2025届新教材高中数学第1章空间向量与立体几何1.1空间向量及其运算1.1.1空间向量及其线性运算学生用书新人教A届选择性必修第一册

1．1.1空间向量及其线性运算学习任务1．理解空间向量及相关概念．(重点)2．掌握空间向量的线性运算．(重点)3．掌握向量共线的充要条件、三个向量共面的充要条件及应用．(重点、难点)核心素养1．通过空间向量有关概念的学习，培养数学抽象素养．2．借助向量的线性运算、共线向量及共面向量的学习，提升直观想象和逻辑推理素养.空间向量的概念1.定义：在空间，具有_大小__和_方向__的量叫做空间向量．2．长度或模：向量的_大小__.3．表示方法(1)几何表示法：空间向量用_有向线段__表示；(2)字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起点是A，终点是B，也可记作eq\o(AB,\s\up6(→))，其模记为|a|或|eq\o(AB,\s\up6(→))|.4．几类特殊的空间向量名称定义及表示零向量_长度为0__的向量叫做零向量．记为0单位向量_模为1__的向量叫做单位向量相反向量与向量a长度_相等__而方向_相反__的向量，叫做a的相反向量，记为－a共线向量(平行向量)如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量．规定：对于任意向量a，都有0∥a相等向量方向_相同__且模_相等__的向量叫做相等向量提醒：单位向量有无数个，它们的方向并不确定，它们不一定相等；零向量也有无数个，它们的方向是任意的，但规定所有的零向量都相等．做一做：判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)向量eq\o(AB,\s\up6(→))与向量eq\o(BA,\s\up6(→))的长度相等．(√)(2)零向量没有方向．(×)[解析](1)对于任意向量eq\o(AB,\s\up6(→))和eq\o(BA,\s\up6(→))，都有|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(BA,\s\up6(→))|成立．(2)零向量有方向，它的方向是任意的.空间向量的线性运算及运算律空间向量的线性运算加法a＋b＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))减法a－b＝eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))数乘当λ>0时，λa＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\o(PQ,\s\up6(→))；当λ<0时，λa＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\o(MN,\s\up6(→))；当λ＝0时，λa＝0运算律交换律：a＋b＝b＋a；结合律：a＋(b＋c)＝(a＋b)＋c，λ(μa)＝(λμ)a；分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb做一做：已知空间四边形ABCD中，eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(BC,\s\up6(→))＝b，eq\o(AD,\s\up6(→))＝c，则eq\o(CD,\s\up6(→))等于(B)A．a＋b－c B．c－a－bC．c＋a－b D．c＋a＋b[解析]eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝－b－a＋c＝c－a－b，故选B.共线向量与共面向量(1)相关概念共线(平行)向量共面向量定义位置关系表示空间向量的有向线段所在的直线的位置关系：互相平行或重合平行于同一个_平面__的向量特征方向_相同__或_相反__特例零向量与任意向量_共线__充要条件共线向量定理：对任意两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb共面向量定理：向量p与两个不共线向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb(2)直线的方向向量在直线l上取非零向量a，与向量a_平行__的非零向量称为直线l的方向向量．思考1：已知空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，存在有序实数对(x，y)，满足关系eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AC,\s\up6(→))，则点P与点A，B，C是否共面？提示：共面．由eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AC,\s\up6(→))，可得eq\o(AP,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AC,\s\up6(→))，所以向量eq\o(AP,\s\up6(→))与向量eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))共面，故点P与点A，B，C共面．思考2：对于不共线的三点A，B，C和平面ABC外的一点O，空间一点P满足关系式eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))＋zeq\o(OC,\s\up6(→))，则点P在平面ABC内的充要条件是什么？提示：x＋y＋z＝1.证明如下：①充分性∵eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))＋zeq\o(OC,\s\up6(→))可变形为eq\o(OP,\s\up6(→))＝(1－y－z)eq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))＋zeq\o(OC,\s\up6(→))，∴eq\o(OP,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝y(eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))＋z(eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))，∴eq\o(AP,\s\up6(→))＝yeq\o(AB,\s\up6(→))＋zeq\o(AC,\s\up6(→))，∴点P与A，B，C共面．②必要性∵点P在平面ABC内，不共线的三点A，B，C，∴存在有序实数对(m，n)使eq\o(AP,\s\up6(→))＝meq\o(AB,\s\up6(→))＋neq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(OP,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝m(eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))＋n(eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))，∴eq\o(OP,\s\up6(→))＝(1－m－n)eq\o(OA,\s\up6(→))＋meq\o(OB,\s\up6(→))＋neq\o(OC,\s\up6(→))，∵eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\x\to(OA)＋yeq\o(OB,\s\up6(→))＋zeq\o(OC,\s\up6(→))，点O在平面ABC外，∴eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))不共面，∴x＝1－m－n，y＝m，z＝n，∴x＋y＋z＝1.做一做：判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若向量a，b，c共面，则表示这三个向量的有向线段所在的直线共面．(×)(2)若点P，M，A，B四点共面，则存在唯一的有序实数对(x，y)，使eq\o(MP,\s\up6(→))＝xeq\o(MA,\s\up6(→))＋yeq\o(MB,\s\up6(→)).(×)(3)对于空间的任意三个向量a