统考版2024高考数学二轮专题复习课时作业10空间几何体的三视图表面积与体积理

课时作业10空间几何体的三视图、表面积与体积A基础达标1.棱长为2eq\r(3)的正四面体的三视图如图所示，俯视图是正三角形，则主视图的腰长等于()A．2B．3C．eq\r(11)D．2eq\r(3)2．[2024·四川省成都市第七中学高三月考]如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某个零件的三视图，则这个零件的体积等于()A．6πB．8πC．10πD．12π3．[2024·贵州省凯里市第一中学高三模拟]某几何体的三视图如图所示，其中正视图与侧视图都是长为1，宽为eq\f(2,3)的矩形，俯视图为扇形，若球O的体积与该几何体的体积相等，则球O的半径为()A．eq\f(1,2)B．eq\f(2,3)C．1D．eq\f(3,4)4．[2024·河南省商丘市部分学校测试]某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是()A．11＋2eq\r(5)B．15＋eq\r(5)C．15＋2eq\r(5)D．16＋2eq\r(5)5．[2024·广西柳州市高三模拟]如图，将底面半径为2的圆锥放倒在平面上，使圆锥在此平面内绕圆锥顶点S滚动，当这个圆锥在平面内转回原位置时，圆本身恰好滚动了2周，则()A．圆锥的母线长为8B．圆锥的表面积为8πC．圆锥的侧面绽开图扇形圆心角为eq\f(π,2)D．圆锥的体积为eq\f(8\r(3)π,3)6．[2024·内蒙古赤峰市高三二模]某三棱锥的三视图如图所示，则此三棱锥外接球的体积是________．7.如图，在底面边长为4，高为6的正四棱柱中，大球与该正四棱柱的五个面均相切，小球在大球上方且与该正四棱柱的三个面相切，也与大球相切，则小球的半径为________.8．[2024·四川省成都市阳安中学检测]已知四棱锥S­ABCD的三视图如图所示，则四棱锥S­ABCD的外接球的表面积为________．B素养提升9.[2024·宁夏银川市六盘山高级中学三模]如图所示为某几何体的三视图，则该几何体外接球的表面积为________．10．[2024·甘肃省金昌市高三二模]已知三棱锥A­BCD内接于球O，点M，N分别为AB，CD的中点，且MN⊥AB，MN⊥CD.若AB＝2CD＝2MN＝12，则球O的体积为________．课时作业10空间几何体的三视图、表面积与体积1．解析：由俯视图边长为2eq\r(3)，易知正四面体底面外接圆半径为2，∴正四面体的体高为h＝eq\r(（2\r(3)）2－22)＝2eq\r(2)，∴正视图腰长为l＝eq\r(（2\r(2)）2＋（\r(3)）2)＝eq\r(11).故选C.答案：C2．解析：依据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体由一个底面半径为1，高为2的圆柱和一个底面半径为2，高为3的圆锥组成；故这个零件的体积V＝eq\f(1,3)×π×22×3＋π×12×2＝6π.故选A.答案：A3．解析：由三视图可知，该几何体是四分之一个圆柱（高为eq\f(2,3)，底面半径为1），其体积V＝eq\f(1,4)π×12×eq\f(2,3)＝eq\f(π,6)，设球O的半径为r，则eq\f(4,3)π×r3＝eq\f(π,6)，解得r＝eq\f(1,2).故选A.答案：A4．解析：依据几何体的三视图得该几何体为如图所示的多面体，且AE＝DF＝1，BH＝CG＝AD＝BC＝AB＝DC＝HG＝EF＝2，所以EH＝GF＝eq\r(22＋（2－1）2)＝eq\r(5)，则其表面积为eq\f(1,2)×（1＋2）×2×2＋2×2×2＋1×2＋2×eq\r(5)＝16＋2eq\r(5).故选D.答案：D5．解析：由题意，圆锥在平面内转回原位置时，圆本身恰好滚动了2周，即可知圆锥的侧面绽开图的面积即圆锥的侧面积是以母线为半径形成的圆面积的eq\f(1,2)，设圆锥母线长为l，即有π×2×l＝eq\f(1,2)×π×l2，∴l＝4，故A错误；圆锥的表面积为π×2×4＋π×22＝12π，故B错误；由题意可知，圆锥的侧面绽开图是以母线为半径形成的圆的一半，故侧面绽开图扇形圆心角为π，故C错误；圆锥的体积为eq\f(1,3)π×22×eq\r(42－22)＝eq\f(8\r(3)π,3)，故D正确．故选D.答案：D6．解析：三棱锥A­BCD直观图如图，其所在长方体长宽均为1，高为2，此三棱锥外接球的直径为此长方体的体对角线eq\r(12＋12＋22)，则此三棱锥外接球的半径为eq\f(\r(6),2)，该球体积为eq\f(4,3)πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),2)))eq\s\up12(3)＝eq\r(6)π.答案：eq\r(6)π7．解析：由题意可知大球的半径为R＝2，设小球的半径为r，如图，设大球的球心为O，小球的球心为C，E为小球与上底面的切点，作OD⊥CE交于点D，由题意可知，OD＝2eq\r(2)－eq\r(2)r，CD＝4－r，CO＝2＋r，所以（2＋r）2＝（4－r）2＋（2eq\r(2)－eq\r(2)r）2，即r2－10r＋10＝0，r∈（0，2），解得r＝eq\f(10－\r(100－40),2)＝5－eq\r(15).答案：5－eq\r(15)8．解析：如图，依据三视图可还原得四棱锥S­ABCD，设O1为矩形ABCD的中心，O2为△SAB的外心，O为四棱锥S­ABCD的外接球的球心，过S做SH⊥平面ABCD，连接OS，OO1，OO2，O1H，O2A，由三视图可知四边形ABCD为矩形，BC＝4，AB＝2，H为AB的中点，SH＝2，AH＝1.因为四棱锥S­ABCD外接球的球心O满意OO1⊥平面ABCD，OO2⊥平面SAB，所以HO2∥OO1，又HO2⊂平面SAB，所以OO2⊥HO2，同理得OO1⊥HO1.所以四边形HO2OO1为矩形．在矩形ABCD中，HO1＝2，在△O2HA中，因为HOeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))＋HA2＝AOeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))，即（2－SO2）2＋12＝SOeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))，所以SO2＝eq\f(5,4)，在△SO2O中，外接球半径SO＝eq\r(SOeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))＋OOeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2)))＝eq\r(\f(25,16)＋4)＝eq\f(\r(89),4)，所以外接球的表面积为4π×eq\f(89,16)＝eq\f(89,4)π.答案：eq\f(89,4)π9．解析：由三视图还原原几何体如图所示，由图可知，原几何体为三棱锥P­ABC，且平面PAC⊥平面ABC，取AC的中点D，连接PD、BD，则AD＝CD＝eq\r(3)，BD＝PD＝3，由三视图可知BD⊥AC，PD⊥AC，因为BD∩PD＝D，则AC⊥平面PBD，由勾股定理可得AB＝BC＝PA＝PC＝eq\r(32＋3)＝2eq\r(3)＝AC，则△ABC、△PAC均为正三角形，因为平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC＝AC，PD⊥AC，PD⊂平面PAC，所以PD⊥平面ABC，因为BD⊂平面ABC，所以PD⊥BD，过△ABC的外心E在平面PBD内作EO⊥BD，过△PAC的外心F在平面PBD内作FO⊥PD，设EO∩FO＝O，因为AC⊥平面PBD，EO⊂平面PBD，则EO⊥AC，因为EO⊥BD，AC∩BD＝D，所以EO⊥平面ABC，同理，FO⊥平面PAC，所以，O为三棱锥P­ABC的外接球球心，因为E为等边△ABC的外心，则DE＝eq\f(1,3)BD＝1，同理DF＝1，在平面PBD内，因为OF⊥DF，DE⊥DF，OE⊥DE，DE＝DF，所以四边形OEDF为正方形，所以OF＝DE＝1，因为PF＝PD－DF＝2，所以OP＝eq\r(OF2＋PF2)＝eq\r(5)，因此，该几何体外接球的表面积为4π·OP2＝20π.答案：20π10．解析：依题意知，MN既是AB的垂直平分线，又是CD的垂直平分线，