高中数学必修二第六章第2节《平面向量的运算》解答题 (27)(含答案解析)

必修二第六章第2节《平面向量的运算》解答题(27)

一、解答题(本大题共30小题，共360.0分)

1.已知落a不是同一平面内的三个向量，其中五=(i,遍)，E,下为单位向量.

(1)若五〃乙求向量表的坐标；

(2)若方+2石与2五一坂垂直，求向量方与石所成角的正弦值.

2.如图，已知抛物线％2=y，点4(—3》，8(|3)，抛物线上的点P(x,y)(-：<x<|),过点8作

直线AP的垂线，垂足为。.

(I)求直线AP斜率的取值范围;

(口)求伊川•|PQ|的最大值.

3.在。4BC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且sinBcosA=(2sinC—sim4)cosB.

(1)求比

(2)若b=5,且AC边上的中线长为3,求2MBe的面积.

4.设向量2=（2夜sina,1）,b=C，&cosa）,其中ae（5，兀）.

sina+2cosa

⑴若%,求的值;

2sina-cosa

(2)若「一2了=2近,求sinQa+g的值.

5.已知角a、/?的终边不在坐标轴上，设向量a=(4cosa,sina),b=(sin/?,4cosj?)，c=

(cos/?,—4sin/?).

⑴若五〃弓，求tanatan/?的值，求|3+^|的最大值；

(2)若君与万一2表垂直，求tan(a+j5)的值；

6.如图，在△4BC中，。为BC的四等分点，且靠近点8,E,尸分别为AC,4。的三等分点，且

分别靠近A,。两点，设4B=市AC=b-

A

(1)试用落石表示方乙AD，BE\(2)证明：B,E,尸三点共线.

7.如图，在AABC中，已知乙4c8=60°,。，148交48于点”.

B

(1)若G?•而=2,求|荏|的最小值；

(2)若CA=2,CB=3.

①求而•旅

②设屈=m方+〃或，其中"?，neR,求加，〃的值.

8.如图，在平面直角坐标系xOy中，。4=4,AB=3/4。久=45。/048=105°,0A=a,AB=b，

四边形0ABe为平行四边形.

(1)求向量乙方的坐标;

(2)求点B的坐标.

9.已知等轴双曲线C：圣一\=l(a>0,b>0)经过点(苧,).

(1)求双曲线C的标准方程;

(2)已知点8(0,1).①过原点且斜率为左的直线与双曲线C交于E,尸两点，求NEBF最小时女的值；②

点A是C上一定点，过点8的动直线与双曲线C交于P,Q两点，AAP+IAQ为定值九求点A

的坐标及实数4的值.

10.已知同=及,忖=1,造的夹角为45。.

⑴求不在B方向上的投影；(2)求B+2司的值；

⑶若向量侬-犯与(质-3石的夹角是锐角，求实数％的取值范围.

11.设平行四边形ABC。中，AB=1,BC=2,乙48c=60。，CF=FD.丽=4而，

且满足前，屁，

⑴求AC?+8。2；

(2)求;I的值.

12.已知向量沅=(2sino)x,-2costax),n=(V3cosa)x,cosa)x),设函数f(x)=沅•元+1(3>0).

且y=f(x)的图象与直线y=2的两个相邻公共点之间的距离为m

(1)求3的值和函数/(X)的单调递减区间；

(2)若ae巧用，且f⑨=3求cos(2a+》的值.

13.已知向量方=(cosy,siny),b=(cos1-sin》函数/(%)=a-b-m\a+b\+l>xe[-式

m&R.

(1)当m=0时，求的值

(2)当五〃至，求x的值

(3)若函数/'(x)的最小值为-1,求实数"?的值

14.在ZL4BC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,bsinA=3sinF,b2+c2-a2=be.

(1)求zMBC外接圆的面积；

(2)若8c边上的中线长为言，求44BC的周长.

15.已知在国4BC中，点。为线段BC的中点.

(1)若NBAC=120",AB=AC=2,求4。的长度;

(2)若AB=3,AC-2,求而.南；

(3)若4。=3,BC=4,求同・正;

16.如图，在△ABC中，AB=8,AC=6,ADVBC,M,N分别为AB,AC的中点.

(1)若丽•DN=-6,求|BCI；

/c、牝丽丽,DNDC-

(N).+...—5,,求NB4C的大小.

lJ\DB\\DC\，

17.如图，扇形OAB的圆心角为90。，04=2,点M为线段OA的中点，点N为弧AB上任意一点.

(1)若NB0N=30。，试用向量刀，而表示向量丽;

(2)求丽・丽的取值范围.

18.已知向量五=(l,sin9),b=(2,cos0)>0<0<n.

(1)当。=3时，求五%;

-OO

(2)当五=R时,求sin。一cos。的值;

(3)探索：五，石是否成立？请说明理由.

19.如图所示，三角形ABC中，AB=a,AC=K,。为A3中点，E为8上一点，且DC=3EC,

AE的延长线与BC的交点为F.

(1)用向量方与方表示品

(2)用向量方与方表示AF,并求出AE：EF和8F：/C的值

20.设向量方=(cos2x,cosx),b=(2sinx,V3),c=(1—2sinx,—3V3).xG[0,.

(1)若王〃E，求|2方+可的值；

(2)设f(x)=为・(B+?)，求fQ)的最大值和最小值以及对应的x的值.

21.已知向量而=&一号，元=(sinx,cosx),xG[；用

(1)若记1五，求工的值；

(2)若向量隹.云=[,求sin(2%—罗的值.

22.如图，正六边形ABC£>£户的边长为1.M,N分别是BC,DE上的动点，且满足|丽|=丽.

(1)若M,N分别是8C,OE的中点，求祠•前的值;

(2)求祠.而的取值范围.

23.如图，在△ABC中，已知C4=l,CB=2,Z.ACB=60°.

(1)求区矶，并判断△ABC的形状：

(2)已知点。是AB上一点，满足而=2荏，E是C8上一点，满足丽=2元.

①当4制时，求荏.前；

②是否存在非零实数人使得雇,可方？若存在，求出4的值；若不存在，请说明理由.

24.已知向量2=(cosa,sina)，b=(cos/?,sin/?)>U=(2,0).

(1)求向量Z+六的长度的最大值；

(2)设a=g,且+求cos0的值.

25.如图所示，在UB。中，OC=^OA,OD=^OB,A。与5c相交于点也设罚=五，而小.

(1)试用向量乙方表示两；

(2)过点M作直线EF,分别交线段AC,8Z)于点E,F,记而=2方，而=族,求证彳+7为定

值.

26.如图，在矩形ABC。中，BC=3AB=6,E为AB的中点，F是8C边上靠近点5的三等分点,

AF与。E交于点6.设布=行，AD=b-

(1)求NEG尸的余弦值.

(2)用a和b表示4G;

27.已知五=(sin。,1),b=(1,cos0)＞。e［一J

(1)求|商+方|2的最大值；

(2)设不与石的夹角为w，求cosw的取值范围.

28.如图，在AOZB中，A是边BC的中点，|心|=2|而|，0c和。A交于点E,设&=/OB=b-

(1)用4和〃表示向量位，5c：

(2)若5k=求实数4的值.

29.设落方是不共线的两个非零向量.

(1)若列=2方一瓦函=3五+瓦云=五一3万，求证：A，B,C三点共线;

(2)若+与k刁+2石共线，求实数上的值；

(3)若通=1+石，fiC=2a-3b-CD=2a-kbt且A，C,。三点共线，求实数上的值.

30.已知点尸(1,0),直线L：x=-l,P为平面上的动点，过点P作直线L的垂线，垂足为。，且诵.

QF=FPFQ-

(1)求点P的轨迹C的方程.

(2)是否存在正数也对于过点M(m,0)且与曲线C有两个交点A,B的任一直线,都有赢.而＜0?

若存在，求出胆的取值范围；若不存在，请说明理由.

【答案与解析】

1.答案：解：(1)设1=(x,y),

x2+y2=1,

由题意得

y=A/3X,

1

XX=—

2’

解得V3

y=w2

(2)设不与冽勺夹角为0,由题意得0+23)•(2方一3)=0,

即2|五|2+3五—=0,\a\=2,巧|=1,.•・万・石=一2

・•・COS0=--^7=——=-1

同|b|2X1

0<0<7T,

***0—7T,

・•・sin0=sin7T=0.

解析：本题主要考查了向量的坐标运算，向量的数量积，向量平行与垂直的条件，属于中档题.

(1)设m=(x,y),由单位向量和平行向量得出关于x,y的方程组，求解即可；

(2)设五与方的夹角为0,由题意得0+23).(2苍一3)=0，利用数量积公式求出cos。=一1,即可求

出。=兀，以及sin。的值.

2.答案：解：(I)由题可知P(x/2),-i<x<|,

X2_l

所以kAp=—=x--6(—1,1),

X+22

故直线AP斜率的取值范围是：(一1,1);

(口)由(1)知「(居久2),-|<x<|,

所以方-

2

设直线A尸的斜率为2,则k=XT--=%—31即％=攵+31

X+-22

11IOQ

则AP：y=fcx+-A:+-,BQ：丫=-%%+豆+下

联立直线AP、BQ方程可知Q(嘤券，写等),

4-ZrTTX,l+k-k2-k3-k4-k3+k2+k

故PQ=(­，.)x，

又因为刀=(一1一k,-/c2-k),

故一|P4|,|PQ|=PA-PQ

(1+k)3(k-1)fc2(l+k)3(k-1)

=---------------1-----------------

1+/c21+k2

=(l+/c)3(fc-l),

所以|P4|•\PQ\=(l+k)3(l-k),

令/(X)=(1+X)3(l-—1<X<1,

则尸(X)=(1+X)2(2-4X)

=-2(1+x)2(2x-1),

由于当一l<x<：时，f'(x)>0,当:<x<ltl寸，/(x)<0,

故/。嬴"爬)=高

即|P川•|PQ|的最大值为

lo

解析：本题考查圆锥曲线的最值问题，考查运算求解能力，考查函数思想，属于较难题.

(I)通过点P在抛物线上可设P(X,/),利用斜率公式结合一之<X<|可得结论；

(口)由(1)知。®/),-1<x<|,设直线”的斜率为k,联立直线AP、8。方程可知。点坐标,

进而可用我表示出而、刀，计算可知|P*•|PQ|=(1+k)3(l-k),通过令/(%)=(1+%)3(1-%),

-1<%<1,求导结合单调性可得结论.

3.答案：解：(1)vsinBcosA=(2sinC-sinA)cosB,

・•・sinBcosA+sinAcosB=2sinCcosB,

可得sin(A+8)=sinC=2sinCcosBf

vsinCH0.

・•・cocsB-1

2

•・,Be(0,TT),

(2)：由8=5,^\AC\=\BC-BA\=b=5,①，

.,.由AC边上的中线长为3,得|反?+互州=6，②，

•••由①②组成方程组，解得近•瓦？=+

ABC的面积为S=2|豆？|•|瓦51・sin2=工xUx3=生竺

2111132228

解析：本题考查了两角和的正弦函数公式，诱导公式，平面向量数量积的运算，以及三角形的面积

公式，考查了计算能力和转化思想，是综合性题目.

(1)利用两角和的正弦函数公式，三角形内角和定理，诱导公式化简已知等式，结合sinCW0,可得

cosB=p结合范围8€(0,兀)，可求B的值.

(2)由题意可得|而|=|配一瓦^|=b=5，由AC边上的中线长为3,得|舐+雨|=6，利用平面

向量数量积的运算可求解得沅•瓦5=*可求|近|•|明|=三，进而根据三角形的面积公式即可

求解.

4.答案：解：(1)•.,五=(2&sina,1),3=G，&cosa),且五1B，

Aa-h=0»

・••V2sina+V2cosa=0,

・•・tana=-1,

sina+2cosatana+2-1+21

----------------=-------------=--------=-------

2sina-cosa2tana-1-2-13

(2)va=(2Vasina,1)石=(|,V2cosa),

a—2b=(2V2sina—1,1—2V2cosa)»

v\a-2b\=272,

/.(2V2sina—1)+(1-2&cosa)=8,

:.4&sina+4V2cosa=2,

即4sin(a+.)=1,所以sin(a+》=：.

因为a€C，7T),所以a+?w(与，掌)，则cos(a+：)=-手.

所以sin[2(a+g)]=2sin(a+^)cos(a+^)=—乎.

cos[2(a+；)]=1-2sin2(a+》=，

所以sin(2a+g)=sin[2(a+：)—勺=sin[2(a+割cos,-cos[2(a+：)]sin：

=_^x立_Zx^=_包.

828216

故sin(2a+g)=-噜

解析：本题考查同角三角函数的基本关系、二倍角公式及其应用、向量的模、向量垂直的判断与证

明、向量的数量积，属于中档题.

(1)根据QJ.石，得出或sina+&cosa=0,即tana=-1,即可求出结果；

(2)山|五—2石|=2夜，得出4&sina+4夜cosa=2,求得cos(a+$,进而得sin[2(a+个)]与

cos[2(a+勃，根据sin(2a+§=sin[2(a+$-勺展开计算即可.

5.答案：解:(1)因为向量五=(4cosa,sina),b=(sin/?,4cos/?)，

所以由“〃9得16cosacosB-sinasinp=0,

即sinasin/?=16cosacos^?.

又因为a、/?的终边不在坐标轴上，所以cosacos/?H0,

因此tnnatand16.

又因为下=(cos£,一4sinB),

所以E+c=(sinp+cosA，4cos/?-4sin0)，

因此|加+人=J(sin0+cos0)2+(4cos0-4sin夕尸

=717-15sin2/?<472,

当且仅当sin2/?=—1,即/?=々兀-3(攵£2)时，等号成立，

所以亚+石的最大值为4近.

(2)因为石=(sin/?,4cos()，土=(cos(，-4sin0),

所以石-2c=(sin£-2cosjff,4cos夕+8sin0).

又因为方与另一2下垂直，所以五•@一2?)=0,

而TT(4co«n,sinc),

因此4cosasin£—8cosacos£+4sinacosjS+8sinasin£=0,

即sin(a+£)=2cos(a+£),

因此tan(a+0)=2.

解析：本题考查了同角三角函数的基本关系，正弦函数的图象与性质，两角和与差的三角函数公式，

向量垂直的判断与证明，向量的数量积，平面向量的坐标运算和平面向量共线的充要条件，属于中

档题.

(1)利用平面向量共线的充要条件得sinasin。=16cosacos£,再利用同角三角函数的基本关系，结合

题目条件得tauctHnJ16,再利用平面向量的坐标运算、模的坐标运算、同角三角函数的基本关

系和正弦的二倍角公式得|方+下|=J17-15sin2£,利用正弦函数的最值得历+目的最大值；

(2)利用向量垂直的判断得方.④-2?)=0,再利用平面向量的坐标运算和向量的数量积的坐标运算

得4cosasin0-8cosacos£+4sinacos/?+8sinasinj?=0,再利用两角和的正、余弦函数公式得

sin(a+/?)=2cos(a+£),最后利用同角三角函数的基本关系得结论.

6.答案：解：中，AB=a>AC=/)>

BC=AC-AB=b—五，

AD=AB^-JD

一］一

=AB+-BC

4

=a+^(b-a)

~BE=~BA+AE

一1一

=-AB-V-AC

=-2+1b；

(2)证明：BF=+

~BF=BA^'AF

一2―»

=-AB+-AD

=-a+|(|a+ib)

=-|a+|^=|(-«+|^)，

=癖，

.•・乔与屁共线，且直线8尸与直线BE有公共点8,

■■B,E,F三点共线.

解析：本题考查平面向量的线性表示与共线向量基本定理的应用问题，属于中档题.

(1)根据平面向量的三角形合成法则，用荏、而表示出向量配、布和厢即可；

(2)用五、B表示出向量屁、BF，证明正与而共线，从而证明B,E,尸三点共线.

7.答案：解：(1)因为NACB=60。，CA-CB=2,

所以|备|•|次|cos600=2.即|方|•|而|=4，

|AB|2=\CB-CA\2=CB2-2CB-CA+cf=|Cfi2|+|C12|-4>2|C\4|-|C5|-4=4-

所以|荏|的最小值为2.

(2)①因为C4=2,CB=3,AACB=60°,

所以而~BC=(CB-CA)(-CB')=CACB-CB2=2x3xcos600-9=-6-

②因为就=mCB+nCA，CA-CB=2x3xcos600=3，

所以不•函=?71襦•第+n刀2=3m+4n①

CB-CW=TnCB+nCA-Cfi—9m+3n②

由①-②得(不-CB)-CH=BA-CH=-6m+n,

因为C"_L4B,所以瓦=-6?n+n=0③

又因为4,B,〃三点共线，即存〃荏，

所以存在唯一实数九使得而=4而，即由一方=4(而—刀)，

所以说=(1-A)C4+ACB-

由平面向量基本定理可得｛：二:一'，所以巾+〃=1④

联立③④，解得m-1,n=/

解析：本题考查了平面向量的数量积运算，向量的模的运算，基本不等式求最值，向量的几何运用，

属于中档题.

（1）用不，而表示出四，根据题意计算|荏产结合基本不等式求最值即可.；

（2）由CH14B,BACH=-6m+n=0，又因为A,B,H三点共线，可得m+zi=l,解得即

可.

8.答案：解：（1）作AM1%轴于点例，

则OM=04.cos450=4x¥=2&,4M=°A.sin45。=44=2近,

4（2夜,2&），故Z=（275,2a），

v^AOC=180°-105°=75°,^AOy=45°,二zCOy=30°,

又OC=AB=3，c（-|,手）,

.・・布=沅=（—I，•），即石=W）.

(2)OB=OA+AB=(2V2,2V2)+(一|,斗=(2夜一|,2企+明,

.••点B的坐标为仁鱼—|,2夜+券).

解析：本题主要考查了平面向量的坐标运算，向量的加法运算以及平面向量的基本定理及其应用,

属于中档题.

（1）作4M1x轴于点M,由已知可求出4（2或,2&）,从而可得五的坐标，进而根据而=元=

（_三,辿），即可求出方的坐标；

（2）根据丽=07+宿可求出B的坐标.

9.答案：解：（1）由题意知上京一正-1=Q=b=1,

\,a=b

・・・双曲线C的方程为/一y2=1；

(2)①由对称性可设E(x,y),F(-x,-y),

则BE-BF=(x,y—1)■(—x,—y—1)=—x2—y2+1»

因为E点在双曲线C上，所以/-y2=i,所以y2=--i,

所以丽・乔=2(1-％2)40，

当|%|=1时，BE-BF=乙EBF为直角,

当因>1时，~BE~BF<Q,4EBF为钝角.

因此，4EB尸最小时，|%|=1,k=0.

②设动直线方程为y=t%+1,PQiM，＜?（血，y2），4Qo，y。），

2~-y^=i=(1一12)一一2比一2=0,

,,,yi-yo,72-yotxx4-1-y0,tx2+1-y0

kAP+kA0=------------1-----------=-------------------1------------------

x

X1-X02—%0%］一久0%2—出

=(枕1+1-yo)(X2-Xo)+(及2+1-yo)(T-X。)

(%1-&)。2-g)

_比1%2一以0%1+(1-yo)X2一/(1-yo)+比1逐一年0%2+〈一丁0)%1一室(1一%)

Xi%2-XO(%1+X2)+欧

_2txi%2—(1-Vo一比0)(%1+X2)—2/(1-Ko)

x

XTX2—%0(%1+X2)+0

一22t

tx

2t,1__+(1_yo_o)•1_±2一2%o(l-y0)

—22t2

厂笆―x°,厂T7+x0

222

-4t+2t-2tyQ-2txQ-2x04-2tx0+2xoyo-2txoyo

—2—2tx。+XQ—

_-25200-2%0+2%0%)-2t2%0%斗士

--2-25。+就-匹就为XE值人

.-2&yo__2_2y°_[

"Y_-2XO='。_1，

T4在双曲线上，x0=±V2,故做土e,1).

当X。-时，A-y/2;当x()——夜时，A——y/2>

综上，A(yf2,1),X=V2>或4(—&,1),A=~\[2-

解析：本题考查了双曲线的标准方程、直线与双曲线的位置关系和圆锥曲线中的定点与定值问题，

是较难题.

(1)由题意知[右一市=1，解出“、b,可得椭圆方程；

Va=b

(2)①由对称性可设E(x,y),F(-x,-y),则丽•丽=Q,y—1)•(一工,一y—1)=—/一y2十]，因

为E点在双曲线C上，所以/-y2=i,所以丫2=X2-1,所以助.前=2(1-/)40，判断即

可；

②设动直线方程为y=tx+1,与双曲线联立,设「。1，月)，<2(%2，乃)，4g，M))，计算治「+打(?,

化简可得定值和点A的坐标及实数4的值.

10.答案：解：(1)131=V2,|石|=1，五与方的夹角为45。

|a|cos450=V2Xy=l,•••日在E方向上的投影为1

(2)-.•\a+2b\=J|a+2h|2=J|a|2+4|a||b|cos45°+|2b|2=-2+4+4=V10

\a+2b\=VTo

(3)•••(2N-/lB)与(4五一3石)的夹角是锐角

(2a-Ah)-(Aa-3h)>0-且(2万—4方)与(23片)不能同向共线

A2-7A+6<0,2五一;I石Kk(/l五一3方)，/c>0

•­.1<A<乃或病<A<6

解析：本题考查平面向量的数量积的定义与性质，以及向量的投影和夹角为锐角的等价条件，属于

中档题.

(1)由向量投影概念可得结果；

(2)运用向量数量积的定义和性质，向量的平方即为模的平方，计算即可得到所求值；

⑶由题意可得(2方一高)•(/I五一3石)>0,且(2a一行)与(4百一3石)不能同向共线，计算即可得到

所求范围.

11.答案：解：(1)由平行四边形ABCQ可知，

AC=BC-BA，BD=BA+BC>

■■——»2，，——_——♦2——»2,■”一,

AAC=(ec-BA)2=BC+B4-2BC・BA，

---*2一一♦♦———♦2—■■>2，一…，，“♦

BD=(B4+BC)2=BC+BA+2BC・BA，

.•.AC+BD=2(B4+BC)=2(12+22)=10'

故4c2+B/)2=10.

(2)由图可知，

BE=JC+CE=^C+-2~BA,

--->---»---，i--->--->1---»---»

EF=ED+DF=-BA-bADA=-BA-XBC,

22

•••EF1BE

11，■■♦,1>1I>

・•・EFBE=(BC+-ABC)

i—>—»—>2i—>2a—>—»

=-BC-BA-ABC+-BA--BA-BC

242

=2-x2x1xcos60°-4A4+-2--x2xlxcos60°=0,

解得a=o

故；l的值为"

解析：本题考查了平面向量的加减和数乘运算，向量的数量积，向量垂直的性质运用，考查了运算

能力，属于中档题.

(1)利用已知得旅=取-而，BD=BA+BC＞平方相加即可得到结果;

(2)根据说=就+方=就+：市，~EF=~ED+~DF=^BA+X~DA=^BA-ABC,利用品_L而,

根据泰-BE=(BC+g瓦?)•C瓦？-ABC)=0,展开计算即可求解.

12.答案：解：(l)/(x)=V5sin2OJX-cos23X=2sin(2o)x—£),

6

・.・y=/(x)的图象与直线y=2的两个相邻公共点之间的距离为公

・•・T=71,则等=7T,解得3=1,

2(1)

・•・/(%)=2sin(2x—/),

令2knH—W2x—工2/CTTH----,kEZ,

262

解得A"+J<%</C7T+?,/C€Z,

36

故/(%)的单调递减区间为［kTT+条k"+聋］,kEZ;

(2)因为/6)二:所以sin(Q_3=3

因为aE［智?，所以］(a—*<7T,

则cos(a—^)=—Jl—sin2(a—=—Jl—(|)2=—|,

..7Tvr.7T、7T：.c万、—•/7T<.7T、2-1

故cos(2a+-)=cos［(2o--)+2］=-siu2(a--)=-2sin(a--)co8(a-^)=25

解析：本题考查了函数y=4sin(3x+@)的图象与性质、向量的数量积、两角和与差的三角函数公

式

(1)由向量的数量积、两角和与差的三角函数公式化简可得/(%)=2sin(23X-》，先解得3=1,

再由函数y-As讥(tux+租)的图象与性质可得答案

(2)由a»(2a+^)=008［(2a-f+§=-sin2(«-^)=-2sin(a-^)co8(a-'可运算得答

案

13.答案：解：⑴五不=(cos号,si吟)<os|,—sin；)

3xx.3x.x3x,x、

=cos——cos——sin—sin-=cos(z——I--)=cos2x,

2222'22，

当m=0时，/(%)=a-b+1=cos2x+1，

则fG)=cos(2x^)+1=cos^+1=1+1=|；

OO3ZN

—3x3xx

(2)•・•a//b^••・sin-xcos-=-cosysin

即sin|xcos|+cosjxsin=0,Asin(|x+；)=0,即2%=kn(kEZ),

**-X=y(fcGZ),又I=€用，・,・%=0・

⑶rxe［一昊］,

|a+h|=A/24-2cos2x=74cos=2cosx,

则/(X)=S-h—m|a+b|4-l=cos2x—2mcosx+1=2cos2x—2mcosx^

令t=cosx,贝始<t<1,

则y=2t2-2mt,对称轴t=y,

①当/<：，即m<l时，

当亡=泄，函数取得最小值此时最小值y=AM=-1,得m=g(舍)，

②当1,即1<m<2时，

当士=葭时，函数取得最小值此时最小值y=—?=—1,得m=&,

③当蓝>1,即m>2时,

当t=l时，函数取得最小值此时最小值y=2-2?n=-1,得m=g(舍)，

综上若f(x)的最小值为一1,则实数巾=a.

解析：本题主要考向量的数量积、辅助角公式、三角函数的性质以及复合函数的应用，考查分析能

力，计算能力，属于中档题.

(1)利用向量数量积的公式化简函数/(x)即可；

(2)由4〃B，根据坐标可建立等式，由辅助角公式转化，结合正弦函数的性质以及x的取值范围，

可解得x的值；

(3)求出函数f(x)的表达式，利用换元法结合一元二次函数的最值性质进行讨论求解即可.

14.答案：解：（1）因为bsinA=3sin为

又一三=一二，即bsinZ=asinB,所以a=3,

s】n4smB

由cosA==工，得4=I，

"+2：bc一。23

1a3后

△4BC外接圆的半径为y^=-75=^3,

所以△ABC外接圆的面积为37r

（2）设BC的中点为。，贝必。=苧.

因为四=；（荏+前

所以|而『=；（赤+而+2同•正）=[“2+炉+儿）=与，

即。2+匕2+儿=27,

又b24-c2—a2=be,得b=3,c=3.

所以△4BC的周长为9.

解析：本题考查正余弦定理的综合应用，考查数量积在求长度方面的应用，属于中档题.

（1）由正弦定理结合条件bsinA=3sin8,可得a=3.由余弦定理结合〃4-c2-a2=be可得4=g，从

而可以求出三角形外接圆的半径，从而求得面积；

（2）由中点关系得到加=I（AB+前），两边平方结合数量积定义得到c2+b2+bc=27,结合⑴即

可求出6,c的值，从而得到三角形的周长.

15.答案：解：（1）因为在团4BC中，点。为线段8c的中点，

所以荷=辿虫,

又NBAC=120°,AB=AC=2,

___2

所以而2=(而2+2AB-AC+AC2>)=^[4+2X2X2X(-0+4]=1>

所以I而|=1,即4)的长度为1.

(2)由题意得而=3丑，又因为玩;=而—而，

所以而.阮=（巫严）.（前一说）=X而2_四2）=।。祠2一।画2）

因为4B=3,AC=2,

所以前.方=

(3)因为荏=而+而，AC=AD+^C，又说=一反，

m^AB-AC={AD+DB)-{AD-DB)=AD-DB=\AD\2-\DB\2<

又因为4D=3,BC=4,即DB=2,

所以荏•前=9-4=5.

解析：本题主要考查向量的基底表示，向量的数量积，属基础题，关键是将未知转化为已知.

(1)由中点公式而=遗严，平方后，利用数量积运算，即可求得A。的长度；

(2)由中点公式而=吟至，和减法公式就=刀-荏，利用数量积的运算即可；

(3)由荏=而+而，AC=AD+DC，利用数量积运算法则，即可求得.

16.答案：解：(1)由AD1BC可知，DM=AM,DN=AN,

所以NMDN=/-MAN.

因为西•加=12co«AMAN=-6，

所以cu«AMAN=,

所以BC?=AB2+AC2-2AB-ACcos/.MAN=148,

所以8c=2V37.

⑵因为鬻+鬻=刘函+国)=5，

所以BC-10,又48-8,AC-6,

故BC2=AB2+AC2,

所以NB4C=90°.

解析：本题主要考查了平面向量的数量积运算及余弦定理，是一个中档题.

⑴由平面向量的数量积运算及余弦定理得：COSNAMN=W，BC2=AB2+AC2-2AB-

ACcosZ.MAN=148,即可求出BC；

(2)由平面向量的数量积运算得:率等+需^=；(|而|+|DC|)=5,即BC=10,所以NB4C=90。.

17.答案：解：(1)如图，以。为坐标原点，建立直角坐标系xOy,^BON=30°,CM=2,

则。(0,0),4(0,2),8(2,0),N(V5,1),

所以函=(0,2)，OB=(2,0).ON=(V3,1).

设而=+y而，

所以而=工引+四丽.

(2)设NB0N=0(00<6<90°),则N(2cosa2sin0),

点M为线段OA的中点，则

则丽=(2,-1)，ON=(2cos0,2sin。).

所以^7^•^7=4cos0-2sin。=26cos(。+s)，其中cosw=¥，sin3=为锐角).

因为0。W。W90°,所以wW0+wW+90°,

则COS(0+w)max=COS<p=誓，COS(0+0)min=COS(90°+</?)=—sin(p=-R，

所以MB-ON的取值范围为[—2,4].

解析：本题考查平面向量基本定理，考查平面向量数量积的问题，考查平面向量的坐标运算，属于

中档题.

(1)以。为坐标原点，建立直角坐标系xOy,设丽=x6?+y而，利用向量的坐标运算与基本定理

可求出x,y,继而得到结果；

(2)设4B0/V=e(0。工。<90。)，由坐标运算可得而・丽=2而cos(8+,),其中cosR=不，

sincp=为锐角).结合三角函数的性质即可求其结果.

18.答案:解：(1)当。=：时，sin8=cos。=(,

所以为b=lx2+sin-xcos-=2+-=

4422

QO

(2)因为苍6=1x24-sin0cos0=—,

所以sinOcos。=卷一2=-1|,可得

(sin。-cos0)2=sin20—2sin0cos0+cos20=1—2sin0cos0=1+

因为0<0<7T,所以sin。>0,cos0<0,

所以sin。-cos0>0,

7

所以sin。-cos0=-；

(3)若日_L9成立，则方•方=0，即1X2+sinOcos。=0,

所以sinJcos。=-2,即2sin6cos8=-4,

可得1+2sin0cos0=-3,又因为siM。+cos20=1,

所以siM。+cos20+2sin0cos0=一3,即(sin。+cos0)2=-3,等式显然不成立,

因此，五，B不成立.

解析：本题主要考查向量数量积坐标表示，向量垂直的判断，同角的三角函数关系等，属于中档题.

(1)直接利用向量数量积公式求解即可.

(2)由2・1=弓,得sin6cos6=-*则(sin6-cos歹=1-2sin6cos。=,，结合。的取值范

围，得出结果.

(3)若a1(成立,则五•3=0,即1x2+sin0cos0=0,即2sin0cos。=-4,又因为sin?。+cos20=1,

所以(sin。+cos。)？=-3,等式不成立，得出结果.

19.答案：解：⑴而=而+屁

—,2,__,—«、1—.2__,

=AD+-{AC-AD)=-AD+-AC

=-x-AB+-AC=-a+-b；

32363

(2)设AE：EF-A,

则而=平荏=平(工方+泞)

AA\63/

1+2一,2(i+A)r

3A

设BF：FC=n，

则希=自血+意死

=击五+竟瓦

1+A__2_

因此6A-1+g

2(1+储_〃'

.3A-1+〃

解得忆:‘

所以方=1a+^b,

故AE：EF=5,BF：FC=4.

解析：本题主要考查向量的运算及平面向量基本定理，考查了学生的计算能力，培养了学生分析问

题与解决问题的能力，属于中档题.

(1)根据题意利用向量的运算即可得到结果；

(2)根据题意利用向量的运算及平面向量基本定理即可得到结果.

20.答案:解:(1)因为向量方=(cos2x,cosx),b=(2sinx,V3)，且五〃石，

所以\/3co«2z=2sinxcotjx,即\Z5cos2z=sin2>r.

若cos2x=0,则sin2x=0,-^sm22x+oos22x1矛盾,故cos2x=0.

于是tan2x-V3.

又山喝，

所以2x=g,%=，,

36

所以2五=(l,V3),c=(1-2sinx,-3V3)=(0,-3%)，

则2五+3=(1,—2K),|21+小=VI+12=713.

(2)因为匕=(2sinx,遮)，c=(1—2sinx,-3-\/3),所以b+下=(1,—2遥),

/(x)=a•(d+c)=(cos2x,cosx)•(1,—2>/3)=cos2x-2>/3cosx

八2△rr、，5

=2c—2v3c<*iz—1=2(co«x----)—-

又女哨，

所以COSX6[|,1],

所以当COSX=q,即％=，时,/⑺取到最小值一|;

,V3V31

V1------<----------

222

・•・当cosx=即x=即寸,/(%)取到最大值一[一V3.

解析：本题考查向量的数量积的应用，三角函数的化简求值，考查转化思想以及计算能力.

(1)通过五//K，推出代cos2x=sin2x.得到tan2x=遮.求解x,然后求解|2a+有的值.

(2)通过/(%)=五.@=2(COS%-^)2-|,然后利用三角函数的最值求解即可.

21.答案：解：(1)由沅1元可得沆•日=0,

即[sinx—/cosx=0,则tan%=百，又''

解得“全

(2)由题意可得六m％—cosx=即sin(x—

由》—“[o用，得cos(x*)=V,

又sin(2x—^)=—sin(2x—子)，

所以sin(2x--)=—2xix—=——.

、3J339

解析：本题主要考查向量的数量积、向量垂直的坐标表示、同角三角函数之间的关系及三角恒等变

换，属于中档题.

(1)利用平面向量的垂直及同角三角函数的关系式即可得到结果；

(2)利用向量的数量积及二倍角公式即可得到结果.

22.答案：解：(1)宿•前=(荏+?舐)•(历+3屁)

]171

=(AB-BCy(2BC--AB)=-AB-BC+-

1111

x--f--=—

228

⑵以A为原点，AB,AE为x,y轴正方向建立直角坐标系，4(0,0),M(l+f,yx).N(1-x,回

AM=(1+AN=(l-x,V3)，

...福•福=(1+|)(1-%)+yx-^=-1x2+x+1.

当0WXW1时，-：x2+x+i的取值范围为即前•丽取值范围是

解析：本题考查平面向量的数量积的运算，属于中档题.

(1)以向量而，方作为基底表示向量而，而，再根据数量积公式计算，即可得到答案;

⑵以A为原点，AB,AE为x,y轴正方向建立直角坐标系，M(l+p^x),N(1-x,遮).通过向量

数量积的坐标运算，建立万0•丽关于x的函数关系式，进