苏科版八年级数学下册举一反三专题11.1反比例函数【十大题型】(原卷版+解析)

专题11.1反比例函数【十大题型】【苏科版】TOC\o"1-3"\h\u【题型1反比例函数的定义】 1【题型2反比例函数的图象上点的坐标特征（比较大小）】 2【题型3反比例函数的性质】 3【题型4反比例函数的对称性】 3【题型5反比例函数中k的几何意义（面积）】 5【题型6反比例函数系数k的几何意义（规律题）】 6【题型7反比例函数与一次函数的交点问题】 7【题型8待定系数法求反比例函数解析式】 8【题型9反比例函数与一次函数、二次函数的图象】 10【题型10反比例函数与几何图形综合】 12【知识点1反比例函数的定义】一般的，形如的函数，叫做反比例函数。其中是自变量，是函数。自变量的取值范围是不等于0的一切实数【知识点2反比例函数的解析式】1、；2、；3、【题型1反比例函数的定义】【例1】（2022•渭南模拟）已知函数是y=(n−2)xn2−n−3+3x【变式1-1】（2022春•高要市期中）反比例函数y=−25x中，比例系数k＝【变式1-2】（2022秋•新泰市校级月考）下列函数，①x（y+2）＝1②y=1x+1③y=1x2④y=−12x⑤y=−x2⑥【变式1-3】（2022春•高新区校级期末）若反比例函数y=(m+1)x3−m2的图象在第二、四象限，【知识点3反比例函数的图象与性质】1、图象：由两条曲线组成（双曲线）2、性质：函数图象所在象限增减性三象限在同一象限内，随的增大而减小四象限在同一象限内，随的增大而增大越大，函数图象越远离坐标原点【题型2反比例函数的图象上点的坐标特征（比较大小）】【例2】（2022•巩义市模拟）如图为反比例函数y=k1x，y=k2x，y=k3x在同一坐标系的图象，则A．k1＞k2＞k3 B．k2＞k1＞k3 C．k3＞k1＞k2 D．k3＞k2＞k1【变式2-1】（2022•洪山区模拟）若点A（x1，1）、B（x2，﹣2）、C（x3，﹣3）在反比例函数y=−k2+1x的图象上，则x1、x2A．x1＜x2＜x3 B．x1＜x3＜x2 C．x3＜x1＜x2 D．x2＜x1＜x3【变式2-2】（2022•温州校级开学）已知（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3）为双曲线y=−3x上的三个点，且x1＜x2＜xA．若x1x2＞0，则y2y3＞0 B．若x1x3＞0，则y2y3＜0 C．若x1x3＜0，则y2y3＞0 D．若x1x2＜0，则y1y3＜0【变式2-3】（2022春•福山区期末）在反比例函数y=k2+3x（k为常数）上有三点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），若x1＜0＜x2＜x3，则y1，y2A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y1＜y3＜y2 D．y3＜y2＜y1【题型3反比例函数的性质】【例3】（2022•大庆二模）正比例函数y＝﹣kx经过（1，﹣6），则对于反比例函数y=kA．图象经过第一、三象限 B．图象经过点（2，3） C．当x＞1时，0＜y＜6 D．函数值y随x的增大而减小【变式3-1】（2022•站前区校级一模）反比例函数y=aA．第一、三象限 B．第一、二象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限【变式3-2】（2022春•原阳县期中）已知反比例函数y=3−2mx，当x＜0时，y随x的增大而减小，则满足上述条件的正整数A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个【变式3-3】（2022•金华模拟）设函数y1=kx，y2=−kx（k＞0），当1≤x≤3时，函数y1的最大值为a，函数y2的最小值为a﹣4，则【知识点4反比例函数图象的对称性】（1）中心对称，对称中心是坐标原点（2）轴对称：对称轴为直线和直线【题型4反比例函数的对称性】【例4】（2022秋•房县期末）如图，点P（﹣2a，a）是反比例函数y=kx与⊙O的一个交点，图中阴影部分的面积为10A．y=−8x B．y=−12x C．y=−【变式4-1】（2022秋•连平县校级月考）对于反比例函数y=6A．关于原点中心对称 B．关于直线y＝x对称 C．关于直线y＝﹣x对称 D．关于x轴对称【变式4-2】（2022春•金坛市校级期中）正比例函数y＝kx与反比例函数y=kx的图象相交于A、B两点，已知点A的横坐标为1，点B的纵坐标为﹣3，则A、B两点的坐标分别为【变式4-3】（2022春•姑苏区校级期末）如图，直线L与双曲线交于A、C两点，将直线L绕点O顺时针旋转α度角（0°＜α≤45°），与双曲线交于B、D两点，则四边形ABCD形状一定是（）A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．任意四边形【知识点5反比例函数比例系数k的几何意义】如图，在反比例函数上任取一点，过这一点分别作轴，轴的垂线，与坐标轴围成的矩形的面积【题型5反比例函数中k的几何意义（面积）】【例5】（2022春•邗江区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B分别在函数y=6x(x＞0)，y=kx(x＜0)的图象上，AB∥x轴，点C是y轴上一点，线段AC与x轴正半轴交于点D．若△A．﹣9 B．3 C．﹣6 D．﹣3【变式5-1】（2022春•衢江区期末）如图，在反比例函数y=kx(x＞0)的图象上有点P1，P2，P3，它们的横坐标依次为1，3，6，分别过这些点作x轴与y轴的垂线段．图中阴影部分的面积记为S1，S2．若S2＝3，则A．3 B．4 C．5 D．6【变式5-2】（2022春•秦淮区期末）如图，点A是函数y=2x图象上的任意一点，点B、C在反比例函数y=kx的图象上．若AB∥x轴，AC∥A．2 B．3 C．4 D．6【变式5-3】（2022•费县二模）在平面直角坐标系xOy中，过O点的直线AB分别交函数y=−1x(x＜0)，y=kx(k＜0，x＞0)的图象于点A，B，作AC⊥y轴于点C，作CD∥AB交y=kx(k＜0，x＞0)A．﹣6 B．﹣8 C．﹣10 D．﹣12【题型6反比例函数系数k的几何意义（规律题）】【例6】（2022•湘潭县校级模拟）如图，△OB1A1，△A1B2A2，△A2B3A3，…，△An﹣1BnAn，都是一边在x轴上的等边三角形，点B1，B2，B3，…，Bn都在反比例函数y=3x（x＞0）的图象上，点A1，A2，A3，…，An，都在x轴上，则A2022的坐标为【变式6-1】（2022•路南区二模）如图，平面直角坐标系中，边长为1的正方形OAP1B的顶点A、B分别在x轴、y轴上，点P1在反比例函数y=kx(x＞0)的图象上，过P1A的中点B1作矩形B1AA1P2，使顶点P2落在反比例函数的图象上，再过P2A1的中点B2作矩形B2A1A2P3，使顶点（1）点P2的坐标为；（2）作出矩形B18A17A18P19时，落在反比例函数图象上的顶点P19的坐标为．【变式6-2】（2022•通辽）如图，△OA1B1，△A1A2B2，△A2A3B3，…，△An﹣1AnBn都是斜边在x轴上的等腰直角三角形，点A1，A2，A3，…，An都在x轴上，点B1，B2，B3，…，Bn都在反比例函数y=1x（x＞0）的图象上，则点Bn的坐标为．（用含有正整数【变式6-3】（2022秋•宁津县期末）如图，△OA1B1，△A1A2B2，△A2A3B3…是分别以A1，A2，A3…为直角顶点，一条直角边在x轴正半轴上的等腰直角三角形，其斜边的中点C1，C2，C3…均在反比例函数y=1x（x＞0）的图象上，则点A2021的坐标为【题型7反比例函数与一次函数的交点问题】【例7】（2022•龙湖区一模）如图，A（4，3）是反比例函数y=kx在第一象限图象上一点，连接OA，过A作AB∥x轴，截取AB＝OA（B在A右侧），连接OB，交反比例函数y=k（1）求反比例函数y=k（2）求点B的坐标及OB所在直线解析式；（3）求△OAP的面积．【变式7-1】（2022•路桥区一模）如图，直线y＝kx+b（k≠0）和双曲线y=ax（a≠0）相交于点A，B，则关于x的不等式kx+bA．x＞0.5 B．﹣1＜x＜0.5 C．x＞0.5或﹣1＜x＜0 D．x＜﹣1或0＜x＜0.5【变式7-2】（2022•兴化市二模）在平面直角坐标系中，直线y＝2x+3b（b为常数）与双曲线y=kx（k≠0）交于点A（x1，y1），B（x2，y2），若x1﹣x2＝6，则y1﹣yA．﹣12 B．6 C．﹣6 D．12【变式7-3】（2022春•九龙坡区校级月考）如图所示，直线y＝k1x+b与双曲线y=k2x交于A、B两点，其中A（2，1），点B的纵坐标为﹣3，直线AB与x轴交于点C，与y（1）求直线AB和双曲线的解析式；（2）直线AB沿y轴向上平移m个单位长度，分别与双曲线交于E、F两点，其中F点坐标是（1，2），求△BDE的面积．【题型8待定系数法求反比例函数解析式】【例8】（2022秋•崂山区期末）如图，点A（1，m），B（6，n）在反比例函数图象上，AD⊥y轴于点D，BC⊥y轴于点C，DC＝5．（1）求m，n的值并写出反比例函数的表达式；（2）连结AB，在线段DC上是否存在一点P，使△PAB的面积等于10？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．【变式8-1】（2022秋•包河区期末）如图，A、B两点在双曲线y=kx（x＞0）的图象上，已知点A(1，4)，B(52，m)，分别经过A、B两点向坐标轴作垂线段，得到三个矩形：记阴影部分矩形面积为S，另两个矩形面积分别记为S（1）求反比例函数解析式及m的值；（2）求S1+S2的值．【变式8-2】（2022春•叙州区期中）已知反比例函数的图象经过三个点A（﹣2，﹣3），B（2m，y1），C（3m，y2），其中m＞0．（1）求反比例函数的关系式；（2）当y1﹣y2＝2时，求m的值：（3）如图，过点B、C分别作x轴、y轴的垂线，两垂线相交于点D，点P在x轴上，若△PBD的面积是6，请求出点P坐标（横坐标用含m的式子表示）．【变式8-3】（2022•商河县校级模拟）如图1，点A（m，6），B（6，1）在反比例函数图象上，作直线AB，连接OA、OB．（1）求反比例函数的表达式和m的值；（2）求△AOB的面积；（3）如图2，E是线段AB上一点，作AD⊥x轴于点D，过点E作x轴的垂线，交反比例函数图象于点F，若EF=13AD，求出点【题型9反比例函数与一次函数、二次函数的图象】【例9】（2022•广西）已知反比例函数y=bx（b≠0）的图象如图所示，则一次函数y＝cx﹣a（c≠0）和二次函数y＝ax2+bx+c（A． B． C． D．【变式9-1】（2022秋•湘阴县月考）在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝kx﹣2与反比例函数y=kx（其中A． B． C． D．【变式9-2】（2022秋•榆次区期末）在同一直角坐标系中，二次函数y＝ax2+b（a≠0，b≠0）与反比例函数y=abA． B． C． D．【变式9-3】（2022•贺兰县模拟）已知二次函数y=−14x2+bx+c的图象如图，则一次函数y=−14x﹣2bA． B． C． D．【题型10反比例函数与几何图形综合】【例10】（2022春•上虞区期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，已知边AD的中点E在y轴上，且∠DAO＝30°，AD＝4，若反比例函数y=kx（k＞0，x＞0）的图象经过点B，则A．83 B．8 C．6 D．【变式10-1】（2022•安顺模拟）如图，点A是反比例函数y=6x在第一象限内的图象上的一个动点，连接AO并延长交反比例函数的图象于另一点B，以AB为斜边作等腰直角三角形ABC，且点C在第二象限，随着点A的运动，点A．y=−13x B．y=−3x C．y=−1【变式10-2】（2022•虞城县三模）如图，平行四边形OABC中，点O为原点，点A在x轴正半轴上，反比例函数y=kx的图象经过顶点C，且经过对角线OB上一点D，若点D的坐标为（4，2），平行四边形OABC的面积为569A．（5，3） B．(163，83)【变式10-3】（2022春•北碚区校级期末）如图，直线AB的解析式为y＝﹣2x+2，点E为正方形ABCD中CD边的五等分点，且CE=15CD，双曲线y=kx（k≠0，x⟩0）的图象过点A．12125 B．12425 C．13225专题11.1反比例函数【十大题型】【苏科版】TOC\o"1-3"\h\u【题型1反比例函数的定义】 1【题型2反比例函数的图象上点的坐标特征（比较大小）】 3【题型3反比例函数的性质】 5【题型4反比例函数的对称性】 7【题型5反比例函数中k的几何意义（面积）】 9【题型6反比例函数系数k的几何意义（规律题）】 13【题型7反比例函数与一次函数的交点问题】 18【题型8待定系数法求反比例函数解析式】 22【题型9反比例函数与一次函数、二次函数的图象】 28【题型10反比例函数与几何图形综合】 32【知识点1反比例函数的定义】一般的，形如的函数，叫做反比例函数。其中是自变量，是函数。自变量的取值范围是不等于0的一切实数【知识点2反比例函数的解析式】1、；2、；3、【题型1反比例函数的定义】【例1】（2022•渭南模拟）已知函数是y=(n−2)xn2−n−3+【分析】此函数为反比例函数则可得（n﹣2）xn2−n−3为反比例函数，或者（n【解答】解：①若（n﹣2）xn2−n−3②若（n﹣2）xn2−n−3为反比例函数则n﹣2≠0，n2解得：n＝﹣1，当n＝﹣1时，y=−3综上可得n＝2．故答案为：n＝2．【变式1-1】（2022春•高要市期中）反比例函数y=−25x中，比例系数k＝−【分析】由于反比例函数的比例系数即为k的值，可直接求出．【解答】解：反比例函数y=−25x中，比例系数k故答案为：−2【变式1-2】（2022秋•新泰市校级月考）下列函数，①x（y+2）＝1②y=1x+1③y=1x2④y=−12x⑤y=−x2⑥【分析】根据反比例函数的定义进行判断即可．【解答】解：①x（y+2）＝1，可化为y=1−2x②y=1x+1，y与（③y=1x2是y关于④y=−1⑤y=−x⑥y=1故答案为：④⑥．【变式1-3】（2022春•高新区校级期末）若反比例函数y=(m+1)x3−m2的图象在第二、四象限，【分析】由反比例函数的定义可知3﹣m2＝﹣1，由反比例函数图象在第二、四象限可知m+1＜0．【解答】解：∵y=(m+1)x∴3﹣m2＝﹣1．解得：m＝±2．∵函数图象在第二、四象限，∴m+1＜0，解得：m＜﹣1．∴m＝﹣2．故答案为：﹣2．【知识点3反比例函数的图象与性质】1、图象：由两条曲线组成（双曲线）2、性质：函数图象所在象限增减性三象限在同一象限内，随的增大而减小四象限在同一象限内，随的增大而增大越大，函数图象越远离坐标原点【题型2反比例函数的图象上点的坐标特征（比较大小）】【例2】（2022•巩义市模拟）如图为反比例函数y=k1x，y=k2x，y=k3x在同一坐标系的图象，则A．k1＞k2＞k3 B．k2＞k1＞k3 C．k3＞k1＞k2 D．k3＞k2＞k1【分析】先根据函数图象所在的象限判断出k1、k2、k3的符号，再用取特殊值的方法确定符号相同的反比例函数的取值．【解答】解：由图知，y=k1x的图象在第二象限，y=k∴k1＜0，k2＞0，k3＞0，又当x＝1时，有k2＜k3，∴k3＞k2＞k1．故选：D．【变式2-1】（2022•洪山区模拟）若点A（x1，1）、B（x2，﹣2）、C（x3，﹣3）在反比例函数y=−k2+1x的图象上，则x1、x2A．x1＜x2＜x3 B．x1＜x3＜x2 C．x3＜x1＜x2 D．x2＜x1＜x3【分析】依据反比例函数为y=kx（k＜0），可得函数图象在第二、四象限，在每个象限内，y随着x的增大而增大，进而得到x1、x2、x【解答】解：∵反比例函数为y＝y=−k2+1x∴函数图象在第二、四象限，在每个象限内，y随着x的增大而增大，又∵A（x1，1）、B（x2，﹣2）、C（x3，﹣3）∴x1＜0，点B、C位于第四象限，∴x2＞x3＞0．∴x1＜x3＜x2故选：B．【变式2-2】（2022•温州校级开学）已知（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3）为双曲线y=−3x上的三个点，且x1＜x2＜xA．若x1x2＞0，则y2y3＞0 B．若x1x3＞0，则y2y3＜0 C．若x1x3＜0，则y2y3＞0 D．若x1x2＜0，则y1y3＜0【分析】先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限，再根据x1＜x2＜x3，结合选项条件，则y1，y2，y3的大小关系即可．【解答】解：∵反比例函数y=−3x中∴函数图象在二、四象限，∴在每一象限内y随x的增大而增大，若x1x2＞0，x1＜x2＜0＜x3，则y2y3＜0，故A不符合题意；若x1x3＞0，则y2y3＞0，故B不符合题意；若x1x3＜0，x1＜x2＜0＜x3，则y2y3＜0，故C不符合题意；若x1x2＜0，则y1y3＜0，故D符合题意．故选：D．【变式2-3】（2022春•福山区期末）在反比例函数y=k2+3x（k为常数）上有三点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），若x1＜0＜x2＜x3，则y1，y2A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y1＜y3＜y2 D．y3＜y2＜y1【分析】根据偶次方的非负性，得k2+3＞0，再根据反比例函数的图象的特点解决此题．【解答】解：∵k2≥0，∴k2+3＞0．∴反比例函数y=k2+3x（k为常数）的函数图象在第一、第三象限；在第一象限内，y随着x的增大而减小；在第三象限内，∵x1＜0＜x2＜x3，∴y1＜0，y2＞y3＞0，即y1＜y3＜y2．故选：C．【题型3反比例函数的性质】【例3】（2022•大庆二模）正比例函数y＝﹣kx经过（1，﹣6），则对于反比例函数y=kA．图象经过第一、三象限 B．图象经过点（2，3） C．当x＞1时，0＜y＜6 D．函数值y随x的增大而减小【分析】先根据正比例函数y＝﹣kx经过（1，﹣6），求出k的值，再根据反比例函数的图象和性质进行判断即可．【解答】解：将（1，﹣6）代入y＝﹣kx，得﹣k＝﹣6，解得k＝6，∴反比例函数解析式：y=6∴反比例函数图象经过第一、三象限，故A选项不符合题意；当x＝2时，代入反比例函数解析式，得y＝3，∴图象经过点（2，3），故B选项不符合题意；当x＞1时，反比例函数在第一象限随着x增大而减小，∴0＜y＜6，故C选项不符合题意，在每一象限内，反比例函数y=6x随着故D选项符合题意，故选：D．【变式3-1】（2022•站前区校级一模）反比例函数y=aA．第一、三象限 B．第一、二象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限【分析】判断反比例函数的比例系数的符号后即可确定正确的选项．【解答】解：∵反比例函数y=a2+1x∴反比例函数y=a故选：A．【变式3-2】（2022春•原阳县期中）已知反比例函数y=3−2mx，当x＜0时，y随x的增大而减小，则满足上述条件的正整数A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个【分析】根据函数增减性可得3﹣2m＞0，解不等式求出m的取值范围，然后取正整数，即可确定．【解答】解：∵当x＜0时，y随x的增大而减小，∴3﹣2m＞0，∴m＜3∴正整数m值为1，故选：B．【变式3-3】（2022•金华模拟）设函数y1=kx，y2=−kx（k＞0），当1≤x≤3时，函数y1的最大值为a，函数y2的最小值为a﹣4，则【分析】直接利用反比例函数的性质分别得出k与a的关系，进而得出答案．【解答】解：∵函数y1=kx（k＞0），当1≤x≤3时，函数y1的最大值为∴x＝1时，y＝k＝a，∵y2=−kx（k＞0），当1≤x≤3时，函数y2的最小值为y＝∴当x＝1时，y＝﹣k＝a﹣4，∴k＝4﹣a，故a＝4﹣a，解得：a＝2．故答案为：2．【知识点4反比例函数图象的对称性】（1）中心对称，对称中心是坐标原点（2）轴对称：对称轴为直线和直线【题型4反比例函数的对称性】【例4】（2022秋•房县期末）如图，点P（﹣2a，a）是反比例函数y=kx与⊙O的一个交点，图中阴影部分的面积为10A．y=−8x B．y=−12x C．y=−【分析】根据圆的对称性以及反比例函数的对称性可得，阴影部分的面积等于圆的面积14，即可求得圆的半径，再根据P在反比例函数的图象上，以及在圆上，即可求得k【解答】解：设圆的半径是r，根据圆的对称性以及反比例函数的对称性可得：14πr2＝10π解得：r＝210．∵点P（﹣2a，a）是反比例函数y=kx（k＜0）与⊙∴﹣2a2＝k且(−2a)2∴a2＝8．∴k＝﹣2×8＝﹣16，则反比例函数的解析式是：y=−16故选：D．【变式4-1】（2022秋•连平县校级月考）对于反比例函数y=6A．关于原点中心对称 B．关于直线y＝x对称 C．关于直线y＝﹣x对称 D．关于x轴对称【分析】根据反比例函数图象的对称性判断即可．【解答】解：反比例函数y=6x的图象关于原点中心对称、关于直线y＝x对称、关于直线y＝﹣∵它的图象在第一、三象限，∴不关于x轴对称，A、B、C说法正确，不符合题意，D说法错误，符合题意，故选：D．【变式4-2】（2022春•金坛市校级期中）正比例函数y＝kx与反比例函数y=kx的图象相交于A、B两点，已知点A的横坐标为1，点B的纵坐标为﹣3，则A、B两点的坐标分别为【分析】反比例函数的图象是中心对称图形，则经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称．【解答】解：∵正比例函数y＝kx与反比例函数y=kx的图象相交于A、∴点A、B关于原点对称．又∵点A的横坐标为1，点B的纵坐标为﹣3，∴点A的纵坐标是3，点B的横坐标是﹣1．∴A（1，3），B（﹣1，﹣3）．故答案是：（1，3）、（﹣1，﹣3）．【变式4-3】（2022春•姑苏区校级期末）如图，直线L与双曲线交于A、C两点，将直线L绕点O顺时针旋转α度角（0°＜α≤45°），与双曲线交于B、D两点，则四边形ABCD形状一定是（）A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．任意四边形【分析】根据反比例函数的对称性，可得OA与OC，OB与OD的关系，可得答案．【解答】解：由反比例函数的对称性，得OA＝OC，OB＝OD，ABCD是平行四边形，故选：A．【知识点5反比例函数比例系数k的几何意义】如图，在反比例函数上任取一点，过这一点分别作轴，轴的垂线，与坐标轴围成的矩形的面积【题型5反比例函数中k的几何意义（面积）】【例5】（2022春•邗江区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B分别在函数y=6x(x＞0)，y=kx(x＜0)的图象上，AB∥x轴，点C是y轴上一点，线段AC与x轴正半轴交于点D．若△A．﹣9 B．3 C．﹣6 D．﹣3【分析】根据反比例函数系数k的几何意义可得S矩形OMAE＝6，再根据三角形的面积公式可得S△ABD=23S△ABC＝6=12S矩形AMNB，进而求出S矩形AMNB和S矩形ONBE，由反比例函数系数【解答】解：如图，过点A、点B分别作x轴的垂线，垂足分别为M、N，∵点A在反比例y=6∴S矩形OMAE＝6，又∵△ABC的面积为9，CDAD∴S△ABD=21+2S△ABC=23×9＝6∴S矩形AMNB＝12，∴S矩形ONBE＝12﹣6＝6＝|k|，又∵k＜0，∴k＝﹣6，故选：C．【变式5-1】（2022春•衢江区期末）如图，在反比例函数y=kx(x＞0)的图象上有点P1，P2，P3，它们的横坐标依次为1，3，6，分别过这些点作x轴与y轴的垂线段．图中阴影部分的面积记为S1，S2．若S2＝3，则A．3 B．4 C．5 D．6【分析】由点P1，P2，P3，它们的横坐标依次为1，3，6，得P1（1，k），P2（3，k3），P3（6，k6），由S2＝3，可求出k的值，进而求出S【解答】解：∵P1（1，k），P2（3，k3），P3（6，k∴S2＝3×k∴k＝6，∴S1＝1×（k−k故选：B．【变式5-2】（2022春•秦淮区期末）如图，点A是函数y=2x图象上的任意一点，点B、C在反比例函数y=kx的图象上．若AB∥x轴，AC∥A．2 B．3 C．4 D．6【分析】由反比例函数系数k的几何意义可得S阴影部分＝S矩形ABMN＝4，利用反比例函数图象上点的坐标特征，设点A的横坐标为a，用代数式表示MN、AM，列方程求解即可．【解答】解：如图，延长CA交x轴于点N，过点B作BM⊥x轴，垂足为M，∵S阴影部分＝S△CON+S矩形ABMN﹣S△BOM，而S△CON＝S△BOM=12|∴S阴影部分＝S矩形ABMN＝4，设ON＝a，∵点A在反比例函数y=2∴AN=2a又∵点B在反比例函数y=k∴OM=ak∴MN=ak2由S阴影部分＝S矩形ABMN＝4得，（ak2−a）即k﹣2＝4，∴k＝6，故选：D．【变式5-3】（2022•费县二模）在平面直角坐标系xOy中，过O点的直线AB分别交函数y=−1x(x＜0)，y=kx(k＜0，x＞0)的图象于点A，B，作AC⊥y轴于点C，作CD∥AB交y=kx(k＜0，x＞0)A．﹣6 B．﹣8 C．﹣10 D．﹣12【分析】先表示三角形COD面积，再求k．【解答】解：设A（m，−1m），则AC＝﹣m，OC∴C（0，−1∵△COD的面积为2，∴12OC•DM＝2，即即12×（−∴DM＝﹣4m，∴设D（﹣4m，−k再设直线AB：y＝ax，代入A（m，−1m）得：−∴a=−1∴直线AB：y=−1m∵直线CD∥AB．∴设直线CD：y=−1m2x将C代入直线CD得：b=−1∴y=−1m2将D（﹣4m，−k4m）代入直线CD得：−k4m=−∴k＝﹣12．故选：D．【题型6反比例函数系数k的几何意义（规律题）】【例6】（2022•湘潭县校级模拟）如图，△OB1A1，△A1B2A2，△A2B3A3，…，△An﹣1BnAn，都是一边在x轴上的等边三角形，点B1，B2，B3，…，Bn都在反比例函数y=3x（x＞0）的图象上，点A1，A2，A3，…，An，都在x轴上，则A2022的坐标为（2【分析】过点B1作B1H⊥x轴于点H，过点B2作B2G⊥x轴于点G，根据等边三角形的性质可得，H是OA1的中点，∠B1OA1＝60°，设OH＝m，则B1（m，3m）代入反比例函数解析式，即可求出m的值，进一步求出A1点坐标，同理可求出A2点坐标，A3点坐标，A2022点坐标．【解答】解：过点B1作B1H⊥x轴于点H，过点B2作B2G⊥x轴于点G，如图所示，∵△OB1A1，△A1B2A2是等边三角形，∴H是OA1的中点，G是A1A2的中点，∠B1OA1＝∠B2A1A2＝60°，设OH＝m，则B1H=3m∴B1（m，3m），将点B1坐标代入反比例函数解析式，得m•3m=3解得m＝1，∴A1（2，0），同理，可得A2（22，0），A3（23，0），∴A2022的坐标（22022故答案为：（22022【变式6-1】（2022•路南区二模）如图，平面直角坐标系中，边长为1的正方形OAP1B的顶点A、B分别在x轴、y轴上，点P1在反比例函数y=kx(x＞0)的图象上，过P1A的中点B1作矩形B1AA1P2，使顶点P2落在反比例函数的图象上，再过P2A1的中点B2作矩形B2A1A2P3，使顶点（1）点P2的坐标为（2，12）（2）作出矩形B18A17A18P19时，落在反比例函数图象上的顶点P19的坐标为（218，1218【分析】（1）利用正方形的性质得到P1（1，1），则可确定反比例函数的解析式为y=1x，再利用点B1的纵坐标为12，根据反比例函数图象上点的坐标特征得到点P2的纵坐标为12（2）同样方法得到点P3的纵坐标为122，点P3的横坐标为22，利用2的指数与P点的序号数的关系可得到点P【解答】解：（1）∵正方形OAP1B的边长为1，∴P1（1，1），把P1（1，1）代入y=kx(x＞0)∴反比例函数的解析式为y=1∵点B1为P1A的中点，∴点B1的纵坐标为12∵四边形B1AA1P2为矩形，∴点P2的纵坐标为12∵点P2在y=1∴点P2横坐标为（2，12（2）∵点P2横坐标为（2，12），点B2为P2A1∴点B2的纵坐标为12∵四边形B2A1A2P3为矩形，∴点P3的纵坐标为12∵点P3在y=1∴点P3的横坐标为22，•••，∴点P19的纵坐标为12∴点P19的横坐标为218，即P19（218，12故答案为：（218，12【变式6-2】（2022•通辽）如图，△OA1B1，△A1A2B2，△A2A3B3，…，△An﹣1AnBn都是斜边在x轴上的等腰直角三角形，点A1，A2，A3，…，An都在x轴上，点B1，B2，B3，…，Bn都在反比例函数y=1x（x＞0）的图象上，则点Bn的坐标为（n−1+n，−【分析】由于△OA1B1是等腰直角三角形，可知直线OB1的解析式为y＝x，将它与y=1x联立，求出方程组的解，得到点B1的坐标，则A1的横坐标是B1的横坐标的两倍，从而确定点A1的坐标；由于△OA1B1，△A1A2B2都是等腰直角三角形，则A1B2∥OB1，直线A1B2可看作是直线OB1向右平移OA1个单位长度得到的，因而得到直线A1B2的解析式，同样，将它与y=1x联立，求出方程组的解，得到点B2的坐标，则B2的横坐标是线段A1A2的中点，从而确定点A2的坐标；依此类推，从而确定点A3【解答】解：过B1作B1M1⊥x轴于M1，易知M1（1，0）是OA1的中点，∴A1（2，0）．可得B1的坐标为（1，1），∴B1O的解析式为：y＝x，∵B1O∥A1B2，∴A1B2的表达式一次项系数与B1O的一次项系数相等，将A1（2，0）代入y＝x+b，∴b＝﹣2，∴A1B2的表达式是y＝x﹣2，与y=1x（x＞0）联立，解得B2（1+2仿上，A2（22，0）．B3（2+3，以此类推，点Bn的坐标为（n−1+n，故答案为（n−1+n，【变式6-3】（2022秋•宁津县期末）如图，△OA1B1，△A1A2B2，△A2A3B3…是分别以A1，A2，A3…为直角顶点，一条直角边在x轴正半轴上的等腰直角三角形，其斜边的中点C1，C2，C3…均在反比例函数y=1x（x＞0）的图象上，则点A2021的坐标为（22021【分析】先设点C1的坐标为（x，1x），然后由点C1是OB1的中点得到点B1的坐标为（2x，2x），进而得到A1的坐标为（2x，0），即可得到OA1＝2x，A1B1=2x，然后由△OA1B1是等腰直角三角形得到2x=2x，解方程得到x的值，即可得到点A1的坐标；然后设点C2的坐标为（a，1a），进而得到点B2和A2的坐标，从而由等腰直角三角形的性质得到A1A2＝A2B2，求得a的值即可得到A2的坐标，用同样的方法求得点A3验证，结合点A1、点A2【解答】解：设点C1的坐标为（x，1x∵点C1是OB1的中点，∴点B1的坐标为（2x，2x∴A1的坐标为（2x，0），∴OA1＝2x，A1B1=2∵△OA1B1是等腰直角三角形，∴OA1＝A1B1，即2x=2解得：x＝1或x＝﹣1（舍），∴点A1的坐标为（2，0）；设点C2的坐标为（a，1a∵点C2是A1B2的中点，∴点B2的坐标为（2a﹣2，2a），点A2的坐标为（2a∴A1A2＝2a﹣4，A2B2=2∵△A1B2A2是等腰直角三角形，∴A1A2＝A2B2，即2a﹣4=2解得：a＝1+2或a＝1−∴点A2的坐标为（22，0），设点C3的坐标为（m，1m∵点C3是A2B3的中点，∴点B3的坐标为（2m﹣22，2m），点A3的坐标为（2m﹣22∴A2A3＝2m﹣42，A3B3=2∵△A2B3A3是等腰直角三角形，∴A2A3＝A3B3，即2m﹣42=解得：m=2+3或∴点A3的坐标为（23，0），…，点A2021的坐标为（22021，0），故答案为：（22021，0）．【题型7反比例函数与一次函数的交点问题】【例7】（2022•龙湖区一模）如图，A（4，3）是反比例函数y=kx在第一象限图象上一点，连接OA，过A作AB∥x轴，截取AB＝OA（B在A右侧），连接OB，交反比例函数y=k（1）求反比例函数y=k（2）求点B的坐标及OB所在直线解析式；（3）求△OAP的面积．【分析】（1）直接代入A点坐标，即可得出k的值，进而求出函数解析式；（2）过点A作AC⊥x轴于点C，利用勾股定理计算出AO的长，进而可得AB长，然后可得B点坐标．设OB所在直线解析式为y＝mx（m≠0）利用待定系数法可求出BO的解析式；（3）首先联立两个函数解析式，求出P点坐标，过点P作PD⊥x轴，延长DP交AB于点E，连接AP，再确定E点坐标，最后求面积即可．【解答】解：（1）将点A（4，3）代入y=kx（得：k＝12，则反比例函数解析式为y=12（2）如图，过点A作AC⊥x轴于点C，则OC＝4、AC＝3，∴OA=4∵AB∥x轴，且AB＝OA＝5，∴点B的坐标为（9，3）；设OB所在直线解析式为y＝mx（m≠0），将点B（9，3）代入得m=1∴OB所在直线解析式为y=13（3）联立解析式：y=解得：x=6y=2可得点P坐标为（6，2），过点P作PD⊥x轴，延长DP交AB于点E，连接AP，则点E坐标为（6，3），∴AE＝2，PE＝1，PD＝2，则△OAP的面积=12×（2+6）×3−【变式7-1】（2022•路桥区一模）如图，直线y＝kx+b（k≠0）和双曲线y=ax（a≠0）相交于点A，B，则关于x的不等式kx+bA．x＞0.5 B．﹣1＜x＜0.5 C．x＞0.5或﹣1＜x＜0 D．x＜﹣1或0＜x＜0.5【分析】结合一次函数y＝kx+b和反比例函数y=ax（【解答】解：由图象可知，当x＞0.5和﹣1＜x＜0时，一次函数y＝kx+b的图象在反比例函数y=ax（∴关于x的不等式kx+b＞ax的解集为x＞0.5或﹣1＜故选：C．【变式7-2】（2022•兴化市二模）在平面直角坐标系中，直线y＝2x+3b（b为常数）与双曲线y=kx（k≠0）交于点A（x1，y1），B（x2，y2），若x1﹣x2＝6，则y1﹣yA．﹣12 B．6 C．﹣6 D．12【分析】将点A（x1，y1），B（x2，y2）分别代入直线y＝2x+3b，得y1＝2x1+3b，y2＝2x2+3b，则y1﹣y2＝2（x1﹣x2），即可得出答案．【解答】解：将点A（x1，y1），B（x2，y2）分别代入直线y＝2x+3b，得y1＝2x1+3b，y2＝2x2+3b，∴y1﹣y2＝2（x1﹣x2），∵x1﹣x2＝6，∴y1﹣y2＝12．故选：D．【变式7-3】（2022春•九龙坡区校级月考）如图所示，直线y＝k1x+b与双曲线y=k2x交于A、B两点，其中A（2，1），点B的纵坐标为﹣3，直线AB与x轴交于点C，与y（1）求直线AB和双曲线的解析式；（2）直线AB沿y轴向上平移m个单位长度，分别与双曲线交于E、F两点，其中F点坐标是（1，2），求△BDE的面积．【分析】（1）利用待定系数法将点A坐标代入反比例函数解析式，再将A、D坐标代入直线解析式即可；（2）根据平移，设直线EF的解析式为：y=32x﹣2+m，代入F点坐标，求出m的值，在联立EF解析式和反比例函数的解析即可求出E点坐标，再通过△MED的面积减去△【解答】解：（1）∵点A在双曲线y=k2x∴k2＝2×1＝2，∴双曲线的解析式为y=2∴B点坐标为（−2将点A（2，1），D（0，﹣2）代入直线y＝k1x+b中得2k∴k1∴直线AB的解析式为y=32（2）∵直线EF是直线AB向上平移m个单位得到，可设EF的解析式为：y=32x﹣2+将点F（1，2）代入，得m=5∴直线EF的解析式为：y=32x联立y=32x+∴E点坐标为（−43，延长EB交y轴于点M，如下图所示：设直线EB的解析式为y＝k'x+b'，将点E（−43，−32）和得−4解得，k′=−9∴直线EB的解析式为：y=−9∴M点坐标为（0，−9∴S△BED＝S△MED﹣S△MBD=(−2+【题型8待定系数法求反比例函数解析式】【例8】（2022秋•崂山区期末）如图，点A（1，m），B（6，n）在反比例函数图象上，AD⊥y轴于点D，BC⊥y轴于点C，DC＝5．（1）求m，n的值并写出反比例函数的表达式；（2）连结AB，在线段DC上是否存在一点P，使△PAB的面积等于10？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）根据题意列出关于m与n的方程组，求出方程组的解得到m与n的值，确定出A与B坐标，设出反比例函数解析式，将A坐标代入即可确定出解析式；（2）存在，设设P（0，m），表示出CP，DP，连接AP，BP，三角形ABP面积＝四边形ABCD面积﹣三角形ADP面积﹣三角形BCP面积，求出即可．【解答】解：（1）∵点A（1，m），B（6，n）在反比例函数图象上，∴6n＝m①，∵DC＝5，∴m﹣n＝5②，联立①②解得，m＝6，n＝1，∴A（1，6），B（6，1），设反比例函数解析式为y=k将A（1，6）代入得：k＝6，则反比例解析式为y=6（2）存在，如图，设P（0，m），则CP＝m﹣1，DP＝6﹣m，∵AD⊥y轴，BC⊥y轴，∴∠ADP＝∠BCP＝90°，连接AP，BP，则S△ABP＝S四边形ABCD﹣S△ADP﹣S△BCP=12（BC+AD）•DC−12DP•AD=12×（1+6）×5−12（6﹣m＝10，解得：m＝3，则P（0，3）．【变式8-1】（2022秋•包河区期末）如图，A、B两点在双曲线y=kx（x＞0）的图象上，已知点A(1，4)，B(52，m)，分别经过A、B两点向坐标轴作垂线段，得到三个矩形：记阴影部分矩形面积为S，另两个矩形面积分别记为S（1）求反比例函数解析式及m的值；（2）求S1+S2的值．【分析】（1）根据待定系数法即可求得反比例函数的解析式，然后把点B的坐标代入y=4x即可求得（2）欲求S1+S2，只要求出过A、B两点向x轴、y轴作垂线段求出与坐标轴所形成的矩形的面积即可，而矩形面积为双曲线y=4x的系数4，然后根据S1+S2＝4+4﹣2【解答】解：（1）∵点A（1，4）在双曲线y=kx（∴k＝1×4＝4，∴反比例函数解析式为y=4∵点B（52，m）在双曲线y=∴m=4（2）∵点A、B是双曲线y=4x上的点，分别经过A、B两点向x轴、则根据反比例函数的图象的性质得两个矩形的面积都等于|k|＝4，即S1+S＝4，S+S2＝4，∵S＝1×8∴S1+S2＝4+4﹣2×8【变式8-2】（2022春•叙州区期中）已知反比例函数的图象经过三个点A（﹣2，﹣3），B（2m，y1），C（3m，y2），其中m＞0．（1）求反比例函数的关系式；（2）当y1﹣y2＝2时，求m的值：（3）如图，过点B、C分别作x轴、y轴的垂线，两垂线相交于点D，点P在x轴上，若△PBD的面积是6，请求出点P坐标（横坐标用含m的式子表示）．【分析】（1）先根据反比例函数的图象经过点A（﹣2，﹣3），利用待定系数法求出反比例函数的解析式为y=6（2）由反比例函数图象上点的坐标特征得出y1=62m=3m，y2=63m=2m，再根据（3）设BD与x轴交于点E．根据三角形PBD的面积是6，列出方程12•1m•PE＝6，求出PE＝12m，再由E（2m，0），点P在x轴上，即可求出点【解答】解：（1）设反比例函数的解析式为y=k∵反比例函数的图象经过点A（﹣2，﹣3），∴k＝﹣2×（﹣3）＝6，∴反比例函数的解析式为y=6（2）反比例函数的图象经过点B（2m，y1），C（3m，y2），∴y1=62m=3m∵y1﹣y2＝2，∴3m∴m=1经检验，m=1故m的值是12（3）设BD与x轴交于点E．∵点B（2m，3m），C（3m，2m），过点B、C分别作x轴、y轴的垂线，两垂线相交于点∴D（2m，2m），BD=∵三角形PBD的面积是6，∴12BD•PE∴12•1m•∴PE＝12m，∵E（2m，0），点P在x轴上，∴点P坐标为（﹣10m，0）或（14m，0）．【变式8-3】（2022•商河县校级模拟）如图1，点A（m，6），B（6，1）在反比例函数图象上，作直线AB，连接OA、OB．（1）求反比例函数的表达式和m的值；（2）求△AOB的面积；（3）如图2，E是线段AB上一点，作AD⊥x轴于点D，过点E作x轴的垂线，交反比例函数图象于点F，若EF=13AD，求出点【分析】（1）设反比例函数的解析式为y=kx，根据题意B点坐标得出k的值以及（2）设直线AB的解析式为y＝ax+b，求出直线AB的解析式，再利用S△AOB＝S△MON﹣S△AOM﹣S△BON，求出答案即可；（3）设E点的横坐标为m，则E（m，﹣m+7），F（m，6m），求出EF＝﹣m+7−6m，得出关于m【解答】解：（1）设反比例函数的解析式为y=k将B（6，1）的坐标代入y=kx，得∴反比例函数的解析式为y=6将A（m，6）的坐标代入y=6x，得（2）如图1，设直线AB的解析式为y＝ax+b，把A（1，6）和B（6，1）代入上式，得a+b=66a+b=1解得：a=−1b=7故直线AB的解析式为：y＝﹣x+7，∴M（0，7），N（7，0），∴S△AOB＝S△MON﹣S△AOM﹣S△BON=12OM×ON−12OM×|xA|−1=12×7×7−=35（3）设E点的坐标为（m，﹣m+7），则F（m，6m∴EF＝﹣m+7−6∵EF=13∴﹣m+7−6解得m1＝2，m2＝3，经检验，m1＝2，m2＝3是分式方程的根，∴E的坐标为（2，5）或（3，4）．【题型9反比例函数与一次函数、二次函数的图象】【例9】（2022•广西）已知反比例函数y=bx（b≠0）的图象如图所示，则一次函数y＝cx﹣a（c≠0）和二次函数y＝ax2+bx+c（A． B． C． D．【分析】本题形数结合，根据反比例函数y=bx（b≠0）的图象位置，可判断b＞0；再由二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象性质，排除A，B，再根据一次函数y＝cx﹣a（c≠0）的图象和性质，排除【解答】解：∵反比例函数y=bx（∴b＞0；∵A、B的抛物线都是开口向下，∴a＜0，根据同左异右，对称轴应该在y轴的右侧，故A、B都是错误的．∵C、D的抛物线都是开口向上，∴a＞0，根据同左异右，对称轴应该在y轴的左侧，∵抛物线与y轴交于负半轴，∴c＜0由a＞0，c＜0，排除C．故选：D．【变式9-1】（2022秋•湘阴县月考）在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝kx﹣2与反比例函数y=kx（其中A． B． C． D．【分析】比例系数相同，两个函数必有交点，然后根据比例系数的符号确定正确选项即可．【解答】解：k＞0时，一次函数y＝kx﹣2的图象经过第一、三、四象限，反比例函数y=kk＜0时，一次函数y＝kx﹣2的图象经过第二、三、四象限，反比例函数y=kx的两个分支分别位于第二、四象限，选项故选：A．【变式9-2】（2022秋•榆次区期末）在同一直角坐标系中，二次函数y＝ax2+b（a≠0，b≠0）与反比例函数y=abA． B． C． D．【分析】先确定a，b的符号，再判断反比例函数的图象位置．【解答】解：A，B选项中，抛物线开口向上，与y轴交于正半轴，∴a＞0，b＞0，∴ab＞0，∴双曲线在一、三象限．∴A不合题意，B合题意．C选项中，抛物线开口向上，与y轴交于负半轴，∴a＞0，b＜0，∴ab＜0，∴双曲线在第二、四象限，∴C不合题意．在D选项中，抛物线开口向下，与y轴交于正半轴，∴a＜0，b＞0．∴ab＜0．∴双曲线在第二、四象限．∴D不合题意．故选：B．【变式9-3】（2022•贺兰县模拟）已知二次函数y=−14x2+bx+c的图象如图，则一次函数y=−14x﹣2bA． B． C．