材料力学：第七章 应力状态与应变状态分析

第七章应力状态与应变状态分析材料力学第七章应力状态与应变状态分析

§7–1应力状态的概念§7–2平面应力状态分析——解析法§7–3平面应力状态分析——图解法§7–4

梁的主应力及其主应力迹线§7–5

三向应力状态研究——应力圆法§7–6

平面内的应变分析§7–7

复杂应力状态下的应力--应变关系

——（广义虎克定律）§7–8

复杂应力状态下的变形比能§7–１应力状态的概念应力状态与应变状态一、一点的应力状态：

过受力构件内一点有无数的截面，这一点的各个截面上应力情况的集合，称为这点的应力状态（StateofStressataGivenPoint）。应力状态与应变状态二、为什么要研究应力状态？1、铸铁与低碳钢的拉、压、扭试验现象是怎样产生的？PP铸铁拉伸P铸铁压缩应力状态与应变状态铸铁与低碳钢的扭转试验现象M低碳钢铸铁2、组合变形杆将怎样破坏？MP四、普遍状态下的应力表示

单元体：

单元体——构件内的点的代表物，是包围被研究点的无限小的几何体，常用的是正六面体。

单元体的性质——a、每个平面上，应力均布；

b、平行面上，应力相等。xyzs

xsz

s

y应力状态与应变状态txy三、怎样研究应力状态xyzs

xsz

s

y应力状态与应变状态txy五、剪应力互等定理（TheoremofConjugateShearing

Stress):

过一点的两个正交面上,如果有与相交边垂直的剪应力分量,则两个面上的这两个剪应力分量一定等值、方向相对或相离。六、原始单元体（已知单元体）：一般受力构件：

应力状态与应变状态PPAAsxsx杆状构件：xyzsx

stxyysz[例1]

画出下列图中的A、B、C点的已知单元体。

应力状态与应变状态MCtxyCtyxtxytyxtzx

应力状态与应变状态MPxyzBCsxsxBtxztxytyx七、主单元体、主平面、主应力：

主单元体(Principalbidy)：

各侧面上剪应力均为零的单元体。

主平面(PrincipalPlane)：

剪应力为零的截面。

主应力(PrincipalStress

）：

主平面上的正应力。

主应力排列规定：按代数值大小，应力状态与应变状态s1s2s3xyzsxsysz

单向应力状态（UnidirectionalStateofStress）：

一个主应力不为零的应力状态。

二向应力状态（PlaneStateofStress）：

一个主应力为零的应力状态。应力状态与应变状态

三向应力状态（Three—DimensionalStateof

Stress）：

三个主应力都不为零的应力状态。AsxsxtzxsxsxBtxz应力状态与应变状态§7–2

平面应力状态分析——解析法应力状态与应变状态sxtxysyxyzxysxtxysyO图1一、任意斜截面上的应力应力状态与应变状态xysxtxysyO规定：

截面外法线同向为正；

ta绕研究对象顺时针转为正；

a逆时针为正。图1设：斜截面面积为A，由分离体平衡得：应力状态与应变状态xysxtxysyOsytyxsxsataaxyOtn图2图1应力状态与应变状态xysxtxysyOsytyxsxsataaxyOtn图2考虑剪应力互等和三角变换，得：同理：例2

求图示单元体指定斜截面的应力。(单位：MPa)应力状态与应变状态

二、极值应力应力状态与应变状态xysxtxysyO

在剪应力相对的象限内，且偏向于

x

及

y较大的一侧。应力状态与应变状态222xyyxminmaxtsstt+-±=îíì

）（xysxtxysyO

主单元体例3

求图示单元体的主应力、主平面的位置。(单位：MPa)应力状态与应变状态

[例4]

分析受扭构件的破坏规律。应力状态与应变状态txyCtyxMCxyOtxytyx解：

确定危险点并画其原始单元体

求极值应力应力状态与应变状态txyCtyxMCxyOtxytyx

破坏分析应力状态与应变状态低碳钢铸铁§7–3

平面应力状态分析——图解法对上述方程消去参数（2

），得：一、应力圆（

StressCircle）应力状态与应变状态xysxtxysyO此方程曲线为圆—应力圆（或莫尔圆，由德国工程师：OttoMohr引入）sytxyxsxsataaxyOtn

建立应力坐标系，如下图所示，（注意选好比例尺）二、应力圆的画法

在坐标系内画出点A(

x，

xy)和B(

y，

yx)

AB与sa

轴的交点C便是圆心。

以C为圆心，以AC为半径画圆——应力圆；应力状态与应变状态sxtxysyxyOnsataaOsataCA(sx,txy)B(sy,tyx)x2anD(sa,

ta)应力状态与应变状态sxtxysyxyOnsataaOsataCA(sx,txy)B(sy,tyx)x2anD(sa,

ta)三、单元体与应力圆的对应关系

面上的应力(

，

)

应力圆上一点(

，

)

面的法线应力圆的半径

两面夹角

两半径夹角2

；且转向一致。四、在应力圆上标出极值应力应力状态与应变状态OCsataA(sx,txy)B(sy,tyx)x2a12a0s1s2s3例5

求图示单元体指定斜截面的应力、主应力及主平面的位置。(单位：MPa)应力状态与应变状态

应力状态与应变状态例6

轴向拉压的应力分析。设P=40kN，面积A=10cm2。[例7]

受扭构件的应力、破坏规律分析。应力状态与应变状态txyCtyxMCxyOtxytyx应力状态与应变状态课堂练习s3例8

求图示单元体的主应力及主平面的位置。(单位：MPa)AB

1

2解法1——图解法：

主应力坐标系如图

AB的垂直平分线与sa

轴的交点C便是圆心，以C为圆心，以AC为半径画圆——应力圆

0应力状态与应变状态s1s2BAC2s0sata(MPa)(MPa)O20MPa

在坐标系内画出点s3应力状态与应变状态s1s2BAC2s0sata(MPa)(MPa)O20MPa

主应力及主平面如图

1

0

2AB解法2—解析法：分析——建立坐标系如图60°应力状态与应变状态xyO应力状态与应变状态课堂练习§7–4

梁的主应力及其主应力迹线应力状态与应变状态12345P1P2q如图，已知梁发生剪切弯曲（横力弯曲），其上M、Q>0，试确定截面上各点主应力大小及主平面位置。单元体：应力状态与应变状态21s1s3s33s1s34s1s1s35a0–45°a0stA1A2D2D1COsA2D2D1CA1Ot2a0stD2CD1O2a0=–90°sD2A1Ot2a0CD1A2stA2D2D1CA1O拉力压力主应力迹线（StressTrajectories)：

主应力方向线的包络线——曲线上每一点的切线都指示着该点的拉主应力方位（或压主应力方位）。实线表示拉主应力迹线；虚线表示压主应力迹线。应力状态与应变状态

1

3

1

3qxy主应力迹线的画法：11截面22截面33截面44截面ii截面nn截面bacd

1

3应力状态与应变状态

3

1§7–5

三向应力状态研究——应力圆法应力状态与应变状态s2s1xyzs31、空间应力状态2、三向应力分析

弹性理论证明，图a单元体内任意一点任意截面上的应力都对应着图b的应力圆上或阴影区内的一点。图a图b

整个单元体内的最大剪应力为：tmax应力状态与应变状态s2s1xyzs3[例9]

求图示单元体的主应力和最大剪应力。（MPa）解：

由单元体图知：yz面为主平面

建立应力坐标系如图，画应力圆和点

1,得:应力状态与应变状态5040xyz3010(M

Pa)sa（M

Pa）taABCABs1s2s3tmax课堂练习应力状态与应变状态

应力状态与应变状态§7–6

平面内的应变分析应力状态与应变状态一、位移与应变分量应力状态与应变状态x方向的应变应力状态与应变状态剪应变应力状态与应变状态二、任意方向应变公式应力状态与应变状态坐标变换公式应力状态与应变状态应力状态与应变状态比较2、已知一点A的应变（），画应变圆二、应变分析图解法——应变圆（StrainCircle）1、应变圆与应力圆的类比关系

建立应变坐标系如图

在坐标系内画出点

A(

x，

xy/2)

B(

y，-

yx/2)

AB与

a

轴的交点C便是圆心

以C为圆心，以AC为半径画圆——应变圆。应力状态与应变状态eaga/2ABCeaga/2三、

方向上的应变与应变圆的对应关系

max

min2

0D(

，

/2)2n应力状态与应变状态

方向上的应变(

，

/2)

应变圆上一点(

，

/2)

方向线应变圆的半径

两方向间夹角

两半径夹角2

；且转向一致。ABC四、主应变数值及其方位应力状态与应变状态五、应变分析与应变测量应力状态与应变状态应变片

测得一点在某一平面内的

1、

2、

3

方向上的线应变分别为

1、

2、

3，，可求该面内的主应变。i=1,2,3这三个方程求出

x，

y，

xy；然后再求主应变。应力状态与应变状态应力状态与应变状态应变花

用45°应变花测得一点的三个线应变后，求该点的主应变。xyu45o

0

max应力状态与应变状态[例10]

若已测得等角应变花三各方向得应变分别，，，试求主应变及其方向。应力状态与应变状态§7–7

复杂应力状态下的应力--应变关系

——（广义虎克定律）一、单拉下的应力--应变关系二、纯剪的应力--应变关系应力状态与应变状态xyzsxxyz

x

y三、复杂状态下的应力---应变关系依叠加原理,得:应力状态与应变状态

xyzszsytxysx主应力---主应变关系四、平面状态下的应力---应变关系:方向一致应力状态与应变状态s1s3s2主应力与主应变方向一致。应力状态与应变状态[例11]已知一受力构件自由表面上某一点处的两个面内主应变分别为：

1=24010-6，

2=–16010-6，弹性模量E=210GPa，泊松比为

=0.3，试求该点处的主应力及另一主应变。所以，该点处为平面应力状态应力状态与应变状态应力状态与应变状态e3342.-=×10-6应力状态与应变状态

例12：如图所示，若测得，求轴向力P。已知EA、ν。应力状态与应变状态应力状态与应变状态

例13如图所示的薄壁圆筒，壁厚d=10mm、外径D=60mm，在表面A处与其轴线成45°和135°角即xy两方向分别贴上应变片，然后，在圆筒两端作用外力偶矩Me，已知材料的弹性模量E=200GPa，泊松比ν=0.3，若该圆筒的变形在弹性范围之内，且MPa，试求圆筒A处的线应变和以及变形后筒壁的厚度。应力状态与应变状态解：

1.A点的应力状态MPa

，

MPa2.由广义胡克定律得

应力状态与应变状态3.设圆筒径向坐标轴为z，且由广义胡克定律得原筒表面上A点沿径向的应变为同理可证，该圆筒在筒壁中任意一点处的径向应变为零，因此，该圆筒变形后的壁厚无变化，仍然为d=10mm。应力状态与应变状态例14

列车通过钢桥时，在钢桥横梁得A点用变形仪量得，。试求A点在x-x及y-y方向得正应力。设E=200GPa，=0.3。并问这样能否求出A点得主应力？[例15]

图a所示为承受内压的薄壁容器。为测量容器所承受的内压力值，在容器表面用电阻应变片测得环向应变

t

=350×l06，若已知容器平均直径D=500mm，壁厚

=10mm，容器材料的E=210GPa，

=0.25，试求:1.导出容器横截面和纵截面上的正应力表达式；2.计算容器所受的内压力。应力状态与应变状态pODxABy图apppxstsmL1、轴向应力:(longitudinalstress)解：容器的环向和纵向应力表达式用横截面将容器截开，受力如图b所示,根据平衡方程应力状态与应变状态psmsmxD图b用纵截面将容器截开，取长为L的一部分为研究对象，受力如图c所示2、环向应力：(hoopstress)3、求内压（以应力应变关系求之）应力状态与应变状态

t

m外表面ypststDqdqz图cO应力状态与应变状态〔例16〕应力状态与应变状态

例17

直径D=40mm的铝圆柱，放在厚度为δ=2mm的钢套筒内，且设两者之间无间隙。作用于圆柱上的轴向压力为P=40KN。若铝的弹性模量及泊松比分别是E1=70GPa，μ1=0.35；钢的弹性模量是E=210GPa，试求筒内的周向应力。应力状态与应变状态解：应力状态分析应力状态与应变状态应力状态与应变状态