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文档简介
高中数学公式总结
高中数学常用公式及常用结论
1.元素与集合的关系
xAxCUA,xCUAxA.
2.德摩根公式
CU(AB)CUACUB;CU(AB)CUACUB.
3.包含关系
ABAABBABCUBCUAACUBCUABR
4.容斥原理
card(AB)cardAcardBcard(AB)
card(ABC)cardAcardBcardCcard(AB)
card(AB)card(BC)card(CA)card(ABC).
5.集合{al,a2,,an}的子集个数共有2个;真子集有2-1个;非空子集有2-Innn个;非
空的真子集有2-2个.n
6.二次函数的解析式的三种形式
(1)一般式f(x)ax2bxc(a0);
(2)顶点式f(x)a(xh)k(a0);
(3)零点式f(x)a(xxl)(xx2)(a0).
7.解连不等式Nf(x)M常有以下转化形式2
Nf(x)M[f(x)M][fi(x)N]0MNMNf(x)N|0|f(x)22Mf(x)
11.fi(x)NMN
8.方程f(x)0在(kl,k2)上有且只有一个实根,与f(kl)f(k2)0不等价,前者是后者的一个必
要而不是充分条件,特别地,方程axbxc0(a0)有且只有一个实根在2
(kl,k2)内,等价于Rkl)f(k2)0,或Rkl)0且kl~kjk2b~k2.22akk2b1,或Rk2)0且
2a2
9.闭区间上的二次函数的最值
二次函数f(x)ax2bxc(a0)在闭区间p,q上的最值只能在x~间的两端点处取得,具体
如下:
(1)当a>0时,若xb处及区2a;bbp,q,()nmf(,x则
fxi2a2axmaxma(£)p()fq
bp,q,f(x)maxmaxfl(p),f(q),f(x)minminRp),f(q).2a
bp,q,则Rxm(2)当a<0时,若x)iminfp()f,,q(若)n2a
bxp,q,贝II1x)maxmaxRp),f(q),f(x)minminRp),f(q).2ax
10.一元二次方程的实根分布
依据:若f(m)f(n)0,则方程f(x)0在区间(m,n)设f(x)x2pxq,贝ij
p24q0(1)方程f(x)0在区间g,)内有根的充要条件为f(m)0或p;
m2
f(m)0f(n)0(2)方程f(x)0在区间(m,n)内有根的充要条件为f(m)f(n)0或
p24q0mpn2
f(m)00或或;af(n}Oaf(m)0
p24q0(3)方程戈x)0在区间,,n)内有根的充要条件为f(m)0或p.
m2
11.定区间上含参数的二次不等式恒成立的条件依据
(1)在给定区间(.,)的子区间L(形如,二,,,,.不同)上含参数的二
次不等式f(x,t)0(t为参数)恒成立的充要条件是f(x,t)min0(xL).
(2)在给定区间,,)的子区间上含参数的二次不等式f(x,t)0(t为参数)恒成立的充要条
件是f(x,t)man0(xL).
a0a042b0(3)f(x)axbxc0恒成立的充要条件是或2.
b4ac0c0
12.
13.
14.四种命题的相互关系
15.充要条件
<1)充分条件:若pq,则p是q充分条件.
(2)必要条件:若qp,则p是q必要条件.
(3)充要条件:若pq,且qp,则p是q充要条件.注:如果甲是乙的充分条件,则
乙是甲的必要条件;反之亦然.
16.函数的单调性
⑴设xlx2a,b,xlx2那么
(xlx2)f(xl)f(x2)0f(xl)f(x2)0f(x)在a,b上是增函数;xlx2
f(xl)f(x2)01x)在a,b上是减函数.(xix2)f(xl)f(x2)0xlx2
(2)设函数yf(x)在某个区间内可导,如果f(x)0,则f(x)为增函数;如果
f(x)0,则f(x)为减函数.
17.如果函数f(x)和g(x)都是减函数,则在公共定义域内,和函数f(%)g(x)也是减函数;如果函
数yf(u)和ug(x)在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数yf[g(x)]是增函数.
18.奇偶函数的图象特征
奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y轴对称;反过来,如果一个函数的图象
关于原点对称,那么这个函数是奇函数:如果•个函数的图象关于y轴对称,那么这个函数
是偶函数.
19.若函数yf(x)是偶函数,则f(xa)ftxa);若函数yf(xa)是偶函数,则f(xa)fl;xa).
20.对于函数yf(x)(xR),f(xa)f(bx)恒成立,则函数f(x)的对称轴是函数x曲曲;两个函
数yf(xa)与yf(bx)的图象关于直线x对称.22
a21.若f(x)~fUa),则函数yf(x)的图象关于点(,0)对称;若2
f(x)~f(xa),则函数yf(x)为周期为2a的周期函数.
22.多项式函数P(x)anxfianlxn].a0的奇偶性
多项式函数P(x)是奇函数P(x)的偶次项(即奇数项)的系数全为零.
多项式函数P(x)是偶函数P(x)的奇次项(即偶数项)的系数全为零.
23.函数yf(x)的图象的对称性
(1)函数yfijx)的图象关于直线xa对称f(ax)f(ax)
f(2ax)f(x).
(2)函数yf(x)的图象关于直线xab对称f(amx)f(bmx)2
fifabmx)f(mx).
24.两个函数图象的对称性
(1)函数yf(x)与函数y取)的图象关于直线x0(即y轴)对称.
(2)函数yf(mxa)与函数yf(6mx)的图象关于直线x
(3)函数yf(x)和yflab对称.2m(x)的图象关于直线y=x对称.
25.若将函数yf(x)的图象右移a、上移b个单位,得到函数yf&a.)b的图象;若将曲线
f(x,y)0的图象右移a、上移b个单位,得到曲线f&a,yb)0的图象.
26.互为反函数的两个函数的关系
f(a)bfl(b)a.
27.若函数yf(kxb)存在反函数,则其反函数为y1并不是k
y[fl(kxb),而函数ym(kxb)是y
28.几个常见的函数方程的反函数.k
⑴正比例函数Rx)cx,f(xy)f(x)f(y),f(l)c.
(2)指数函数f(x)ax,f(xy)f(x)f(y),f(1)a0.
(3)对数函数f(x)logax,f(xy)f(x)f(y),f(a)I(a0,a1).
(4隔函数f(x)x,f(xy)f(x)f(y),f(l)
(5)余弦函数f(x)cosx,正弦函数g(x)sinx,f(xy)f(x)f(y.)g(x)g(y),
f(0)l,limx0g(x)1.x
29.几个函数方程的周期(约定a>O)
(1)f(x)f(xa),则f(x)的周期T=a;
(2)f(x)f(xa)0,l(f(x)0),f(x)
1或f(xa)~(f(x)0),
f(x)
1或f(xa),(f(x)0,1),则氏x)的周期T=2a;2
l(f(x)0),则1x)的周期T=3a;(3)f(x)lf(xa)
f(xl.)f(x2)(4)f(xlx2)且f(a)l(f(xl)f(x2)1,0|xlx2|2a),则if(xl)f(x2)或f(xa)
f(x)的周期T=4a;
(5)f(x)f(xa)f(x2a)f(x3a)f(x4a)
f(x)f(xa)f(x2a)f(x3a)f(x4a),则f(x)的周期T=5a;
(6)f(xa)f(x)f(xa),则f(x)的周期T=6a.
30.分数指数累
(Da
(2)amnm
nl
m
na0,m,nN,且n1).(a0,m,nN,且n1)..a
31.根式的性质
(1
)na.
(2)当n
a;
当n
|a|a,a0.a,a0
32.有理指数幕的运算性质
(1)aaa(a0,r,s.Q)rsrs
(2)(a)a(a0,r,sQ).rs
rrs(3)(ab)ab(a0,b0,rQ).rr
注:若a>0,p是一个无理数,则ap表示一个确定的实数.上述有理指数塞的运算
性质,对于无理数指数幕都适用.
33.指数式与对数式的互化式
logaNbabN(a0,a1,N0).
34.对数的换底公式
logmN(a0,且al,m0,且m1,N0).logma
nn推论logamblogab(a0,且al,m,n0,且ml,n1,N0).mlogaN
35.对数的四则运算法则
若a>0,a#l,M>0,N>0,则
(l)loga(MN)logaMlogaN;MlogaMlogaN;N
(3)logaMnnlogaM(nR).(2)loga
36.设函数f(x)logm(ax2bxc)(a0),记&4ac.若f(x)的定义域为R,2
则a0,且0;若f(x)的值域为R,则a0,月.0.对于a0的情形,需要单独检验.
37.对数换底不等式及其推广
1,则函数ylogax(bx)a
11(1)当ab时,在(0,)和(,)±ylogax(bx)为增函数.aa
11,(2)当ab时,在(0,)和(,)±ylogax(bx)为减函数.aa若a0,b0,x0,x
推论:设nm1,p0,a0,且a1,贝
(1)logrnp(np)logmn.
(2)logamloganloga
38.平均增长率的问题
如果原来产值的基础数为N,平均增长率为p,则对于时间x的总产值y,有2mn.2yN(lp)x.
39.数列的同项公式与前n项的和的关系
n1sl,(数列{an}的前n项的和为snala2.an),anss,n2nnl
40.等差数列的通项公式
anal(nl)ddnald(nN*);
其前n项和公式为
n(alan)n(nl)nald22dln2(ald)n.22sn
41.等比数列的通项公式analqnlalnq(nN*);q
其前n项的和公式为
al(lqn),q1snIqna,q11
alanq,q1或snlq.
na,q11
42.等比差数列an:anlqand,alb(q0)的通项公式为
b(nl)d,q1anbqn(db)qnld;,q1ql
其前n项和公式为
nbn(nl)d,(q1)sn.dlqnd(blq)qllqn,(q1)
43.分期付款(按揭贷款)ab(lb)n
每次还款x元(贷款a元再次还清,每期利率为b).n(lb)l
44.常见三角不等式
(1)若x(0,
⑵若x
(0,2),则sinxxtanx.),则1sinxcosx2
(3)|sinx||cosx|1.
45.同角三角函数的基本关系式sin2,cos21,tan=
46.正弦、余弦的诱导公式sin,tancot1.cos
nn(l)2sin,sin()nl2(l)2cos,
n2cos,n(1)cos)nl2(l)2sin,47.和角与差角公式
sin()sincoscos;si
cos()coscossinsin;
tantantan().1tantan
sin(.)sin()sin2sin2(平方正弦公式);
cos(.)cos()cos2sin2.
asin
bcos=
b定,tan).a
48.二倍角公式.)(辅助角所在象限由点(a,b)的象限决
sin2sincos.
cos2cos2sin22cos2112sin2
2tantan2.Itan2
49.三倍角公式
sin33sin4sin34sinsin()sin().33
cos34cos33cos4coscos()cos()33.
3tantan3tan3tantan()tan().13tan233
50.三角函数的周期公式
函数ysin(x),x£R及函数ycos(x),xR(A,co,为常数,且A#),co>0)的
周期T2
;函数ytan(x),xk.
2,kZ(A,co,为常数,且A#
0,co>O)的周期T
51.正弦定理.
abc2R.sinAsinBsinC
52.余弦定理
a2b2c22bccosA;
b2c2a22cacosB;
c2a2b22abeosC.
53.面积定理
111ahabhbchc(ha、hb>he分别表示a、b、c边上的高).222
111(2)SabsinCbesinAcasinB.
222(3)SOAB(1)S
54.三角形cosxax2karccosa(k
tanxax.arctana(kZ,aR).
特别地,有
sinsink.(l)k(kZ).
2k(kZ.)coscos
tantank.(kZ).
56.最简单的三角不等式及其解集
x(k2sinxa(|a|l)arcasink,2aarcskin.Z
sinxa(|a|1)x(2karcsina,2k.arcsina),kZ.
(k2
xa(|a|1)x(k2cosxa(|a|l)xcos
R)xtanxa(aarccaosk,2araccko.sZaarcckosZ.arccaosk,22(k
2arctaank,2k),.Ztanxa(aR)x(k
57.实数与向量的积的运算律
设QN为实数,那么
(1)结合律:X(|ia)=(X|i)a;,k.arctana),kZ.
(2)第一分配律:a+R)a=Xa+|ia;
(3)第二分配律:X(a+b)=Xa+Xb.
58.向量的数量积的运算律:
(1)ab=ba(交换律);
(2)(a)b=(a-b)=ab=a-(b);
(3)(a+b)-c=ac+bc.
59.平面向量基本定理
如果el、e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量,有且只
有一对实数Q、X2,使得a=Mel+入2e2.
不共线的向量el>e2叫做表示这一平面⑶设A(xl,yl),B(x2,y2),则
ABOBOA(x2xl,y2yl).
cos(a=(xl,yI),b=(x2,y2)).
64.平面两点间的距离公式
d
A,B=|AB|
65.向量的平行与垂直(x1,y1),B(x2,y2)).
设a=(xl,yl),b=(x2,y2),且b0,则
A||bb=Xaxly2x2yl0.
ab(a0)ab=0xlx2yly20.
66.线段的定比分公式设P12的分点,是实数,且PPl(xl,yl),
P2(x2,y2),P(x,y)是线段PPIPP2,则
xlx2xOP110P2OPyyl2y1
1It().OPtOP(lt)OP121
67.三角形的重心坐标公式
△ABC三个顶点的坐标分别为A(xl,yl)、B(x2,y2)、C(x3,y3),则4ABC的重心的坐标是
G(xlx2x3yly2y3,).33
68.点的平移公式
“5xxhxxh5OPOPPP
yykyyk
注:图形F上的任意一点P(x,y)在平移后图形F上的对应点为P(x,y),且PP,的
坐
标为(h,k).““
69.“按向量平移”的几个结论
⑴点P(x,y)按向量a=(h,k)平移后得到点PJ(xh,yk).
(2)函数yf(x)的图象C按向量a=(h,k)平移后得到图象C,则C的函数解析式为“yf&h)k.
(3)图象C按向量a=(h,k)平移后得到图象C,若C的解析式yf(x),则C的函数解析式为
yf(xh)k.
“(4)曲线C:f(x,y)0按向量a=(h,k)平移后得到图象C,则C的方程为“
f(xh,yk)0.
(5)向量m=(x,y)按向量a=(h,k)平移后得到的向量仍然为m=(x,y).
70.三角形五“心”向量形式的充要条件
设O为ABC所在平面上一点,角A,B,C所对边长分别为a,b,c,则
222(1)0为ABC的外心OAOB0C.
(2)0为ABC的重心OAOBOC0.
(3)0为ABC的垂心
OAOBOBOCOC0A.(4)0为ABC的内心
aOAbOBcOC0.(5)0为ABC的A的旁心
aOAbOBcOC.
71.常用不等式:
22(1)a,bRab2ab(当且仅当a=b时取"=”号).
ab当且仅当a=b时取"=”号).2
333(3)abc3abc(a0,b0,c0).(2)a,b
R.
(4)柯西不等式
(a2b2)(c2d2)(acbd)2,a,b,c,dR.
(5)aabab.
72.极值定理
已知x,y都是正数,则有
(1)若积xy是定值p,则当xy时和xy有最小值2;
(2)若和*y是定值s,则当xy时积xy有最大值
推广已知x,yR,则有Gy)(xy)2xy2212s.4
(1)若积xy是定值,则当|1y|最大时,惧y|最大;
当Ry|最小时,|xy|最小.
(2)若和|xy|是定值,则当|xy|最大时,|xy|最小;
当|xy|最小时,|xy|最大.
73.一元二次不等式a»bxc0(或0)(a0,b4ac0),如果a与22ax2bxe同号,则其解
集在两根之外;如果a与ax2bxe异号,则其解集在两根之
间.简言之:同号两根之外,异号两根之间.
xlxx2(xxl)(xx2)0(x1x2);x乂1,或乂x2(xxl)(xx2)0(x1x2).
74.含有绝对值的不等式
当a>0时,有
xax2aaxa.2
xax2a2xa或xa.
75.无理不等式
4x)0(1
g(x)0.
f(x)g(x)
f(x)0f(x)0(2
g(x)g(x)0.或f(x)[g(x)]2g(x)0
fi[x)0(3
g(x)g(x)0.
f(x)[g(x)]2
76.指数不等式与对数不等式
(1)当a1时,
af(x)ag(x)f(x)g(x);
f(x)0logaf(x)logag(x)g(x)0.
Wg(x)
⑵当0a1时,
af(x)ag(x)f(x)g(x);
f(x)0Iogaf(x)logag(x)g(x)0
♦x)g(x)
77.斜率公式
ky2yl(Pl(xl,yl)>P2(x2,y2)),x2xl
78.直线的五种方程
(1)点斜式yylk(xxl)(直线1过点Pl(xl,yl),且斜率为k).
(2)斜截式ykxb(b为直线1在y轴上的截距).
(3)两点式yylxxl(yly2)(P1(x1,yl)、P2(x2,y2)(xlx2)).y2y1x2x1
xy(4)截距式.l(a、b分别为直线的横、纵截距,a、b0)ab
(5)一般式AxByC0(其中A、B不同时为0).
79.两条直线的平行和垂直
⑴若ll:yk1xb1,12:yk2xb2
①klk2,blb2;
②1112klk2'1.
⑵若ILAlxBlyCl0,12:A2xB2yC20,且Al、A2、Bl、B2都不为零,①U||12A1B1C1;
A2B2C2
②1112A;1A2B1B20
80.夹角公式⑴tan|k2kl|.Ik2kl
A1B2A2B1|.AlA2BlB2(ll:yklxbl,12:yk2xb2,klk2'l)(2)tan|
(11:A).IxBlyCl0,12:A2xB2yC2O,A1A2B1B20
直线1112时,直线11与12的夹角是
81.11到12的角公式(l)tan.2k2kl.Ik2kl
A1B2A2B1.AlA2BlB2(ll:yklxbl,12:yk2xb2,klk2'l)(2)tan
(11:A).IxBlyCl0,12:A2xB2yC2O,A1A2B1B20
直线1112时,直线11到12的角是
82.四种常用直线系方程
(1)定点直线系方程:经过定点P0(x0,.2y0)的直线系方程为ROk&x0)(除直线
的直线系方程为xxO),其中k是待定的系数;经过定点P0(x0,y0)
AGxQ)B(W0)0,其中A,B是待定的系数.
(2)共点直线系方程:经过两直线WAlxBlyCl0,12:A2xB2yC20的交点的直线系方程为
(AlxBlyClJ(A2xB2yC2)0(除12),其中入是待定的系数.
(3)平行直线系方程:直线ykxb中当斜率k一定而b变动时;表示平行直线系方程.与
直线AxByC0平行的直线系方程是AxBy0(0),大是参变量.
(4)垂直直线系方程:与直线AxByC0(A#),B#))垂直的直线系方程是BxAy0,X是
参变量.
83•点到直线的距离
84.或0所表示的平面区域d(点P(xO,yO),直线I:AxByC0).
设直线LAxByC0,则AxByC0或0所表示的平面区域是:若B0,当B与AxByC
同号时,表示直线1的上方的区域;当B与AxByC异号时,表示直线1的下方的区域.简言
之,同号在上,异号在下.
若B0,当A与AxByC同号时,表示直线1的右方的区域;当A与qiByC异号时,表
示直线1的左方的区域.简言之,同号在右,异号在左.
0所表示的平面区域85.(AlxBlyCl)(A2xB2yC2)0或
设曲线C:(A,贝ljlxBlyCl)(A2xB2yC2)0(A1A2B1B20)(AlxBlyCl)(A2xB2yC2)0
或0所表示的平面区域是:(AlxBlyCl)(A2xB2yC2)0所表示的平面区域上下两部分;
(AlxBlyCl)(A2xB2yC2)0所表示的平面区域上下两部分.
86.圆的四种方程
(1)圆的标准方程(xa)2(yb)2r2.
(2)圆的一般方程x2y2DxEyF0(DE4F>0).
(3)圆的参数方程22xarcos.ybrsin
(4)圆的直径式方程(xxl)(xx2)(^yl)(yy2)0(圆的直径的端点是A(xl,yl)、B(x2,y2)).
87.圆系方程
⑴过点A(xl,yl),B(x2,y2)的圆系方程是
(xxl)(xx2J(yyl)(yy2J[(xxl)(yly2)(yyl)(xlx2)]0(xxl)(xx2)(yyl)(yy2j(axbyc)0,其
中axbyc0是直线AB的方程,入是待定的系数.
22⑵过直线l:A、ByC0与圆C:xyD*EyF0的交点的圆系方程是
x2y2DxEyF(AxByC)0,九是待定的系数.
22(3)过圆Cl:x2y2DlxElyF与圆:CxyD2、E2yF20的交点021
22的圆系方程是x2y?DlxElyF(xyD2xE2yF2)0入是待定的系数.1
88.点与圆的位置关系
点P(x0,y0)^0(xa)(yb)r的位置关系有三种
若d222
dr点P在圆外;dr点P在圆上;dr点P在圆内.
89.直线与圆的位置关系
222直线AxByC0与圆&a)6b)r的位置关系有三种:
dr相离0;
dr相切0;
dr相交O.AaBbC其中d.22AB
90.两圆位置关系的判定方法
设两圆圆心分别为01,02,半径分别为rl,r2,0102d
drlr2外离4条公切线;
drlr2外切3条公切线;
rlr2drlr2相交2条公切线;
drlr2ab
a2a2
PF1e(x),PF2e(x).cc
94.椭圆的的22x0yQ21.2ab22x0y01.a2b2
xxyyx2y2
(1)椭圆22l(ab0)上一点P(xO,yO)处的切线方程是0
2021.abab
x2y2
(2)过椭圆22l(ab0)外一点P(xO,yO)所引两条切线的切点弦方程是
ab
xOxyOy
2l.a2b
x2y2
(3)椭圆22l(ab0)与直线AxByCO相切的条件是
ab
A2a2B2b2c2.
x2y2
96.双曲线22l(a0,b0)的焦半径公式
aba2a2
PF1|e(x)|,PF2|e(x)|.
CC
97.双曲线的(3)双曲线22l(a0,b0)与直线A俎y
ab
A2a2B2b2c2.
100.抛物线y2Px的焦半径公式
2
2
抛物线y2px(p0)焦半径CFxO
p.2
PP
x2xlx2p.22
2y2
101.抛物线y2Px上的动点可设为P(其中,y)或P(2pt2,2pt)或P(x,y),
2p
过焦点弦长CDxl
y22px
b24acb2
102.二次函数yaxbxca(x)(1)顶(a0)的图象是抛物线:2a4a
b4a2b2b4a2b2L);,);点坐标为,(2)焦点的坐标为,(3)准线方程是2a4a2a4a
4acb21y.4a2
103.抛物线的对于一般的二次曲线AxBxyCyDxEyF0,用xOx代x,用yOy代y,2
用xOyxyOxxyy代xy,用0代x,用0代y即得方程222
xyxyOxxyyAxOxBOCyOyD0EOF0,曲线的切线,切点弦,中点222
109.证明直线与直线的平行的思考途径
(1)转化为判定共面二直线无交点;
(2)转化为二直线同与第三条直线平行;
(3)转化为线面平行;
(4)转化为线面垂直;
(5)转化为面面平行.
110.证明直线与平面的平行的思考途径
(1)转化为直线与平面无公共点;
(2)转化为线线平行;
(3)转化为面面平行.
111.证明平面与平面平行的思考途径
(1)转化为判定二平面无公共点;
(2)转化为线面平行;
(3)转化为线面垂直.
112.证明直线与直线的垂直的思考途径
(1)转化为相交垂直;
(2)转化为线面垂直;
(3)转化为线与另一线的射影垂直;
(4)转化为线与形成射影的斜线垂直.
113.证明直线与平面垂直的思考途径
(1)转化为该直线与平面内任一直线垂直;
(2)转化为该直线与平面内相交二直线垂直;
(3)转化为该直线与平面的一条垂线平行;
(4)转化为该直线垂直于另一个平行平面;
(5)转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直.114.证明平面与平面的垂直的思考途径
(1)转化为判断二面角是直二面角;
(2)转化为线面垂直.
115.空间向量的加法与数乘向量运算的运算律
⑴加法交换律:a+b=b+a.
(2)加法结合律:(a+b)+c=a+(b+c).
(3)数乘分配律:X(a+b)=Xa+Xb.
116.平面向量加法的平行四边形法则向空间的推广
始点相同且不在同一个平面内的三个向量之和,等于以这三个向量为棱的平行六面体的
弦,弦中点方程均是此方程得到.
以公共始点为始点的对角线所表示的向量.
117.共线向量定理
对空间任意两个向量a、b(b#)),a〃b存在实数入使
a=Xb.P、A、B三点共线
AP||ABAPtABOP(It)OAtOB.AB||CDAB、
CD共线且AB、CD不共线ABtCD且AB、CD不共线.118洪面向量定理
向量p与两个不共线的向量a、b共面的存在实数对x,y,使paxby.
推论空间一点P位于平面MAB设0、A、B、C是不共面的四点,则对空间任一点P,
都存在唯一的三个有序'已知向量AB=a和轴1,e是1上与1同方向的单位向量.作
A点在1上的射影A,作B点在1上的射影B,则
“AB|AB|cos(a,e)=ae
122.向量的直角坐标运算
设a=(al,a2,a3),b=(bl,b2,b3)则
(I)a+b=(albl,a2b2,a3b3);
(2)a—b=(albl,a2b2,a3b3);
(3)而=(al,a2,a3)仇GR);
(4)ab=albla2b2a3b3;
123.设A(xl,yl,zl),B(x2,y2,z2),则
124.空间的线线平行或垂直ABOBOA=(x2xl,y2yl,z2zl).
rr设a(xl,yl,zl),b(x2,y2,z2),则
xlx2rrrrrraPbab(b0)yly2;
zz2Imrabab0xlx2yly2zlz20.
125.夹角公式
设a=(al,a2,a3),b=(bl,b2,b3),则
cos(a,b)
22222推论(alb.la2b2a3b3)2(ala2a3)(bl2b2b3),此即三维柯西不等式.
126.四面体的对棱所成的角
四面体ABCD中,AC与BD所成的角为,则
|(AB2CD2)(BC2DA2)|cos.2ACBD
rrcos|cosa,b|
rr|ab|=|a||b|roob所成角,a,b分别表示异面直线a,b的方向向量)(其中(090)
为异面直线a,128.直线AB与平面所成角ABm(m为平面的法向量).
arcsin|AB||m|
129.若ABC所在平面若与过若AB的平面成的角,另两边AC,BC与平面成的角
分别是1、2,A、B为ABC的两个内角,则127.异面直线所成角
sin2lsin22(sin2Asin2B)sin2
特别地,当ACB90时,有
sin2lsin22sin2.
130.若ABC所在平面若与过若AB的平面成的角,另两边AC,BC与平面成的角
分别是1、2,A、B为ABO的两个内角,则“
tan2ltan22(sin2A,sin2B,)tan2.
特别地,当AOB90时,有
sin2lsin22sin2.
131.二面角1的平面角mnmnarccos或arccos(m,n为
平面,的法向量).
132.三余弦定理
设AC是a|CDn|(U,12是两异面直线,其公垂向量为n,C、D分别是
11,12上任一点,d为d|n|
11,12间的距离).
137.点B到平面的距离|ABn|(n为平面的法向量,AB是经过
面的一条斜线,A).d|n|
138.异面直线上两点距离公式
d
ddEAA'F).
(两条异面直线a、b所成的角为0,其公垂线段AA的长度为h.在直线a、b上分别取两点
,E、F,AEm,AFn,EFd).'
139.三个向量和的平方公式2222(abc)abc2ab2bc2ca
222abc2|a||b|cosa,b2|b||c|cosb,c2|c||a|cosc,a140.
长度为1的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为11、12、13,夹角分别为1、
2、3,则有
21211212132cos21cos22cos231sin21sin22sin232.
(立体几何中长方体对角线长的公式是其特例).
141.面积射影定理
S5
S.cos
(平面多边形及其射影的面积分别是S、S,它们所在平面所成锐二面角的为)「
142.斜棱柱的直截面
已知斜棱柱的侧棱长是1,侧面积和体积分别是S斜棱柱侧和V斜棱柱,它的直截面的周长
和
面积分别是cl和S1,则
①S斜棱柱侧ell.
②V斜棱柱S11.
143.作截面的依据
三个平面两两相交,有三条交线,则这三条交线交于一点或互相平行.
144.棱锥的平行截面的性质
如果棱锥被平行于底面的平面所截,那么所得的截面与底面相似,截面面积与底面面积的
比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比(对应角相等,对应边对应成比例的多边形是相似
多边形,相似多边形面积的比等于对应边的比的平方);相应小棱锥与小棱锥的侧面积的比
等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比.
145.欧拉定理(欧拉公式)
YFE2(简单多面体的顶点数V、棱数E和面数F).
(1)E=各面多边形边数和的一半.特别地,若每个面的边数为n的多边形,则面数F与棱数
E的关系:EInF;2
lmV.2(2)若每个顶点引出的棱数为m,则顶点数V与棱数E的关系:E
146.球的半径是R,则4R3,3
2其表面积S4R.其体积V
147.球的组合体
(1)球与长方体的组合体:
长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长.
(2)球与正方体的组合体:
正方体的内切球的直径是正方体的棱长,正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长,
正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长.
(3)球与正四面体的组合体:
棱长为a
148.柱体、锥体的体积,
.IV柱体Sh(S是柱体的底面积、h是柱体的身).3
IV锥体Sh(S是锥体的底面积、h是锥体的高).3
149.分类计数原理(加法原理)Nmlm2.mn.
150.分步计数原理(乘法原理)Nmlm2mn.
151.排列数公式
m=n(nl)(nml)=Ann!.(n,m£N*,且mn).(nm)!注:规定0!1.
152.排列恒等式
mml(l)An;(nml)An
nmAnl;nm
mml(3)AnnAnl;(2)Anm
nnln(4)nAnAnlAn;
mmml(5)An.1AnmAn
(6)l.!22!33!,nn!(「1)11.153.组合数公式
Cm
n=Anmn(nl)(nml)n!==(n£N*,mN,且mn).ml2mm!(nm)1Am
154.组合数的两个性质
mnm(l)Cn=Cn;
mm1m(2)Cn+Cn=Cn1.
0注:规定Cn1.
155.组合恒等式
nmlmlCn;m
nmmCn(2)Cn1;nm
nmlm(3)CnCnl;m(1)Cnm
(4)C
r0
mrn=2;nirl(5)CCIT1CIT2.CnCnl.012m(6)CnCnCn,Cn,Cn2n.
135024⑺CpCpCpCnCnCn2n1.
123n
(8)Cn2Cn3Cn.nCnn2nl.rOrl10rrr(9)CmCnCmCn.CmCnCmn.
021222n2n(l0)(Cn.)(Cn)(Cn).(Cn)C2n.
156.排列数与组合数的关系
mm
.Anm!Cn
157.单条件排列
以下各条的大前提是从n个元素中取m个元素的排列.(1)“在位”与“不在位”
mmIm1
①某(特)元必在某位有Anl种;②某(特)元不在某位有AnAAl(补集思想)
ImlmlmlAnlAnl(着眼位置)An]AmlAnl(着眼元素)种.
(2)紧贴与插空(即相邻与不相邻)
kmk
①定位紧贴:k(kmn)个元在固定位的排列有AkAnk种.
nklk②浮动紧贴:n个元素的全排列把k个元排在一起的排法有AhklAk种.注:此类问题
常用捆绑法;
③插空:两组元素分别有k、h个(khl),把它们合在一起来作全排列,k个的一
hk组互不能挨近的所有排列数有AhAhl种.
(3)两组元素各相同的插空
m个大球n个小球排成一列,小球必分开,问有多少种排法?
nAmnl
当nrpl时,无解;当n中1时有nCipl种排法.
An
(4)两组相同元素的排列:两组元素有m个和n个,各组元素分别相同的排列数为
nCmn.
158.分配问题
(1)(平均分组有归属问题)将相异的m、n个物件等分给m个人,各得n件,其分配方法
数共有NCmnCmnnCmn2nC2nCn
(mn)!
.(n!)m
(2)(平均分组无归属问题)将相异的m・n个物体等分为无记号或无顺序的m堆,其分配
方法数共有
nnnnnCmnCmn(mn)!nCmn2n...C2nCn
.N
m!m!(n!)m
(3)(非平均分组有归属问题)将相异的P(P=nl+n2++nm)个物体分给m个人,物件
必须被分完,分别得到nl,n2,nm件,且nl,n2,nm这m个数彼此不相等,
则
nmnln2
其分配方法数共有NCpCpCnm!nl...m
p!m!
nl!n2!...nm!
⑷(非完全平均分组有归属问题)将相异的P(P=nl+n2++nm)个物体分给m个人,物件
必须被分完,分别得到nl,n2,nm件,且nl,n2,nm这m个数中分别有a、
b、c、…个相等,则其分配方法数有N
nmn1n2
CpCpCnm!nl...m
a!b!c!...
p!m!
nl!n2!...nm!(a!b!c!...)
(5)(非平均分组无归属问题)将相异的P(P=nl+n2++nm)个物体分为任意的nl,
n2,…,nm件无记号的m堆,且nl,n2,…,nm这m个数彼此不相等,则其分配方法
数
P!
有N.
nl!n2!...nm!
⑹(非完全平均分组无归属问题)将相异的P(P=nl+n2++nm)个物体分为任意的nl,
n2,nm件无记号的m堆,且nl,n2,...»nm这m个数中分别有a、b、c、…个相
等,
Pi
则其分配方法数有N.
nl!n2!...nm!(a!b!c!...)
(7)(限定分组有归属问题)将相异的p(pnl+n2++nm)个物体分给甲、乙、丙,..
等m个人,物体必须被分完,如果指定甲得nl件,乙得n2件,丙得n3件,…时,则无论
nl,
n2,nm等m个数是否全相异或不全相异其分配方法数恒有
nmnln2NCpCpCnnl...m
P!
nl!n2!...nm!
159.“错位问题”及其推广
贝努利装错笺问题:信n封信与n个信封全部错位的组合数为
f(n)n![
mi
:,(l)n].2!3!4!n!
推广:n个元素与n个位置,其中至少有m个元素错位的不同组合总数为
1234
f(n,m)n!Cm(n1).!Cm(n2)!Cm(n3).!Cm(n4)!
',(l)C(np).!.(l)C(nm)!
P
P
m
m
mm
1234PmememCmCmpCmmCm
n![11224,(l)p
AnAnAnAnAnAn
160.不定方程xl+x2++xnm的解的个数
⑴方程xl+x2++xnm(n,mN)的正整数解有Cml个.⑵方程xl+x2++xnm
(n,mN)的非负整数解有CpiM个.
(3)方程xl+x2++xnm(n,mN)满足条件xik(kN,2inl)的非负整数解有
C甲i62)(kl)个.
(4)方程xHx2++xnm(n,mN)满足条件xik(kN,2inl)的正整数解有
CnlClCnlC2Cnl,(l)n2Cn2Cnl个.nm1n2rnnk2n2mn2k3n2rn1(n2)k
161.二项式定理
0nlnl2n22mrrnn
(ab)nCnaCnabCnab.Cnab.Cnb;
nl
nl
nl
二项展开式的通项公式
rnrrl,2,n).TriCnab(r0,
162.等可能性事件的概率
P(A)m.n
163.互斥事件A,B分别发生的概率的和
P(A+B)=P(A)+P(B).
164.n个互斥事件分别发生的概率的和
P(A1+A2+...+An)=P(A1)+P(A2)+...+P(An).165.独立事件A,B同时发生的概率
P(AB)=P(A)P(B).
166.n个独立事件同时发生的概率
P(A1-A2-...-An)=P(Al)-P(A2)-...-P(An).
167.n次独立重复试验中某事件恰好发生k次的概率
kkPn(k)CnP(lP)nk.
168.离散型随机变量的分布列的两个性质
(1)P,2,);i0(i1
(2)P1P21.
169.数学期望
ExlPlx2P2,xnPn
170.数学期望的性质
(1)E(a,b)aE(,)b.
(2)若〜B(n,p),则Enp.
(3)若服从几何分布,且P(k)g(k,p)ql71.方差kip,则El.p
D,xlEplx2E_p2.xnEpn172.标准差222
=D.
173.方差的性质
(l)Da.baD;2
(2)若〜B(n,p),则Dnp(lp).
(3)若服从几何分布,且P(k)g(k,p)qklp,则Dq.p2174.方差与期望的关系
DE2E..
175.正态分布密度函数2
X:x226,x:式中的实数M,(>O)是参数,分别表示个体的平均数与标
准差.
176.标准正态分布密度函数
xf
x2,x:177.对于N(,2),取值小于x的概率
xFx
Px1xOx2Pxx2Pxxl2
Fx2Fxl
xxi2.
178.回归直线方程
nn.xiyixiyinxyili1bnn2yabx其中22.
xxiiili1a」79.相关系数r,x
yii
n
yiin|r|<l,且|r|越接近于1,相关程度越大;|r|越接近于0,相关程度越小.180.特殊数列的
极限
0n(l)limqIn不存在|q|lql|q|1或q1.
0(kt)aknkaklnkl.aOat(2)lim(kt).nbntbntl.bbttlOk
不存在(kt)
(3)SlimalIqn
Iqn.aliq(S无穷等比数列aq(|q|1)的和).ill
1
181.函数的极限定理
xx01imf(x)alimf(x)limf(x)a.xxOxxO
182.函数的夹逼性定理
如果函数f(x),g(x),h(x)在点xO的附近满足:
(1)g(x)f(x)h(x);
(2)limg(x)a,limh(x)a(常数),xxOxxO
则limf(x)a.xxO
本定理对于单侧极限
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