=(xl,yl),b=(x2,y2),且b0,则

A||bb=Xaxly2x2yl0.

ab(a0)ab=0xlx2yly20.

66.线段的定比分公式设P12的分点，是实数，且PPl(xl,yl),

P2(x2,y2),P(x,y)是线段PPIPP2,则

xlx2xOP110P2OPyyl2y1

1It().OPtOP(lt)OP121

67.三角形的重心坐标公式

△ABC三个顶点的坐标分别为A(xl,yl)、B(x2,y2)、C(x3,y3),则4ABC的重心的坐标是

G(xlx2x3yly2y3,).33

68.点的平移公式

“5xxhxxh5OPOPPP

yykyyk

注:图形F上的任意一点P(x,y)在平移后图形F上的对应点为P(x,y),且PP，的

坐

标为(h,k).““

69.“按向量平移”的几个结论

⑴点P(x,y)按向量a=(h,k)平移后得到点PJ(xh,yk).

(2)函数yf(x)的图象C按向量a=(h,k)平移后得到图象C,则C的函数解析式为“yf&h)k.

(3)图象C按向量a=(h,k)平移后得到图象C,若C的解析式yf(x),则C的函数解析式为

yf(xh)k.

“(4)曲线C:f(x,y)0按向量a=(h,k)平移后得到图象C,则C的方程为“

f(xh,yk)0.

(5)向量m=(x,y)按向量a=(h,k)平移后得到的向量仍然为m=(x,y).

70.三角形五“心”向量形式的充要条件

设O为ABC所在平面上一点，角A,B,C所对边长分别为a,b,c,则

222(1)0为ABC的外心OAOB0C.

(2)0为ABC的重心OAOBOC0.

(3)0为ABC的垂心

OAOBOBOCOC0A.(4)0为ABC的内心

aOAbOBcOC0.(5)0为ABC的A的旁心

aOAbOBcOC.

71.常用不等式：

22(1)a,bRab2ab(当且仅当a=b时取"=”号).

ab当且仅当a=b时取"=”号).2

333(3)abc3abc(a0,b0,c0).(2)a,b

R.

(4)柯西不等式

(a2b2)(c2d2)(acbd)2,a,b,c,dR.

(5)aabab.

72.极值定理

已知x,y都是正数，则有

(1)若积xy是定值p,则当xy时和xy有最小值2；

(2)若和*y是定值s,则当xy时积xy有最大值

推广已知x,yR,则有Gy)(xy)2xy2212s.4

(1)若积xy是定值，则当|1y|最大时，惧y|最大；

当Ry|最小时,|xy|最小.

(2)若和|xy|是定值，则当|xy|最大时,|xy|最小;

当|xy|最小时,|xy|最大.

73.一元二次不等式a»bxc0(或0)(a0,b4ac0),如果a与22ax2bxe同号，则其解

集在两根之外；如果a与ax2bxe异号，则其解集在两根之

间.简言之：同号两根之外，异号两根之间.

xlxx2(xxl)(xx2)0(x1x2)；x乂1,或乂x2(xxl)(xx2)0(x1x2).

74.含有绝对值的不等式

当a>0时，有

xax2aaxa.2

xax2a2xa或xa.

75.无理不等式

4x)0(1

g(x)0.

f(x)g(x)

f(x)0f(x)0(2

g(x)g(x)0.或f(x)[g(x)]2g(x)0

fi[x)0(3

g(x)g(x)0.

f(x)[g(x)]2

76.指数不等式与对数不等式

(1)当a1时，

af(x)ag(x)f(x)g(x);

f(x)0logaf(x)logag(x)g(x)0.

Wg(x)

⑵当0a1时，

af(x)ag(x)f(x)g(x);

f(x)0Iogaf(x)logag(x)g(x)0

♦x)g(x)

77.斜率公式

ky2yl(Pl(xl,yl)>P2(x2,y2)),x2xl

78.直线的五种方程

(1)点斜式yylk(xxl)(直线1过点Pl(xl,yl),且斜率为k).

(2)斜截式ykxb(b为直线1在y轴上的截距).

(3)两点式yylxxl(yly2)(P1(x1,yl)、P2(x2,y2)(xlx2)).y2y1x2x1

xy(4)截距式.l(a、b分别为直线的横、纵截距，a、b0)ab

(5)一般式AxByC0(其中A、B不同时为0).

79.两条直线的平行和垂直

⑴若ll:yk1xb1,12:yk2xb2

①klk2,blb2;

②1112klk2'1.

⑵若ILAlxBlyCl0,12:A2xB2yC20,且Al、A2、Bl、B2都不为零，①U||12A1B1C1；

A2B2C2

②1112A；1A2B1B20

80.夹角公式⑴tan|k2kl|.Ik2kl

A1B2A2B1|.AlA2BlB2(ll:yklxbl,12:yk2xb2,klk2'l)(2)tan|

(11:A).IxBlyCl0,12:A2xB2yC2O,A1A2B1B20

直线1112时，直线11与12的夹角是

81.11到12的角公式(l)tan.2k2kl.Ik2kl

A1B2A2B1.AlA2BlB2(ll:yklxbl,12:yk2xb2,klk2'l)(2)tan

(11:A).IxBlyCl0,12:A2xB2yC2O,A1A2B1B20

直线1112时，直线11到12的角是

82.四种常用直线系方程

(1)定点直线系方程：经过定点P0(x0,.2y0)的直线系方程为ROk&x0)(除直线

的直线系方程为xxO),其中k是待定的系数；经过定点P0(x0,y0)

AGxQ)B(W0)0,其中A,B是待定的系数.

(2)共点直线系方程：经过两直线WAlxBlyCl0,12:A2xB2yC20的交点的直线系方程为

(AlxBlyClJ(A2xB2yC2)0(除12),其中入是待定的系数.

(3)平行直线系方程：直线ykxb中当斜率k一定而b变动时;表示平行直线系方程.与

直线AxByC0平行的直线系方程是AxBy0(0),大是参变量.

(4)垂直直线系方程：与直线AxByC0(A#),B#))垂直的直线系方程是BxAy0,X是

参变量.

83•点到直线的距离

84.或0所表示的平面区域d(点P(xO,yO),直线I：AxByC0).

设直线LAxByC0,则AxByC0或0所表示的平面区域是：若B0,当B与AxByC

同号时，表示直线1的上方的区域；当B与AxByC异号时，表示直线1的下方的区域.简言

之，同号在上，异号在下.

若B0,当A与AxByC同号时,表示直线1的右方的区域；当A与qiByC异号时，表

示直线1的左方的区域.简言之，同号在右，异号在左.

0所表示的平面区域85.(AlxBlyCl)(A2xB2yC2)0或

设曲线C:(A,贝ljlxBlyCl)(A2xB2yC2)0(A1A2B1B20)(AlxBlyCl)(A2xB2yC2)0

或0所表示的平面区域是：(AlxBlyCl)(A2xB2yC2)0所表示的平面区域上下两部分；

(AlxBlyCl)(A2xB2yC2)0所表示的平面区域上下两部分.

86.圆的四种方程

(1)圆的标准方程(xa)2(yb)2r2.

(2)圆的一般方程x2y2DxEyF0(DE4F>0).

(3)圆的参数方程22xarcos.ybrsin

(4)圆的直径式方程(xxl)(xx2)(^yl)(yy2)0(圆的直径的端点是A(xl,yl)、B(x2,y2)).

87.圆系方程

⑴过点A(xl,yl),B(x2,y2)的圆系方程是

(xxl)(xx2J(yyl)(yy2J[(xxl)(yly2)(yyl)(xlx2)]0(xxl)(xx2)(yyl)(yy2j(axbyc)0,其

中axbyc0是直线AB的方程，入是待定的系数.

22⑵过直线l:A、ByC0与圆C：xyD*EyF0的交点的圆系方程是

x2y2DxEyF(AxByC)0,九是待定的系数.

22(3)过圆Cl:x2y2DlxElyF与圆:CxyD2、E2yF20的交点021

22的圆系方程是x2y?DlxElyF(xyD2xE2yF2)0入是待定的系数.1

88.点与圆的位置关系

点P(x0,y0)^0(xa)(yb)r的位置关系有三种

若d222

dr点P在圆外;dr点P在圆上;dr点P在圆内.

89.直线与圆的位置关系

222直线AxByC0与圆&a)6b)r的位置关系有三种：

dr相离0;

dr相切0;

dr相交O.AaBbC其中d.22AB

90.两圆位置关系的判定方法

设两圆圆心分别为01,02,半径分别为rl,r2,0102d

drlr2外离4条公切线；

drlr2外切3条公切线；

rlr2drlr2相交2条公切线；

drlr2ab

a2a2

PF1e(x),PF2e(x).cc

94.椭圆的的22x0yQ21.2ab22x0y01.a2b2

xxyyx2y2

(1)椭圆22l(ab0)上一点P(xO,yO)处的切线方程是0

2021.abab

x2y2

(2)过椭圆22l(ab0)外一点P(xO,yO)所引两条切线的切点弦方程是

ab

xOxyOy

2l.a2b

x2y2

(3)椭圆22l(ab0)与直线AxByCO相切的条件是

ab

A2a2B2b2c2.

x2y2

96.双曲线22l(a0,b0)的焦半径公式

aba2a2

PF1|e(x)|,PF2|e(x)|.

CC

97.双曲线的(3)双曲线22l(a0,b0)与直线A俎y

ab

A2a2B2b2c2.

100.抛物线y2Px的焦半径公式

2

2

抛物线y2px(p0)焦半径CFxO

p.2

PP

x2xlx2p.22

2y2

101.抛物线y2Px上的动点可设为P(其中，y)或P(2pt2,2pt)或P(x,y),

2p

过焦点弦长CDxl

y22px

b24acb2

102.二次函数yaxbxca(x)(1)顶(a0)的图象是抛物线：2a4a

b4a2b2b4a2b2L);,);点坐标为，(2)焦点的坐标为，(3)准线方程是2a4a2a4a

4acb21y.4a2

103.抛物线的对于一般的二次曲线AxBxyCyDxEyF0,用xOx代x,用yOy代y,2

用xOyxyOxxyy代xy,用0代x,用0代y即得方程222

xyxyOxxyyAxOxBOCyOyD0EOF0,曲线的切线，切点弦，中点222

109.证明直线与直线的平行的思考途径

(1)转化为判定共面二直线无交点；

(2)转化为二直线同与第三条直线平行；

(3)转化为线面平行；

(4)转化为线面垂直；

(5)转化为面面平行.

110.证明直线与平面的平行的思考途径

(1)转化为直线与平面无公共点；

(2)转化为线线平行；

(3)转化为面面平行.

111.证明平面与平面平行的思考途径

(1)转化为判定二平面无公共点；

(2)转化为线面平行；

(3)转化为线面垂直.

112.证明直线与直线的垂直的思考途径

(1)转化为相交垂直；

(2)转化为线面垂直；

(3)转化为线与另一线的射影垂直；

(4)转化为线与形成射影的斜线垂直.

113.证明直线与平面垂直的思考途径

(1)转化为该直线与平面内任一直线垂直；

(2)转化为该直线与平面内相交二直线垂直；

(3)转化为该直线与平面的一条垂线平行；

(4)转化为该直线垂直于另一个平行平面；

(5)转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直.114.证明平面与平面的垂直的思考途径

(1)转化为判断二面角是直二面角；

(2)转化为线面垂直.

115.空间向量的加法与数乘向量运算的运算律

⑴加法交换律：a+b=b+a.

(2)加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c).

(3)数乘分配律：X(a+b)=Xa+Xb.

116.平面向量加法的平行四边形法则向空间的推广

始点相同且不在同一个平面内的三个向量之和，等于以这三个向量为棱的平行六面体的

弦，弦中点方程均是此方程得到.

以公共始点为始点的对角线所表示的向量.

117.共线向量定理

对空间任意两个向量a、b(b#)),a〃b存在实数入使

a=Xb.P、A、B三点共线

AP||ABAPtABOP(It)OAtOB.AB||CDAB、

CD共线且AB、CD不共线ABtCD且AB、CD不共线.118洪面向量定理

向量p与两个不共线的向量a、b共面的存在实数对x,y,使paxby.

推论空间一点P位于平面MAB设0、A、B、C是不共面的四点，则对空间任一点P,

都存在唯一的三个有序'已知向量AB=a和轴1,e是1上与1同方向的单位向量.作

A点在1上的射影A,作B点在1上的射影B,则

“AB|AB|cos(a,e)=ae

122.向量的直角坐标运算

设a=(al,a2,a3),b=(bl,b2,b3)则

(I)a+b=(albl,a2b2,a3b3)；

(2)a—b=(albl,a2b2,a3b3)；

(3)而=(al,a2,a3)仇GR)；

(4)ab=albla2b2a3b3；

123.设A(xl,yl,zl),B(x2,y2,z2),则

124.空间的线线平行或垂直ABOBOA=(x2xl,y2yl,z2zl).

rr设a(xl,yl,zl),b(x2,y2,z2),则

xlx2rrrrrraPbab(b0)yly2；

zz2Imrabab0xlx2yly2zlz20.

125.夹角公式

设a=(al,a2,a3),b=(bl,b2,b3),则

cos(a,b)

22222推论(alb.la2b2a3b3)2(ala2a3)(bl2b2b3),此即三维柯西不等式.

126.四面体的对棱所成的角

四面体ABCD中,AC与BD所成的角为，则

|(AB2CD2)(BC2DA2)|cos.2ACBD

rrcos|cosa,b|

rr|ab|=|a||b|roob所成角,a,b分别表示异面直线a,b的方向向量)(其中(090)

为异面直线a,128.直线AB与平面所成角ABm(m为平面的法向量).

arcsin|AB||m|

129.若ABC所在平面若与过若AB的平面成的角，另两边AC,BC与平面成的角

分别是1、2,A、B为ABC的两个内角，则127.异面直线所成角

sin2lsin22（sin2Asin2B）sin2

特别地，当ACB90时，有

sin2lsin22sin2.

130.若ABC所在平面若与过若AB的平面成的角，另两边AC,BC与平面成的角

分别是1、2,A、B为ABO的两个内角，则“

tan2ltan22（sin2A,sin2B,）tan2.

特别地，当AOB90时，有

sin2lsin22sin2.

131.二面角1的平面角mnmnarccos或arccos（m,n为

平面，的法向量）.

132.三余弦定理

设AC是a|CDn|（U,12是两异面直线，其公垂向量为n,C、D分别是

11,12上任一点，d为d|n|

11,12间的距离）.

137.点B到平面的距离|ABn|（n为平面的法向量，AB是经过

面的一条斜线，A）.d|n|

138.异面直线上两点距离公式

d

ddEAA'F）.

（两条异面直线a、b所成的角为0,其公垂线段AA的长度为h.在直线a、b上分别取两点

，E、F,AEm,AFn,EFd）.'

139.三个向量和的平方公式2222（abc）abc2ab2bc2ca

222abc2|a||b|cosa,b2|b||c|cosb,c2|c||a|cosc,a140.

长度为1的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为11、12、13,夹角分别为1、

2、3,则有

21211212132cos21cos22cos231sin21sin22sin232.

（立体几何中长方体对角线长的公式是其特例）.

141.面积射影定理

S5

S.cos

（平面多边形及其射影的面积分别是S、S,它们所在平面所成锐二面角的为）「

142.斜棱柱的直截面

已知斜棱柱的侧棱长是1,侧面积和体积分别是S斜棱柱侧和V斜棱柱，它的直截面的周长

和

面积分别是cl和S1,则

①S斜棱柱侧ell.

②V斜棱柱S11.

143.作截面的依据

三个平面两两相交，有三条交线，则这三条交线交于一点或互相平行.

144.棱锥的平行截面的性质

如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么所得的截面与底面相似，截面面积与底面面积的

比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比（对应角相等，对应边对应成比例的多边形是相似

多边形，相似多边形面积的比等于对应边的比的平方）；相应小棱锥与小棱锥的侧面积的比

等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比.

145.欧拉定理（欧拉公式）

YFE2（简单多面体的顶点数V、棱数E和面数F）.

（1）E=各面多边形边数和的一半.特别地，若每个面的边数为n的多边形，则面数F与棱数

E的关系：EInF；2

lmV.2（2）若每个顶点引出的棱数为m,则顶点数V与棱数E的关系：E

146.球的半径是R,则4R3,3

2其表面积S4R.其体积V

147.球的组合体

（1）球与长方体的组合体：

长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长.

（2）球与正方体的组合体：

正方体的内切球的直径是正方体的棱长，正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长,

正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长.

（3）球与正四面体的组合体：

棱长为a

148.柱体、锥体的体积，

.IV柱体Sh（S是柱体的底面积、h是柱体的身）.3

IV锥体Sh(S是锥体的底面积、h是锥体的高).3

149.分类计数原理(加法原理)Nmlm2.mn.

150.分步计数原理(乘法原理)Nmlm2mn.

151.排列数公式

m=n(nl)(nml)=Ann!.(n,m£N*,且mn).(nm)!注:规定0!1.

152.排列恒等式

mml(l)An;(nml)An

nmAnl;nm

mml(3)AnnAnl;(2)Anm

nnln(4)nAnAnlAn;

mmml(5)An.1AnmAn

(6)l.!22!33!,nn!(「1)11.153.组合数公式

Cm

n=Anmn(nl)(nml)n!==(n£N*,mN,且mn).ml2mm!(nm)1Am

154.组合数的两个性质

mnm(l)Cn=Cn;

mm1m(2)Cn+Cn=Cn1.

0注:规定Cn1.

155.组合恒等式

nmlmlCn;m

nmmCn(2)Cn1;nm

nmlm(3)CnCnl;m(1)Cnm

(4)C

r0

mrn=2;nirl(5)CCIT1CIT2.CnCnl.012m(6)CnCnCn,Cn,Cn2n.

135024⑺CpCpCpCnCnCn2n1.

123n

(8)Cn2Cn3Cn.nCnn2nl.rOrl10rrr(9)CmCnCmCn.CmCnCmn.

021222n2n(l0)(Cn.)(Cn)(Cn).(Cn)C2n.

156.排列数与组合数的关系

mm

.Anm!Cn

157.单条件排列

以下各条的大前提是从n个元素中取m个元素的排列.(1)“在位”与“不在位”

mmIm1

①某(特)元必在某位有Anl种；②某(特)元不在某位有AnAAl(补集思想)

ImlmlmlAnlAnl(着眼位置)An]AmlAnl(着眼元素)种.

(2)紧贴与插空(即相邻与不相邻)

kmk

①定位紧贴：k(kmn)个元在固定位的排列有AkAnk种.

nklk②浮动紧贴：n个元素的全排列把k个元排在一起的排法有AhklAk种.注：此类问题

常用捆绑法；

③插空：两组元素分别有k、h个(khl),把它们合在一起来作全排列，k个的一

hk组互不能挨近的所有排列数有AhAhl种.

(3)两组元素各相同的插空

m个大球n个小球排成一列，小球必分开，问有多少种排法？

nAmnl

当nrpl时，无解；当n中1时有nCipl种排法.

An

(4)两组相同元素的排列：两组元素有m个和n个，各组元素分别相同的排列数为

nCmn.

158.分配问题

(1)(平均分组有归属问题)将相异的m、n个物件等分给m个人，各得n件，其分配方法

数共有NCmnCmnnCmn2nC2nCn

(mn)!

.(n!)m

(2)(平均分组无归属问题)将相异的m・n个物体等分为无记号或无顺序的m堆，其分配

方法数共有

nnnnnCmnCmn(mn)!nCmn2n...C2nCn

.N

m!m!(n!)m

(3)(非平均分组有归属问题)将相异的P(P=nl+n2++nm)个物体分给m个人，物件

必须被分完，分别得到nl,n2,nm件，且nl,n2,nm这m个数彼此不相等，

则

nmnln2

其分配方法数共有NCpCpCnm!nl...m

p!m!

nl!n2!...nm!

⑷(非完全平均分组有归属问题)将相异的P(P=nl+n2++nm)个物体分给m个人，物件

必须被分完，分别得到nl,n2,nm件，且nl,n2,nm这m个数中分别有a、

b、c、…个相等，则其分配方法数有N

nmn1n2

CpCpCnm!nl...m

a!b!c!...

p!m!

nl!n2!...nm!(a!b!c!...)

(5)(非平均分组无归属问题)将相异的P(P=nl+n2++nm)个物体分为任意的nl,

n2,…，nm件无记号的m堆，且nl,n2,…，nm这m个数彼此不相等，则其分配方法

数

P!

有N.

nl!n2!...nm!

⑹(非完全平均分组无归属问题)将相异的P(P=nl+n2++nm)个物体分为任意的nl,

n2,nm件无记号的m堆，且nl,n2,...»nm这m个数中分别有a、b、c、…个相

等，

Pi

则其分配方法数有N.

nl!n2!...nm!(a!b!c!...)

(7)(限定分组有归属问题)将相异的p(pnl+n2++nm)个物体分给甲、乙、丙，..

等m个人，物体必须被分完，如果指定甲得nl件，乙得n2件，丙得n3件，…时，则无论

nl,

n2,nm等m个数是否全相异或不全相异其分配方法数恒有

nmnln2NCpCpCnnl...m

P!

nl!n2!...nm!

159.“错位问题”及其推广

贝努利装错笺问题:信n封信与n个信封全部错位的组合数为

f(n)n![

mi

:,(l)n].2!3!4!n!

推广:n个元素与n个位置，其中至少有m个元素错位的不同组合总数为

1234

f(n,m)n!Cm(n1).!Cm(n2)!Cm(n3).!Cm(n4)!

',(l)C(np).!.(l)C(nm)!

P

P

m

m

mm

1234PmememCmCmpCmmCm

n![11224,(l)p

AnAnAnAnAnAn

160.不定方程xl+x2++xnm的解的个数

⑴方程xl+x2++xnm(n,mN)的正整数解有Cml个.⑵方程xl+x2++xnm

(n,mN)的非负整数解有CpiM个.

(3)方程xl+x2++xnm(n,mN)满足条件xik(kN,2inl)的非负整数解有

C甲i62)(kl)个.

(4)方程xHx2++xnm(n,mN)满足条件xik(kN,2inl)的正整数解有

CnlClCnlC2Cnl,(l)n2Cn2Cnl个.nm1n2rnnk2n2mn2k3n2rn1(n2)k

161.二项式定理

0nlnl2n22mrrnn

(ab)nCnaCnabCnab.Cnab.Cnb;

nl

nl

nl

二项展开式的通项公式

rnrrl,2,n).TriCnab(r0,

162.等可能性事件的概率

P(A)m.n

163.互斥事件A,B分别发生的概率的和

P(A+B)=P(A)+P(B).

164.n个互斥事件分别发生的概率的和

P(A1+A2+...+An)=P(A1)+P(A2)+...+P(An).165.独立事件A,B同时发生的概率

P(AB)=P(A)P(B).

166.n个独立事件同时发生的概率

P(A1-A2-...-An)=P(Al)-P(A2)-...-P(An).

167.n次独立重复试验中某事件恰好发生k次的概率

kkPn(k)CnP(lP)nk.

168.离散型随机变量的分布列的两个性质

(1)P,2,);i0(i1

(2)P1P21.

169.数学期望

ExlPlx2P2,xnPn

170.数学期望的性质

(1)E(a,b)aE(,)b.

(2)若〜B(n,p),则Enp.

(3)若服从几何分布，且P(k)g(k,p)ql71.方差kip,则El.p

D,xlEplx2E_p2.xnEpn172.标准差222

=D.

173.方差的性质

(l)Da.baD；2

(2)若〜B(n,p),则Dnp(lp).

(3)若服从几何分布，且P(k)g(k,p)qklp,则Dq.p2174.方差与期望的关系

DE2E..

175.正态分布密度函数2

X：x226,x：式中的实数M，(>O)是参数，分别表示个体的平均数与标

准差.

176.标准正态分布密度函数

xf

x2,x：177.对于N(,2),取值小于x的概率

xFx

Px1xOx2Pxx2Pxxl2

Fx2Fxl

xxi2.

178.回归直线方程

nn.xiyixiyinxyili1bnn2yabx其中22.

xxiiili1a」79.相关系数r,x

yii

n

yiin|r|<l,且|r|越接近于1,相关程度越大；|r|越接近于0,相关程度越小.180.特殊数列的

极限

0n(l)limqIn不存在|q|lql|q|1或q1.

0(kt)aknkaklnkl.aOat(2)lim(kt).nbntbntl.bbttlOk

不存在(kt)

(3)SlimalIqn

Iqn.aliq(S无穷等比数列aq(|q|1)的和).ill

1

181.函数的极限定理

xx01imf(x)alimf(x)limf(x)a.xxOxxO

182.函数的夹逼性定理

如果函数f(x),g(x),h(x)在点xO的附近满足:

(1)g(x)f(x)h(x);

(2)limg(x)a,limh(x)a(常数)，xxOxxO

则limf(x)a.xxO

本定理对于单侧极限