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文档简介
§6.2等差数列考试要求1.理解等差数列的概念.2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系,并能用有关知识解决相应的问题.4.了解等差数列与一次函数、二次函数的关系.知识梳理1.等差数列的有关概念(1)等差数列的定义一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,通常用字母d表示,定义表达式为an-an-1=d(常数)(n≥2,n∈N*).(2)等差中项若三个数a,A,b成等差数列,则A叫做a与b的等差中项,且有A=eq\f(a+b,2).2.等差数列的有关公式(1)通项公式:an=a1+(n-1)d.(2)前n项和公式:Sn=na1+eq\f(nn-1,2)d或Sn=eq\f(na1+an,2).3.等差数列的常用性质(1)通项公式的推广:an=am+(n-m)d(n,m∈N*).(2)若{an}为等差数列,且k+l=m+n(k,l,m,n∈N*),则ak+al=am+an.(3)若{an}是等差数列,公差为d,则ak,ak+m,ak+2m,…(k,m∈N*)是公差为md的等差数列.(4)数列Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…也是等差数列.(5)S2n-1=(2n-1)an.(6)等差数列{an}的前n项和为Sn,eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))为等差数列.常用结论1.已知数列{an}的通项公式是an=pn+q(其中p,q为常数),则数列{an}一定是等差数列,且公差为p.2.在等差数列{an}中,a1>0,d<0,则Sn存在最大值;若a1<0,d>0,则Sn存在最小值.3.等差数列{an}的单调性:当d>0时,{an}是递增数列;当d<0时,{an}是递减数列;当d=0时,{an}是常数列.4.数列{an}是等差数列⇔Sn=An2+Bn(A,B为常数).这里公差d=2A.思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)等差数列{an}的单调性是由公差d决定的.(√)(2)若一个数列每一项与它的前一项的差都是常数,则这个数列是等差数列.(×)(3)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n∈N*,都有2an+1=an+an+2.(√)(4)已知数列{an}的通项公式是an=pn+q(其中p,q为常数),则数列{an}一定是等差数列.(√)教材改编题1.已知等差数列{an}中,a2=3,前5项和S5=10,则数列{an}的公差为()A.-1 B.-eq\f(5,2)C.-2 D.-4答案A解析设等差数列{an}的公差为d,∵S5=5a3=10,∴a3=a2+d=2,又∵a2=3,∴d=-1.2.在等差数列{an}中,若a3+a4+a5+a6+a7=450,则a5=________.答案903.已知{an}是等差数列,其前n项和为Sn,若a3=2,且S6=30,则S9=________.答案126解析由已知可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1+2d=2,,2a1+5d=10,))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1=-10,,d=6.))∴S9=9a1+eq\f(9×8,2)d=-90+36×6=126.题型一等差数列基本量的运算例1(1)(多选)记Sn为等差数列{an}的前n项和.已知S4=0,a5=5,则下列选项正确的是()A.a2+a3=0 B.an=2n-5C.Sn=n(n-4) D.d=-2答案ABC解析S4=eq\f(4×a1+a4,2)=0,∴a1+a4=a2+a3=0,A正确;a5=a1+4d=5,①a1+a4=a1+a1+3d=0,②联立①②得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(d=2,,a1=-3,))∴an=-3+(n-1)×2=2n-5,B正确,D错误;Sn=-3n+eq\f(nn-1,2)×2=n2-4n,C正确.(2)(2022·内蒙古模拟)已知等差数列{an}中,Sn为其前n项和,S4=24,S9=99,则a7等于()A.13B.14C.15D.16答案C解析∵eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(S4=24,,S9=99,))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4a1+6d=24,,9a1+36d=99,))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1=3,,d=2.))则a7=a1+6d=15.教师备选1.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若a3=5,S4=24,则a9等于()A.-5 B.-7C.-9 D.-11答案B解析∵a3=5,S4=24,∴a1+2d=5,4a1+6d=24,解得a1=9,d=-2,∴an=11-2n,∴a9=11-2×9=-7.2.已知{an}是公差不为零的等差数列,且a1+a10=a9,则eq\f(a1+a2+…+a9,a10)=________.答案eq\f(27,8)解析∵a1+a10=a9,∴a1+a1+9d=a1+8d,即a1=-d,∴a1+a2+…+a9=S9=9a1+eq\f(9×8,2)d=27d,a10=a1+9d=8d,∴eq\f(a1+a2+…+a9,a10)=eq\f(27,8).思维升华(1)等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1,n,d,an,Sn,知道其中三个就能求出另外两个(简称“知三求二”).(2)确定等差数列的关键是求出两个最基本的量,即首项a1和公差d.跟踪训练1(1)(多选)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a3+a6=24,S6=48,则下列正确的是()A.a1=-2 B.a1=2C.d=4 D.d=-4答案AC解析因为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a3+a6=2a1+7d=24,,S6=6a1+15d=48,))所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1=-2,,d=4.))(2)(2020·全国Ⅱ)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a1=-2,a2+a6=2,则S10=______.答案25解析设等差数列{an}的公差为d,则a2+a6=2a1+6d=2.因为a1=-2,所以d=1.所以S10=10×(-2)+eq\f(10×9,2)×1=25.题型二等差数列的判定与证明例2(2021·全国甲卷)已知数列{an}的各项均为正数,记Sn为{an}的前n项和,从下面①②③中选取两个作为条件,证明另外一个成立.①数列{an}是等差数列;②数列{eq\r(Sn)}是等差数列;③a2=3a1.注:若选择不同的组合分别解答,则按第一个解答计分.解①③⇒②.已知{an}是等差数列,a2=3a1.设数列{an}的公差为d,则a2=3a1=a1+d,得d=2a1,所以Sn=na1+eq\f(nn-1,2)d=n2a1.因为数列{an}的各项均为正数,所以eq\r(Sn)=neq\r(a1),所以eq\r(Sn+1)-eq\r(Sn)=(n+1)eq\r(a1)-neq\r(a1)=eq\r(a1)(常数),所以数列{eq\r(Sn)}是等差数列.①②⇒③.已知{an}是等差数列,{eq\r(Sn)}是等差数列.设数列{an}的公差为d,则Sn=na1+eq\f(nn-1,2)d=eq\f(1,2)n2d+eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a1-\f(d,2)))n.因为数列{eq\r(Sn)}是等差数列,所以数列{eq\r(Sn)}的通项公式是关于n的一次函数,则a1-eq\f(d,2)=0,即d=2a1,所以a2=a1+d=3a1.②③⇒①.已知数列{eq\r(Sn)}是等差数列,a2=3a1,所以S1=a1,S2=a1+a2=4a1.设数列{eq\r(Sn)}的公差为d,d>0,则eq\r(S2)-eq\r(S1)=eq\r(4a1)-eq\r(a1)=d,得a1=d2,所以eq\r(Sn)=eq\r(S1)+(n-1)d=nd,所以Sn=n2d2,所以an=Sn-Sn-1=n2d2-(n-1)2d2=2d2n-d2(n≥2),是关于n的一次函数,且a1=d2满足上式,所以数列{an}是等差数列.教师备选(2022·烟台模拟)已知在数列{an}中,a1=1,an=2an-1+1(n≥2,n∈N*),记bn=log2(an+1).(1)判断{bn}是否为等差数列,并说明理由;(2)求数列{an}的通项公式.解(1){bn}是等差数列,理由如下:b1=log2(a1+1)=log22=1,当n≥2时,bn-bn-1=log2(an+1)-log2(an-1+1)=log2eq\f(an+1,an-1+1)=log2eq\f(2an-1+2,an-1+1)=1,∴{bn}是以1为首项,1为公差的等差数列.(2)由(1)知,bn=1+(n-1)×1=n,∴an+1==2n,∴an=2n-1.思维升华判断数列{an}是等差数列的常用方法(1)定义法:对任意n∈N*,an+1-an是同一常数.(2)等差中项法:对任意n≥2,n∈N*,满足2an=an+1+an-1.(3)通项公式法:对任意n∈N*,都满足an=pn+q(p,q为常数).(4)前n项和公式法:对任意n∈N*,都满足Sn=An2+Bn(A,B为常数).跟踪训练2已知数列{an}满足a1=1,且nan+1-(n+1)an=2n2+2n.(1)求a2,a3;(2)证明数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an,n)))是等差数列,并求{an}的通项公式.解(1)由题意可得a2-2a1=4,则a2=2a1+4,又a1=1,所以a2=6.由2a3-3a2=12,得2a3=12+3a2,所以a3=15.(2)由已知得eq\f(nan+1-n+1an,nn+1)=2,即eq\f(an+1,n+1)-eq\f(an,n)=2,所以数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an,n)))是首项为eq\f(a1,1)=1,公差为d=2的等差数列,则eq\f(an,n)=1+2(n-1)=2n-1,所以an=2n2-n.题型三等差数列的性质命题点1等差数列项的性质例3(1)已知数列{an}满足2an=an-1+an+1(n≥2),a2+a4+a6=12,a1+a3+a5=9,则a3+a4等于()A.6 B.7C.8 D.9答案B解析因为2an=an-1+an+1,所以{an}是等差数列,由等差数列性质可得a2+a4+a6=3a4=12,a1+a3+a5=3a3=9,所以a3+a4=3+4=7.(2)(2022·宁波模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且a3+a4+a5+a6+a7=150,则S9等于()A.225 B.250C.270 D.300答案C解析等差数列{an}的前n项和为Sn,且a3+a4+a5+a6+a7=150,∴a3+a4+a5+a6+a7=5a5=150,解得a5=30,∴S9=eq\f(9,2)(a1+a9)=9a5=270.命题点2等差数列前n项和的性质例4(1)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若S10=10,S20=60,则S40等于()A.110 B.150C.210 D.280答案D解析因为等差数列{an}的前n项和为Sn,所以S10,S20-S10,S30-S20,S40-S30也成等差数列.故(S30-S20)+S10=2(S20-S10),所以S30=150.又因为(S20-S10)+(S40-S30)=2(S30-S20),所以S40=280.(2)等差数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn,Tn,若对任意正整数n都有eq\f(Sn,Tn)=eq\f(2n-1,3n-2),则eq\f(a11,b6+b10)+eq\f(a5,b7+b9)的值为________.答案eq\f(29,43)解析eq\f(a11,b6+b10)+eq\f(a5,b7+b9)=eq\f(a11+a5,2b8)=eq\f(2a8,2b8)=eq\f(a8,b8),∴eq\f(a8,b8)=eq\f(S2×8-1,T2×8-1)=eq\f(S15,T15)=eq\f(2×15-1,3×15-2)=eq\f(29,43).教师备选1.若等差数列{an}的前15项和S15=30,则2a5-a6-a10+a14等于()A.2 B.3C.4 D.5答案A解析∵S15=30,∴eq\f(15,2)(a1+a15)=30,∴a1+a15=4,∴2a8=4,∴a8=2.∴2a5-a6-a10+a14=a4+a6-a6-a10+a14=a4-a10+a14=a10+a8-a10=a8=2.2.已知Sn是等差数列{an}的前n项和,若a1=-2020,eq\f(S2020,2020)-eq\f(S2014,2014)=6,则S2023等于()A.2023 B.-2023C.4046 D.-4046答案C解析∵eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))为等差数列,设公差为d′,则eq\f(S2020,2020)-eq\f(S2014,2014)=6d′=6,∴d′=1,首项为eq\f(S1,1)=-2020,∴eq\f(S2023,2023)=-2020+(2023-1)×1=2,∴S2023=2023×2=4046.思维升华(1)项的性质:在等差数列{an}中,若m+n=p+q(m,n,p,q∈N*),则am+an=ap+aq.(2)和的性质:在等差数列{an}中,Sn为其前n项和,则①S2n=n(a1+a2n)=…=n(an+an+1).②S2n-1=(2n-1)an.③依次k项和成等差数列,即Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…成等差数列.跟踪训练3(1)(2021·北京){an}和{bn}是两个等差数列,其中eq\f(ak,bk)(1≤k≤5)为常值,若a1=288,a5=96,b1=192,则b3等于()A.64B.128C.256D.512答案B解析由已知条件可得eq\f(a1,b1)=eq\f(a5,b5),则b5=eq\f(a5b1,a1)=eq\f(96×192,288)=64,因此,b3=eq\f(b1+b5,2)=eq\f(192+64,2)=128.(2)(2022·郴州模拟)已知Sn为等差数列{an}的前n项和,满足a3=3a1,a2=3a1-1,则数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))的前10项和为()A.eq\f(55,2)B.55C.eq\f(65,2)D.65答案C解析设等差数列{an}的公差为d,则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1+2d=3a1,,a1+d=3a1-1,))所以a1=1,d=1,所以Sn=n+eq\f(nn-1,2)=eq\f(nn+1,2),所以eq\f(Sn,n)=eq\f(n+1,2),所以eq\f(Sn+1,n+1)-eq\f(Sn,n)=eq\f(n+1+1,2)-eq\f(n+1,2)=eq\f(1,2),所以eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))是以1为首项,eq\f(1,2)为公差的等差数列,数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))的前10项和T10=10+eq\f(10×(10-1),2)×eq\f(1,2)=eq\f(65,2).课时精练1.(2022·芜湖模拟)在等差数列{an}中,若a3+a9=30,a4=11,则{an}的公差为()A.-2B.2C.-3D.3答案B解析设公差为d,因为a3+a9=2a6=30,所以a6=15,从而d=eq\f(a6-a4,6-4)=2.2.(2022·莆田模拟)已知等差数列{an}满足a3+a6+a8+a11=12,则2a9-a11的值为()A.-3B.3C.-12D.12答案B解析由等差中项的性质可得,a3+a6+a8+a11=4a7=12,解得a7=3,∵a7+a11=2a9,∴2a9-a11=a7=3.3.(2022·铁岭模拟)中国古代数学名著《张邱建算经》中有如下问题:今有十等人,每等一人,宫赐金以等次差降之(等差数列),上三人先入,得金四斤,持出;下四人后入,得金三斤,持出;中间三人未到者,亦依等次更给.则第一等人(得金最多者)得金斤数是()A.eq\f(37,26) B.eq\f(37,27)C.eq\f(52,39) D.eq\f(56,39)答案A解析由题设知在等差数列{an}中,a1+a2+a3=4,a7+a8+a9+a10=3.所以3a1+3d=4,4a1+30d=3,解得a1=eq\f(37,26).4.(2022·山东省实验中学模拟)已知等差数列{an}的项数为奇数,其中所有奇数项之和为319,所有偶数项之和为290,则该数列的中间项为()A.28 B.29C.30 D.31答案B解析设等差数列{an}共有2n+1项,则S奇=a1+a3+a5+…+a2n+1,S偶=a2+a4+a6+…+a2n,该数列的中间项为an+1,又S奇-S偶=a1+(a3-a2)+(a5-a4)+…+(a2n+1-a2n)=a1+d+d+…+d=a1+nd=an+1,所以an+1=S奇-S偶=319-290=29.5.(多选)等差数列{an}的公差为d,前n项和为Sn,当首项a1和d变化时,a3+a8+a13是一个定值,则下列各数也为定值的有()A.a7B.a8C.S15D.S16答案BC解析由等差中项的性质可得a3+a8+a13=3a8为定值,则a8为定值,S15=eq\f(15\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a1+a15)),2)=15a8为定值,但S16=eq\f(16\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a1+a16)),2)=8eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a8+a9))不是定值.6.(多选)已知Sn是等差数列{an}(n∈N*)的前n项和,且S8>S9>S7,则下列结论正确的是()A.公差d<0B.在所有小于0的Sn中,S17最大C.a8>a9D.满足Sn>0的n的个数为15答案ABC解析∵S8>S9,且S9=S8+a9,∴S8>S8+a9,即a9<0,又S8>S7,S8=S7+a8,∴S7+a8>S7,即a8>0,∴d=a9-a8<0,故A,C中的结论正确;∵S9>S7,S9=S7+a8+a9,∴S7+a8+a9>S7,即a8+a9>0,又a1+a16=a8+a9,∴S16=eq\f(16a1+a16,2)=8(a8+a9)>0,又a1+a15=2a8,∴S15=eq\f(15a1+a15,2)=15a8>0,又a1+a17=2a9,且a9<0,∴S17=eq\f(17a1+a17,2)=17a9<0,故B中的结论正确,D中的结论错误.7.(2019·北京)设等差数列{an}的前n项和为Sn.若a2=-3,S5=-10,则a5=________.答案0解析设等差数列{an}的公差为d,∵eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2=-3,,S5=-10,))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1+d=-3,,5a1+10d=-10,))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1=-4,,d=1,))∴a5=a1+4d=0.8.(2022·铁岭模拟)一百零八塔,位于宁夏吴忠青铜峡市,是始建于西夏时期的喇嘛式实心塔群,是中国现存最大且排列最整齐的喇嘛塔群之一.一百零八塔,因塔群的塔数而得名,塔群随山势凿石分阶而建,由下而上逐层增高,依山势自上而下各层的塔数分别为1,3,3,5,5,7,…,该数列从第5项开始成等差数列,则该塔群最下面三层的塔数之和为________.答案51解析设该数列为{an},依题意可知,a5,a6,…成等差数列,且公差为2,a5=5,设塔群共有n层,则1+3+3+5+5(n-4)+eq\f(n-4n-5,2)×2=108,解得n=12(n=-8舍去).故最下面三层的塔数之和为a10+a11+a12=3a11=3×(5+2×6)=51.9.(2021·全国乙卷)记Sn为数列{an}的前n项和,bn为数列{Sn}的前n项积,已知eq\f(2,Sn)+eq\f(1,bn)=2.(1)证明:数列{bn}是等差数列;(2)求{an}的通项公式.(1)证明因为bn是数列{Sn}的前n项积,所以n≥2时,Sn=eq\f(bn,bn-1),代入eq\f(2,Sn)+eq\f(1,bn)=2可得,eq\f(2bn-1,bn)+eq\f(1,bn)=2,整理可得2bn-1+1=2bn,即bn-bn-1=eq\f(1,2)(n≥2).又eq\f(2,S1)+eq\f(1,b1)=eq\f(3,b1)=2,所以b1=eq\f(3,2),故{bn}是以eq\f(3,2)为首项,eq\f(1,2)为公差的等差数列.(2)解由(1)可知,bn=eq\f(n+2,2),则eq\f(2,Sn)+eq\f(2,n+2)=2,所以Sn=eq\f(n+2,n+1),当n=1时,a1=S1=eq\f(3,2),当n≥2时,an=Sn-Sn-1=eq\f(n+2,n+1)-eq\f(n+1,n)=-eq\f(1,nn+1).故an=eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(3,2),n=1,,-\f(1,nn+1),n≥2.))10.在数列{an}中,a1=8,a4=2,且满足an+2-2an+1+an=0(n∈N*).(1)求数列{an}的通项公式;(2)设Tn=|a1|+|a2|+…+|an|,求Tn.解(1)∵an+2-2an+1+an=0,∴an+2-an+1=an+1-an,∴数列{an}是等差数列,设其公差为d,∵a1=8,a4=2,∴d=eq\f(a4-a1,4-1)=-2,∴an=a1+(n-1)d=10-2n,n∈N*.(2)设数列{an}的前n项和为Sn,则由(1)可得,Sn=8n+eq\f(nn-1,2)×(-2)=9n-n2,n∈N*.由(1)知an=10-2n,令an=0,得n=5,∴当n>5时,an<0,则Tn=|a1|+|a2|+…+|an|=a1+a2+…+a5-(a6+a7+…+an)=S5-(Sn-S5)=2S5-Sn=2×(9×5-25)-(9n-n2)=n2-9n+40;当n≤5时,an≥0,则Tn=|a1|+|a2|+…+|an|=a1+a2+…+an=9n-n2,∴Tn=eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(9n-n2,n≤5,n∈N*,,n2-9n+40,n≥6,n∈N*.))11.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,则m等于()A.3B.4C.5D.6答案C解析∵数列{an}为等差数列,且前n项和为Sn,∴数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))也为等差数列.∴eq\f(Sm-1,m-1)+eq\f(Sm+1,m+1)=eq\f(2Sm,m),即eq\f(-2,m-1)+eq\f(3,m+1)=0,解得m=5,经检验为原方程的解.12.(多选)(2022·济宁模拟)设等差数列{an}的前n项和是Sn,已知S14>0,S15<0,则下列选项正确的有()A.a1>0,d<0B.a7+a8>0C.S6与S7均为Sn的最大值D.a8<0答案ABD解析因为S14>0,S15<0,所以S14=eq\f(14×a1+a14,2)=7(a1+a14)=7(a7+a8)>0,即a7+a8>0,因为S15=eq\f(15×a1+a15,2)=15a8<0,所以a8<0,所以a7>0,所以等差数列{an}的前7项为正数,从第8项开始为负数,则a1>0,d<0,S7为Sn的最大值.13.(2020·新高考全国Ⅰ)将数列{2n-1}与{3n-2}的公共项从小到大排列得到数列{an},则{an}的前n项和为________.答案3n2-2n解析方法一(观察归纳法)数列{2n-1}的各项为1,3,5,7,9,11,13,…;数列{3n-2}的各项为1,4,7,10,13,….观察归纳可知,两个数列的公共项为1,7,13,…,是首项为1,公差为6的等差数列,则an=1+6(n-1)=6n-5.故前n项和为Sn=eq\f(na1+an,2)=eq\f(n1+6n-5,2)=3n2-2n.方法二(引入参变量法)令bn=2n-1,cm=3m-2,bn=cm,则2n-1=3m-2,即3m=2n+1,m必为奇数.令m=2t-1,则n=3t-2(t=1,2,3,…).at=b3t-2=c2t-1=6t-5,即an=6n-5.以下同方法一.14.(2022·东莞模拟)已知等差数列{an}的首项a1=1,公差为d,前n项和为Sn.若Sn≤S8恒成立,则公差d的取值范围是______________.答案eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(-\f(1,7),-\f
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