高中数学同步导学-(231) 计数原理（理科）

1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理

(-)基础知识梳理：

1.分类加法计数原理：完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第

2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N=种不同的方法。

2.分步乘法计数原理：完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n

种不同的方法，那么完成这件事共有N=种不同的方法。

分类应满足：不重不漏；分步必须注意：步与步间的连续性。

(二)典型例题分析：

例1.用1,3,5,9,13作分子，4,7,8,16作分母，可构成个不同的分数，其中有个真分数.

例2.现有高一的学生3名，高二的学生5名，高三的学生4名。

(1)从中任选1人参加接待外宾的活动，有种不同的选法。

(2)从三个年级的学生中各选1人参加接待外宾的活动，有种不同的选法。

例3.从四名同学中选派代表参加三项竞赛，

(1)若规定每位同学必须参加且只能参加一项竞赛，有种不同的参赛方案;

(2)若规定每项竞赛都必须有且只有一位同学参加，有种不同的参赛方案.

例4.甲厂生产的收音机外壳形状有3种，颜色有4种，乙厂生产的收音机外壳形状有4种,

颜色有5种，这两厂生产的收音机仅从外壳的形状和颜色看，共有种不同的品种.

(三)基础训练：

1.设某班有男生25名，女生22名，要从中选出男、女生各一名代表班级参加比赛，共有

种不同的选法。

2.一种号码拨号锁有4个拨号盘，每个拨号盘上有从0到9共10个数字，这4个拨号盘可以组成

个四位数号码.

3.乘积式(4+a,+)(4+)(。1+。2+Q+。4+。5)展开后共项。

4.设4=｛卬。,0,乩刍/｝，B=｛x,y,z],则从A到B共有个不同映射.

5.集合｛1,2,3,4,5｝的子集的个数.是.

6.(1)集合/=｛(x,y)|x,yeN,x+y<6｝中有个元素；

(2)已知集合A=｛0,l,2,3,4,5｝,那么集合/5=｛炽,丫)|*,丫6人｝中有个元素;

7.从甲地到乙地有2条路，从乙地到丁地有3条路；从甲地到丙地有4条路，从丙地到丁地有2条

路。从甲地到丁地共有条不同的路线。

8.3个班分别从5个风景点中选择一处游览，不同选法的种数是.

9.用数字1,2,3可写出多少个小于1000的正整数？（各位上的数字允许重复）

10.书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同

的体育书.（1）从书架上任取1本书，有多少种不同的取法？

（2）从书架的第1、2、3层各取1本书，有多少种不同的取法？

11.在分别写有数字1〜10的十张卡片中任意取出两张.

（1）则取出的两张卡片上的数字之和为奇数的不同取法共有种.

（2）则取出的两张卡片上的数字之和大于10的不同取法共有种.

（四）【高考真题选编】

1.（2007全国H文）5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组,

则不同的报名方法共有（）

（A）1O种（B）20种（C）25种（D）32种

2.（2010湖北文）现有6名同学去听同时进行的5个课外知识讲座，每名同学可自由选择其中的

一个讲座，不同选法的种数是（）

5x6x5x4x3x2

A.56B.65D.6x5x4x3x2

2

3.（1993全国文、理）同室四人各写一张贺年卡，先集中起来。然后每人从中拿一张别人送出的贺

年卡。则四张贺年卡不同的分配方式有（）

（A）6种（B）9种（011种（D）23种

4.（2007福建文）某通讯公司推出一组手机卡号码，卡号的前七位数字固定，从“XXXXXXX0000"

到“XXXXXXX9999”共10000个号码.公司规定：凡卡号的后四位带有数字“4”或“7”的一

律作为“优惠卡”，则这组号码中“优惠卡”的个数为（）

A.2000B.4096C.5904D.832

5.（2011北京理）用数字2,3组成四位数，且数字2,3至少都出现一次，这样的四位数共

有个。（用数字作答）

6.（2002春招上海）如图，A、B、C、D是海上的四个小岛，要建三座桥,

将这四个岛连接起来，不同的建桥方案共有种.

7.（2003广东，全国文、理）如图，一个地区分为5个行政区域,现给地图着色，要求相邻

区域不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有种.（以

数字作答）

1.2排列与组合

（-）基础知识梳理：

1.排列的概念：从〃个不同元素中取出（加〈〃）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从〃个

不同元素中取出6个元素的一个排列.

说明：（1）排列的定义包括两个方面：①取出元素，②按一定的顺序排列；

（2）两个排列相同的条件：①元素完全相同；②元素的排列顺序也相同.

2.排列数的定义：从〃个不同元素中取出机（m<«）个元素的所有不同排列的个数叫做从〃个不

同元素中取出m个元素的排列数，用符号4；表示.注意区别排列和排列数的不同.

3.排列数公式：=〃（〃-1）（〃-2）（n-m+1）（m,n&N*,m<n'）

说明：（1）公式特征：第一个因数是72,后面每一个因数比它前面一个少1,最后一个

因数是〃-加+1,共有机个因数；

（2）全排列：当〃=加时即〃个不同元素全部取出的一个排列.全排列数：

A；=〃（〃一1）（“-2）2-1=71!（叫做n的阶乘）.即然=〃!.规定（）!=1

n।

（3）排列数的另一个计算公式：第二--------

（n-m）!

4.组合的概念：一般地，从〃个不同元素中取出加（加<〃）个元素并成一组，叫做从〃个不同元素

中取出机个元素的一个组合.

说明：⑴不同元素；⑵“只取不排”一一无序性；⑶相同组合：元素相同.

5.组合数的概念：从〃个不同元素中取出加（加<〃）个元素的所有组合的个数，叫做从〃个不同

元素中取出帆个元素的级令算.用符号表示.

6.组合数公式：c，"=5=〃（〃T）（”2）（〃-〃?+1）或fl：

"然：m\

7.组合数的性质（1）：C；：'=C；；-'n.规定：C?=1；（2）：cm+c；7•

8.解题规律总结：对有约束条件的排列、组合问题，应注意如下类型：

①某些元素不能在或必须排列在某一位置一一“优限法”；

②某些元素要求连排（即必须相邻）一一“捆绑法”；

③某些元素要求分离（即不能相邻）一一“插空法”.

在处理排列、组合问题时，要遵循“正难则反”的原则，一般可采用直接和间接两种思维形式。

（二）典型例题分析：

例1.（2015上海理）在报名的3名男教师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女

教师.都有，则不同的选取方式的种数为（结果用数值表示）.

例2.（2014全国新课标I理）4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、

周日都有同学参加公益活动的概率（）

例3.（2005福建文、理）从6人中选4人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要

求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这6人中甲、乙两人不去巴黎游览，则不同的选

择方案共有（）

A.300种B.240种C.144利1D.96种

例4.（2007北京理）记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人

相邻但不排在两端，不同的排法共有（）

A.1440种B.960种C.720种D.480种

例5.（2008全国I卷理）如图，一环形花坛分成4B,C,。四块，现有4种不同的花供选种,

要求在每块里种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为（）

A.96B.84C.60D.48fA1^L）\

（三）基础训练：

1.（2016四川理）用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为（）

（A）24（B）48（C）60（D）72

2.（2015广东理）袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球。从袋

中任取2个球，所取的2个球中恰有』个白球，1个红球的概率为（）

3.（2014辽宁理）6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的做法种数为（）

A.144B.120C.72D.24

4.（2013全国大纲文）从进入决赛的6名选手中决出1名一等奖，2名二等奖，3名三等奖，则

可能的决赛结果共有种.（用数字作答）

5.（2012安徽理）6位同学在毕业聚会活动中进行纪念品的交换,任意两位同学之间最多交换一次,

进行交换的两位同学互赠一份纪念品，已知6位同学之间共进行了13次交换，则收到4份纪念品

的同学人数为（）

（A）l或3（8）1或4（C）2或3（D）2或4

6.（2011全国大纲卷文）4位同学每人从甲、乙、丙3门课程中选修1门，则恰有2人选修课程

甲的不同选法共有（）

（A）12种（B）24种（C）30种（D）36种

7.（2010全国I卷理）某校开设A类选修课3门，B类选择课4门，一位同学从中共选3门，若

要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有（）

（A）30种⑻35种（042种（D）48种

8.（2009广东理）2010年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选

派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，

其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有（）

A.36种B.12种C.18种D.48种

9.（2007浙江文、理）某书店有11种杂志，2元1本的8种，1元1本的3种.小张用10元钱买杂志（每

种至多买一本，10元钱刚好用完），则不同买法的种数是（用数字作答）.

【历届高考中的“计数原理”试题选编】

1.（2016全国n理）如图，小明从街道的E处出

发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年

公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的

最短路径条数为（）

（A）24（B）18（C）12（D）9

2.（2015上海文）在报名的3名男教师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教

师都有，则不同的选取方式的种数为（结果用数值表示）.

3.（2014广东理）设集合4={（如孙工3，了4，毛）|七6{—1,0,1}』=1,2,3,4,5},那么集合A中满足

条件“14国+冈+闻+闻+冈43”的元素个数为（）

A.60B.90C.120D.130

4.（2014浙江理）在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖.将这8张奖券分配给4

个人，每人2张，不同的获奖情况有种（用数字作答）.

5.（2014北京理）把5件不同产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，产品A与产品。不相邻，则

不同的摆法有种.

6.（2013山东理）用0,1,…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为（）

（A）243（B）252（C）261（D）279

7.（2013全国大纲理）6个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有种.

（用数字作答）

8.（2013上海理）盒子中装有编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9的九个球，从中任意取出两个,

则这两个球的编号之积为偶数的概率是（结果用最简分数表示）

9.（2013浙江理）将4,B,C,D,E,尸六个字母排成一排，且力，6均在C的同侧，则不同的排

法有种（用数字作答）.

10.（2013重庆理）从3名骨科、4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组,

则骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是.（用数字作答）

11.（2012北京理）从0,2中选一个数字.从1.3.5中选两个数字，组成无重复数字的三位数.其中奇数

的个数为（）

A.24B.18C.12D.6

12.（2012辽宁理）一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为（）

（A）3X3!（B）3X（3!）3（C）（3!）4（D）9!

13.（2012山东理）现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张，从中任取3张,

要求这些卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为（）

（A）232（B）252（C）472（D）484

14.（2012全国大纲卷理）将字母a,a,b,b,c,c,排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也

互不相同，则不同的排列方法共有（）

（A）12种（B）18种（C）24种（D）36种

15.（2012全国大纲卷文）6位选手依次演讲，其中选手甲不再第一个也不再最后一个演讲，则不同

的演讲次序共有（）

（A）240种（B）360种（C）480种（D）720种

16.（2010全国H卷文、理）将标号为1,2,3,4,5,6的6张卡片放入3个不同的信封中.若每个

信封放2张，其中标号为1,2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有（）

（A）12种（B）18种（C）36种（D）54种

17.（2010山东理）某台小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前两位、

节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位，该台晚会节目演出顺序的编排方案共有（）

（A）36种（B）42种（C）48种（D）54种

18.（2010四川理）由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与5相邻的六位偶数的个数

是（）

(A)72(B)96(C)108(£))144

19.（2010湖南理）在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列（数字也许重复）表示一个信息,

不同排列表示不同信息，若所用数字只有0和1,则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同

的信息个数为（）

A.10B.llC.12D.15

20.（2010全国I卷文）某学校开设A类选修课3门，B类选修课4门，一位同学从中共选3门，若

要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有种.（用数字作答）

21.（2010江西理）将6位志愿者分成4组，其中两个各2人，另两个组各1人，分赴世博会的四个

不同场馆服务，不同的分配方案有种（用数字作答）。

22.（2009北京理）用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为（）

A.324B.328C.360D.648

23.（2009重庆理）将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配

方案有种（用数字作答）.

24.（2009辽宁理）从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医

生都有，则不同的组队方案共有（）

（A）70种（B）80种（C）100种（D）140种

25.（2008湖北文、理）从5名男生和5名女生中选3人组队参加某集体项目的比赛，其中至少

有一名女生入选的组队方案数为（）

A.100B.110C.120D.180

26.（2005北京文科）五个工程队承建某项工程的五个不同的子项目，每个工程队承建1项，其中甲

工程队不能承建1号子项目，则不同的承建方案共有（）

（A）C：C：种（B）种（C）C：种（D）种

27.（2006全国II卷文）5名志愿者分到3所学校支教，每个学校至少去一名志愿者，则不同的分派

方法共有（）

（A）150种（B）180种（C）200种（D）280种

28.（2008湖南文）某市拟从4个重点项目和6个一般项目中各选2个项目作为本年度启动的项目,

则重点项目A和一般项目B至少有一个被选中的不同选法种数是（）

A.15B.45C.60D.75

29.（2007四川文）用数字1,2,3,4,5可以组成没有重复数字，并且比20000大的五位偶数共有（）

A.48个B.36个C.24个D.18个

30.（2004福建理）某校高二年级共有六个班级，现从外地转入4名学生，要安排到该年级的两个班

级且每班安排2名，则不同的安排方案种数为（）

（A）找C：（B）:屋。：（C）及A：（D）2蛋

31.（2006全国I卷理）设集合/={1,2,3,4,5}。选择I的两个非空子集A和B,要使B中最小的

数大于A中最大的数，则不同的选择方法共有（）

A.50种B.49种C.48种D.47种

32.（2009湖南文）某地政府召集5家企业的负责人开会，其中甲企业有2人到会，其余4家企业各

有1人到会，会上有3人发言，则这3人来自3家不同企业的可能情况的种数为（）

A.14B.16C.20D.48

33.（2009全国I文、理）甲组有5名男同学，3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学。若从甲、

乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有（）

（A）150种（B）180种（C）300种（D）345种

34.（2006北京文）在1,2,3,4,5这五个数字组成的没有重复数字的三位数中，各位数字之和

为偶数的共有（）

（A）36个（B）24个（C）18个（D）6个

35.（2002春招北京文、理）从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同工

作.若其中甲、乙两名支援者都不能从事翻译工作，则选派方案共有（）

（A）280种（B）240种（0180种（D）96种

36.（2004全国W卷文、理）从5位男教师和4位女教师中选出3位教师，派到3个班担任班主任

（每班1位班主任），要求这3位班主任中男、女教师都要有，则不同的选派方案共有（）

A.210种B.420种C.630种D.840种

37.（2003春招北京理）某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节

目.如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为（）

A.42B.30C.20D.12

38.（2008四川文）从甲、乙等10名同学中挑选4名参加某校公益活动，要求甲、乙中至少有1人参

加，则不同的挑选方法共有种。

39.（2007重庆文）要排出某班一天中语文、数学、政治、英语、体育、艺术6门课各一节的课程表,

要求数学课排在前3节，英语课不排在第6节，则不同的排法种数为。（以数字作答）

40.（2006湖北文）安排5名歌手的演出顺序时，要求某名歌手不第一个出场，另一名歌手不最后

一个出场，不同排法的总数是.（用数字作答）

1.3二项式定理

(一)基础知识梳理：

L二项式定理：(a+b)n=(neN),

这个公式所表示的定理叫二项式定理.公式右边的多项式叫(a+。)"的,

展开式共有个项，各项都是凡次式.各项的系数C：(r=O,l,〃)叫.

2.二项展开式的通项公式：叫二项展开式的通项，通项是指展开式的第项，

用Tr+l表示，通项公式是Tr+l=.

3.二项式定理及其特例：设a=l,b=x,则(l+x)"=l+C：x++"++x".

(二)典型例题分析：

例1.(2016上海文、理)在皆-*的二项式中，所有项的二项式系数之和为256,则常数项

IX)

等于.

/\53

例2.(2015湖南理)已知(4-十)的展开式中含炉的项的系数为30,则a=()

A.y/3B.-73C.6D.-6

例3.(2013全国大纲理)(l+x)8(l+y)4的展开式中/J的系数是().

A.56B.84C.112D.168

例4.(2012安徽理)(V+2)(-4-1)5的展开式的常数项是()

X

(A)—3(B)-2(C)2(D)3

例5.(2007湖南文)在(1+力”(〃€叱)的二项展开式中，若只有丁的系数最大，则”=()

A.8B.9C.10D.11

例6.(2006浙江理)若多项式/+3。=4)+4。+1)+—+@93+1)9+@]0。+1)"),贝！kg=()

(A)9(B)10(C)-9(D)-10

例7.(2005湖南文、理)在(l+x)+(l+x)2+...+(l+x)6的展开式中，x2项的系数是

(用数字作答)

（三）基础训练:

1,（2016四川理）设i为虚数单位，则（x+i）6的展开式中含/的项为（）

（A）一15f（B）15/（C）-20/x4（D）20//

2.（2016山东理）若(ax2+-y=）5的展开式中/的系数是一80,则实数折

3.（2015全国新课标I卷理）（尤2+》+川5的展开式中，dy2的系数为（）

（A）10（B）20（C）30（D）60

4.（2015陕西理）二项式（x+l）”（〃eN+）的展开式中f的系数为15,则〃=（）

A.4B.5C.6D.7

5.（2014湖北理）若二项式（2X+5的展开式中4的系数是84,则实数。=（）

（|丫

6.（2014湖南理）-x-2y的展开式中dy3的系数是（）

A.-20B.-5C.5D.20

7.（2013全国大纲文）（x+2）8的展开式中F的系数是（）.

A.28B.56C.112D.224

8.（2013辽宁理）使得方］（〃wN+）的展开式中含有常数项的最小的“为（）

kX）

A.4B.5C.6D.7

/i\3

8.（2012重庆理）«产的展开式中常数项为（）

<2jx>

9.（2010陕西理）+（xeR）展开式中d的系数为10,则实数a等于【】

1

A.-lB.-C.1D.2

2

10、（2010全国I卷理）（1+2«）3（1—正彳的展开式中x的系数是（）

（A）-4（B）-2（C）2（D）4

11.（2009江西文）若C：X+C52++C；x"能被7整除，则x,〃的值可能为（）

A.x=4,n=3B.x=4,n=4C.x=5,n=4D.x=6,n=5

12.（2008江西理）（1+我）6（1+3严展开式中的常数项为（）

A.1B.46C.4245D.4246

13.（2007江西文）设（x2+l）（2x+l）9=ao+ai（x+2）+a2（x+2）2+…+au（x+2）”,

则ao+ai+a2H----Fa”的值为（）

A.-2B.-1C.1D.2

（1y0

14、（2006全国I卷文）在x——的展开式中，d的系数为（）

I2x）

A.-120B.120C.-15D.15

15.(2005全国HI文、理)在(x-l)(x+l)8的展开式中/的系数是()

A.-14B.14C.-28D.28

16、(2010湖北理)在(x+布丁产。的展开式中，系数为有理数的项共有项。

17.(2009全国I文、理))(x—y严的展开式中，/丁的系数与犬丁的系数之和等于

345

18.(2007安徽文)已知(1—X)，=4+a[x+a2x~+a3x—a4x+a5x

(a„+a2+a4)(q+a3+a5)的值等于.

19.(2008浙江文、理)在(x—l)(x—2)(x—3)(x—4)(x—5)的展开式中，含丁的项的系数是(

(A)-15(B)85(C)-120(D)274

20.(2005浙江理)在(1一X)5+(1—»'+(1—*)7+(1—*)8的展开式中，含V的项的系数是(

(A)74(B)121(C)-74(D)-121

/]A24

21.(2006湖北文)在正+—'的展开式中，x的事的指数是整数的有()

Ivxj

A.3项B.4项C.5项D.6项

海南省历届高考中的“计数原理、二项式定理”试题汇编

1.（2007海南、宁夏理）某校安排5个班到4个工厂进行社会实践，每个班去一个工厂，每个工厂

至少安排一个班，不同的安排方法共有种.（用数字作答）

2、（2008海南、宁夏理）甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动，

要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面。不同的安排方法共有（）

A.20种B.30种C.40种D.60种

3.（2009海南、宁夏理）7名志愿者中安排6人在周六、周日两天参加社区公益活动。若每天安排3

人，则不同的安排方案共有种（用数字作答）。

4.（2010全国新课标理）某种种子每粒发芽的概率都为0.9,现播种了1000粒，对于没有发芽的种

T，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为匕则才的数学期望为（）

（A）100（B）200（C）300（D）400

5.（2011全国新课标理）"外~）的展开式中各项系数的和为2,则该展开式中常数项为（）

（A）-40（B）-20（C）20（D）40

6.（2012全国新课标理）将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践

活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（）

（A）12种（8）10种（C）9种（。）8种

7.（2012全国新课标理）某个部件由三个元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元

件3正常工作，则部件正常工作，设三个电子元件的使用寿命（单

位：小时）均服从正态分布N（1000,SO?）,且各个元件能否正常

相互独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为

8.（2013全国新课fl理）已知（l+or）（l+x）5的展开式中小的系数为5,则“等于（）

A.—4B.-3C.-2D.—1

9.（2013全国新课标II理）从〃个正整数1,2,…，〃中任意取出两个不同的数，若取出的两数之和

等于5的概率为自，则〃=.

10.（2014全国新课标n理）某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率为0.75,

连续两天为优良的概率是0.6,已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的

概率是（）

A.0.8B.0.75C.0.6D.0.45

11.（2014全国新课标D理）的展开式中，金的系数为15,则寸.（用数字填写答案）

12.（2015全国新课标II理）（。+x）（l+%）4的展开式中x的奇数次累项的系数之和为32,则a=

历届高考中的“计数原理”试题（自我检测一）

一、选择题：

题号123456789101112131415

答案

1.（2015四川理）用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共

有（）

（A）144个（B）120个（C）96个（D）72个

2.（2014全国大纲文、理）有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个

医疗小组，则不同的选法共有（）

A.60种B.70种C.75种D.150种

3.（2013四川理）从135,7,9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为h,共可得到怆〃一

lgb的不同值的个数是（）

A.9B.10C.18D.20

4.（2011全国大纲卷理）某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋

友每位朋友1本，则不同的赠送方法共有（）

（A）4种（B）10种（018种（D）20种

5.（2008福建文、理）某班级要从4名男生和2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求

至少有1名女生，那么不同的选派方法有（）

A.14B.24C.28D.48

6、（2010湖北理）现安排甲、乙、丙、丁、戌5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事

翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加。甲、乙不会开车但能从事

其他三项工作，丙丁戌都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是（）

A.152B.126C.90D.54

7.（2006辽宁文）C：+箴+《+《+以的值为（）

A.61B.62C.63D.64

8.（2011重庆理）（1+3幻"（其中且〃，6）的展开式中/与x6的系数相等，则n=（）

A.6B.7C.8D.9

9.（2009湖北文）从5名志愿者中选派4人在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要

求星期五有一人参加，星期六有两人参加，星期日有一人参加，则不同的选派方法共有（）

A.120种B.96种C.60种D.48种

10.（2008江西文）（1+制|°（1+31°展开式中的常数项为（）

X

A.1B.©）2C.4D.C；；

11、（2009四川文）2位男生和3位女生共5位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只

有两位女生相邻，则不同排法的种数是（）

A.60B.48C.42D.36

12.（2005山东文、理）如果的展开式中各项系数之和为128,则开式中不的系数是（）

（A）7（B）-7（C）21（D）-21

13.（2006湖南理）某外商计划在四个候选城市投资3个不同的项目，且在同一个城市投资的

项目不超过2个,则该外商不同的投资方案有（）

A.16种B.36种C.42种D,60种

14.（2007江苏）若对于任意实数x,有尤3=4+4（%—2）+w（x—2）2+q（x—2）3,则4的值为（）

A.3B.6C.9D.12

15.（2008全国I卷文）将1,2,3填入3x3的方格中，要求每行、每列都

没有重复数字，右面是一种填法，则不同的填写方法共有（）

A.6种B.12种C.24种D.48种

二、填空题：

16.（2016全国I理）（2x+6）5的展开式中父的系数是.（用数字填写答案）

17.（2015广东理）某高三毕业班有4（）人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班

共写了条毕业留言.（用数字作答）

18.（2014广东理）从0、1、2、3、4、5、6、7、8、9中任取七个不同的数，则这七个数的

中位数是6的概率为.

19.（2013北京理）将序号分别为1,2,345的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同

一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是.

20.（2012湖南理）（2«-1=）6的二项展开式中的常数项为.（用数字作答）

21.（2014山东理）若（a/+2尸的展开式中/项的系数为20,则/+后的最小值为.

x

22.（2004天津理）从1,3,5,7中任取2个数字，从0,2,4,6,8中任取2个数字，组成没有

重复数字的四位数，其中能被5整除的四位数共有个。（用数字作答）

23.（2008福建理）若（万⑵乜//卬^+华儿加+叩+外则41+42+43+44+45=.（用数字作答）

2

24.（2011安徽理）设（X-=%H----l-a2lX',则00+。1]=.

25.（2009天津理）用数字0,1,2,3,4,5,6组成没有重复数字的四位数，其中个位、十位和百位

上的数字之和为偶数的四位数共有个（用数字作答）

历届高考中的“计数原理”试题（自我检测二）

一、选择题:

题号123456789101112131415

答案

1.（2010四川文）由1、2、3、4、5组成没有重复数字且1、2都不与5相邻的五位数的个数是（）

（A）36（B）32（C）28（D）24

2.(2011陕西理)(4'-2-')6（XGR）展开式中的常数项是（)

(A)—20(B)—15（C）15（D）20

3.（2010重庆文）某单位拟安排6位员工在今年6月14日至16日（端午节假期）值班，每天安排2

人，每人值班1天.若6位员工中的甲不值14日，乙不值16日，则不同的安排方法共有（）

（A）30种（B）36种©42种（D）48种

4.（2009四川理）3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有

两位女生相邻，则不同排法的种数是（）

A.360B.188C.216D.96

5.（2008安徽文、理）设（l+x）8=%+4%++仆%8,则知《，，心中奇数的个数为（）

A.2B.3C.4D.5

6.（2006天津理）将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里，使得放入每个盒

子里的球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有（）

A.10种B.20种C.36种D.52种

7.（2010江西理）（2-«了展开式中不含f项的系数的和为（）

A.-lB.0C.1D.2

8.（2008海南、宁夏理）甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动，要

求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面。不同的安排方法共有（）

A.20种B.30种C.40种D.60种

9.（2009北京文）若（1+0）4=。+蛀（“》为理数），则。+。=（）

A.33B.29C.23D.19

10.（2005湖北文）把一同排6张座位编号为1,2,3,4,5,6的电影票全部分给4个人，每人至

少分1张，至多分2张，且这两张票具有连续的编号，那么不同的分法种数是（