2025高考备考数学知识点第6讲　离散型随机变量及其分布列、数字特征

第6讲离散型随机变量及其分布列、数字特征课标要求命题点五年考情命题分析预测了解离散型随机变量的概念，理解离散型随机变量分布列及其数字特征（均值、方差）.离散型随机变量分布列的性质本讲是高考的命题热点，常以实际问题为情境，与计数原理、古典概型等知识综合命题，考查离散型随机变量的分布列、均值与方差，以解答题为主，有时也以选择题、填空题的形式进行考查，难度中等.预计2025年高考会着重考查本讲知识的实际应用.离散型随机变量的分布列及数字特征2022全国卷甲T19；2021新高考卷ⅠT18；2021新高考卷ⅡT21；2019全国卷ⅠT21利用均值与方差进行决策2021新高考卷ⅠT18学生用书P2391.离散型随机变量一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点Ω，都有①唯一的实数X（Ω）与之对应，我们称X为随机变量.可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量，称为离散型随机变量.随机变量一般用大写英文字母表示，例如X，Y，Z.随机变量的取值一般用小写英文字母表示，例如x，y，z.2.离散型随机变量的分布列一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，xn，我们称X取每一个值xi的概率P（X＝xi）＝pi，i＝1，2，…，n为X的概率分布列，简称分布列.离散型随机变量的分布列可以用表格或图形表示.3.离散型随机变量分布列的性质（1）pi②≥0，i＝1，2，…，n；（2）p1＋p2＋…＋pn＝③1.4.离散型随机变量的均值与方差一般地，若离散型随机变量X的分布列为Xx1x2…xnPp1p2…pn则称E（X）＝④x1p1＋x2p2＋…＋xnpn＝∑i=1nxipi为随机变量X的均值或数学期望，数学期望简称期望称D（X）＝（x1－E（X））2p1＋（x2－E（X））2p2＋…＋（xn－E（X））2pn＝⑤∑i=1nxi－EX2pi为随机变量X的方差，有时也记为Var（X），并称D（X）为随机变量X5.均值与方差的性质若Y＝aX＋b，其中a，b是常数，X，X1，X2是随机变量，则（1）E（aX＋b）＝⑧aE（X）＋b，D（aX＋b）＝⑨a2D（X）；（2）E（X1＋X2）＝E（X1）＋E（X2），D（X）＝E（X2）－[E（X）]2.1.下列说法错误的是（B）A.抛掷一枚质地均匀的硬币，出现正面的次数是随机变量B.离散型随机变量的分布列中，随机变量取各个值的概率之和可以小于1C.离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的D.随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离变量的平均程度越小2.设X是一个离散型随机变量，其分布列为X－101P11－qq－q2则q等于（D）A.1 B.22或－22 C.1＋22 解析由离散型随机变量分布列的性质得12+1－q＋q3.一台机器生产某种产品，如果生产出一件甲等品可获利50元，生产出一件乙等品可获利30元，生产一件次品要赔20元，已知这台机器生产出甲等品、乙等品和次品的概率分别为0.6，0.3和0.1，则这台机器每生产一件产品，平均预期可获利（B）A.36元 B.37元 C.38元 D.39元解析设这台机器每生产一件产品可获利X元，则X可能取的数值为50，30，－20，所以P（X＝50）＝0.6，P（X＝30）＝0.3，P（X＝－20）＝0.1，所以这台机器每生产一件产品平均预期可获利为E（X）＝50×0.6＋30×0.3－20×0.1＝37（元），故选B.4.[多选]设离散型随机变量X的分布列为X01234Pq0.40.10.20.2若离散型随机变量Y满足Y＝2X＋1，则下列结果正确的有（ACD）A.q＝0.1 B.E（X）＝2，D（X）＝1.4C.E（X）＝2，D（X）＝1.8 D.E（Y）＝5，D（Y）＝7.2解析因为q＋0.4＋0.1＋0.2＋0.2＝1，所以q＝0.1，故A正确；又E（X）＝0×0.1＋1×0.4＋2×0.1＋3×0.2＋4×0.2＝2，D（X）＝（0－2）2×0.1＋（1－2）2×0.4＋（2－2）2×0.1＋（3－2）2×0.2＋（4－2）2×0.2＝1.8，故C正确，B错误；因为Y＝2X＋1，所以E（Y）＝2E（X）＋1＝5，D（Y）＝4D（X）＝7.2，故D正确.故选ACD.5.若随机变量X满足P（X＝c）＝1，其中c为常数，则D（X）的值为0.解析∵P（X＝c）＝1，∴E（X）＝c×1＝c，∴D（X）＝（c－c）2×1＝0.学生用书P241命题点1离散型随机变量分布列的性质例1（1）某射手射击所得环数ξ的分布列如下表：ξ78910Px0.10.3y已知ξ的数学期望E（ξ）＝8.9，则y的值为（C）A.0.8 B.0.6 C.0.4 D.0.2解析由题中表格可知x＋0.1＋0.3＋y＝1，7x＋8×0.1＋9×0.3＋10y＝8.9，解得y＝0.4.故选C.（2）[多选]设随机变量ξ的分布列为P（ξ＝k5）＝ak（k＝1，2，3，4，5），则（ABA.a＝115 B.P（12＜ξ＜4C.P（110＜ξ＜12）＝215 D.P（ξ＝解析∵随机变量ξ的分布列为P（ξ＝k5）＝ak（k＝1，2，3，4，5∴P（ξ＝15）＋P（ξ＝25）＋P（ξ＝35）＋P（ξ＝45）＋P（ξ＝1）＝a＋2a＋3a＋4a＋5a＝15a＝1，解得a＝易知P（12＜ξ＜45）＝P（ξ＝35）＝3×115＝易知P（110＜ξ＜12）＝P（ξ＝15）＋P（ξ＝25）＝115＋2×1易知P（ξ＝1）＝5×115＝13，故D方法技巧离散型随机变量分布列的性质的应用1.利用“总概率之和为1”可以求相关参数的值及检验分布列是否正确；2.利用“离散型随机变量在某一范围内的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和”求某些特定事件的概率.训练1（1）若随机变量X的分布列为X－2－10123P0.10.20.20.30.10.1则当P（X＜a）＝0.8时，实数a的取值范围是（C）A.（－∞，2] B.[1，2] C.（1，2] D.（1，2）解析由随机变量X的分布列知，P（X＜1）＝0.5，P（X＜2）＝0.8，故当P（X＜a）＝0.8时，实数a的取值范围是（1，2].（2）随机变量X的分布列如下：X－101Pabc其中a，b，c成等差数列，则P（｜X｜＝1）＝23，公差d的取值范围是[－13，13解析因为a，b，c成等差数列，所以2b＝a＋c.又a＋b＋c＝1，所以b＝13，所以P（｜X｜＝1）＝a＋c＝2又a＝13－d，c＝13＋根据分布列的性质，得0≤13－d≤23，0≤13＋d≤23，所以－13命题点2离散型随机变量的分布列及数字特征例2（1）[多选]设随机变量ξ的分布列为P（ξ＝k）＝ak+1（k＝1，2，5），a∈R，Eξ,Dξ分别为随机变量A.P（0＜ξ＜3.5）＝56 B.E（3ξ＋1）＝C.D（ξ）＝2 D.D（3ξ＋1）＝6解析∵P（ξ＝k）＝ak+1（k＝1，2，5），a∈∴P（ξ＝1）＝a1+1＝a2，P（ξ＝2）＝a2+1＝a3，P（ξ＝5）＝a5+1＝a6，∴a2解得a＝1.P（0＜ξ＜3.5）＝P（ξ＝1）＋P（ξ＝2）＝12＋13＝56∵E（ξ）＝1×12＋2×13＋5×16＝2，∴E（3ξ＋1）＝3E（ξ）＋1＝3×2＋1＝7，故B正确；D（ξ）＝12×（1－2）2＋13×（2－2）2＋16×（5－2）D（3ξ＋1）＝32D（ξ）＝9×2＝18，故D错误.（2）[2022全国卷甲]甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局.三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军.已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立.①求甲学校获得冠军的概率；②用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望.解析①设甲学校获得冠军的事件为A，则甲学校必须获胜2场或者3场.P（A）＝0.5×0.4×0.8＋（1－0.5）×0.4×0.8＋0.5×（1－0.4）×0.8＋0.5×0.4×（1－0.8）＝0.6.故甲学校获得冠军的概率为0.6.②X的取值可以为0，10，20，30.P（X＝0）＝0.5×0.4×0.8＝0.16，P（X＝10）＝（1－0.5）×0.4×0.8＋0.5×（1－0.4）×0.8＋0.5×0.4×（1－0.8）＝0.44，P（X＝20）＝（1－0.5）×（1－0.4）×0.8＋0.5×（1－0.4）×（1－0.8）＋（1－0.5）×0.4×（1－0.8）＝0.34，P（X＝30）＝（1－0.5）×（1－0.4）×（1－0.8）＝0.06.所以X的分布列为X0102030P0.160.440.340.06所以E（X）＝0×0.16＋10×0.44＋20×0.34＋30×0.06＝13.方法技巧求离散型随机变量X的均值与方差的步骤（1）理解X的含义，写出X的全部可能取值；（2）求X取每个值的概率；（3）写出X的分布列；（4）由均值、方差的定义求E（X），D（X）.训练2[多选]甲、乙两人进行纸牌游戏（纸牌除了颜色不同，没有其他任何区别），他们手里各持有4张纸牌，其中甲手里有2张黑牌，2张红牌，乙手里有3张黑牌，1张红牌，现在两人都各自随机取出1张牌进行交换，交换后甲、乙手中的红牌张数分别为X，Y，则（AD）A.P（X＝2）＝12 B.P（X＝3）＝C.E（X）＝E（Y） D.D（X）＝D（Y）解析记甲取出1张红牌为事件A，乙取出1张红牌为事件B，则P（A）＝24＝12，P（B）＝由题意，X的可能取值为1，2，3，且Y＝3－X，则P（X＝1）＝12×34＝38，P（X＝2）＝12×34＋12×14＝12，P（X＝3）＝12×E（X）＝1×38＋2×12＋3×18＝74，E（Y）＝E（3－X）＝3－E（X）＝3－74＝D（Y）＝D（3－X）＝（－1）2D（X）＝D（X），故D正确.故选AD.命题点3利用均值与方差进行决策例3[2021新高考卷Ⅰ]某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题.每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分.已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关.（1）若小明先回答A类问题，记X为小明的累计得分，求X的分布列；（2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由.解析（1）由题意得，X的所有可能取值为0，20，100，P（X＝0）＝1－0.8＝0.2，P（X＝20）＝0.8×（1－0.6）＝0.32，P（X＝100）＝0.8×0.6＝0.48，所以X的分布列为X020100P0.20.320.48（2）当小明先回答A类问题时，由（1）可得E（X）＝0×0.2＋20×0.32＋100×0.48＝54.4.当小明先回答B类问题时，记Y为小明的累计得分，则Y的所有可能取值为0，80，100，P（Y＝0）＝1－0.6＝0.4，P（Y＝80）＝0.6×（1－0.8）＝0.12，P（Y＝100）＝0.6×0.8＝0.48，所以Y的分布列为Y080100P0.40.120.48E（Y）＝0×0.4＋80×0.12＋100×0.48＝57.6.因为57.6＞54.4，即E（Y）＞E（X），所以为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答B类问题.方法技巧在利用均值和方差的意义去分析、解决实际问题时，一般先比较均值，若均值相同，再用方差来决定.需要注意的是，实际应用中是方差大了好还是方差小了好，要看这组数据反映的实际问题.训练3[2023湖北荆州中学模拟]某公司计划在2023年年初将1000万元用于投资，现有两个项目供选择.项目一：新能源汽车.据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利30％，也可能亏损15％，且这两种情况发生的概率分别为79和2项目二：通信设备.据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利50％，也可能亏损30％，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为35，13，（1）针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由.（2）若市场预期不变，该投资公司按照你选择的项目长期投资（每一年的利润和本金继续用作投资），大约在哪一年年底总资产（利润＋本金）可以翻一番？（参考数据：lg2解析（1）若投资项目一，设获利为ξ1万元（负值表示亏损），则ξ1的分布列为ξ1300－150P72E（ξ1）＝300×79＋（－150）×29若投资项目二，设获利为ξ2万元（负值表示亏损，0表示不赔不赚），则ξ2的分布列为ξ25000－300P311E（ξ2）＝500×35＋0×115＋（－300）×1∴E（ξ1）＝E（ξ2），即投资项目一和项目二获利的期望相同.D（ξ1）＝（300－200）2×79＋（－150－200）2×29＝D（ξ2）＝（500－200）2×35＋（0－200）2×115＋（－300－200）2×13∴D（ξ1）＜D（ξ2），即项目一的方差较小，投资项目一更稳定.综上，建议该投资公司选择项目一进行投资.（2）假设n（n∈N*）年后总资产可以翻一番，依题意得1000×（1＋2001000）n＝2000，即1.2n两边同时取对数，得n×lg1.2＝lg2，n＝lg22lg2+lg3－1≈0.∴该投资公司大约在2026年年底总资产可以翻一番.1.[命题点1]设X是一个离散型随机变量，其分布列为X01P9a2－a3－8a则常数a的值为（A）A.13 B.23 C.13或23 D.－解析由分布列的性质可知0≤9a2－a≤12.[命题点2]已知ξ的分布列如表所示.ξ012P？！？其中，“！”处完全无法看清，尽管两个“？”处字迹模糊，但能断定这两个“？”处的数值相同.据此计算，下列各式中：①E（ξ）＝1；②D（ξ）＞1；③P（ξ＝0）≤12，正确的个数是（CA.0 B.1 C.2 D.3解析设“？”＝a，“！”＝b，则a，b∈[0，1]，2a＋b＝1.①E（ξ）＝0×a＋1×b＋2×a＝2a＋b＝1，因此①正确；②D（ξ）＝（0－1）2×a＋（1－1）2×b＋（2－1）2×a＝2a≤1，因此②不正确；③P（ξ＝0）＝a＝1－b2≤123.[命题点2/2023南昌市一模]某班准备购买班服，确定从A，B两种款式中选出一种统一购买.现在全班50位同学赞成购买A，B款式的人数分别为20，30，为了尽量统一意见，准备在全班进行3轮宣传，每轮宣传从全班同学中随机选出一位，介绍他赞成所选款式的理由.假设每轮宣传后，赞成该同学所选款式的不会改变意见，不赞成该同学所选款式的同学会有5位改变意见，改成赞成该同学所选款式.（1）计算第2轮宣传选到的同学赞成A款式的概率.（2）设经过3轮宣传后赞成A款式的人数为X，求随机变量X的数学期望.解析（1）记第i轮宣传选到的同学赞成A款式为事件Ai，第i轮宣传选到的同学赞成B款式为事件Bi，i＝1，2，3.因为P（A1A2）＝2050×2550＝P（B1A2）＝3050×1550＝所以第2轮宣传选到的同学赞成A款式的概率P（A2）＝P（A1A2）＋P（B1A2）＝15＋950＝（2）经过3轮宣传后赞成A款式的人数X的所有可能取值为5，15，25，35，则P（X＝5）＝P（B1B2B3）＝3050×3550×4050P（X＝15）＝P（A1B2B3）＋P（B1A2B3）＋P（B1B2A3）＝2050×2550×3050＋3050×1550×3050＋3050P（X＝25）＝P（B1A2A3）＋P（A1B2A3）＋P（A1A2B3）＝3050×1550×2050＋2050×2550×2050＋2050P（X＝35）＝P（A1A2A3）＝2050×2550×3050所以X的分布列为X5152535P4239293所以E（X）＝5×42125＋15×39125＋25×29125＋35×34.[命题点3/2023南宁市第一次适应性测试]在某次现场招聘会上，某公司计划从甲和乙两位应聘人员中录用一位，规定从6个问题中随机抽取3个问题作答.假设甲能答对的问题有4个，乙每个问题能答对的概率为23（1）求甲在第一个问题答错的情况下，第二个和第三个问题均答对的概率；（2）请从期望和方差的角度分析，甲、乙谁被录用的可能性更大.解析（1）记“甲第一个问题答错”为事件A，“甲第二个和第三个问题均答对”为事件B，则P（A）＝26＝13，P（AB）＝13×45×∴甲在第一个问题答错的条件下，第二个和第三个问题均答对的概率为P（B｜A）＝P（AB）P（（2）设甲答对的问题数为X，则X的所有可能取值为1，2，3.P（X＝1）＝C41C22C63＝15，P（X＝2）＝C42C21∴X的分布列为X123P131E（X）＝1×15＋2×35＋3×15D（X）＝（1－2）2×15＋（2－2）2×35＋（3－2）2×15设乙答对的问题数为Y，则Y的所有可能取值为0，1，2，3.P（Y＝0）＝（1－23）3＝1P（Y＝1）＝C31×23×（1－23）P（Y＝2）＝C32×（23）2×（1－23P（Y＝3）＝（23）3＝8∴Y的分布列为Y0123P1248E（Y）＝0×127＋1×29＋2×49＋3×8（另解：∵Y～B（3，23），∴E（Y）＝3×23＝D（Y）＝（0－2）2×127＋（1－2）2×29＋（2－2）2×49＋（3－2）2×827＝2由E（X）＝E（Y），D（X）＜D（Y）可得，甲被录用的可能性更大.学生用书·练习帮P3901.[2023福建福州联考]已知随机变量X的分布列为P（X＝i）＝ia（i＝1，2，3，4，5），则P（2≤X＜5）＝（CA.13 B.12 C.35 解析由分布列的性质，知∑i=15ia＝1，解得a＝15，故P（2≤X＜5）＝P（X＝2）＋P（X＝3）＋P（X＝4）＝215＋315＋42.[2024江苏镇江模拟]已知随机变量X的分布列如下表所示，若E（X）＝13，则DX=（X－201Pa1bA.4981 B.89 C.2327 解析因为E（X）＝13，且各概率之和为1，所以－2所以D（X）＝19×（－2－13）2＋13×（0－13）2＋59×（1－13）3.设0＜a≤b，随机变量X的分布列是X012Paba＋b则E（X）的取值范围是（D）A.（12，1） B.（1，54] C.（1，32） D.[5解析由分布列的性质可得0<a<1，0<b<1，0<a＋b<1，且a＋b＋（a＋b）＝2a＋2b＝1，即a＋b＝12，可得a＝12－b，结合0＜a≤b，得14≤b＜12.因为E（X）＝0×a＋1×b＋2×（a＋b4.[浙江高考]设0＜a＜1.随机变量X的分布列是X0a1P111则当a在（0，1）内增大时，（D）A.D（X）增大B.D（X）减小C.D（X）先增大后减小 D.D（X）先减小后增大解析由分布列得E（X）＝1+a解法一D（X）＝（1+a3－0）2×13＋（1+a3－a）2×13＋（1+a3－1）2×13＝2所以当a在（0，1）内增大时，D（X）先减小后增大.故选D.解法二D（X）＝E（X2）－E2（X）＝0＋a23＋13－（a+1）29＝2a2－2a+29＝29[（a－12）25.[多选]已知14＜p＜1，随机变量X的分布列如下，则下列结论正确的有（BDX012Pp－p21－pp2A.P（X＝2）的值最大B.P（X＝0）＜P（X＝1）C.E（X）随p的增大而减小D.E（X）随p的增大而增大解析当p＝12时，P（X＝2）＝14，P（X＝1）＝1－12＝12＞因为14＜p＜1，所以p－p2＝p（1－p）＜1－p，即P（X＝0）＜P（X＝1），BE（X）＝1－p＋2p2＝2（p－14）2＋78，因为14＜p＜1，所以E（X）随p的增大而增大，C错误，6.[多选]已知A＝B＝{1，2，3}，分别从集合A，B中各随机取一个数a，b，得到平面上一个点P（a，b），设事件“点P恰好落在直线x＋y＝n上”对应的随机变量为X，PX=n＝Pn，X的数学期望和方差分别为E（X），D（A.P4＝2P2 B.P（3≤X≤5）＝7C.E（X）＝4 D.D（X）＝4解析因为A＝B＝{1，2，3}，点P（a，b）恰好落在直线x＋y＝n上，所以X的值可以为2，3，4，5，6.又从A，B中分别任取一个数，共有9种情况，所以P（X＝2）＝19，P（X＝3）＝29，P（X＝4）＝39＝13，P（X＝5）＝29，P（X＝6）＝19.对于A，P4＝3P2，故A不正确；对于B，P（3≤X≤5）＝29＋1对于C，E（X）＝2×19＋3×29＋4×13＋5×29＋6×19＝369＝4，故C正确；对于D，D（X）＝（2－4）2×19＋（3－4）2×29＋（4－4）2×13＋（5－4）2×29＋（6－4）27.若n是一个三位正整数，且n的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n为“三位递增数”（如137，359，567等）.在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取1个数，且只能抽取一次.得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除，参加者得0分；若能被5整除，但不能被10整除，得－1分；若能被10整除，得1分.若甲参加活动，则甲得分X的均值E（X）＝421解析由题意知，“三位递增数”总共有C93＝84（个），随机变量X的取值为0，－1，1，因此，P（X＝0）＝C83C93＝23，P（X＝－1）＝C42C93＝114，P所以X的分布列为X0－11P2111则E（X）＝0×23＋（－1）×114＋1×11428.[2024惠州市一调]学校团委和工会联合组织教职员工进行益智健身活动比赛.经多轮比赛后，由教师甲、乙作为代表进行决赛.决赛共设三个项目，每个项目胜者得10分，负者得－5分，没有平局.三个项目比赛结束后，总得分高的获得冠军.已知教师甲在三个项目中获胜的概率分别为0.4，0.5，0.75，各项目比赛结果相互独立.甲、乙获得冠军的概率分别记为p1，p2.（1）用X表示教师乙的总得分，求X的分布列与期望.（2）如果｜p1－p2｜≥2｜p12解析（1）根据题意知，X的所有可能取值为－15，0，15，30.可得P（X＝－15）＝0.4×0.5×0.75＝0.15，P（X＝0）＝0.6×0.5×0.75＋0.4×0.5×0.75＋0.4×0.5×0.25＝0.425，P（X＝15）＝0.4×0.5×0.25＋0.6×0.5×0.25＋0.6×0.5×0.75＝0.35，P（X＝30）＝0.6×0.5×0.25＝0.075.∴X的分布列为X－1501530P0.150.4250.350.075∴E（X）＝－15×0.15＋0×0.425＋15×0.35＋30×0.075＝5.25.（2）设教师甲在三个项目中获胜的事件依次为A，B，C，由题意知A，B，C相互独立，则教师甲获得冠军的概率p1＝P（ABC）＋P（ABC）＋P（ABC）＋P（ABC）＝0.4×0.5×0.75＋0.6×0.5×0.75＋0.4×0.5×0.75＋0.4×0.5×0.25＝0.15＋0.225＋0.15＋0.05＝0.575.由对立事件的概率公式，可得p2＝1－p1＝0.425，∴2｜p12－p22｜5+0.1＝∵｜p1－p2｜＜2｜∴甲、乙获得冠军的实力没有明显差别.9.[2023重庆市三检]在“五一”节日期间，某商场准备举行有奖促销活动，顾客购买超过一定金额的商品后均有一次抽奖机会.抽奖规则如下：将质地均匀的转盘平均分成n（n∈N*，n≥3）个扇区，每个扇区涂一种颜色，所有扇区的颜色各不相同，顾客抽奖时连续转动转盘三次，记录每次转盘停止时指针所指扇区内的颜色（若指针指在分界线处，本次转动无效，需重转一次），若三次颜色都一样，则获得一等奖；若其中两次颜色一样，则获得二等奖；若三次颜色均不一样，则获得三等奖.（1）若一、二等奖的获奖概率之和不大于49，求n（2）规定一等奖返还现金108元，二等奖返还现金60元，三等奖返还现金18元，在n取（1）中的最小值的情况下，求顾客在一次抽奖中获奖金额的分布列和数学期望.解析（1）设“获得三等奖”为事件A，由题意得P（A）≥59，又P（A）＝An3n∴（n－1)(n－2）n2≥59，整理得解得n≥6或n≤34（舍去）（注意n∈N*∴n的最小值为6.（2）设顾客在一次抽奖中获奖金额为随机变量ξ，则ξ的所有可能取值为108，60，18，根据题意得P（ξ＝108）＝C6163＝136，P（ξ＝60）＝CP（ξ＝18）＝C63A33∴ξ的分布列为ξ1086018P155∴E（ξ）＝108×136＋60×512＋18×510.[2024南昌市模拟]党建知识竞赛有两关，某学校代表队有四名队员，这四名队员通过比赛的概率见下表：队员第一关第二关甲32乙32丙21丁21比赛规则是：从四名队员中随机选出两名队员分别参加比赛，每个队员通过第一关可以得60分，且有资格参加第二关比赛，若没有通过，得0分且没有资格参加第二关比赛，若通过第二关可以再得40分，若没有通过，不再加分.两名参赛队员所得总分为该代表队的得分，代表队得分不低于160分，可以获得“党建优秀代表队”称号.假设两名参赛队员的结果互不影响.（1）求这次比赛中，该校获得“党建优秀代表队”称号的概率；（2）若这次比赛中，选中了甲、乙两名队员参赛，记该代表队的得分为X，求随机变量X的分布列、期望和方差.解析（1）记“选甲、乙两名队员参赛”为事件A1，“选甲、乙其中一人，丙、丁其中一人参赛”为事件A2，“选丙、丁两名队员参赛”为事件A3，“获得‘党建优秀代表队’称号”为事件B.则P（A1）＝C22C42＝16，P（A2）＝C21C21C4P（B）＝P（A1B＋A2B＋A3B）＝16×（34）2×[（23）2＋2×23×13]＋23×34×23×（23×12＋13×12＋23×12）＋16×（23）2×[（12）（2）X的可能取值为0，60，100，120，160，200.P（X＝0）＝（14）2＝1P（X＝60）＝2×34×13×14P（X＝100）＝2×34×23×14P（X＝120）＝（34）2×（13）2＝P（X＝160）＝（34）2×2×23×13P（X＝200）＝（34）2×（23）2＝所以随机变量X的分布列为X060100120160200P111111所以E（X）＝0×116＋60×18＋100×14＋120×116＋160×14＋200D（X）＝（0－130）2×116＋（60－130）2×18＋（100－130）2×14＋（120－130）2×116＋（160－130）2×14＋（200－130）11.某新型双轴承电动机需要装配两个轴承才能正常工作，且两个轴承互不影响.现计划购置甲、乙两个品牌的轴承，两个品牌轴承的使用寿命及价格情况如下表：品牌价格/（元/件）使用寿命/月甲10007或8乙4003或4已知甲品牌使用7个月或8个月的概率均为12，乙品牌使用3个月或4个月的概率均为1（1）若从4件甲品牌和2件乙品牌共6件轴承中，任选2件装入电动机内，求电动机可工作时间不少于4个月的概率.（2）现有两种购置方案，方案一：购置2件甲品牌；方案二：购置1件甲品牌和2件乙品牌（甲、乙两品牌轴承搭配使用）.试从性价比（即电动机正常工