注册工程师高数公式

空间解析几何1.垂直和平行a⊥b的充分必要条件是a.b=0a//b的充分必要条件是b=两向量垂直，那么上式等于02.向量的加法、减法以及向量与数的乘法运算如下：3.直线、平面方程求过两点M1(3,-2,1)和M2(-1,0,2)的直线方程。【解】取=〔-4,2,1)为直线的方向向量，由直线的对称式方程得所求直线方程为【解】直线L1和L2的方向向量依次为s1=(1,-4,1)、s2=(2,-2,-1).设直线L1和L2的夹角为,那么所以〔1〕点法式求过三点Ml(2,-1，4)、M2〔-l,3，-2〕和M3(0,2,3〕的平面的方程。由平面的点法式方程，得所求平面方程为〔2〕截距式设一平面与x、y、z轴的交点依次为P(a,0,0)、Q(0,b,0)、R(0,0,c)三点，求平面方程其中a、b、c均不为0，那么平面方程为如，在方程Ax＋By＋Cz+D=0中，当D=0时，方程表示一个通过原点的平面；当A=0时，方程表示一个平行于x轴的平面；当A=B=0时，方程表示一个平行于xOy的平面。类似地，可得其他情形的结论。4.平面与平面两平面的法向量的夹角称为两平面的夹角〔通常指锐角〕。设有平面Ⅱ1,:Alx+B1y＋Clz+D1=0和平面Ⅱ2:A2x+B2y＋C2z+D2=0，那么Ⅱ1和Ⅱ2的夹角θ由下式确定：由此可得Ⅱ1与Ⅱ2互相垂直相当于A1A2+B1B2+C1C2=0Ⅱ1与Ⅱ2平行相当于空间一点P0〔x0，y0，z0〕到平面的距离，有以下公式：5、二次曲面旋转曲面柱面〔一〕二次曲面三元二次方程所表示的曲面叫做二次曲面。例如球面：椭球面：椭圆抛物面：双曲抛物面：单叶双曲面：双叶双曲面：注意：以上方程是二次曲面的标准方程，还应该知道它们的各种变形。〔二〕旋转曲面以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面叫做旋转曲面，旋转曲线和定直线依次叫做旋转曲面的母线和轴。例如，顶点在坐标原点O，旋转轴为z轴，半顶角为α的圆锥面以x轴为旋转轴的旋转双曲面旋转曲面的母线C的方程为旋转轴为z轴，只要将母线的方程f(y，z〕＝0中的y换成，便得曲线c绕z轴旋转所成的旋转曲面的方程，即同理，可得其他情形的旋转曲面的方程。〔三〕柱面平行于定直线并沿定曲线C移动的直线L形成的轨迹叫做柱面，定曲线C叫做柱面的准线，动直线L叫做柱面的母线。例如，以xOy平面上的圆x2+y2＝R2为准线，平行于z轴的直线为母线的圆柱面以xOy平面上的抛物线y2＝2x为准线，平行于z轴的直线为母线的抛物柱面在空间直角坐标系中，如果曲面方程F(x,y，z)＝0中，缺少某个变量，那么该方程一般表示一个柱面。例如，方程F(x，y)＝0一般表示一个母线平行于z轴的柱面，方程G(x,z〕=0,H(y,z)=0一般表示一个母线平行于y轴，x轴的柱面。微分学函数可微分的充分必要条件函数y=f〔x〕在点x0可微分的充分必要条件是f〔x〕在点x0可导，且当f〔x〕在点x0可导时，其微分一定是函数的微分是根本微分公式与微分法那么1．根本微分公式2．函数和、差、积、商的微分法那么设函数u=u〔x〕、v＝v〔x〕均可微，那么3．复合函数的微分法那么设、均可微，那么也可微，且【例】［解］【例】［解］4、中值定理与导数的应用〔一〕罗尔中值定理1．假设函数f〔x〕在闭区间[a，b]上连续，在开区间〔a,b〕内可导，且f〔a〕=f〔b〕，那么至少有一点ξ∈〔a，b〕，使得f'〔ξ〕＝0。2．拉格朗日中值定理假设函数f〔x〕在闭区间［a，b］上连续，在开区间〔a,b〕内可导，那么至少有一点ξ∈〔a，b〕，使得下式成立5、求未定式的值的方法：罗必达法那么1．未定式与的情形关于的情形：设〔1〕当x→a〔或x→∞〕时，f〔x〕→0且F〔x〕→0,〔2〕在点a的某去心邻域内〔或当｜X｜>N时〕,f'〔x〕及F'〔x〕都存在且F'〔x〕0,那么假设仍属型，且f'〔x〕、F'〔x〕满足上述三个条件，那么可继续运用罗必塔法那么，即对于型，也有相应的洛比达法那么【解】属型，运用罗必塔法那么，得【解】属型，运用罗必塔法那么，得【解】属0·型，通过变形化为，然后运用罗必塔法那么，得2．其他形式的未定式的情形其他尚有0·、-、00、1、0型的未定式，它们均可通过变形化成或的情形。如0·型可变形成或，-型通过通分，00、1、0通过取对数变形。〔三〕函数性态的判别1．函数单调性的判定利用一阶导数的符号判定，如表1-2-1所示。2．函数极值的判定一阶导数为零的点称为驻点，对于连续函数，极值点必定是驻点，驻点不一定是极值点。3．曲线凹、凸及其拐点的判定连续曲线y=f〔x〕上凹弧与凸弧的分界点称为这曲线的拐点。如果f"〔x0〕=0,而f"〔x〕在x0的左右两侧邻近异号，那么点〔x0，f〔xo〕〕就是一个拐点。4．曲线的渐近线假设=y0，那么曲线y=f〔x〕有水平渐近线y=y0;假设=,那么曲线y＝f〔x〕有铅直渐近线x=x0；5.最大值最小值问题设f〔x〕在闭区间[a,b]上连续、除个别点外处处可导且至多在有限个点处导数为零，求f〔x〕在[a，b]上的最大值与最小值的一般方法：设f〔x〕在〔a,b〕内的驻点及不可导点为x1，…,xn，那么比拟的大小，其中最大的便是最大值，最小的便是最小值。【例】函数y=f〔x〕对一切x满足xf’’〔x〕+3x[f'〔x〕]2=1-，假设f'〔x0〕=0〔x00〕，那么〔A〕f〔xo〕是f〔x〕的极大值〔B〕f〔xo〕是f〔x〕的极小值〔C〕〔xo,f〔x0〕〕是曲线y=f〔x〕的拐点〔D〕f〔x0〕不是f〔x〕的极值，〔x0,f〔xo〕〕也不是曲线y＝f〔x〕的拐点【解】x＝x0是f〔x〕的驻点，又f''〔x0〕=>0,故f〔x0〕是f〔x〕的极小值，应选〔B〕。【例】求函数y=2x3+3x2-12x+14在[-3,4]上的最大值与最小值。【解】f〔x〕=2x3+3x2–12x+14,f’〔x〕=6x2+6x–12=6〔x+2〕〔x-1〕。令f’〔x〕=0,得x1=-2,x2=1.算出f〔-3〕=23,f〔-2〕=34,f〔1〕=7,f〔4〕=142,故最大值为f〔4〕=142,最小值为f〔1〕=7。【例】假设f〔x〕在〔a,b〕内满足f'〔x〕<0,f"〔x〕>0，那么曲线y=f〔x〕在〔a,b〕内是〔A〕单调上升且是凹的〔B〕单调下降且是凹的〔C〕单调上升且是凹的〔D〕单调下降且是凸的【解】由f'〔x〕＜0及函数单调性的判定法，知曲线是单调下降的。又由f"〔x〕>0及曲线凹凸性的判定法，知曲线是凹的，应选〔B〕6、函数的几个特性(1〕函数的有界性：设函数f〔x〕的定义域为D，数集XD，假设存在正数M，使≤M，xX,那么称f〔x〕在X上是有界的，如果对于任何正数M，总存在x1X,使＞M，那么称函数f(x)在X上无界。〔2〕函数的单调性：设函数f(x)的定义域为D，区间ID,如果对于区间I上任意两点xl和x2,，当xl＜x2时，恒有f(xl)<f〔x2)，那么称函数f(x〕在区间I上是单调增加的，如果对于区间I上任意两点x1和x2，当x1＜x2时，恒有f〔xl)>f(x2)，那么称函数f〔x〕在区间上是单调减少的。(3〕函数的奇偶性：设函数f〔x〕的定义域D关于原点对称，如果对于任一xD，恒有f〔-x)=f(x〕，那么称f(x)为偶函数。如果对于任一xD，恒有f〔-x)=-f(x〕，那么称f(x)为奇函数。〔4〕函数的周期性：设函数f〔x〕的定义域为D，如果存在一个不为零的数l,使得对于任一xD，有x士lD且恒有f〔x士l〕=f(x)，那么称f(x〕是以l为周期的周期函数，这里通常取最小正周期.7、函数f〔x〕当〔或〕时的极限存在的充分必要条件，是函数的左、右极限均存在且相等，即函数的间断点由函数在一点连续的定义可知,函数f〔x〕在一点x0处连续的条件是:〔1〕f〔xo〕有定义；〔2〕存在；〔3〕假设上述条件中任何一条不满足,那么f〔x〕在x0处就不连续，不连续的点就称函数的间断点。间断点分成以下两类：第一类间断点：x0是f〔x〕的间断点，但f〔x0-〕及f〔x0+〕均存在；第二类间断点：不是第一类的间断点。在第一类间断点中，假设`均存在但不相等,那么称这种间断点为跳跃间断点；假设f〔x0-〕,f〔xo+〕均存在而且相等，那么称这种间断点为可去间断8、闭区间上连续函数的性质设函数f〔x〕在闭区间[a，b]上连续，那么〔l〕f〔x〕在［a，b］上有界〔有界性定理〕;〔2〕f〔x〕在[a，b]上必有最大值和最小值〔最大值最小值定理〕;〔3〕当f〔a〕f〔b〕<0时，在〔a，b〕内至少有一点ξ，使得f〔ξ〕=0〔零点定理；〔4〕对介于f〔a〕=A及f〔b〕=B之间的任一数值C，在〔a,b〕内至少有一点ξ，使得f〔ξ〕=C〔介值定理〕。9、极限存在准那么和两个重要极限1．夹逼准那么和极限准那么I〔数列情形〕假设数列且xn、yn、及zn满足条件：〔n=1,2,3，…〕且那么数列xn的极限存在且准那么I’〔函数情形〕假设函数f〔x〕、g〔x〕及h〔x〕满足条件：利用准那么I’，可得一个重要极限2．单调有界准那么和极限准那么II单调有界的数列〔或函数〕必有极限。利用准那么II，可得另一个重要极限10、无穷小的比拟设a及都是在同一个自变量变化过程中的无穷小,且0，lim也是在这个变化过程中的极限。假设lim=0，就称是比a高阶的无穷小，记作=〔a〕；假设lim=，就称是比a低阶的无穷小；假设lim=C0，就称是与a同阶的无穷小；假设lim=1,就称是与a等阶的无穷小假设，就称是关于a的k阶低阶的无穷小当x0时，有以下常用的等价无穷小：求。求【解】令x＝-t,那么当x时，t。于是求。11、导数设函数f〔x〕在x0的某邻域内有定义，假设极限存在，那么称函数f〔x〕在xo处可导，并称此极限为f〔x〕在x0处的导数。〔2〕f〔x〕在x0处的导数f'〔x0〕，在几何上表示曲线y=f〔x〕在点〔x0，f〔x0〕〕处的切线的斜率。由此可知曲线y=f〔x〕在点〔x0，f〔x0〕〕处的切线方程为其中y0＝f〔x0〕。假设f'〔x0〕≠0，那么曲线y=f〔x〕在点〔x0，f〔x0〕〕处的法线方程为〔3〕根本求导公式〔略〕函数的和、差、积、商的求导法那么设u=u〔x〕、v=v〔x〕均可导，那么〔u±v〕’=u’±v’〔Cu〕’=Cu’〔C是常数〕〔uv〕’=u’v+uv’3．反函数的求导法那么假设x=φ〔y〕在区间Iy内单调、可导且φ’〔y〕≠0，那么它的反函数y＝f〔x〕在对应的区间Ix内也可导，且即4．复合函数的求导法那么设y=f〔u〕、u=φ〔x〕均可导，那么复合函数y=f[φ〔x〕]也可导，且5．隐函数的求导法那么设方程F〔x，y〕＝0确定一个隐函数y=y〔x〕，Fx、Fy，连续且Fy≠0，那么隐函数y=y〔x〕可导,且6．由参数方程所确定的函数的求导法那么假设函数y=y〔x〕由参数方程所确定，且x=φ〔t〕、y=ψ〔t〕都可导，φ’〔t〕≠0，那么【例】求方程x–y+siny=0所确定的隐函数y=y(x〕的导数【解】方法1．按复合函数求导法,注意y是x的函数，方程两边对x求导，得于是方法2.按隐函数求导公式【例】设u〔x〕、v(x〕均可导且u〔x〕＞0，求y=u(x)v(x)的导数。【解】两边取对数，得上式两边对x求导，注意y是x的函数，得一元函数，可导肯定连续，连续不一定可导。可导，左右导数相等。12.偏导数与全微分1．偏导数概念2．多元复合函数的求导法那么设u=〔x，y〕、v＝〔x，y〕均具有偏导数，而z＝f〔u，v〕具有连续偏导数，那么复合函数z＝f[〔x，y〕，〔x，y〕］的偏导数存在，且由此可见，掌握多元复合函数的求导法那么的关键是弄清函数的复合结构，哪些是中间变量，哪些是自变量。3．隐函数求导法那么设方程F〔x,y,z〕=0确定一个隐函数z=f〔x，y〕，函数F〔x,y,z〕具有连续偏导数且Fz≠0，那么有4．高阶偏导数二阶及二阶以上的偏导数统称高阶偏导数，如z=f〔x,y〕的二阶偏导数按求导次序不同有以下四个：5．全微分概念假设函数z=f〔x，y〕的全增量其中A、B仅与x，y有关，而，那么称函数z＝f〔x，y〕在点〔x，y〕可微分，并称为函数z=f〔x,y〕的全微分，记作dz，即函数可微分的充分条件是函数具有连续偏导数。习惯上，记,故6.偏导数的应用〔1〕空间曲线的切线与法平面空间曲线：在对应参数t=t0的点〔x0,y0，z0〕处的切线方程为法平面方程为〔2〕曲面的切平面与法线曲面∑：F〔x，y,z〕=0在其上一点M〔x0,y0,z0〕处的切平面方程为法线方程是〔4〕多元函数的极值设z=f〔x，y〕在点〔x0,y0〕具有偏导数，那么它在点〔x0,y0〕取得极值的必要条件是设z=f〔x，y〕在点〔x0,y0〕的某邻域内具有二阶连续偏导数，且那么有〔1〕当AC-B2>0时，具有极值f〔x0,y0〕，且当A<0时，f〔x0,y0〕为极大值，当A>0时，f〔x0,y0〕为极小值；〔2〕当AC-B2<0时，f〔x0,y0〕不是极值。【例】求曲线x=t,y＝t2，z＝t3在点〔1,1,1〕处的切线及法平面方程。【解】因x't=1，y't=2t,z't=3t2，点〔1,1,1〕所对应的参数t=1，故曲线的切向量：τ=〔1,2,3〕。于是，切线方程为法平面方程为〔x-1〕+2〔y-1〕+3〔z-1〕=0即x＋2y＋3z-6=0【例】球面x2+y2+z2=14在点〔1,2,3〕处的切平面方程是〔A〕〔x－l〕+2〔y－2〕－〔z－3〕=0〔B〕〔x＋1〕+2〔y+2〕+3〔z+3〕=0〔C〕〔x－1〕+2〔y－2〕+3〔z－3〕=0〔D〕〔x+l〕+2〔y＋2〕－〔z+3〕=0【解】F〔x,y,z〕＝x2＋y2＋z2-14，曲面的法向量n=〔Fx，Fy，Fz〕=〔2x，2y,2z〕,n|〔1,2,3〕=〔2,4,6〕，故曲面在点〔1,2,3〕处的切平面方程是〔C〕第三节积分学1.不定积分与定积分不定积分具有如下性质：对定积分还有两点补充规定：定积分具有如下性质：〔二〕积分表〔略〕2．换元积分法对不定积分，有第一类换元法：第二类换元法：其中是的反函数，且。对定积分，有其中。当被积函数含有时，可采用第二类换元法，依次令，可消去被积函数中的根号。3．分部积分法4．微积分根本公式假设f(x〕在［a,b］上连续，那么是f(x〕在［a,b］上的一个原函数,即由此可得微积分根本公式：假设在［a,b］上有F’(x〕=f〔x)，那么几个常用的定积分公式(l〕假设f〔x〕在［-a,a］〔a>0)连续且为偶函数，那么(2〕假设f〔x〕在[-a,a]〔a>0)上连续且为奇函数，那么5二重三重积分利用极坐标直角坐标和极坐标的关系是〔2〕利用直角坐标计算三重积分利用柱面坐标计算三重积分直角坐标与柱面坐标的关系是利用球面坐标计算三重积分直角坐标与球面坐标的关系是〔1〕计算，其中D是由抛物线，y2=x及直线y=x-2所围成的闭区域。【解】两曲线的交点是〔1，-1〕、〔4,2〕。积分区域D〔图1-3-4〕可表成从而〔2〕计算三重积分，其中Ω为三个坐标面及平面x+2y+z=1所围成的闭区域。【解】积分区域而于是6.四、平面曲线积分格林公式〔1〕对弧长的曲线积分的概念与性质第一类曲线积分的计算法设f(x，y)在曲线弧L上连续，L的参数方程为在［a，β］上具有一阶连续导数，且【例】计算半径为R、中心角为2a的圆弧L对于它的对称轴的转动惯量I〔线密度μ＝1〕。【解】取圆弧的圆心为原点，对称轴为x轴，并使圆弧位于y轴的右侧〔图1一36)，那么L的参数方程为于是2第二类曲线积分的计算法设函数P〔x，y),Q(x，y)在有向曲线弧L上连续,L的参数方程为.当t单调地由a变到β时，点M从起点A沿L运动到终点B，在［a，β］或[β,α]上具有一阶连续导数，如果有向曲线L由方程y=y(x〕给出〔x：a→b)，那么有定理设闭区域D由分段光滑的曲线L围成，函数P〔x，y〕及Q〔x，y)在D上具有一阶连续偏导数，那么有其中L是D的取正向的边界曲线。上述公式称格林公式。这一公式揭示了闭区域D上的二重积分与沿闭区域D的正向边界曲线L上的曲线积分之间的联系，利用这一联系使得两种积分的计算可以相互转化。四无穷级数1.〔l〕收敛准那么：正项级数收敛的充分必要条件是其局部和有界。〔2〕比拟审敛法：设、vn为正项级数，对某个N>0，当n＞N时，0unCvn〔C>0为常数〕。假设vn收敛，那么收敛；假设发散，那么vn发散。比拟审敛法的极限形式：假设＝l〔vn0)，那么当0＜l＜十时，和vn同时收敛或同时发散。〔3〕比值审敛法：设为正项级数，假设=l，那么当l<l时，级数收敛；当l>1或l=+时，级数发散；当l=1时，级数可能收敛也可能发散。〔4)根值审敛法：设为正项级数，假设=l,那么当l<l时，级数收敛;当l>1或l=+时，级数发散；当l=1时，级数可能收敛也可能发散〔5〕假设级数为任意项级数，而级数un收敛，那么称级数绝对收敛；假设收敛，而un发散，那么称级数条件收敛。〔6〕莱布尼兹判别法：假设交错级数〔-l〕nun〔un＞0〕满足：1〕unun+1〔n＝1,2…〕;2〕un=0，那么级数〔-1〕nun收敛，且有余项rnun+1〔n＝1,2,…〕〔7〕假设任意项级数绝对收敛，那么该级数收敛。〔8〕设为任意项级数，假设=l〔或＝l〕，那么当l<1时，级数绝对收敛；当l>1或l=+时，级数发散；当l=1时，级数可能收敛也可能发散。【例】判别级数sin的收敛性。【解】级数sin为正项级数，因为而级数发散〔p-级数，p=1的情形，，根据比拟审敛法的极限形式知此级数发散.【例】判别级数的收敛性。【解】所给级数为正项级数，因为根据比值审敛法知所给级数发散。【例】判别级数的收敛性。【解】所给级数为正项级数，因为根据根值审敛法知所给级数收敛。注意对正项级数来说，局部和数列有界是级数收敛的充分必要条件，而对一般的非正项级数来说，局部和数列有界仅是级数收敛的必要条件，而不是充分条件。【例】级数的收敛性是〔A〕发散〔B〕条件收敛〔C〕绝对收敛〔D〕无法判定【解】按莱布尼兹判别法知，级数收敛；级数是p-级数的情形，p<1，故级数发散，因此应选〔B〕。2．幂级数的收敛半径及其求法假设幂级数在某些点收敛，在某些点发散，那么必存在唯一的正数R，使当时，级数绝对收敛，当时，级数发散。这个R称为幂级数的收敛半径；假设幂级数只在x=0处收敛，那么规定收敛半径R=0；假设幂级数对一切x都收敛，那么规定收敛半径对幂级数假设那么它的收敛半径3．幂级数的性质假设幂级数的收敛半径为R，那么称开区间〔-R,R〕为幂级数的收敛区间，"根据幂级数在x＝±R处的收敛情况，可以决定幂级数的收敛域〔即收敛点的全体〕是四个区间：〔-R,R〕、［-R,R〕、〔-R,R］、[-R,R］之一。幂级数具有以下性质：〔l〕幂级数的和函数在其收敛域上连续；〔2〕幂级数的和函数在其收敛区间内可导，且有逐项求导、逐项积分公式逐项求导、逐项积分后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径。4.泰勒级数(1)泰勒级数的概念假设f〔x〕在点x0处具有各阶导数，那么幂级数称为函数f〔x〕在点x0处的泰勒级数，特别当x0=0时，级数称为函数f〔a〕的麦克劳林级数。(2)函数展开成泰勒级数的条件设函数f〔x〕在点x0的某邻域U〔x0〕内具有各阶导数，那么f〔x〕在该邻域内能展开成泰勒级数〔即f〔x〕的泰勒级数收敛于f〔x〕本身〕的充分必要条件是f〔x〕的泰勒公式中的余项〔其中〕(3)常用函数的幂级数展开式【例】幂级数的收敛域是〔A〕〔-1,l〕〔B〕〔-l,1〕〔C〕〔-l,l〕〔D〕〔-l,1]【解】易知级数收敛半径R=l，当x＝-1时，级数，当x=1时，级数收敛，故应选〔D〕。〔A〕条件收敛〔B〕绝对收敛〔C〕发散〔D〕收敛性不能确定【解】由的结构知其收敛区间的中心为x=1，x=-1为此级数的一个收敛点，设其收敛半径为R，那么，而x=2与收敛区间中心x＝1的距离为1,1<R，由幂级数的收敛性〔阿贝尔定理〕知，此级数在x=2处绝对收敛，故应选〔B〕。【例】将函数展开成〔x—3〕的幂级数。【解】因为而因此5、傅立叶级数1．傅立叶系数和傅立叶级数设f〔x〕是周期为2π的周期函数，那么下面公式中出现的积分都存在，那么系数a0，a1,,bl…叫做函数f〔x〕的傅立叶系数，级数叫做函数f〔x〕的傅立叶级数。2．狄利克雷收敛定理设f〔x〕是周期为2π的周期函数，如果它满足条件：〔1〕在一个周期内连续，或只有有限个第一类间断点；〔2〕在一个周期内至多只有有限个极值点，那么f〔x〕的傅立叶级数收敛，且当x是f〔x〕的连续点时，级数收敛于f〔x〕；当x是f〔x〕的间断点时，级数收敛于〔二〕正弦级数和余弦级数1．正弦级数假设f〔x〕是周期为2π的奇函数，那么它的傅立叶系数为它的傅立叶级数是只含有正弦项的正弦级数2．余弦级数假设f〔x〕是周期为2π的偶函数，那么它的傅立叶系数为它的傅立叶级数是只含有常数项和余弦项的余弦级数〔三〕周期为2l的周期函数的傅立叶级数设f〔x〕是周期为2l的周期函数，那么它的傅立叶系数为而它的傅立叶级数为〔四〕例题【例1-4–14】设f〔x〕是周期为2π的周期函数，它在[-π，π〕，上的表达式为问f〔x〕的傅立叶级数在x＝-π处收敛于何值。【解】所给函数满足狄利克雷收敛定理的条件，x＝-π是函数的间断点，按收敛定理它的傅立叶级数在x＝-π处收敛于【例1-4–15】将函数展开成傅立叶级数。【解】将函数在外作周期延拓，注意到f〔x〕是偶函数，故由于f在区间[-π，π]满足收敛定理的条件，在[-π，π]上连续，且f〔π〕=f-〔π〕，因此在区间[-π，π]上，有第五节微分方程1.微分方程的解、通解微分方程的解是一个函数，把这函数代入微分方程能使该方程成为恒等式。确切地说，对于n阶微分方程那么函数就称为微分方程〔1-5-l〕在区间I上的解。如果二元代数方程所确定的隐函数是某微分方程的解，那么称为该微分方程的隐式解。含有n个独立的任意常数的微分方程的解，称为n阶微分方程的通解。2.初始条件与特解能用来确定通解中的任意常数的条件称为初始条件。通常一阶微分方程的初始条