高考高中数学必考：求最值技巧方法详解

高中数学必考：求最值技巧方法详解

16-1利用一次函数的单调性

【例1】已知非负，且1+3y+2z=3,3«r+3y+N

4.求3=2z—3、+z的最值・

解由条件知］3«y+2z=3—工

3、+之=4—3]

5

得？=彳（1-z）,z=2z—1

:.w=9r-6

又x.y^z非负，

'N20

q1

即《卷（1—万

J乙

、2力一1》0

依一次函数3=9z—6的单调性知

当/=1时,Wmin=一^

当x=l时，训3=3

注在求多元函数的条件最值时，通常是根据已知条件消

元，变为一元函数.对一次函数y=kx+b(AWO)的最值，关键

是指出自变量的取值范围，即函数的定义域.当一次函数的定义

域是闭区间时，其最值在闭区间的端点处取得.

16.2利用二次函数的性质

［例2】设是方程4J—4AZ+A+2=0的两个实根,

当k为何值时/十俨有最小值？

解•・•明8为方程的两实根，

4-1-2

设》=。2+02,则

y=（0+6）2-2口夕=/一^4^=（4-］）2_褒

L410

又由原方程有实根知，

△=16"—16（为+2）=16（二一4一2））0

，Y—1或42

而二次函数的顶点（J,一条）不在此范围内，根据二次函

410

数的性质知0是以4="为对称轴，开口向上的，定义域为（一

8,-l〕U12,+8）的抛物线.比较氏=-1及为=2时）的值

知，

当%=-1时，有1ymin=~1"・

注利用二次函数的性质求最值时,不能机械地套用最值

在顶点处取得,首先要求出定义域,然后再看顶点是否在定义域

调性来判定.

【例3】如图16—1,抛物线y=4—I?与直线y=3z交于

A.B两点，点P在抛物线上由A运动到3,求尸5的面积最

大时点尸的坐标.

分析由于为定点,A5长为定

值，欲使△力F3面积最大，须使P到AB

的距离最大.

解设P点坐标为(]。~。).

■:力，8在直线y=3》上，

近|

・..a=|3io—Vol-=|-3-1-0----4-+----

V/^+TV^o

联立抛物线与直线方程，得

以=-4.=1S16-1

**•-4&Zo&l

贝!]3J?-4+J?2=(x+-y)2—/W。

0o0Z4

J・d=~~=('-To2-3x+4)

A/1A0

当1=一,时,d取最大值，△月尸£面积最大.此时尸点坐

标为（一■I",，）.

乙4

注在实际问题中应注意确定自变量的取值范围的方法,

这里是由直线与抛物线的交点来确定，这样才能确定定义域内

的最值.

［例4］在平面a内有一边长为〃的正△ABC和直线1,1

〃坟？交46于。，交月。于£,沿直线I将△A6C所在平面折

成直二面角，若折起后A,B两点间距离最短，试求I此时的位

置，并求出A5的最小值.

解如图16—2,设折起后点4所在的半平面为8•过A在

面夕内作A/LU,垂足为尸，则A尸，面

在。内过尸作FG1BC于G,可证G为BC的中点，且AF

+尸6=守4（原正三角形的高）.

令AF=z,贝（JFG――Y-a—x

又BG=y

乙

BF2=BG2+FG2=(y)2+(上三-

乙乙2

又在氏中，

AB2=AF2+BF2

=3+9+(耳^〃一比/

42

16.3利用二次方程的判别式

欲求函数y=/(z)(rWR)的极值，如果可以把函数式整理

成关于z的二次方程，注意到1在其定义域内取值，即方程有

实根，所以可以通过二次方程的判别式△》()来探求>的极大

与极小值.

［例5］已知。<彳<1,求器轻的最值・

解原式可化为

(3)—2)/+(5-10>)x+(3y-2)=0

VNCH..・・△=(5—10,)2一4(3丫-2)220

解得y&J或白

410

即函数y的值域为或

410

・19

♦・»极大=了，)微小=点

当》=/时，代入原函数式解得z=lW〔0,1〕,

•*.当i=0时,y取最大值日.

注①由判别式确定的是函数的值域，由值域得到的是函

数的极值而不是最值;②对有些函数来说，极值与最值相同，而

有的函数就不一定，如本例中的极大值比极小值还小，这正是因

为极值是就某局部而言;③若要求函数在给定的定义域内的最

值，一定要注意极值是否在此定义域内取得，即要注意验根・

【例6】已知直线=和点F(6,4),在直线/上求一

点Q,使过点P,Q的直线以及/与1轴在第一象限内围成的三

角形的面积最小.

解设Q点坐标为（/,»】），则y】=4-.PQ的方程为

4百一4

（冗_6）

①1-6

令y=0得PQ与x轴的交点R（Z2,O）的横坐标x2=

与一1

・c_1_10/2

♦♦^AOQR一方

乙syN1--71T

整理为10乃2—Sii+S=O(*)

•・•勺为实数

；・A=S2—40S20

得S>40,取S的最小值40代入

(*)式，得

图16-3

10行一40与+40=0

解得皿=2,则yi=8

【例7】已知tgx=3tgj/(0&z—y<3),求x-y的最大

值.

解设〃=z—y,则依题设，有

tgu=tg(x—y)=；父二丝，=，竽

''1+tgjrtgy1+3tg2)

整理，得(3tg〃)tg2y—2tgy+tg〃=。

♦ItgyWR

二△=(—2)2—4(3tg〃)•tg〃2O

解得tg2〃w],由ow〃<5知，

J乙J

・1

注这里依题设条件，联想到取z—y的正切函数是解题

的关键,而设"=力一门继而找其函数关系也具有一定的技巧

性.

16.4利用重要不等式

这里主要是运用平均值不等式及柯西不等式.

【例8】如图16—4,在平面直角坐

标系中，在y轴的正半轴（坐标原点除

外）上给定两个点A,A试在/轴的正

半轴（坐标原点除外）上求点C,使

NAC6取得最大值.（1986年全国高考

试题）

解设点4,3的坐标分别为（0,困16-4

。），（0,6）,其中0V6V。又设点C坐标为（％,0）,其中x>0.

记NBCA=a，NOCB=/?，则NOCA=a+d显然（0,

勺

ab

tg（a+f）-Ig8=尤N

tgQ=tg〔（a+3）-p〕=

l+tg（a+/?）tg/3ab

]I~X~2

a—h

1+x

,・：z>0,3>0,又T•G=ab为定值.

.・・华=2/茄，当且仅当工=包，即

yJC3C

时取等号.

，当2=\/而时，2+竺有最小值2M灰tga有最大值

x

a-b

27飞

・・♦tga在（0,曰）内是增函数，

7=\/^时，/入。6有最大值arctg言毛，点。的坐

标为（池，0）.

注应用均值不等式求函数的最（极）值时，亦应注意使用

不等式的条件，如《CH，等号成立的条件等，否则容易出错.

这里利用正切函数的单调性来求角的最值及角的拆变也是解题

的基本技巧.

[例9]设R+,且21+4、+9z=16・

求6MT+4V~y+3\/T的最大值.

解令〃=6+4V^y+3

“2=(6y^~+4\/~y+3V^~¥

=(3\/T•\/2^+2>\/4y+l•

<C(3\/T)2+22+l2X(V/^)2+(V/4^)2+(V/9?)2^

=(18+4+1)(2N+4)+9Z)

=23X16

\/23(其中当2===白时，即当之=靖，尸

TyN3

畀”恶时取等号)

故(6VT+4;/y+3LI

注这里是应用柯西不等式，在应用公式时，如何构造出已

知条件等式2x+6y+92=16颇具技巧性和解题意义.

16.5利用三角函数的有界性

对于三角函数的极值，通常是利用三角函数的有界性来求.

如正、余弦函数的最大（小）值很明显;y=asinz+6cosz（a,6中

0）引入辅助角小则k阡西nCz+3）（其中皿=！）,其

最值也一目了然.而对于其它的类型或用同角关系式、或用万能

公式、或用正余弦定理作转化,变为二次函数问题来求解.

【例10］半圆O的直径为2,A为直径延长线上一点,OA

=2,3为半圆上任意一点，以AB为一边作等边△月3C问B

在什么位置时，四边形OACB的面积最大，异求这个最大值.

解如图16-5所示，设ZAO3=a.

在△AOB中J；03=1,04=2,依余弦定理，

AB2=OA2+OB2-20A,OBcosa=5-4cosa

设四边形OACB的面积为S,

则s•OBsina+^XB2

=sinad(5-4cosa)

4

=§十(sina-■\/3cosa)

4

=5\f~^+2sin(a—60°)

4

当且仅当sin(a—60°)=l,即a=150°时，四边形A03C的

面积最大，即

。max彳«乙

【例11】已知Rt/\ABC所在的平面内有一条直线1,1过

其直角顶点C且使△A5C在直线的一侧，求将△ABC以I为

轴旋转一周所得旋转体的最大体积.

解如图16—6,过4,3分别作Z的垂线，。北分别为垂

足，设BE=r,AD=R,EC=h，CD=屐，AABC的三边分别为

a,b,c,4BCE=8

贝l]R=bcosB,r=asind,hi=acosd,h2=bsin。

旋转体的体积为

V=:灯(自十心)(/十厂及十HD

O

一一寺万代尻

=)乃(acos6+6sin。)•

0

(a2sin2^+a6sin5cos0+^2cos2^)

困16—6

—^d2sin2^•acosJ—2cos•bsinff

Oo

展开，合并，整理得

V="^(asind+6cosf)=

•+^2sin(^+^)

Jw

故所求旋转体的最大体积V皿=华

注从例10、例11不难看出对y=asiiLr+Aosl（a,6W0）

引入辅助角6化为？=VW/sin（N+J）型在求最值时所起的

作用，必要时还可由此得出取最值时6的值・

【例12】求j=3sin2a-6sinacosa+1lcos2a的最值,

解「（利用降骞公式）

。.c

3=c31・—----c-o-s-2-a-------3sin2aI+-11・1-+----C--O3S-2-a----

—1—3sin2a—4cos2。

—7—5sin（2。+夕）

...«ymax=7+5=12,%m=7-5=2

解2(用判别式法)

2

3sin2a—6ysin=ac-o--s-a---+----1-l-co-s_a---------------------

sirra+cos*

当cosa=0时,y=3

业—cn43tg%—6tga+11

当cosa力°时。=一——

得j(l+tg2a)=3tg2a-6tga411

整理，得()—3)tg2a+6tga+(y—11)=0

又tgaCR

.・.△=36—4。-3)。-11))0

解之，得2&y<12

>Xmax12，ymin2

注本例还可以用万能公式等方法来解.

16.6利用参数换元

对有些函数，直接求极值比较复杂或不方便,可根据题目的

特点作变量代换，然后运用前面的几种方法来解诀♦在换元时,

一定要注意新的变量的取值范围.•

【例13]求函数十的极值•

解令Ml一力=，，则£>O,N=I—»

原函数变为>=—f4-^+1=—(^--y)2+-

乙*

1.J

V£=合6〔0,十8)

乙

...当£=:，即7="时皿x="|~

注这种换元虽然十分简单，但具有代表性..

[例14]求函数y=(1+M1—工2)•/]—Y/T—「(工》

0)的最大、最小值及其对应的二值.

解由1一/》0及1一/F二？30知0W/41

易见y>0,即、的最小值为0,此时w=0.

令jr=sinJ,0

J

y=(1+M1—sin%)\/1-V1—sin?，

=(l+cos6)M1—cosd

^=\/^2(1+cos^)./--^\/~2(1+cos^)sin-

v乙乙

=2\/~2cos2ysin

乙乙

/2=8cos，--sin2-y-4Ceos2-y•COS2-r•2sin2-3

乙乙乙乙J

由于cos2-^-4-cos2-^-+2sin2-^=2(定值)

Z2Z

应用平均值不等式，得

r000>3

y<4.cos^+cos^+2sin^-=需

应用平均值不等式，得

r06ff>3

2-cos2—+cos2—+2sin2万32

y•22=27

、3J

其中等号当且仅当cos2y-2sin2。•时可取得,

乙乙

如•201.6.0

即sin”方=G，$m丁=~♦sin方/0)

**•当6=2arcsin耳1时，端又=春

O乙/

即当N=sin(2arcsin时,.”=卷/^

故当X=0时,》min=0；当力=々\/'^时,》3=卷\/^'

<5<7

注三角代换是常用的换元法之一.这里是利用均值不等

去来求其最值，通常三角代换后也极便于用三角函数的有界性

来探求极值.

【例15］已知椭圆翥+那1和直线八4工+5、-40=0.

求椭圆上的点到直线/的最大、最小距离.

解设椭圆的参数方程为

T=5cosa

(0&a42打)

,y=4sina、

则椭圆上任一点尸(5cosa,4sina)至I」I的距离

d=|4X5cosa+5X4sina—40|

—MF+.

20|sina+cosa—21

=

=IV^2-sin(a+--•)—2I

414

当时,dmm=%0(2—)，得最近点尸】的坐标

441

为0/0,2\/7);当Q=竽时,八="*(2+\/2)，得

注运用直线、椭圆、圆的三角函数式的参数方程求与它们

有关的极值问题是参数思想的运用，亦便于化归为求三角函数

的极值问题.

16.7利用图形的对称性

利用几何图形中的某些特定点关于某直线(或某平面)的对

称点，将图形局部进行转化，使最值问题获解，这也是一类极值

问题求解的常用方法.

.【例16】已知点A(4,l),B(0,4)和直线《31一？-1=0,

试在/上找一点P,使IPA—IP例最大，求P点的坐标.

解设8关于/的对称点为8（/R），则B8的中点（需,

LA

失当在，上，有

3•.一。尸7=0①

又BB'L，有彩二=一2②

联立①、②得B的坐标（3,3）.

由力（4,1）,3'（3,3）得直线4日的方程2z+,-9=0

设A8与I交于点P,易求P点坐标

为（2,5）.

在/上任取一点P,则

\P,A\-\P,B\=\P,A\-\P,B,\

^\ABf\=\PA\-\PB\

故点P（2,5）为所求.

注这里是运用对称性化归为“三角

TtzRCT4*.1-T*一-、《u99、»vmzsztrin

【例17］在一个锐二面角内有一

个与两面都相切的球。，分别在球面和

二面角的两个半平面上各求一点43,

C,使△ABC的周长最短.

分析如图16—8,在二面角a-l

一8内的一点4在两半平面a，B内有

两点构*成△ABC.要使其周长图16-8

比最短，我们可分别作A关于平面a，B的对称点4,A”.连

4月”，分别交两平面于8,C,则不难证明此时七△八席最短•

下面再考虑：当A到二面角的楼的距离越近上△语就越

短.

不妨设二面角的平面角为&AA交。于E,AA〃交”F.

因为Z1AEJ1XF,则人平面AEF,设平面AEF交/于G,则

NEGF为二面角a—/—0的平面角，即NEGF=6,且AG为A

到/的距离.

易证A.EyG.F四点共圆，且AG为其直径.依正弦定理知

EF_

痂=AG.

综上所述知，L^BC=AS"=2EF=24Gsin凡但sin。为定

值，故4G越小则，越短.

由于A必须在球面上，根据以上分析，可以这样确定A点:

过球心O作/的垂线段OG,反向延长OG交球面于A，再分别

作A关于两半平面的对称点如前面所说得B9C两点，则

△ABC为所求.

注以上分析过程中，对△ABC的探测先抓住关键点4

然后分而先讲行;豕先推沙.好交国专防曷佶附焊加「立抽七注章

16.8利用二次曲线的切线

由于二次曲线的切线是其图形的一种极端情形，所以有时

可以用来求最值.

［例18］如图16—9,四边形ABCQ内接于椭圆《+决

1,且知4(4,0)((0,5).求四边形ABCD的最大面积.

分析要使四边形ABCD的面积最大，因为A.C已为定

点，只要△A8C与△ADC面积分别最大，即4C上的高取最大

值，因此只要求出平行于4。的两条切线之间的距离即可.

解VA,C的坐标分别为y

(4,0),(0,5)c

•A——旦

♦♦——4

设平行于AC的椭圆的切线方程

为ty——^工+6

代入椭圆方程后化简得

25/—20bz+8〃-200=0困16-9

♦・♦直线与椭圆相切，

・•・△=400/-4X25X(8/-200)0

解得b=±5\^2

两切线方程为y=一亳彳土5\/2

10VAT40\/T

两切线之间的距离为

1+0

【例19］在抛物线y=4/上求一点，使该点到直线）=

41一5的距离最短.

解将y=4N-5代入尸4丁，得

4H2—4%+5=0.

V此方程无实数解

・♦.直线与抛物线不相交

V平行于直线）=4z—5且与抛物线相切的切点到已知

直线的距离最短，即切点为所求的点.

设此切线方程为k4%十仇代入尸4入得

4JT2—4才—6=0

令△=42+426=0,得h=-1

1

y=4x2,T=—

由解得2

y=4i-1)=1

故点（），1）到已知直线？=4#一5的距离最短.

注从上两例不难体会用切线法求有关最值的思路和方

法，

16.9利用复数的性质

涉及复数的最值问题，通常是求复数模的最值和求辐角的

最值这两种,或它们的综合运用.

【例20】已知复数之满足|z|=2,求|1+C£+N|的极

值..

解1设z=2(cos6+fsin。)(V|z|=2)

，11+\/Tf+zI=I(1+2cos<9)+(\/T+2sin。”|

=/(l+2cos^)2+(\/T+2sin^)2

=2，2+2sin(6+^)

故|1+MT£+N|M=4,|l+MTz+z|而n=0

解2依1之1|一|22lW区+22I&1叫I+1?2|

有|1+八3|一|z|&|i+MTf+z|&|i+VTi|+3

即2—24|l+\ZTi+z|<2+2

•・.li+vTt+^l^n=o,H+vTz+zkx-4

简捷.

【例21】求满足方程lz+3—的辐角主值最

小的复数之.(1986年全国高考文科试题)

解由|z+3—手£|=\/?知复数z在复平面上对应的

点Z的轨迹是以点A(—3,为圆心，以C为半径的圆,

如图16—10,。公与z轴切于点5(—3,0),易见|AO|=

2「芽，所以/AO6=30°.

依图不难看出，当点Z位于切点

。处时，复数z有最小辐角主值，且

ZXOC=120°,

贝ij冬=3(cos1200+/sin120°)

故复数N=—£+以43,为所

图