高中数学复习笔记

高中数学复习笔记

（整理于2006-4-7）

一、函数图象

1、对称：

y=f(x)与y=f(-x)关于y轴对称，例如：

y=〃"与y=a'(a＞0且〃W1)关于y轴对称

y二f(x)与尸—f(x)关于x轴对称，例如：

JI।

y=/与y=-/关于x轴对称

y=f(x)与y=-f(-x)关于原点对称，例如：

y=与y=_(一1”关于原点对称

y=f(x)与y=fT(x)关于y=x对称,例如：

y=10"与y=lgx关于y=x对称

y=f(x)与y二一f-1(—x)关于y二一x对称，如：y=10"与y二一1g(—x)关于y二一x对称

注：偶函数的图象本身就会关于y轴对称，而奇函数的图象本身就会关于原点对称，例如：

y=X2图象本身就会关于y轴对称，y=/的图象本身就会关于原点对称。

y=f(x)与y=f(a-x)关于x=@对称(丁“+"——=—)

222

注:求尸f(x)关于直线±x±y±c=0(注意此时的系数要么是1要么是T)对称的方程,只需由x士y+c=0

解出x、y再代入y二f(x)即可，例如：求y=2x+l关于直线x-yT=0对称的方程,可先由x-y-l=0解

出x=y+Ly=x-l,代入y=2x+l得：x-l=2(y+1)整理即得:x-2y-3=0

2、平移：

y=f(x)fy=f(69x+。)先向左(。＞0)或向右(。＜0)平移I。个单位，再保持纵坐标不变，横

坐标压缩或伸长为原来的,倍(若y=f(/x+。)-»y=f(x)则先保持纵坐标不变，横坐标压缩或

CD

伸长为原来的。倍，再将整个图象向右(。＞0)或向左(。＜0)平移川个单位，即与原先顺序相反)

y=f(x)3y=fJx+^\先保持纵坐标不变，横坐标压缩或伸长为原来的倍，然后再将整个

1G力①

图象向左("＞0)或向右(。〈0)平移121个单位，(反之亦然)。

CD

3、必须掌握的儿种常见函数的图象

1

1、二次函数丫=@/+6*+。（aHO）（懂得利用定义域及对称轴判断函数的最值）

2、指数函数），=/（。>0且4H1）（理解并掌握该函数的单调性与底数a的关系）

3、幕函数y=x"（a>0且awl）（理解并掌握该函数的单调性与幕指数a的关系）

4、对数函数y=log〃x（a>0且awl）（理解并掌握该函数的单调性与底数a的关系）

5、y-x+-（a为正的常数）（懂得判断该函数的四个单调区间）

x

6、三角函数丫=5行*、y=cosx、y=tanx、y=cotx（能根据图象判断这些函数的单调区间）

注：三角中的几个恒等关系

sin~7x+cos2x=l1+tan-?x=sec2x1+cot2x=csc2xtanx-cotx=l

利用函数图象解题典例

已知X1、/分别是方程x+10*=3及x+lgx=3的根，求：%1+x2

分析：x+10*=3可化为10*=3—x,x+lgx=3可化为lgx=3—x,故此可认为是曲线

y=10*、y=Igx与直线y=3—x的两个交点，而此两个交点关于y=x对称，故问题迎刃而解。

答案：3

4、函数中的最值问题：

1、二次函数最值问题

结合对称轴及定义域进行讨论。

典例：设aCR,函数/（x）=x2+lr—ol+l,xGR,求/'（x）的最小值.

考查函数最值的求法及分类讨论思想.

13

【解】（1）当工2。时，f（x）=x2+x—6;+1=（x+—）~~a+—

24

113

若Q<一2时，则/（工）在［〃，+°°］上最小值为/（—/）〃

若4>—g时，则/（X）在［〃，+8）上单调递增

fmin=f（。）=^2+1

13

（2）当nW。时，f（x）==/—冗+。+］=（X——）2+«+—

24

若“wg时，则/（x）在（-8,单调递减，/in寸■（“）=a2+l

113

当时，则/（X）在（-8,a］上最小值为/（/）=j+a

13

综上所述，当。〈一5时，/（X）的最小值为j-a

2

当一LwoW，时，f（x）的最小值为〃2+1

22

13

当〃>—时，f（x）的最小值为一十。

24

2、利用均值不等式

典例：已知X、y为正数，且x2+5=l,求xjl+y2的最大值

分析：xy/1+y2=次（1+/）=/厂（；厂）（即设法构造定值x2+券=1）

__________21+/

=&卜（1±21）<也-------2:述故最大值为迎

V2244

y

注：本题亦可用三角代换求解即设*F05。,正=sin6求解,（解略）

3、通过求导，找极值点的函数值及端点的函数值，通过比较找出最值。

4、利用函数的单调性

,11

典例：求t?+3+=一的最小值（分析：利用函数丫=工+—在（1,+8）的单调性求解，解略）

r+2x

5、三角换元法（略）

6、数形结合

例：已知X、y满足x2+y2=4,求匕9的最值

x-6

5、抽象函数的周期问题

已知函数y=f（x）满足f（x+1）=—f（x）,求证：f（x）为周期函数

证明：由已知得f（x）=—f（x—1）,所以f（x+1）=—f（x）=—（—f（x—D）

=f（x-1）即f（t）=f（t—2）,所以该函数是以2为最小正周期的函数。

解此类题目的基本思想：灵活看待变量，积极构造新等式联立求解

二、圆锥曲线

1、离心率

圆（离心率e=0）、椭圆（离心率0<e<l）、抛物线（离心率e=l）、双曲线（离心率e>l）。

2、焦半径

椭圆：PF|=a+ex0、PF2=a-ex（）（左加右减）（其中P为椭圆上任一点，F1为椭圆左焦点、F2为椭

圆右焦点）

3

注：椭圆焦点到其相应准线的距离为^--c

C

双曲线：PF]=|ex（）+a|、PF2=|ex0-a|（左加右减）（其中P为双曲线上任一点，为双曲线左

焦点、F2为双曲线右焦点）

注：双曲线焦点到其相应准线的距离为c-M

c

抛物线：抛物线上任一点到焦点的距离都等于该点到准线的距离（解题中常用）

圆锥曲线中的面积公式：（％、F2为焦点）

a

2

设P为椭圆上一点，ZF,PF2=e,则三角形F1PF2的面积为：btan-

n

注：|PFj|PF21cos2一巾2为定值

2

,0

设P为双曲线上一点，ZF.PF^e,则三角形F1PF2的面积为：b2cot-

n

注：IPF"〔PF?|sin2—=b2为定值

2

附：三角形面积公式：

11cihc1

S=—底x图=一absinC=---——r（a+b+c）—（R为外接圆半径，r为内切圆半径）

224R2

=，/（/—a）（/—3（/一C）（/为三角形周长的一半）（这就是著名的海伦公式）

三、数列求和

裂项法：若｛4｝是等差数列，公差为d（%H0）则求s“=—乙+——+...+------时可用裂项法

。2a3a/，，+i

„„b111111、bn

求解，即anS’,=——（z--------1---------F…4----------）=------

da\a2a2aianan+\aian+t

求导法：（典例见高三练习册p86例9）

倒序求和：（典例见世纪金榜p40练习18）

分组求和：求和：1-2+2-4+3-8+4T6+5-32+6-…分析：可分解为一个等差数列和一个等比数列然后分

组求和

*、

求通项：构造新数列法典例分析：典例见世纪金榜p30例4——构造新数列||即可

四、向量与直线

4

向量(a,b),(c,d)垂直的充要条件是ac+bd=0

向量(a,b),(c,d)平行的充要条件是ad一bc=0

附：直线人d+81丫+储=0与直线人2*+132丫+，2=0垂直的充要条件是人|A2+B]B2=0

直线A]X+B]y+Ci=0与直线Azx+Bzy+C2=0平行的充要条件是A】B2-A2B,=0

向量的夹角公式:

「a-b

cos"=-------

\a\-\b\

注1：直线的“到角”公式：6到乙的角为tan%)：占；“夹角”公式为tan夕=|'一＞

1+k、k、1+k2kl

jr

(“到角”可以为钝角，而“夹角”只能为0,-之间的角)

_2_

TT

注2：异面直线所成角的范围：(0,-]

2

注3：直线倾斜角范围[0,兀)

TT

注4：直线和平面所成的角[0,-]

2

注5：二面角范围：[0,乃]

TT

注6：锐角：(0,1)

2

TTTT

注7：0到一的角表不(0,一]

22

TT

注8：第一象限角(2k万，2k"+―)

2

附♦：三角和差化积及积化和差公式简记

S+S=SC

S+S=CS

C+C=CC

C—C=—SS

五、集合

1、集合元素个数的计算

card(AlJBUC)-card(A)+card(B)+card(C)—card(Ad5)—card(BDC)—card(CFlA)

+card(AflBnC)(结合图形进行判断可更为迅速)

2、从集合角度来理解充要条件：若AuB,则称A为B的充分不必要条件，(即小的可推出大的)此时

B为A的必要不充分条件，若4=3,则称A为B的充要条件

经纬度

六、二项展开式系数：

5

C：+C：+C：+…C：=2"（其中C：+C：+C：+…=2"\C：心+C：+“・=2f

例：求（2+3x）⑼展开式中

1、所有项的系数和

2、奇数项系数的和

3、偶数项系数的和

方法：只要令x为1或一1即可

七、离散型随机变量的期望与方差

E（aj+b）=aEj+b；E（b）=b

D（a"b）=a2D^；D（b）=0

M=E42—（EJ）2

特殊分布的期望与方差

（0、1）分布：期望：E^=p；方差Dj=pq

二项分布：期望Ej=np；方差Dj=npq

注：期望体现平均值，方差体现稳定性，方差越小越稳定。

八、圆系、直线系方程

经过某个定点（X。，打）的直线即为一直线系，可利用点斜式设之（k为参数）

一组互相平行的直线也可视为一直线系，可利用斜截式设之（b为参数）

经过圆f（x、y）与圆（或直线）g（x、y）的交点的圆可视为一圆系，可设为：

f（x、y）+2g（x^y）=0（此方程不能代表g（x^y）=0）；或4f（x、y）+g（x^y）=0（此方程不

能代表f（x、y）=0）

_〃一

A》弘一〃孙

附：回归直线方程的求法：设回归直线方程为y=bx+a,则b=+--------------r

-nx

/=1

a=y-bx

九、立体几何（一）

1、欧拉公式：V+F—E=2（只适用于简单多面体）

利用欧拉公式解题的关键是列出V、F、E之间的关系式

棱数E=，（每个顶点出发的棱数之和）=工（每个面的边数之和）（常用）

22

6

2、长方体的三度定理

长方体的一条对角线的长的平方等于一个顶点上三条棱的长的平方和

推论

A、若对角线与各棱所成的角为a、则：

cos2a+cos20+cos2/=1sin2（z+sin2/?+sin2/=2

B、若对角线与各面所成的角为a、。、y,则：

cos2a+cos20+cos2/=2sin2（z+sin2/?+sin2/=1

3、三角形“四心”

重心：三边中线交点

垂心：三边高线交点

内心：角平分线交点（内切圆圆心）

外心：垂直平分线交点（外接圆圆心）

若三角形为正三角形，则以上“四心”合称“中心”

引申：

若三棱锥三个侧面与底面所成的角相等，则该棱锥的顶点在底面的射影为底面三角形的内心

若三棱锥三条侧棱与底面所成的角相等，则该棱锥的顶点在底面的射影为底面三角形的外心

若三棱锥三条侧棱两两垂直，则该棱锥的顶点在底面的射影为底面三角形的垂心

若该三棱锥为正三棱锥，则其顶点在底面的射影为底面三角形的中心

4、经度纬度

九、立体几何（二）

一、“共”的问题

1.多点共线：先证其中两点确定一条直线，然后其余点均在该直线上。举例：正方体ABCD—ABCD

中，设线段AQ与平面ABCD交于Q,证：B,Q,上共线。

2.多线共点：先证两直线共点，其余的过该点。举例：三个平面两两相交于三条直线，求证：三

条交线共点，或互相平行。

3.多线共面：先找到两条确定一个平面，然后证其它的均在平面内。举例：四条直线两两相交不

共点，求证：四条直线共面。

二、“角”的问题

1.异面直线所成角（0°,90°］：采用平移转化法，构造一个含。的三角形，由余弦定理求得（请

自己补充例子，这个很重要）；

2.直线与平面所成角［0°,90。］：关键是找射影，最后通过垂线、斜线、射影来求所成角。举例:

求正四面体的侧棱与底面所成的角。

3.二面角［0°,180°］：关键是作二面角，方法有定义法、作棱的垂面、三垂线定理和公式法（S=cos

7

0・S')o举例：求正四面体的相邻两侧面所成角(arccos(l/3)).

三、“距离”的问题

1.点面距：可通过定义法或等体积法。举例：边长为a的正方体ABCD-ABCD中，求A点到平

面AiBD的距图(—a)0

3

2.线面距：转化为点面距。举例：边长为a的正方体ABCD—ABCD中，求AB到平面BCD1的距

离(--a)o

3

V2

3.异面直线间距离(一些较特殊的，难度不要太大)，比如求正四面体对棱间的距离(J。)。举

2

例：边长为a的正方体ABCD-ABCD中，求与BD的距离(;叵a)。

3

4.球面距：它是球面上两点间的最短距离，求解的步骤：

(1)计算线段AB的长

(2)计算A、B所对的球心角(用弧度角表示)

(3)计算球大圆在AB间的劣弧

举例:设地球半径为R,在北纬45°圈上有A、B两地,沿此纬度圈上A、B两地间的劣弧长为R,

4

TT

求AB间的球面距。(一R)

3

注意：1。在求距离过程中，要体现先证角(把所要的角给找出来)，后求角这两个步骤。

2.要灵活把握点面距、线面距、线线距(注意：两异面直线间的距离就等于分别过这两条

直线的平行平面间的距离)、面面距间的转化使用。

四、“垂直”的问题

1.平面内证明两直线垂直的方法

a.勾股定理

b.等腰三角形的三线合一

c.直径所对的圆周角

d.垂径定理

e.直二角的性质

f.棱形、正方形的对角线互相垂直

g.平行直线中•条垂直于第三条直线，则另一条也与第三条垂直

2.线面垂直的判定

(1)线线垂直->线面垂直：mC\n=P,k±m,k±n,m/3,n/3=>k1/3(2)

线面垂直->线面垂直:m//〃,〃？J_£=〃_L

8

(3)直二面角的性质：aJ_⑸aH=l,mc:a,m1/=>m1

（4）三垂线定理

注意:以上几种方法，实质乃是转化思想，在解题中，要把握它们相互间的转化应用，切不可死

记硬背。举例：在正方体ABCD-ARCD中,E、F分别是BBi、DB的中点，求证:EF_L平面BiAC.(例

子自己再补充）

3.面面垂直

（1）定义法，求证二面角为90。

（2）•平面过另一平面的垂线

举例：直线a、b是异面直线，a_L平面a,b_L平面B,a±b,求证：a±p

4.三垂线定理

（1）cosZPAB=cosZPAC,cosZCAB

（2）NPAC相当于斜线与平面所成角

（3）NPBC相当于二面角

（4）/_LAC,/u平面AP（定理）//

（5）AP,/u平面ABCn/LAC（逆定理）卜//%

（6）垂线段最短（前提是自平面外同一个点引的所有线段中）匕飞/,

（7）最小角定理（涉及到不等问题时要想到这里）8\

五、“个数”的问题

（1）空间中到四面体的四个顶点距离都相等的平面________个。（7个）

（2）过直线外一点有个平面与该直线平行（无数个）

（3）一直线与一平面斜交，则平面内有条直线与该直线平行。（0）

（4）3条两两相交的直线可以确定一个平面（1个或3个）

（5）过空间一点，与两异面直线都平行的平面有一条（0或1）

（6）3个平面可以把空间分个部分。（4或6或7或8）

（7）两两相交的4条直线最多可以确定_个平面（6个）

（8）两异面直线成60°的角，问过空间一点与它们都成30°（45°,60°,80°）的角的直线有

条。（1；2；3；4）

六、克服思维定势，区分平面与空间的问题

1.在空间中错误的命题

（1）垂直于同一条直线的两直线平行

（2）平行于同一直线的两平面平行

（3）平行于同一平面的两直线平行

（4）过直线外一点只有一条直线与已知直线垂直（有无数条）

（5）两个不同平面内的两条直线叫做异面直线

（正确：不同在任何平面内的两条直线）

（6）一直线与一平面内无数条直线垂直，则该直线与这个平面垂直（无数条应改成所有的才是正确的）

2.正确的命题

（1）平行于同-条直线的两条直线平行

（2）垂直于同一条直线的两个平面平行

（3）两平面平行，若第三个平面与它们相交且有两条交线，则两直线平行

9

（4）两相交平面同时垂直于第三个平面，则它们的交线垂直于第三个平面

七、“正多面体”的问题

1.正四面体（请掌握相关的推导方法）

(1)每对对棱都是成90°的异面直线，中点连线即为公垂线

V2

(2)两异面直线间的距离为Ja（此时设a为正四面体棱长）

2

1-

(3)体积为-/（此时设a为正四面体外接正方体边长。即四面体的四个顶点刚好和正方体的某四个

3

顶点重合）（结合课本P53：第8题图形）

(4)外接球的半径为)（a为四面体的边长）

4

(5)内切球的半径为但a)（a为四面体的边长）

12

(6)相邻两面的二面角为(arccos—)

3

(7)以各棱中点为顶点可以得到正八面体，则正八面体的棱长为（-a）（a为正四面体边长）

2

2.正八面体

(1)若它是以正方体和各面中心为顶点得到的，则正方体的边长为（V2a）（a为正八面体的边

长）

51

(2)其体积为（―即为外接正方体体积的（a为正八面体的边长）

36

(3)相邻两面所成的二面角为一（^--arccos-）.

3

附：简易逻辑之——否定词：（所谓否定，即事物的对立面）

原词=><是都是至多有一个至多有n个至少有一个任意的

否定<>不是不都是至少有两个至少有n+1个一个也没有某个

原词任两个P或q能

否定某两个P且q不能

注：以上否定词只是针对一般的情况而言而非绝对，遇到特殊问题还需具体分析

补充：

2006年高考数学误点特别提醒

在高考备考的过程中，熟化这些解题小结论，防止解题易误点的产生，对提升高考数学成绩将会

起到较大的作用.

10

1.集合A、B,Ac8=0时，你是否注意到“极端”情况：A=0或8=0；求集合的子集时是

否忘记0.例如：(。―2*+2(a—2)x<0对一切xeR恒成立，求a的取植范围，你讨论了a=2的

情况了吗？

2.对于含有n个元素的有限集合M,其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为2",2"-1,

3.Cl(A(jB)=ClAnClB,C,(AryB)=C,A^)ClB.“p且q”的否定是“非p或非q”，“p

或q”的否定是“非p且非q"。在反证法中的相关“反设”你清楚吗？

4.“2”的涵义你清楚吗？不等式(x—2)Jx2—2x—320的解集是｛、1%23｝对吗？

5.若AoB,则求B成立的一个充分不必要条件C,只需C0A；求B成立的一个必要不充分条件C,

只需A0C.

6.从集合A到集合B的映射，只要求A中的每一个元素在B中有唯一的象即可。在排列组合中的映

射计数问题，一定要找到每一个元素的象，分步完成构建映射，按分步计数原理计数。

7.函数的几个重要性质：

①如果函数y=/(x)对于一切xwR,都有/(a+x)=/(a-x),那么函数>=/(x)的图象关于直线

x=a对称oy=/(%+«)是偶函数.

②函数y=/(x)与函数y=/(—X)的图象关于直线》=0对称；

函数y=/(x)与函数y=-/⑴的图象关于直线y=0对称；

函数y=/(x)与函数y=-/(-x)的图象关于坐标原点对称.

③函数)，=/k+幻与函数?二/(。一》)的图象关于直线％=0对称.

④若奇函数y=/(x)在(0,+8)上是增函数，则>=/(x)在(—8,0)上也是增函数.

⑤若偶函数y=/(x)在(0,+8)卜一是增函数，则>=/(x)在(—8,0)上是减函数.

⑥函数y=f(x+a)(a>0)的图象是函数y=/(x)的图象向左平移a个单位得到的；

⑦函数y=〃x+a)((a<0)的图象把函数y=/(x)的图象向右平移同个单位得到的；

⑧函数y=/(x)+a(a>0)的图象是函数y=/(x)的图象向上平移a个单位得到的；

11

⑨函数y=〃x)+a(a<0)的图象是函数y=/(x)的图象向下平移同个单位得到的.

⑩函数y=f(ax)(。>0)的图象是函数旷=/(x)的图象沿x轴伸缩为原来的,得到的；

a

(11)函数y=af(x)(a>0)的图象是函数y=/(x)的图象沿y轴伸缩为原来的a倍得到的.

8.求一个函数的解析式和一个函数的反函数时，你标注了该函数的定义域了吗？

9.函数与其反函数之间的•个有用的结论：/T(a)=b=f(b)=。.原函数与反函数图象的交点不全

在y=x上；y=/T(x+a)只能理解为y=/“(x)在x+a处的函数值。

10.原函数y=/(x)在区间［-。/上单调递增，则一定存在反函数，且反函数y=(外也单调递增;

但一个函数存在反函数，此函数不淀单调.

11.判断一个函数的奇偶性时，你注意到函数的定义域是否关于原点对称这个必要非充分条件了吗？若

f(x)偶函数，则f(x)=f(lxl),这一性质在避免相关分类讨论中有非常重要作用，你知道吗？

12.由定义证明函数的单调性时，规范格式是什么？(取值，作差，判正负.);由导数法研究函数单调性时,

要注意(x)>0(或f(x)<0)是该函数在给定区间上单调递增(减)的必要条件。

13.你知道函数y^ax+-Q>0/>0)的单调区间吗？(该函数在(-oo,—J拓］或［j法,+8)上单调

递增；在拓,0)或(0,而］上单调递减)这是一个应用广泛的函数！

14.切记f(0)=0是定义在R上的y=f(x)为奇函数的必要条件。

15.抽象函数的单调性、奇偶性一定要紧扣函数性质，利用单调性、奇偶性的定义求解。同时，要领会

借助函数单调性利用不等关系证明等式的重要方法：f(a)Nb且f(a)Wbof(a)=b。

16.对数函数问题时，你注意到真数与底数的限制条件了吗？(真数大于零，底数大于零且不等于1)

字母底数还需讨论呀.

17.对数的换底公式及它的变形，你掌握了吗？(log“b=3?”,log=Qg“b)

logfa"

你还记得对数恒等式吗？(a'°s-b=b)

18.“实系数一元二次方程a/+6x+c=0有实数解”转化为“△=/一4起20"，你是否注意到必

须。力0；当a=0时，“方程有解”不能转化为△=/-4acZ0.若原题中没有指出是“二次”方程、

函数或不等式，你是否考虑到二次项系数可能为零的情形？

19.等差数列的重要性质：an=am+(n-m)d；若加+〃=p+q,则%।

12

m

20.等比数列的重要性质：an-amq"~；若m+n=p+q,则

21.你是否注意到在应用等比数列求前n项和时，需要分类讨论.（q=l时，5“=〃卬；qHl时,

S“二%（j））,这个求和公式你知道吗？设等比数列｛%｝的前n项和为S“，公比为q,则

i-q

m

S〃j+〃=S'1+qSn.

22.无穷递缩等比数列所有项和S=limS〃=卫=-^丁（0<lqkl）

I00\-q\-q

23.等差数列的一个性质：设S“是数列｛氏｝的前n项和，｛%｝为等差数列的充要条件是

S„=an2+bn（a,b为常数）其公差是2a.

24.你知道怎样的数列求和时要用“错位相减”法吗？具体的做法你还记得吗？（若c“=%",其中｛%｝

是等差数列，也“｝是等比数列，求｛%｝的前n项的和）

25用a,,=S“_S,i求数列的通项公式时，还记得要分别”=1和〃22进行研究吗？

26.你还记得裂项求和吗？（如一--=--一匚或者更复杂一些的）能举个例子吗？

n（n+1）nn+1

27.还记得卜面两种数列中常用的技巧吗？

叠加法：q=（q-*）+（4_]-%）+…+（4-4）+4；叠乘法:%=含泰'…反?。

28.你知道!吧/的结果吗？需要讨论吗？q”有极限时，则|“<1或q=l,在求数列｛/'｝的极限时,

你注意到q=l时，q"=1这种特例了吗？（例如：数列的通项公式为%=（3x—l）",若｛%｝的极限

2

存在，求x的取植范围.正确答案为0<x〈一.）

3

29.若lim（pa〃+效“）=A,lim（fa〃+应）=8,则求lim（/ia〃+屹）时能否用由

n—>oon—>oon—>oo

plima“+qlimb“=A,flima”+slimb”=8解方程组得lima,,、lim2而获解？

n—xc“一》oo/i—>oo/i—>oon—>®n—>oc

30.数列单调性问题能否等同于对应函数的单调性问题？（数列是特殊函数，但其“定义域”中的值不

是连续的。）

31.在解三角问题时，你注意到正切函数、余切函数的定义域了吗？你注意到正弦函数、余弦函数的有

界性了吗？在aABC中，sinA>sinBoA>B对吗？

13

32.一般说来，周期函数加绝对值或平方，其周期减半.（如y=sin2x,y=卜inx|的周期都是〃，但

y=|sinM+|cosx|及y=|tanx\的周期为］）

33.函数y=siny=sin|x|,y=cos4是周期函数吗？（都不是）

34.正弦曲线、余弦曲线、正切曲线的对称轴、对称中心你知道吗？

35.在三角中，你知道1的变形吗？(lusinn+cos?xusedx-tann=tanx-cotx

77TT

=tan-=sin-=cosO=……这些统称为1的代换）常数"1”的代换有着广泛的应用.

42

36.在三角的恒等变形中，要特别注意角的各种变换.（如/=3+0-a,£=（a-£）+a,

a+/3

)

37.你还记得三角化简题的要求是什么吗？项数最少、函数种类最少、分母不含三角函数、且能求出值

的式子，一定要算出值来）

38.你还记得三角化简的通性通法吗？（从函数名、角、运算三方面进行差异分析，常用的技巧有：切

割化弦、降基公式、用三角公式转化出特殊角.异角化同角，异名化同名，高次化低次）

39.你能说出所有特殊角的任意三角函数值吗？儿个常用的角的三角函数值你知道吗？

76-7276+7275-1

（sinl5°=cos75°=-~,sin750=cosl5°=-~~—,sinl80=-——）

444

40.你还记得在弧度制下弧长公式和扇形面积公式吗？（/=|。卜,5南形=；/r）

41.辅助角公式：asinx+bcosx=J^TP_siMx+e）（其中。角所在的象限由a,b的符号确定，。角

b

的值由tan。=上确定）在求最值、化简时起着重要作用.

a

42.在用反三角函数表示直线的倾斜角、两向量的夹角、两条异面直线所成的角等时，你是否注意到它

们各自的取值范围及意义？

（冗7F

①异面直线所成的角、线面所成的角、二面角的取值范围依次是0,—,［0,乃］.

I22

7T

②直线的倾斜角、到的角、人与4的夹角的取值范围依次是［°，"），。%），［°，1）・

③向量的夹角的取值范围是［0，兀］

43.若〃B<=>存在a£A,使a=丸7对吗？（XwG）；ah.hc=>ac,ah=bc

14

na=c,aB=0na=0或B=0,（aB）c=a巧c）呢？哪些是对的，哪些是错的。

44.若a=（X，X）,b^（x2,y2）,则ah,a_LB的充要条件是什么？

45.共线向量模相等是否等价于向量相等？

46.«2=lal2»在已知向量长度求两向量夹角时注意用此关系整体求得数量积Z

47.若£与B的夹角。，且9为钝角，则cos®＜0对吗？

----ab—*—*—*—b

48.。在b方向上的投影为=；若。与b同向，则a=lal-=,向量的投影和射影样吗?

\b\\b\

49.把y=f（x）图象向左移动Ihl个单位，向上移动Iki个单位，则平移向量是£=（-lhl,Iki）。

50.不等式的解集的规范书写格式是什么？（一般要写成集合的表达式）

51.分式不等式胆〉。（。工0）的•般解题思路是什么？（移项通分）

g（x）

52.解无理不等式有哪几种常规题型？它们的等价不等式组是怎样的？

/M>0

770>g(x)

。配.g(M<概0]/(x嗽)>[g(x3)>"G)<g(x)o-g(x)20

z>o

\(-

z>o

av(-

/z>