高二数学考点讲解练(人教A版2019选择性必修第一册)6.2.1排列-6.2.2排列数-2022-2023学年高二数学考点讲解练(人教A版2019选择性必修第三册)(原卷版+解析)

6.2.1排列--6.2.2排列数备注：资料包含：1.基础知识归纳；考点分析及解题方法归纳：考点包含：排列的意义理解；排列数的计算；用排列数公式证明；排列数方程和不等式课堂知识小结考点巩固提升知识归纳1.排列（1）排列定义：一般地，从个不同元素中取出个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列。（2）排列数：从个不同元素中取出个元素的所有不同排列的个数叫做从个不同元素中取出个元素的排列数。用符号表示.（3）排列数公式：其中，并且特殊的，当时，即有称为的阶乘，通常用表示，即考点讲解考点讲解考点1：排列的意义理解例1．下列问题中，属于排列问题的有（

）A．从甲、乙、丙三名同学中选出两名分别担任正、副班长，共有多少种不同的选取方法B．从甲、乙、丙三名同学中选出两名同学参加志愿者活动，共有多少种不同的选取方法C．平面上有五个点，任意三点不共线，这五个点最多可确定多少条直线D．从1，2，3，4四个数字中任选两个组成一个两位数，共有多少个不同的两位数【方法技巧】根据排列的定义即可得到结果【变式训练】1．下列问题是排列问题的是（

）A．10个朋友聚会，每两人握手一次，一共握手多少次？B．平面上有2022个不同的点，且任意三点不共线，连接任意两点可以构成多少条线段？C．集合的含有三个元素的子集有多少个？D．从高三（19）班的54名学生中选出2名学生分别参加校庆晚会的独唱、独舞节目，有多少种选法？2．判断下列问题是不是排列问题，如果是，请列出其所有排列；如果不是，请说明理由．(1)北京、广州、南京、天津4个城市相互通航，应该有多少种机票？(2)从集合中任取两个相异的元素作为，，可以得到多少个焦点在轴上的椭圆方程？3．甲、乙、丙3人排成一列，有几种不同的排法？请列出来．考点2：排列数的计算例2．下列等式正确的是（）A． B．C．！ D．【方法技巧】根据阶乘和排列数的运算公式，进行推理与判断选项中的运算是否正确即可．【变式训练】1．现从6名学生干部中选出3名同学分别参加全校资源、生态和环保3个夏令营活动，则不同的选派方案的种数是（

）A．20 B．90 C．120 D．2402．若，则（

）A．7 B．8 C．9 D．103．已知，则的可能取值是（

）A．0 B．1 C．2 D．34．第24届冬季奥运会于2022年2月4日在北京市和河北省张家口市举行.现要安排5名志愿者去四个场馆参加活动，每名志愿者只能去一个场馆.且每个场馆只能安排一名志愿者，则不同的分配方法有___________个.（空格处填写数字）考点3：用排列数公式证明例3．求证：(1)；(2)．【方法技巧】（1）利用排列数公式化简可证得等式成立；（2）利用排列数公式化简可证得等式成立.【变式训练】1．求证：．2．求证：（1）；（2）.3．（1）求证：；（2）求证：；（3）求和：．考点4：排列数方程和不等式例4．解不等式：．【方法技巧】根据排列数的公式直接求解即可.【变式训练】1．若A，则（

）A．4 B．5 C．6 D．72．解下列方程：(1)；(2).3．已知（，且）．(1)求的值；(2)若，求n的值．知识小结知识小结1.排列（1）排列定义：一般地，从个不同元素中取出个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列。（2）排列数：从个不同元素中取出个元素的所有不同排列的个数叫做从个不同元素中取出个元素的排列数。用符号表示.（3）排列数公式：其中，并且特殊的，当时，即有称为的阶乘，通常用表示，即巩固提升巩固提升1．从5本不同的书中选出3本分别送3位同学每人一本，不同的方法总数是（

）A．10 B．60 C．243 D．152．可表示为（

）．A． B． C． D．3．3名男生和3名女生排成一排，男生不相邻的排法有（

）．A．144种 B．90种 C．260种 D．120种4．已知自然数满足，则（

）．A．2 B．3 C．4 D．55．下面问题中，是排列问题的是（

）A．由1，2，3三个数字组成无重复数字的三位数B．从40人中选5人组成篮球队C．从100人中选2人抽样调查D．从1，2，3，4，5中选2个数组成集合6．甲乙丙丁4名同学站成一排拍照，若甲不站在两端，不同排列方式有（

）A．6种 B．12种 C．36种 D．48种7．阶乘是基斯顿·卡曼（ChristianKramp）于1808年发明的一种运算，正整数n的阶乘记为n!，它的值为所有小于或等于n的正整数的积，即．根据上述材料，以下说法错误的是（

）A． B．C． D．8．现有甲、乙、丙、丁四位同学要与两位老师站成一排合影留念，则甲同学不站两端且两位老师必须相邻的站法有（

）A．72种 B．144种 C．288种 D．576种二、多选题9．下列问题中，属于排列问题的是（

）A．有10个车站，共有多少种不同的车票B．有10个车站，共有多少种不同的票价C．平面内有10个点，共可作出多少条不同的有向线段D．从10名同学中选出2名分别参加数学和物理竞赛，有多少种选派方法10．（

）．A． B． C． D．三、填空题11．从某班7名学生干部中选择2名，分别参加周一早上和周五下午的校门口志愿服务活动，则不同的安排方法数是___________.（结果用数字作答）12．___________.（结果用数字作答）13．在A，B，C，D四位学生中，选出两人担任正、副班长，共有选法_______种．14．某学校为贯彻“科学防疫”理念，实行“佩戴口罩，不邻而坐”制度（每两个同学不能相邻）．若该学校的教室一排有10个座位，安排4名同学就坐，则不同的安排方法共有______种．（用数字作答）四、解答题15．有5名同学站成一排拍照．(1)若甲乙必须站一起，则共有多少种不同的排法？(2)若最左端只能排甲或乙，且最右端不能排甲，则共有多少种不同的排法？16．现有4名男生、3名女生站成一排照相．（用数字作答）(1)两端是女生，有多少种不同的站法？(2)任意两名女生不相邻，有多少种不同的站法？(3)女生甲要在女生乙的右方(可以不相邻)，有多少种不同的站法？6.2.1排列--6.2.2排列数备注：资料包含：1.基础知识归纳；考点分析及解题方法归纳：考点包含：排列的意义理解；排列数的计算；用排列数公式证明；排列数方程和不等式课堂知识小结考点巩固提升知识归纳1.排列（1）排列定义：一般地，从个不同元素中取出个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列。（2）排列数：从个不同元素中取出个元素的所有不同排列的个数叫做从个不同元素中取出个元素的排列数。用符号表示.（3）排列数公式：其中，并且特殊的，当时，即有称为的阶乘，通常用表示，即考点讲解考点讲解考点1：排列例1．下列问题中，属于排列问题的有（

）A．从甲、乙、丙三名同学中选出两名分别担任正、副班长，共有多少种不同的选取方法B．从甲、乙、丙三名同学中选出两名同学参加志愿者活动，共有多少种不同的选取方法C．平面上有五个点，任意三点不共线，这五个点最多可确定多少条直线D．从1，2，3，4四个数字中任选两个组成一个两位数，共有多少个不同的两位数【答案】AD【详解】对于A，因为两名同学担任的是正、副班长，所以是排列问题，A正确；对于B，因为两名同学参加的志愿者活动与顺序无关，所以不是排列问题，B错误；对于C，五个点中任取两个点，不涉及顺序问题，因此不是排列问题，C错误；对于D，四个数字中任取两个组成两位数，与顺序有关，是排列问题，D正确．故选：AD【方法技巧】根据排列的定义即可得到结果【变式训练】1．下列问题是排列问题的是（

）A．10个朋友聚会，每两人握手一次，一共握手多少次？B．平面上有2022个不同的点，且任意三点不共线，连接任意两点可以构成多少条线段？C．集合的含有三个元素的子集有多少个？D．从高三（19）班的54名学生中选出2名学生分别参加校庆晚会的独唱、独舞节目，有多少种选法？【答案】D【分析】根据排列的定义逐个选项辨析即可.【详解】A中握手次数的计算与次序无关，不是排列问题；B中线段的条数计算与点的次序无关，不是排列问题；C中子集的个数与该集合中元素的次序无关，不是排列问题；D中，选出的2名学生，如甲、乙，其中“甲参加独唱、乙参加独舞”与“乙参加独唱、甲参加独舞”是2种不同的选法，因此是排列问题．故选：D2．判断下列问题是不是排列问题，如果是，请列出其所有排列；如果不是，请说明理由．(1)北京、广州、南京、天津4个城市相互通航，应该有多少种机票？(2)从集合中任取两个相异的元素作为，，可以得到多少个焦点在轴上的椭圆方程？【答案】(1)是排列问题，12种(2)不是排列问题，焦点在轴上的椭圆方程已经确定了a，b的大小关系．【分析】（1）这是排列问题，机票的起点、终点不同是不同的机票，与顺序有关．（2）这不是排列问题，(1)解：这是排列问题．列出每一个起点和终点的情况，如图所示．故应该有12种机票．(2)解：这不是排列问题．焦点在轴上的椭圆，其方程中的，必有，即取出的两个数哪个是，哪个是是确定的．3．甲、乙、丙3人排成一列，有几种不同的排法？请列出来．【答案】6【详解】甲、乙、丙3人排成一列，有6种不同的排法，即甲乙丙、甲丙乙、乙甲丙、乙丙甲、丙甲乙、丙乙甲.考点2：排列数的计算例2．下列等式正确的是（）A． B．C．！ D．【答案】ACD【详解】对于A，，选项A正确；对于B，，所以选项B错误；对于C，，选项C正确；对于D，•，选项D正确．故选：ACD．【方法技巧】根据阶乘和排列数的运算公式，进行推理与判断选项中的运算是否正确即可．【变式训练】1．现从6名学生干部中选出3名同学分别参加全校资源、生态和环保3个夏令营活动，则不同的选派方案的种数是（

）A．20 B．90 C．120 D．240【答案】C【分析】根据排列可求不同的选派方案的种数.【详解】共有种不同的选派方案．故选：C.2．若，则（

）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】B【分析】根据排列数的计算公式即可求解.【详解】由题意，得，化简可得，解得．故选:B3．已知，则的可能取值是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】CD【分析】将题设中的方程化为，从而可求的可能取值.【详解】因为，所以，所以，其中，而，所以的值可能是2或3．故选：CD．4．第24届冬季奥运会于2022年2月4日在北京市和河北省张家口市举行.现要安排5名志愿者去四个场馆参加活动，每名志愿者只能去一个场馆.且每个场馆只能安排一名志愿者，则不同的分配方法有___________个.（空格处填写数字）【答案】120【分析】根据排列的概念和排列数公式，即可求出结果.【详解】解：从5名志愿者中选4人排列个.故答案为：120考点3：用排列数公式证明例3．求证：(1)；(2)．解：(1)证明：.(2)证明：.【方法技巧】（1）利用排列数公式化简可证得等式成立；（2）利用排列数公式化简可证得等式成立.【变式训练】1．求证：．【答案】证明见详解【分析】利用排列数的计算公式即可证明.【详解】左边，右边，所以，即证.2．求证：（1）；（2）.【答案】见详解.【分析】（1）根据排列数的计算公式展开，通过计算即可证明式子成立；（2）利用阶乘的计算公式进行展开，通分，通过计算即可证明式子成立.【详解】（1）左边右边，∴结论成立，即；（2）当时，左边右边，∴结论成立，即.3．（1）求证：；（2）求证：；（3）求和：．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）.【分析】按照阶乘的定义即可求解.【详解】（1）证明：．（2）证明：．（3）由（2）知，所以；综上，.考点4：排列数方程和不等式例4．解不等式：．【答案】．【详解】由，得，，化简得，解得，所以．由，得．【方法技巧】根据排列数的公式直接求解即可.【变式训练】1．若A，则（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】C【分析】根据排列数的计算公式，列出方程，即可求解.【详解】由排列数的计算公式，可得，且，因为，即，解得或（舍去）.故选：C.2．解下列方程：(1)；(2).解：(1)由排列数公式，原方程可化为，化简得，解得或或或.因为x满足所以x的取值范围为.所以原方程的解为．(2)由，得，所以.化简得，解得，．因为且，所以原方程的解为x=6．3．已知（，且）．(1)求的值；(2)若，求n的值．（1）解：；（2）解：由，得，又，，所以，即，正整数n为8．知识小结知识小结1.排列（1）排列定义：一般地，从个不同元素中取出个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列。（2）排列数：从个不同元素中取出个元素的所有不同排列的个数叫做从个不同元素中取出个元素的排列数。用符号表示.（3）排列数公式：其中，并且特殊的，当时，即有称为的阶乘，通常用表示，即巩固提升巩固提升1．从5本不同的书中选出3本分别送3位同学每人一本，不同的方法总数是（

）A．10 B．60 C．243 D．15【答案】B【分析】根据排列定义即可求解．【详解】不同的方法总数是故选：B2．可表示为（

）．A． B． C． D．【答案】D【分析】根据排列公式直接求解．【详解】．故选：D．3．3名男生和3名女生排成一排，男生不相邻的排法有（

）．A．144种 B．90种 C．260种 D．120种【答案】A【分析】按照分类分步计数原理，先排女生，再让男生去插空即可.【详解】由3名男生不相邻知，应该先把3名女生排好，有种排法，再让3个男生去插空，在3名女生形成的4个空中插入3个男生，共有种排法，根据分步乘法计数原理，知总共有种排法；故选：A．4．已知自然数满足，则（

）．A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【分析】根据题意得求解即可.【详解】因为，所以，由是自然数且，整理得，解得（舍）或，所以．故选：C．5．下面问题中，是排列问题的是（

）A．由1，2，3三个数字组成无重复数字的三位数B．从40人中选5人组成篮球队C．从100人中选2人抽样调查D．从1，2，3，4，5中选2个数组成集合【答案】A【分析】根据排列与排列数的定义，逐项判定，即可求解.【详解】根据排列及排列数的定义，可得：对于A中，由1，2，3三个数字组成无重复数字的三位数，符合排列的定义，是排列问题；对于B中，从40人中选5人组成篮球队，与顺序无关的问题，不是排列问题；对于C中，从100人中选2人抽样调查，与顺序无关的问题，不是排列问题；对于D中，从1，2，3，4，5中选2个数组成集合，与顺序无关的问题，不是排列问题.故选：A.6．甲乙丙丁4名同学站成一排拍照，若甲不站在两端，不同排列方式有（

）A．6种 B．12种 C．36种 D．48种【答案】B【分析】题目关键点为甲不站在两端，则甲站中间2个位置，先排好甲以后，剩余3个位置其余的三位同学进行全排列即可.【详解】甲站位的排列数为，其余三位学生的全排列数为，所有的排列方式有：.故选：B.7．阶乘是基斯顿·卡曼（ChristianKramp）于1808年发明的一种运算，正整数n的阶乘记为n!，它的值为所有小于或等于n的正整数的积，即．根据上述材料，以下说法错误的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据阶乘的定义一一计算各选项的值，即可判断出答案.【详解】根据阶乘的定义可得，A正确；，B正确；，C正确；，故D错误，故选:D8．现有甲、乙、丙、丁四位同学要与两位老师站成一排合影留念，则甲同学不站两端且两位老师必须相邻的站法有（

）A．72种 B．144种 C．288种 D．576种【答案】B【分析】先安排甲同学在第二位、第三位、第四位、第五位，再安排两位老师，最后安排其他同学，利用分类加法原理、分步计数原理可得答案.【详解】若甲同学在第二位，两位老师可以在第三第四位，或者两位老师在第四第五位，或者两位老师在第五第六位，其他同学没有限制要求，有种；若甲同学在第三位，或者两位老师可以在第一第二位，或者两位老师可以在第四第五位，或者两位老师在第五第六位，其他同学没有限制要求，有种；若甲同学在第四位，两位老师可以在第一第二位，或者两位老师在第二第三位，或者两位老师在第五第六位，其他同学没有限制要求，有种；若甲同学在第五位，两位老师可以在第一第二位，或者两位老师在第二第三位，或者两位老师在第三第四位，其他同学没有限制要求，有种；所以共有种.故选：B.二、多选题9．下列问题中，属于排列问题的是（

）A．有10个车站，共有多少种不同的车票B．有10个车站，共有多少种不同的票价C．平面内有10个点，共可作出多少条不同的有向线段D．从10名同学中选出2名分别参加数学和物理竞赛，有多少种选派方法【答案】ACD【分析】根据排列的概念逐项判断即可.【详解】A：有10个车站，共需要准备多少种车票？相当于从10个不同元素中任取2个按一定顺序排列起来，属于排列问题；B：有10个车站，共有多少种不同的票价？相当于从10个不同元素中任取2个并成一组，无顺序要求，不属于排列问题；C：平面内有10个点，共可作出多少条不同的有向线段？相当于从10个不同元素中任取2个按一定顺序排列起来，属于排列问题；D：从10名同学中选出2名分别参加数学和物理竞赛，有多少种选派方法？相当于从10个不同元素中任取2个按一定顺序排列起来，属于排列问题．故选：ACD．10．（

）．A． B． C． D．【答案】ABD【分析】利用排列数公式化简，再逐一分析各个选项，计算判断作答.【详解】，B正确，C不正确；而，即，A正确，D正确.故选：ABD三、填空题11．从某班7名学生干部中选择2名，分别参加周一早上和周五下午的校门口志愿服务活动，则不同的安排方法数是___________.（结果用数字作答）【答案】【分析】根据题意，结合排列数的公式，即可求解.【详解】从某班7名学生干部中选择2名，分别参加周一早上和周五下午的校门口志愿服务活动，则不同的安排方法数是.故答案为：.12．___________.（结果用数字作答）【答案】6【分析】根据排列数的运算性质即可得出结果.【详解】故答案为：.13．在A，B，C，D四位学生中，选出两