高一数学人教A版2019必修第一册4

4.5函数的应用(二)

囿目标导航

1.了解函数的零点、方程的解与图象交点三者之间的联系.

2.会借助函数零点存在定理判断函数的零点所在的大致区间.

3.能借助函数单调性及图象判断零点个数.

4.了解二分法的原理及其适用条件.

5.掌握二分法的实施步骤.

6.体会二分法中蕴含的逐步逼近与程序化思想.

7.能利用已知函数模型求解实际问题.

8.能自建确定性函数模型解决实际问题.

9.了解建立拟合函数模型的步骤，并了解检验和调整的必要性.

矢胸读

输点工函数的零点

1.概念：对于一般函数y=/(x),我们把使的实数x叫做函数y=/(x)的零点.

2.函数的零点、函数的图象与x轴的交点、对应方程的根的关系：

知识点二函数零点存在定理

如果函数y=/(x)在区间也，句上的图象是一条的曲线，且有，那么，函数在区间3,

力内至少有一个零点，即存在cG(4，b),使得，这个c也就是方程y(x)=O的解.

知识点三二分法

对于在区间m，0上图象连续不断且的函数y=/(x),通过不断地把它的零点所在区间，使所

得区间的两个端点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.

知识点四用二分法求函数./U)零点近似值的步骤

1.确定零点X0的初始区间[a,b],验证式")负切＜0.

2.求区间m，份的中点c.

3.计算犬c),并进一步确定零点所在的区间

(1)若大c)=0(此时xo=c),则c就是函数的零点.

(2)若儿7＞式。＜0(此时WW(a,c)),则令b=c.

⑶若如)次6)＜0(此时x°C(c,b)),则令a=c.

4.判断是否达到精确度心若|。一切＜€,则得到零点近似值a(或份；否则重复步骤2〜4.

以上步骤可简化为：定区间，找中点，中值计算两边看；同号去，异号算，零点落在异号间；

周而复始怎么办？精确度上来判断.

知识点五几类已知函数模型

函数模型函数解析式

一次函数模型fix）=ax+b（a,力为常数，存0）

.氏）（为常数且厚）

反比例函数模型x=§+bk,60

二次函数模型fix）=ax2+bx+c（a,b,c为常数,a#0）

指数型函数模型fix）=hav+c（a,b,c为常数，好0,。>0且存1）

对数型函数模型fix）=blogax+c（a9b,c,为常数，屏0,a>0且#1）

基函数型模型於）=""+"小b为常数，存0）

知识点六应用函数模型解决问题的基本过程

1.审题——弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型.

2.建模——将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识建立

相应的数学模型.

3.求模——求解数学模型，得出数学模型.

4.还原——将数学结论还原为实际问题.

跟踪训练

一、单选题

1.已知函数/（》）=_¥+/，g（x）=x+3*,/z（x）=x+log3X的零点分别为X],巧，X?,则储，

巧，毛的大小顺序为（）

A.x2>x3>%jB.x3>x2>Xy

C.%1>x2>%3D.x3>Xj>x2

2.若函数/（x）唯一的一个零点同时在区间（0,16）,（0,4）,（0,2）内，那么下列命题中正确

的是（）

A.函数在区间（0,1）内有零点

B.函数〃x）在区间（0,1）或（1,2）内有零点

C.函数“X）在区间[2,16）上无零点

D.函数〃x）在区间（1,16）内无零点

3.已知函数/（x）=|log“|x-”（a>0,awl）,<x2<x}<x4,xtx2x3x4^OJi

/（4）=/（电）=/（七）=/（匕），则%+%+占+》4=（）

A.2B.4C.8D.随。值变化

4.若函数/3=（3，-4）回_4-3乂同<10）有两个零点，则整数”的值共有（）

A.7个B.8个C.9个D.17个

5.已知函数若存在实数不，々，彳3，满足04王<々<七<3且

2,2<x<3

f（xj=f（x2）=f（x3）9则（玉+占）内/@3）的取值范围是（）

1,1B.[V

A.

42][82.

11"53

C.-»1D.一，一

282

f(x)，f(x)>g(x)

2I

6.已知函数/（x）=-x~+cix—(a-1)-(a<l),g(x)=lnx.若〃(x)=<

4g(x),f(x)<g(x)

在（o,+8）上有三个零点，则a的取值范围为（）

A.里C.（O,l）D.（。,£|

已一工_2x<1

7.已知函数〃=则函数g（x）=/[/（、）]一2"*川的零点个数是（）

A.4B.5C.6D.7

/、|x+lLx<0/、

8.已知函数=*>0,若方程〃力=々有4个不同的根4，X”相，且

4

xt<x2<xJ<xi,则一T-x/w+々）的取值范围是（）

X3X4

A.[4V2,6）B.[2,4V2）C.（2,4夜]口.14夜,可

二、多选题

9.已知函数〃x）={，若关于x的方程〃》）=幺（丘2有四个不同的实数解，

Inx—2,x>U

它们从小到大依次记为5，马,不，匕，则（）

A.0<A:<1B.玉+/=-1

24

C.e<x3<eD.0<x}x2x3x4<e

10.已知函数/(x)=|log“x—a|—a(tz>0,且awl)有两个零点，贝!］()

A.当。>1时，+x2>2B.当0<a<l时，xt+x2<2

C.当a>l时，居一力>1D.当Ovacl时,人一看|<1

YV

11.已知函数f(x)=----2J(x>l),g(x)=—；-log2Mx>1)的零点分别为a，。，给出

X—1X—1

以下结论正确的是()

a

A.a+〃=a/?B.a+2=y3+log2^C.a+夕>4D.a-/3>-2

12.定义在R上的函数y=/(x)满足在(0,1］上单调递增，〃3+X)=/(3T),且图象关于点

(4,0)对称，则下列选项正确的是()

A./(0)=0

B./(2020)</(2021)</(2022)

C.y=〃x)在［1,3］上单调

D.函数“X)在［0,2022］上可能有2023个零点

三、填空题

13.用二分法求函数/(x)=ln(x+l)+x-l在区间［0,1］上的零点，要求精确度为0.01时，所

需二分区间的次数最少为.

14.国表示不超过x的最大整数，例如［3.5］=3,［—。5］=-1.已知与是方程lnx+3x-15=0

的根，则■卜.

15.若/满足3'=2-x,々满足log3X+x-2=0,则为+々=.

16.关于x的方程f-(a-l)x+4=0在区间［1,3］内有两个不等实根，则实数。的取值范围是

四、解答题

17.已知函数y=f(x)(xeR)是偶函数.当xNO时，/(X)=X2-4X.

(1)求函数/*)在xeR上的解析式；

⑵若函数fM在区间伍,a+3］上单调，求实数a的取值范围;

(3)已知/Z(X)="(X)|TW,试讨论〃(X)的零点个数，并求对应的，*的取值范围.

18.已知和三是一元二次方程4"2一4履+&+1=0的两个实数根.

⑴是否存在实数般使得(2%-马乂玉-2刍)=-］成立？若存在，求出左的值；若不存在，

请说明理由；

(2)求使五+上-2的值为整数的实数女的整数值.

X2X\

19.已知函数/(x)=log3(9'+l)+区是偶函数.

(1)当X20,函数y=/(x)-x+”存在零点，求实数。的取值范围；

⑵设函数〃。)=1%(加3-2加)，若函数/")与〃⑴的图象只有一个公共点，求实数加的

取值范围.

20.己知函数〃x)=l+log2X,g(x)=2”.

⑴若尸(x)=/(g(x)).g(f(x)),求函数F(x)在x4l,4］的值域；

(2)若8(x)=/(：),求〃(一1—］+"［二一］+“［2一］++H］四4的值；

v7'，g(x)+2{2022)［2000)1,2022；1,2022J

⑶令G(x)=/(8打/(«)一妙(切，已知函数G(x)在区间［1,4］有零点，求实数”的取值范

围.

4.5函数的应用(二)

m目标导航

1.了解函数的零点、方程的解与图象交点三者之间的联系.

2.会借助函数零点存在定理判断函数的零点所在的大致区间.

3.能借助函数单调性及图象判断零点个数.

4.了解二分法的原理及其适用条件.

5.掌握二分法的实施步骤.

6.体会二分法中蕴含的逐步逼近与程序化思想.

7.能利用已知函数模型求解实际问题.

8.能自建确定性函数模型解决实际问题.

9.了解建立拟合函数模型的步骤，并了解检验和调整的必要性.

知识解读

知识点一函数的零点

1.概念：对于一般函数y=/(x),我们把使的实数x叫做函数y=/(x)的零点.

2.函数的零点、函数的图象与x轴的交点、对应方程的根的关系：

【答案】.3=0

知识点二函数零点存在定理

如果函数y=/(x)在区间［小加上的图象是一条的曲线，且有，那么，函数y=/(x)在区间(“,

力内至少有一个零点，即存在cG(mb),使得，这个c也就是方程人x)=0的解.

【答案】连续不断贝GA3<QAc)=0

知识点三二分法

对于在区间团，口上图象连续不断且的函数y=/(x),通过不断地把它的零点所在区间，使所

得区间的两个端点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.

【答案】曲)帅)<0一分为二逐步逼近零点

知识点四用二分法求函数/U)零点近似值的步骤

1.确定零点的的初始区间［a,b］,验证人①等刀<0.

2.求区间(4,匕)的中点C.

3.计算4c),并进一步确定零点所在的区间

(1)若4c)=0(此时xo=c),则c就是函数的零点.

(2)若危)如)<0(此时xoG(a,c)),则令b=c.

(3)若加)•胆)<0(此时x()W(c,份)，则令a=c.

4.判断是否达到精确度£：若［a—"<£,则得到零点近似值。(或力；否则重复步骤2〜4.

以上步骤可简化为：定区间，找中点，中值计算两边看；同号去，异号算，零点落在异号间；

周而复始怎么办？精确度上来判断.

知识点五几类已知函数模型

函数模型函数解析式

一次函数模型fix)=ax+b(a,力为常数，存0)

反比例函数模型兀人为常数且原0)

二次函数模型J(x)=ax2+bx+c(a,b,c为常数，〃邦)

指数型函数模型兀¥)=/?0V+c(a,b,c为常数，厚0,a>0且

对数型函数模型fix)=b\ogax+c(a,b,c为常数,厚0,a>0且存1)

基函数型模型y(x)=Qi"+优a,b为常数，a#0)

知识点六应用函数模型解决问题的基本过程

1.审题——弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型.

2.建模——将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识建立

相应的数学模型.

3.求模——求解数学模型，得出数学模型.

4.还原——将数学结论还原为实际问题.

/j跟踪训练

一、单选题

1.已知函数f(x)=x+炉,g(x)=x+3*,6(x)=x+log3x的零点分别为4，巧，工，则4，

X”七的大小顺序为()

A.x2>x3>X)B.x3>x2>x1

C.x1>x2>x3D.x3>x}>x2

【答案】D

【分析】依题意可将函数的零点转化为函数y=x\y=3'、)，=log3X^y=-X的交点的横

坐标，画出函数图象，结合图象即可判断；

【详解】解：依题意令/(x)=x+Y=O,即^=一%,

同理可得3*=-x,log3x=-X,

则函数的零点转化为y=d、y=3\y=log3xL]y=r的交点的横坐标，

在平面直角坐标系上画出函数图象如下：

由图可得玉=0,工2<。，工3>°，即％3>工1>工2.

故选：D

2.若函数“X)唯一的一个零点同时在区间(0,16),(0,4),(0,2)内，那么下列命题中正确

的是()

A.函数“X)在区间(0,1)内有零点

B.函数“X)在区间(0,1)或(1,2)内有零点

C.函数/(x)在区间[2,16)上无零点

D.函数函(x)在区间(1,16)内无零点

【答案】c

【分析】题目中所给的零点所在区间的交集为（0,2）,但零点与1的大小未知，结合选项可得

答案.

【详解】由题意，函数/（x）唯一的一个零点在（0,2）内，则函数在［2,内）上无零点，但零点

与1的大小未知，排除A,B,D选项，故选：C

3.已知函数/（x）=|logjx-“（a>0,awl）,若为<当<毛<匕，王当鼻匕*0且

/（±）=/（々）=/（玉）=/（七），则%+七+鼻+匕=（）

A.2B.4C.8D.随。值变化

【答案】B

【分析】作出函数/■（"=|1。8“|厂”的图象得其对称轴是工=1,由对称性可得结论.

【详解】函数/（x）=gg0|Ll||的图象如下图所示：

由图可知，函数"X）=|log„|A-l||的图象关于直线x=1对称，

又:王<工2<£<Z，且/（4）=/（毛）=/（毛）=/（%）,

则内+W+&+工4=4.

故选：B

4.若函数”x）=（3'_a）（6x_a_3乂同<10）有两个零点，则整数〃的值共有（）

A.7个B.8个C.9个D.17个

【答案】A

【分析】先判断出函数"x）=（3'"）（6x-a-3）在R有两个零点为誓和logs*由。的

范围求出符合题意的整数a.

【详解】因为方程6x-a-3=0在R上有且仅有一解》=与，

所以要使函数/（x）=（3，-o）（6x-a-3）在R有两个零点，

只需3,-a=0在R上有且仅有一个解，同时该解不能为早.

O

因为y=3'在R上值域为（0,+8）,因此要满足3、-々=0即3'=〃有解，只需a>0.

又因为丁=3、在R上单调递增,因此当G>0时，3、-。=0在R上有且仅有一个解x=log3〃.

因为同＜10且a＞0,所以整数a可以为1,2,3,4,5,6,7,8,9,其中当。=3或。=9时，曜=log3a.

6

因此满足条件的a为1,2,4,5,678共7个.

故选：A

5.已知函数若存在实数引,々,三，满足04%r＜匕43且

f(xl)=f(x2)=f(xi),则(±+＞)再/(f)的取值范围是()

【答案】B

【分析】分段函数及根的个数问题采用图象辅助解题是常用手段，通过画出函数图象，得到

占+々=2,得i_±=g)-T,则所求式子即关于当的函数求值域问题，根据复合函数求值域

的方法求出值域即可.

【详解】分别画出y=U-i|与y=(g]'的图象，如图所示

,得士=1-(；

所以±+七=2,1-X1=9

则(%+々)尤|/(*3)=2|<1段

令，＜’

,王e[2,3],得,

又y=2(l-"=_2/+2r,对称轴为f=g,所以y=-2/+2f在止上单调递增，由于则N

的取值范围为故选:B

oZ

-X2+ar-^-(a-l)2(a<\),g(x)=lnx.若h(x)=f(x),f(x)>g(x)

6.已知函数/(x)=

g(x),f(x)<g(x)

在(o,+8)上有三个零点，则a的取值范围为()

A，6」)B.[。[C.(O,l)D.[0,g)

【答案】A

【分析】分X=l,X>],0<x<l讨论可得，可得1为Mx)的一个零点，函数f(x)在(0,1)

上有两个零点，然后利用二次函数的性质即得.

【详解】①当x=l时，因为g(l)=0,所以1为g(x)一个零点，

10、

又/(1)=。一1-^(。-1)，因为”<1，所以/⑴<0，

所以M°=g⑴=0,

所以1为人(力的一个零点.

②当x>l时，g(x)>0,/?(x)>g(x)>0,

所以〃(x)在(1,位)上无零点.

③当Ovxvl时,g(x)<0,g(x)在(0,1)上无零点,

所以〃(x).在(0,1)上的零点个数是“X)在(0,1)上的零点个数，

1,1,

因为=<0,f(l)=a-l--(a-iy<0.

函数“X)在(0,1)上有两个零点，即函数Mx)在(0,1)上有两个零点，

所以△=2a-l>0,0<—<1,又a<l,

2

即;<a<1时，/(%)在(0,1)上有两个零点；

综上，a的取值范围为即.

故选：A.

7.已知函数小)=|阿1八>[，则函数g(x)=L]—2/(x)+l的零点个数是()

A.4B.5C.6D.7

【答案】B

【分析】令f=/(x),g(x)=o,则F(r)=2f—1,分别作出函数y=f(f)和直线y=2f—1的

图象，得到乙=0,1<与<2,再分别作出函数y=/(x)和直线y=r的图象，得到方程/(x)=0

和方程f2=/(无)的根的个数，进而得到函数8(对=/[“切-2/(犬)+1的零点个数.

【详解】令f=〃x),g(x)=0,则=(。_力+1=0,即/⑺=21,

分别作出函数y=和直线y=2t-i的图象，如图所示,

由图象可得有两个交点，横坐标设为乙，弓，

则4=0,1<<2,

对于f=/(x),分别作出函数y=〃x)和直线y=的图象，如图所示,

由图象可得，

当〃x)=4=0时，即方程〃x)=0有两个不相等的根，

当％=/(x)时，函数y=/(x)和宜线y=，2有三个交点，

即方程4=/(无)有三个不相等的根，

综上可得g(x)=o的实根个数为5,

即函数g(x)=/[〃x)]-2〃x)+l的零点个数是5.

故选：B.

|1^U+|11,,xX<>0。,若方.程."有4个不同的根阳，々

8.已知函数=,%，且

4

x[<x2<x3<x4,则/7-七(入1+&)的取值范围是()

A.[4仓6)B.[2,4J5)C.(2,4&]D.14①可

【答案】D

【分析】作出函数y=f(x)与y=z的图像，得到飞应关于x=-i对称，化简条件，

利用对勾函数的性质可求解.

【详解】作函数y=/(x)与y=左的图像如下：

方程/(X)=k彳J4个小同的根X],巧，X3,“4，且X|〈工2<“3<，4，

可知司，弓关于x=—l对称，即&+超=-2,且0<*3<1<匕<2,

WI]|log4^|=|log4x4|,g|Jlog4x3=-log4x4,则log』X,+log4x4=0

即log4X3X4=0,贝Ij4%=1；

当|k)g4X=l得x=4或;，则1<昌44：1<X3<1;

44

故―7-a+工2）七=244+—,1<X4<4;

x3x4x4

c4LL

则函数y=2%+一,在1〈玉v加上为减函数，在夜工Z<4上为增函数；

工4

故％=0取得最小值为y=40,而当匕=4时，函数值最大值为>=8+1=9.

即函数取值范围是[4夜,9]

故选：D.

【点睛】本题主要考查了分段函数的运用，主要考查函数的单调性的运用，运用数形结合的

思想方法是解题的关键，属于难题.

二、多选题

9.已知函数〃耳=%仙_2|x>0，若关于x的方程〃x）=M"eR）有四个不同的实数解,

它们从小到大依次记为王，工2，不，匕，则（）

A.OvRKIB.玉+占=-1

24

C.e<x3<eD.0<x{x2x3x4<e

【答案】CD

【分析】将方程有四个不同解可确定f（x）与y=k有四个不同交点，在平面直角坐标系中作

出图象,利用数形结合的方式可求得A的范围，知A错误;根据对称性可知B错误;当0<X</

时，由/（力=1可求得x=e,由此可得天的范围，知c正确；利用基本不等式可求得

0<<1,由|仙下一2|=旭七一2|可求得X3X4=e4,由此可知D正确.

【详解】关于x的方程/（x）=MAwR）有四个不同的实数解，等价于〃力与丫=我有四个不

同交点，

在平面直角坐标系中，作出/（力与V=%如下图所示，

由图形可知：A错误；

%/关于x=-1对称»%+/=-2,B错误；

2

当0<xve?时，令〃尢）=1,解得：X=e,.\e<x3<e,C正确；

2

\inx3-2\=\lnx4-2\,x3<e<x4,..2-lnx3=lnx4-2,

4

/.Inx3+Inx4=Inx3x4=4,x3x4=e,

.Jc,<x2<0,=(-x.)-(-x2)<「I；1)=(为；马))=］,又Mx?>0,

4

0<xlx2x3x4<e,D正确.

故选：CD.

【点睛】关键点点睛：本题考查根据方程根的个数求解参数范围的问题，解题关键是能够将

方程根的个数问题转化为两函数的交点个数问题，采用数形结合的方式，结合函数的对称性

来依次进行求解.

10.已知函数/(x)=|log“x-4-a(a>0,且axl)有两个零点，则()

A.当”>1时，x,+x,>2B.当时，xt+x2<2

C.当a>l时，一西|>1D.当0<〃<1时，\x^—x,|<1

【答案】ABD

【分析】令/。)=0可得占=1、々=。2"为/㈤的两个零点，讨论0<。<1、a>\,结合指数

的性质判断各项的正误.

［详解］令/(x)=|log〃x-a|-a=0,则log«x=0或,

所以々=1、为/(X)的两个零点；

2a

当0<〃<1时，x2=ae(0,1),则%+七<2,-X,|<1,B、D正确；

2a

当。>1时，x2=ae(l,-H»),则占+々>2,但"一xj>1不一定成立，A正确，C错误；

故选：ABD

YV

11.己知函数/(x)=—,g(x)=—：-log2X(x>l)的零点分别为a,P，给出

X—1x~\

以下结论正确的是()

a

A.a+〃=a4B.a+2=^?+log2^C.a+/?>4D.a-/3>-2

【答案】ABCD

【分析】函数y=言的图象关于直线y=x对称，。,夕是函数y=2*和丫=1。82》的图象与函

zy1

数>=段的图象的交点的横坐标，则有。=1■2夕，p=T./?=V=—\+1,直接变

人—1/y—I/y—I

3

形判断AB,利用基本不等式判断C,由零点存在定理判断构造函数

2

（Y31

h（a）=a-/3=a——确定单调性，再计算函数值力（厂二"〉-2,利用单调性判断D.

a-\22

【详解】因为函数丫=告的图象关于直线y=x对称，

是函数y=2*和y=log2x的图象与函数＞=言的图象的交点的横坐标，

因此己知a=log?［，夕=2".

又£===」+1,（a—1）（力-1）=1,即a+£=c尸，

a—\a—\

因而A、B均正确.

又a+#=a+±=a-l+」一+2N4,当且仅当a-l=」一即a=2时等号成立，

a-\a-\a-1

9

（0/（2）=--22=-2^0,

2—1

因而a/2,上式等号不成立，

所以a+/?＞4.C正确.

记O=3-2、3-场＞0,f⑵=2-22＜0,

因此乡＜a＜2

2

zy1

而函数人（。）=。-尸=。-一\=。-1一一、在区间。，位）范围内单调递增，

a-1a-1

所以/7（a）＞/?（|）=g-2＞-2,所以D正确.

故选：ABCD.

12.定义在R上的函数y=/（x）满足在（0,1］上单调递增，f（3+x）=〃3-x）,且图象关于点

（4,0）对称，则下列选项正确的是（）

A./⑼=0

B./（2020）＜/（2021）＜/（2022）

C.y=〃x）在［1,3］上单调

D.函数/（x）在［0,2022］上可能有2023个零点

【答案】AC

【分析】由/(3+x)=/(3-x),且图象关于点(4,0)对称，得到y=f(x)的周期为4,结合

y=〃x)满足在(0,1］上单调递增，结合周期性与对称性得到y=〃力在［1,3］单调递减，分

别判定选项即可.

【详解】f(3+x)=/(3-x)所以y=〃力的对称轴为x=3,且〃6+x)=/(-x),又y=/(x)图

象关于点(4,0)对称，则〃4+x)=_f(4-x),所以〃8+x)=_f(_x),/(8+x)=-/(6+x),所

以〃2+x)=—/(x),所以〃4+x)=.f(x),所以y=f(x)的周期为4,所以(0,0)为y=〃x)

的对称中心，所以y=/(x)奇函数，且定义域为R,所以〃0)=0,所以A正确：

根据周期性〃2O2O)=〃O)J(2O21)=〃1)J(2O22)=/(2),且〃4)=〃0)=0,又

y=/(x)对称轴为x=3,所以〃2)="4)=0,且函数y=/(x)满足在(0』上单调递增，

所以〃())=〃2)<〃1),所以*2020)="2022)<“2021),所以B错误；

函数"/(可满足在(0』上单调递增，且周期为4,所以函数尸/(“满足在(4,5］上单调

递增，又y=/(x)图象关于点(4,0)对称，所以旷="》)在(3,4］单调递增，又y=f(力对称

轴为x=3,所以y="x)在(2,3］单调递减，且y=〃x)在(1,2］单调递减，且"2)=0,所

以y=/(x)在［1,3］单调递减,所以C正确;

对于D,y=/(x)在［0,4)上有且仅有2个零点，且周期为4,y=/(x)在［0,2020)上有且仅

有1010个零点，在［2020,2022］上有且仅有2个零点,函数/⑴在［0,2022］上可能有1012

个零点，所以D错误.

故选：AC.

三、填空题

13.用二分法求函数/(x)=ln(x+l)+x-l在区间［0,1］上的零点，要求精确度为0.01时，所

需二分区间的次数最少为.

【答案】7

【分析】二分法每一次操作都会让区间缩小一半长度.

【详解】根据题意，原来区间KM］的长度等于1,

每经过二分法的一次操作，区间长度变为原来的一半，

则经过"次操作后，区间的长度为《，若去<0.01,

即〃27；故最少为7次.

故答案为：7.

14.团表示不超过x的最大整数，例如艮5]=3,[―Q5]=T.已知与是方程lnx+3x-15=0

的根，贝打毛]=.

【答案】4

【分析】根据零点的存在性定理求得毛的范围，再根据卜]的定义即可得出答案.

【详解】解：设/(x)=lnx+3L15,xe(0,-Ko),

因为函数)，=1<1兑〉=3》在(0,+8)都是增函数，

所以函数单调递增，

又修是方程lnx+3x-15=0的根，所以〃x)=0只有一个根，

/(4)=ln4-3<0,/(5)=ln5>0,

所以％e(4,5),

所以k]=4.

故答案为：4.

15.若阳满足3'=2—x,巧满足log3x+x-2=0,则%+七=.

【答案】2

【分析】根据题意，转化为阳时函数〃x)=3ff(x)=2-x的交点横坐标，巧时函数

8(0=睢3彳与《耳=2-》的交点横坐标，结合函数〃x)=3，与g(x)=k)g3X的对称性，即

可求解.

[详解】设“X)=3',g(x)=log,xj(x)=2-x,

因为A满足3*=2-x,々满足log3X+x-2=0,

所以不时函数/(x)=3*与f(x)=2-x的交点横坐标，/时函数g(x)=log3x与/(x)=2-x

的交点横坐标,

由于函数/(X)=3、与g(x)=log3x互为反函数，其图象关于直线尸X对称，

所以两图象与直线f(x)=2-x的交点(3,/),(々,％)也关于N=x对称，如图所示，

又由p=2『解得x=1,所以空1=1,可得占+当=2.

［y=x2

故答案为：2.

16.关于x的方程/-(4-1卜+4=0在区间［1,3］内有两个不等实根，则实数。的取值范围是

【答案】(5,4］

【分析】利用一元二次方程实根分布列出不等式组，再求解作答.

【详解】关于x的方程/一(。_1b+4=0在区间［1,3］内有两个不等实根，令

/(x)=x2-(a-l)x+4,

A=(a-l)2-16>0

«。-1C

1<-----<3

则有■2解得5<a<—f

41)=630

/(3)=16-3«>0

所以实数。的取值范围是(5,学.

故答案为：(5,修］

四、解答题

17.已知函数y=/(x)(xeR)是偶函数.当x20时，f(x)=x2-4x.

⑴求函数/*)在xeR上的解析式；

⑵若函数/(x)在区间3,〃+引上单调，求实数a的取值范围；

(3)已知〃(x)="(x)|-m,试讨论〃(x)的零点个数，并求对应的胆的取值范围.

x2+4x,x<0

【答案】(l)/(x)=<

x2-4x,x>0

(2)a<-5^a>2

⑶答案见解析

【分析】（1）根据偶函数的定义求解即可.

（2）根据（1）做出/Xx）图像，数形结合.

（3）根据（1）做出"（x）|图像，数形结合.

【详解】（D设x<0,则—x>0

f（-x）=x2+4x

•••/（x）为偶函数

：.f（x）=f（-x）=x2+4x

x2+4x,x<0

综上,有f(x)=-

x2-4x,x>0

⑵由（1）作出/"）的图像如图：

因为函数/（X）在区间［a,4+3］上具有单调性,

由图可得。+3V-2或解得。4-5或。22；

故实数。的取值范围是a4-5或a22.

⑶由（1）作出1/（幻1的图像如图：

山图像可知：

当m>4时，/z（x）有两个零点；

当加=4时，〃（无）有四个零点；

当0<加<4时，〃（x）有六个零点；

当机=0时，〃（x）有三个零点；

当初<0时，〃（x）没有零点.

18.已知公三是一元二次方程以--4履+%+1=0的两个实数根.

⑴是否存在实数3使得（2玉-々乂氏-2々）=-1成立？若存在，求出女的值；若不存在，

请说明理由；

⑵求使五+2-2的值为整数的实数&的整数值.

X2X\

9

【答案】（1）存在，k=-

（2）k——2,—3,—5

【分析】（1）利用反证法先假设存在实数%,使得（2玉-吃）（玉-2/）=-］成立，根据一元

9

二次方程有两个实数根可得攵=g,因此原假设不成立，故不存在；

（2）根据题意五+返-2=%3-2=区@_一4=也一4=-，-,可得々+1能被4整

x2Xjxxx2%/k+\&+1

除，即可求出d的值.

【详解】⑴假设存在实数％，使得（2%-%）（%—2々）=-］成立，

・一元二次方程4fct2-4日+后+1=0的两个实数根，

4kH0

用化+1）=-16"。,皿（不要忽略判别式的要求），

石+%=1

由韦达定理得女+1,

x,x^=----

4k

-2

.,.（2%1-x2）（x1-2X2）=2（x；+%2）5X1X2=2（%+x2）-9x,x2=-,

4Z2

但女<0,

・,・不存在实数％，使得（2%-々）（％一2七）=-］成立.

小、xX、八X：+xz-（X］+X,）-4左/4

（2）,+上一2=-^——L-2=^~!--4=-----4=------,

x2Xx{x2x{x2k+\Z+1

，要使其值是整数，只需要％+1能被4整除，

故%+1=±1,±2,±4,即/=0,-2,1,—3,3,—5,

/<0,

k=—2,—3,—5.

19.己知函数/Q）=log3（9'+1）+"是偶函数.

（1）当XW0,函数y=x+a存在零点，求实数。的取值范围；

⑵设函数〃。）=1%仙3-2时，若函数/㈤与〃⑴的图象只有一个公共点，求实数，〃的

取值范围.

【答案】⑴（y,o）

（2）『；百}（1，+8）

【分析】（1）利用偶数数的定义/（-x）=/（x）,即可求出实数/的值，从而得到了（X）的解析

式；令f（x）-x+a=O,得-a=/（x）-x,构造函数g（x）=f（x）-x,将问题转化为直线，=-«与

函数y=g（x）的图象有交点，从而求出实数。的取值范围;

（2）依题意等价于关于x的方程咋3（"3-2加）=咋3（3、+3-，）只有一个解，令/=3",讨论

（加一1）“-2，加一1=0的正根即可.

【详解】⑴解：/⑴是偶函数，.1/（一幻二人幻，

即log式9"+1）-履=喝（9"+1）+"对任意xGR恒成立，

9T+1

2t

.•.2H=log,（9-'+l）-log,（9'+l）=log3^7-j-=log33-=-2x,

k——\.

即f（x）=log3（9'+l）-x,

因为函数y=/（x）7+a有零点，即方程Iog3（9'+1）-2尤=-。有实数根.

r

令gM=log3（9+1）-2x,则函数y=g（x）与直线y=-a有交点,

9V+11

=喝=1%（1+讲），

又1+右>1，・.•g（x）=log3（l+示）>0，

.•--a>0,所以。<0,即。的取值范围是（-8,0）.

vv

（2）解：因为f（x）=log,（9+l）-x=log3（9+l）-log33、=log3|^-1=log,（3,+3~）,

又函数f（x）与"x）的图象只有一个公共点，

则关于x的方程地式“3'-2㈤=log3（3、+3-'）只有一个解，

所以机3-2加=3、+3-*,

令f=3*（f>0）,得（加-1）--2皿-1=0,

①当帆-1=0,即加=1时，此方程的解为》=-；,不满足题意，

②当加一1>0,即机>1时，此时A=4机2+4（相-1）=4（机2,又4+芍=---->0,

所以此方程有一正•负根，故满足题意，

③当-IvO,即三<1时,由方程（加-1。-2加-1=0只有一正根,则需

4/T?2-4(zn-l)