初中数学勾股定理典型练习题(附答案)

初中数学勾股定理练习题(附答案)

［例1］若AABC三边长满足下列条件，判断^ABC是不是直角三

角形？若是，请说明哪个教角是直角.

(1)BC=1,AB=1fAC=1;

(2)AABC中，NA,NB,NC所对的边分别为a,b,c,a=n2-

1,b=2n,c=n2+l(n>1)

【例2］如果MBC的三边分别为a、b、c,且满足

a2+b2+c2+50=6a+8b+10c,判断AABC的形状。

［例3］如图,AACB和AECD都是等腰直角三角形，zACB=z

ECD=90°,D为AB边上一点。

(1)求证:AACE^ABCD;(2)若AD=5,BD=12,求DE的长。

A

E,

CB

【例4】观察下列等式：32+42=52”2+122=132;

72+242=252;92+402=412…按照这样的规律，第七个等式是:

【例5】如图,已知在正方形ABCD中,F为DC的中点,E为CB的四

等分点且CB=4CE.求证：AF±FE.

【例6】如图，已知SBC中/C=90°,D为AB的中点,E、F分别在

AC、BC上，且DE±DF.求证:AE2+BF2=EF2.

课堂同步练习

一、选择题：

1、若线段a,b,c组成Rf,则它们的比可能为（）

A.2:3:4B.3:4:6C.5:12:

13D.4:6:7

2、AABC中NA、NB、NC的对边分别是a、b、c,下列命题中的

假命题是（）

A.如果NC-NB=NA，贝必ABC是直角三角形

B.如果c2=b2-a?,则AABC是直角三角形，且4=90°

C如果（c+a）（c-a）=b2,则3BC是直角三角形

D.如果NA:ZB:ZC=5:2:3,则^ABC是直角三角形

3、AABC的三边为a、b、c,且（a+b）（a-b）=c2,则（）

入△ABC是锐角三角形B.c边的对角是直角

C.AABC是钝角三角形D.a边的对角是直角

4、下列命题中，其中正确的命题的个数为（）

①RfABC中，已知两边长分别为3和4,则第三边长为5;②有

一个内角与其他两个内角的和相等的三角形是直角三角形；③三角

形的三边分别为a,b,c,若a2+c2=b2,贝吐C=90°;④在SBC

中,NA:NB:NC=1:5:6,则AABC是直角三角形.

A.1个B.2个C.3

个D.4个

5、如图，在由单位正方形组成的网格图中标有AB、CD、EF、GH

四条线段，其中能构成一个直角三角形的线段是（）

A.CD、EF、GHB.AB、CD、GHCAB、EF、

GHD.AB、CD、EF

6、如图,四边形ABCD中,zB=zD=90°,zA=45°,AB=3,

CD=1,贝!|BC的长为（）

A

A.3B.2C.i+MD.3-亚

7、如图，有一块地ABCD,已知AD=4米，CD=3米/

ADC=90°,AB=13米BC=12米，则这块地面积为（）

A.60米2B.48米2C.30米2D.24米2

8、在AABC中,zC=90°,c2=2b2,则两直角边a,b的关系是

）

A.a<bB.a>b

C.A=bD.以上三种情况都有可能

9、已知a,b,c为SBC的三边长，且满足a2c2--

b4,判断SBC的形状（）

A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形

D.等腰三角形或直角三角形

10、已知：在AABC中，NA、NB、NC的对边分别是a、b、c,

满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c.试判断AABC的形状

（）o

A.直角三角形B.等腰三角形C.锐角三角形D.钝角

三角形

11、如图，在5x5的正方形网格中，以AB为边画直角△ABC,使

点C在格点上，满足这样条件的点C的个数（）

A.6B.7C.8D.9

12、如图尸是等边三角形ABC内的一点，连结PA,PB,PC,以BP为

边作NPBQ=60°,且BQ=BP,连结CQ.若PA:PB:PC=3:4:5,连结

PQ,试判断Apac的形状()

A.直角三角形B.等腰三角形C.锐角三角

形D.钝角三角形

二、填空题：

13、有四个三角形，分别满足下列条件：

(1)一个内角等于另外两个内角之和；

(2)三个内角之比为3:4:5;

(3)三边之比为5:12:13;

(4)三边长分别为7、24、25.

其中直角三角形有个.

14、在AABC中，a、b、c分别是NA、NB、NC的对边，

①若a2+b2>c2,则NC为;

②若a2+b2=c2,贝!!NC为;

③若a2+b2<c2,则NC为.

15、已知一个三角形的三边长分别是12,16,20,则这个三角形

的面积为

16、如图，D为MBC的边BC上一点，已知AB=13,AD=12,

AC=15,BD=5,贝！］BC的长为.

17、已知a、b、c是AABC的三边长，且满足关系式77不了

+|a-b|=O,则AABC的形状为

18、如图,AB=5,AC=3,BC边上的中线AD=2,贝！］SBC的面

积为

19、如图，由四个边长为1的小正方形构成一个大正方形，连接小

正方形的三个顶点，可得到AABC,贝（hABC中BC边上的高

20、如图，AABC是边长6cm的等边三角形，动点P、Q同时从

A、B两点出发，分别在AB、BC边上均速移动，它们的速度分别

为当点到达点时，、两点停止

Vp=2cm/s,VQ=lcm/s,PBPQ

运动，设点P的运动时间为ts,则当t=s时,WBQ为直角

三、简答题：

21、如图，有一块地，已知AD=4m,CD=3m/

ADC=90°,AB=13m,BC=12m.求这块地的面积。

22、如图,是一块四边形绿地的示意图，其中AB长为24米,BC长

15米,CD长为20米,DA长7米,4=90°.求绿地ABCD的面积.

B

23、已知AABC三边长a,b,c满足a2+b2+c2-12a-16b-

20c+200=0,请判断AABC的形状并说明理由.

24、已知:△ABC的三边分别为m2-n2,2mn,m2+n2（m,n为正整

数且m>n）,判断3BC是否为直角三角形.

25、如图,已知一块四边形草地ABCD,其中NA=45°/B=N

D=90°,AB=20m,CD=10m,求这块草地的面积.

26、在甲村至乙村的公路有一块山地正在开发，现有一C处需要爆

破.已知点C与公路上的停靠站A的距离为300米，与公路上的

另一停靠站B的距离为400米，且CA_LCB,如图所示.为了安全

起见，爆破点C周围半径250米范围内不得进入，问在进行爆破

时，公路AB段是否有危险而需要暂时封锁？请通过计算进行说

明.

勾股定理逆定理同步测试题

1、下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是（）

A.6,8,10B.5,12,13C.1,2,3D.9,12,15

2、五根小木棒，其长度分别为7,15,20,24,25,现将他们摆

成两个直角三角形，其中正确的是（）

3、三角形的三边长为a,b,c,且满足（a+b）2=c2+2ab,则这

个三角形是（）

A.等边三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.锐角

三角形

4、若AABC的三边a、b、c,满足（a-b）（a2+b2-c2）=0,

则38（：是（）

A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰三角形或直角

三角形D.等腰直角三角形

5、下列说法中，不正确的是（）

A.三个角的度数之比为1:3:4的三角形是直角三角形B.三个

角的度数之比为3:4:5的三角形是直角三角形

C.三边长度之比为3:4:5的三角形是直角三角形D.三边

长度之比为5:12:13的三角形是直角三角形

6、有长度为9cm、12cm、15cm、36cm、39cm的五根木棒，可

搭成（首尾连接）直角三角形的个数为（）

A.1个B.2个C.3

个D.4个

7、有下列判断:①△ABC中，*।-=-，则AABC不直角三角形；

②SBC是直角三角形，一「=9。，则1+0③3BC中，

厂「=,贝！]^ABC是直角三角形；④若AABC是直角三角形，贝!]

（a+b）（a-6）=ca,正确的有（）

A、4个B、3个C、2

个D、1个

8、如图,矩形ABCD中，AB=3,AD=1,AB在数轴上，若以点

A为圆心，对角线AC的长为半径作弧交数轴于点M,则点M表

示的数为（）

-1012MA

9、如图，有一块地，已知AD=4米,CD=3米,NADC=90°,AB=13

米,BC=12米很!J这块地的面积为（）

A.24平方米B.26平方米C.28平方

米D.30平方米

10、在下列条件中：①在SBC中,NA:NB:NC=L2:3;②三角形三

边长分别为32,42,52;③在△ABC中，三边a,b,c满足（a+亡

）（a-b）=c2;④三角形三边长分别为m-l,2m,m+l（m为大于

整数）,能确定AABC是直角三角形的条件有（）

A.1个B.2个C.3

个D.4分

U、在AABC中，如果(a+b)(a-b)=c2,那么n

=90°.

12、若三角形三边分别为6,8,10,那么它最长边上的中线长

13、某住宅小区有一块草坪如图4所示，已知AB=3米，BC=4

米，CD=12米,

DA=13米，且AB_LBC,这块草坪的面积是。

14、若一个三角形的三边长分别为1、a、

8（其中a为正整数），则以a-2、a、a+2为边

的三角形面积为.

15、在AABC中，若其三条边的长度分别为9、12、15,则以两分

这样的三角形所拼成的长方形的面积是_______.

、如图,oo为

16RtSBCt|ifzACB=90,zABC=60,BC=2cm,DBC

的中点，若动点E以lcm/s的速度从A点出发，沿着A-B-A的方

向运动，设E点的运动时间为t秒，连接DE,当ABDE是直角三角形

时,t的值

17、如图,一块地，已知AD=4m,CD=3m/

ADC=90°,AB=13m,BC=：L2m.求这块地的面积。

18、如图，已知NADC=90。，AD=8,CD=6,AB=26,

BC=24.

(1)证明：△ABC是直角三角形.(2)请求图中阴影部分的面

积.

19、如图，在^ABC中,NABC=45°,CD_LAB,BE_LAC,垂足分别为

D、E.F为BC中点,BE与DF.DC分别交于点G,H,zABE=N

CBE.(1)求证：BH=AC;(2)求证:BG2-GE2=EA2.

20、已知a、b、c为^ABC的三边，且满足a2c2-b2c2=a"b4,试

判断AABC的形状.

解:/a2c2-b2c2=a4-b4,(i)

.(2(a2-b2)=(a2+b2)(a2-b2).②

.c2=a2+b2.③

△ABC是直角三角形.

问：

(1)在上述解题过程中，从哪一步开始出现错误？请写出该步的代

(2)错误的原因为

(3)本题正确的解题过程：

例题答案详解

【例1】解：(1)•.(,)2+12=冷(1)2,，BC2+AC2=AB2..・・

△ABC是直角三角形；

(2)v(n2-1)2+(2n)2=n4+2n2+l=(n2+l)2,..

2

a+b2=c2,是直角三角形.

【例2】解析：由a2+b2+c2+50=6a+8b+10c,得：a2-

6a+9+b2-8b+16+c2-10c+25=0,

222

•.(a-3)+(b-4)+(c-5)=0o

222

「(a-3)>0,(b-4)>0,(c-5)>0o..a=3,b=4,c=5o

...32+42=52,..a2+b2=c2。由勾股定理的逆定理，得A

ABC是直角三角形。

【例3】①通过SAS证明全等②13

【例4】152+1122+1132.

【例5】提示:连结AE,设正方形的边长为4a，计算得出AF,

EF,AE的长，由AF2+EF2=AE2得结论.

【例6］提示:延长FD到M使DM=DF,连结AM,EM.

课堂同步参考答案

1、C2、B3、D4、B5、C6、D7、D8、C9、

D10、A11、C12、A

13、答案为3.

14、①锐角；②直角；③钝角.

15、96

16、14

17、等腰直角三角形

18、6.提示：延长AD到E,使DE=AD,连结BE,可得^ABE

为RS.

19、岁

cc3^x12

20、建石

21、24

22、【解答】解：连接BD.如图所示：

vzC=90°,BC=15米，CD=20米，.•.BD=7BC2+CD2=7152+202

=25（米）;

在SBD中,vBD=25米,AB=24米,DA=7米,

242+72=252,gpAB2+BD2=AD2,

」.△ABD是直角三角形..S四边形ABCD=SAABD+SABCD=/B・BD+4

BC-CD=^x24x7+^xl5x20=84+150=234（平方米）;

即绿地ABCD的面积为234平方米.

、直角三角形

23a=6,b=8,c=10f

24、证明：（w2+（2w»）J=w*-+«*+4WJM

=掰4+%?/+/

=（MJ+»3）3

所以AABC是直角三角形.

25、150m2.提示：延长BC,AD交于E.

26、解：公路AB需要暂时封锁.理由如下：如图，过C作CD_L

AB于D.

因为BC=400米，AC=300米，NACB=90°,所以根据勾股定理

有AB=500米.

因为SAABC=^AB.CD=^BC-AC所以CD=240米.

由于240米＜250米，故有危险，因此AB段公路需要暂时封锁.

同步测试题参考答案

1、C2、C3、C4、C5、B6、B7、C8、C

9、A10、B

U、90°.

12、5.

13、36

14、8提示:7<a<9,/.a=8.

15、1