高中数学用空间向量研究距离、夹角问题专项练习

高中数学用空间向量研究距离、夹角问题专项练习

课1检测二固双基

1.已知直线/过点A(1,-1,2),和/垂直的一个向量为»=(-3,0,4),则P(3,5,0倒/

的距离为()

A.5B.14

八144

C.5D.§

2.若三棱锥P-ABC的三条侧棱两两垂直，且满足南=P2=PC=1,则点P到平面

ABC的距离是()

A.乎B.当

OJ

C.坐oD.当3

3.已知棱长为1的正方体ABCO-AISCOI,则平面ABC与平面AC。之间的距离

为()

A.兴B.当

o3

c"D近

4.已知平面a的一个法向量为n=(-2,-2,1),点A(-1,3,0)在平面a内,则点P(-

2,1,4倒平面a的距离为.

5.如图所示，已知四棱柱A8CD-A^.CiDi是底面边长为1的正四棱柱.若点C到平

_4

面ABIDI的距离药,求正四棱柱ABCD-4SCQ的高.

素养作业•提技能

A组素养自测

一、选择题

1.已知A(0,0,2),3(1,0,2),C(0,2,0),则点A到直线BC的距离为()

A.乎B.1

C.y[2D.2吸

2.两平行平面a,P分别经过坐标原点O和点A(2,l,l),且两平面的个法向量"=(-

1,0,1),则两平面间的距离是()

3c正

AA.2B.2

C.D.3啦

3.如图，正方体ABC。-481Goi的棱长为1,。是平面4囱©口的中心，则。到平

面ABGOi的距离是()

1啦

A-2B-T

C当D.当

4.正方体ABCD-45GG的棱长为a,则点Ci到平面A山。的距离是()

A.坐aB.当a

C.yf3aD.^

5.已知正方体ABCD-ASG。的棱长为2,点E是A面的中点，则点A到直线BE

的距离是()

A妪R适

A•5B-5

2^5

5

二、填空题

9

6.RtAAfiC的两条直角边BC=3,AC=4,PCI平面ABC,PC=^,则点P到斜边AB

的距离是—.

7.棱长为1的正方体ABCD-AIBICIDI中，M,N分别是线段BBi,BQ的中点，则

直线到平面ACD\的距离为.

8.如图,直三棱柱ABC-AiBiG的根!|棱A4产木,在AABC中，ZACB=90°,AC=

HC=1,则点Bi到平面A】BC的距离为.

三、解答题

9.在直三棱柱ABC-A山Ci中,AB=AC=AAi=2,ZBAC=90°,M为8用的中点,

N为BC的中点.

⑴求点M到直线AG的距离；

(2)求点N到平面MAC的距离.

10.四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，附J_平面ABCD,AZ)=248=4,且

与底面ABCD所成的角为45°.求点B到直线PD的距离.

B组素养提升

一、选择题

1.如图，已知长方体ABS-ABCQi,4A=5,AB=12,则直线BC倒平面ABCD

的距离是(

A.5B.8

13

Cl3D.■y

2.如图，已知正方形ABCQ的边长为4,E，尸分别是AB,A。的中点，GC_L平面ABCO,

且GC=2,则点B到平面EFG的距离为（）

A•喘25

11

3.如图，ABCD-EFGH是棱长为1的正方体，若P在正方体内部且满足#=加+；

在+|戏，贝！］P至!的品巨离为（）

4.在正四棱柱ABCD-AI^CIDI中，底面边长为2，侧棱长为4,则点By到平面ADXC

的距离为（）

,8_

A.§B.―

_4&r4

C.D.

二、填空题

5.如图所示，在直二面角D-AB-E^,四边形ABCD是边长为2的正方形，&AEB

是等腰直角三角形，其中/AE8=90。，则点。到平面ACE的距离为一.

6.棱长为1的正方体ABC。-43GA中，E,F分别为BBi,CC的中点，G为线段

DDi上的点，且£>G=|z)Di,HE,F,G的平面交M于点H,则Ai。到平面EFGH的距

离为一.

7.正方体ABCD-ABiCQi的棱长为4,M,N,E,尸分别为4。，481,B\C\

的中点，则平面AMN与平面EFBD的距离为.

三、解答题

8.四棱锥P-ABCD的底面ABCD是菱形,48=4,NABC=60。,侧棱布，底面ABCD,

且%=4,E是布的中点，求PC与平面BED的距离，并说明直线PC上各点到平面BED

的距离间的关系.

9.如图所示，在四棱锥P-ABCD中，侧面以。，底面ABCD，侧棱以=叨=也，底

面ABCD为直角梯形，其中BC//AD,AB1AD,AD=2AB=2BC=2,问：线段AD上是否

存在一点Q,使得它到平面PCD的距离为乎?若存在，求出脚值；若不存在，说明理

由.

p

答案

裸1检测二固双基

1.已知直线/过点41,-1,2),和I垂直的一个向量为»=(-3,0,4),则P(3,5,O)到I

的距离为(C)

A.5B.14

一144

C.彳D.§

［解析］：成=(-2,-6,2),或"=(-2,-6.2X-3,0,4)=14,|«|=5,

点P到直线/的距离为d=喀11=Y.

2.若三棱锥P-ABC的三条侧棱两两垂直，且满足PA=PB=PC=1,则点P到平面

ABC的距离是(D)

A.*B.当

o5

C乎D.半

o3

［解析1分别以PA1PB尸C所在直线为x轴》，轴z轴建立空间直角坐标系则A(1,0,0),

8(0,1,0),C(0,0,D.

可以求得平面ABC的一个法向量为“=(1,1,1),

则公冬邛.

3.已知棱长为1的正方体ABCO-ASGCi,则平面ABC与平面4G。之间的距离

为(B)

A.乎B

o.夸3

c"D毡

［解析］建立如图所示的空间直角坐标系，则A1(1,0,0),Cl(0,1,0),D(0,0,1),41,0,1),

所以况i=(l,0,-1),Z)?i=(0,l,-1),Ab=(-1,0,0),

IDC

设平面AiCiD的一个法向量为m=(x,y,\),

mLDA\,x-1=0,

贝必即

m±D^t,[>-1=0，

x=1,

解得1故机=(1,1,1),

b,=1-

显然平面ABC〃平面A\C\D,

所以平面ABC与平面4G。之间的距离

,\Abm\1小

公FT=6=3-

4.已知平面a的一个法向量为〃=(-2,-2,1),点4-1,3,0)在平面a内，则点P(-

2,1,4)到平面a的距离为_与_.

[解析1点P到平面a的距离

\P\-n\|-2-4-4|ip

公可=「+4+「至.

5.如图所示，已知四棱柱ABC。-A由iGA是底面边长为1的正四棱柱.若点C到平

4

面ABQ的距离海，求正四棱柱ABC。-4BCQ的高.

［解析］设正四棱柱的高为贴＞0),建立如图所示的空间直角坐标系，有A(0,0,/?),

51(1,0,0),01(0,1,0),C(l,l,B,则晶=(1,0,-h),AI51=(O,1,-h),At=(1,1,0),

y

设平面AB】Oi的法向量为〃=(尤，y,z),

=0,x-hz=0,

则V即v

〃=0,y-hz=0,

取z=1,得n=(h,hf1),所以点C到平面AB\D\的距离为

、.独力+〃+°4

必+户’

解得力=2.

故正四棱柱ABCD-AiBiGG的高为2.

素养作业•提技能

A组•素养自测

一、选择题

1•已知A(0,0,2),5(1,0,2),C(0,2,0),则点A到直线BC的距离为(A)

A.平B.1

C.巾D.2吸

廨析］:A(0,0,2),B(1,0,2),C(0,2,0)，显=(1,0,0)，反'=(-1,2,-2),

•••点A到直线BC的距离为

T硒［鬻卜5W挈

2.两平行平面a,//分别经过坐标原点0和点A(2,l,l),且两平面的一个法向量"=(-

1,0,1),则两平面间的距离是(B)

3。亚

A.2B.2

C.小D.3^2

［解析］:,两平彳丁平面a,£分别经过坐标原点。和点A(2,1,1),OA=(2,1,1),且两平

面的一个法向量n=(-1,0,1),

|-2+0+11、历

两平面间的距离公臂—下一=华.故选B.

3.如图，正方体A8C£>-ASGOi的棱长为1,O是平面A/QOi的中心，则。到平

面A8G9的距离是(B)

1B•乎

A.

c.乎D.坐

［解析1建立坐标系如图,

则A(l,0,0),B(l,l,0),Di(0,0,l),oQ,0-

.,.屈=(0,1,0)，m1=(-1,0,1).

设〃=(1,y,z)是平面ABC1D1的一个法向量，

屈.〃=y=0,

贝小一

A15\n=-1+z=0,

解得y=0,z=1,/./1=(1,0,1).

又况=(；,-1)，

i

点。到平面A8G9的距离为端型=若当•

4.正方体ABCD-A囚GG的棱长为a,则点G到平面A\BD的距离是(D)

A落R通

A•2〃45•3a

C.y［3aD.

［解析］以A为原点，A3,A，A4i所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系，则公】

=(。,a,a),B^\=(0,a,a)，由于AGJ_平面A\BD，所以点G到平面A\BD的距离是^'~

|Ati|

2a22爽44T、生一

=y/3a=^~a'故选口•

5.已知正方体ABCD-AiBiGDi的棱长为2,点E是A出的中点，则点4到直线BE

的距离是(B)

A还R辿

A-5B•5

C智D.半

［解析I建立空间直角坐标系如图所示，则成=(0,2,0)，就=(0,1,2).

设贝

A丽―亚

cos0=------二七.

或品I

sin0=\j1-cos20=,

A到直线BE的距离d=|A^|sin0=.

二、填空题

9

6.RSABC的两条直角边BC=3,AC=4,PC,平面ABC,PC=§,贝(|点P到斜边AB

的距离是.

［解析］以C为坐标原点，。、CB、CP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所

示的空间直角坐标系，则A(4,0,0),2(030),,0,1),

所以办在港上的投影长为回学=竽,

雨

所以点P到A8的距离为

"=[■比用2=\16+||-等=3.

7.棱长为1的正方体ABCD-中，M,N分别是线段BBi,8Q的中点，则

直线MN到平面ACD,的距离为_坐_.

［解析1如图，以。为坐标原点，以DA,DC,。口分别为x,y,z轴建立空间直角坐

标系，则平面AC。的一个法向量为(1,1,1),

,1,,A(1,0,0),

=(。，1,£).

.•.点M到平面AC。的距离

(0,1,'(I,1,1)小

d=<3=2•

•.•疝=短1,MNC平面ACA,；.MN〃平面ACS,

MN到平面ACD\的距离”=半.

8.如图,直三棱柱ABC-AiSG的侧棱原1=小,在AABC中，ZACB=90°,AC=

BC=l,则点Bi到平面A,BC的距离为_坐_.

［解析J如图所示，建立空间直角坐标系，则41,0,0),8(0,1,0),C(0,0,0),4(1,0,小)，

Bi(0,1,小)，G(0,0,小),

.••◎=(-1,1,-®旗=(-1,0,-^3),AT&I=(-1,1,0).

设平面A\BC的法向量为n=(x,y,z),

nA^B=0,-x+y-y［3z=0,

贝u即彳'

”•杭=0,{-x-yl3z=0.

令z=1得x=-小，y=0,二〃=(-小，0,1).

点8国平面AtBC的距离d=峪却=当.

1**1乙

三、解答题

9.在直三棱柱ABC-AIBIG中，A8=AC=AAi=2,NBAC=90°,M为8S的中点，

N为BC的中点.

⑴求点M到直线AG的距离；

(2)求点N到平面MAC的距离.

［解析］⑴建立如图所示的空间直角坐标系，则4(0,0,0),4(0,0,2),M(2,0,1),Ci(0,2,2),

直线AG的f单位方向向量为so=1(),坐，项，翁=(2,0,1),故点M到直线AG的距

_3^2

-2-

(2)设平面M4G的法向量为〃=(x,y,z),

n-Aiti=0,2y=0,

贝从哪.

n-A^Kl=0,l2x-z=0,

取x=1,得z=2,故〃=(1,0,2)为平面MAG的一个法向量，因为ML1,0),所以加二

(-U,-1),故N到平面M4G的距离"=噜叽靠

10.四棱锥P-ABC。中，底面ABC。为矩形，附，平面ABC。，A。=2AB=4,且PO

与底面ABCD所成的角为45°.求点B到直线PD的距离.

［解析1必，平面ABCD,：.ZPDA即为PD与平面ABCD所成的角，

：.ZPDA=45°,：.PA=AD=4,AB=2.

以A为原点,AB.AD,AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如

图所示.

."(0,0,0),8(2,0,0),P(0,0,4),0(0,4,0)，加=(0,-4,4).

方法一：设存在点E,使命=2办,且BELDP,

设E(x,y,z),，(x,y-4,z)=2(0,-4,4),

；・元=0,y=4-42,z=42,

.二点E(0,4-4A,42),Bi=(-2,4-42,44).

:BELDP,

二踮•/=-4(4-44)+4x47=0,解得4=/.

.•.旗=(-2,2,2),

|循=5+4+4=25,

故点B到直线PD的距离为2事.

方法二：£>=(-2,0,4),D>=(0,-4,4),

BP-DP=16,

游在苏上的投影的长度为

~^==2小.

|昉16+16

所以点B到直线PO的距离为

d=NI丽-(2^2)2=,20-8=2小.

B组素养提升

一、选择题

1.如图，已知长方体A8CD-A防C0,4A=5,48=12,则直线31G到平面AbBCG

的距离是(C)

4

A

［解析1以D为坐标原点，箱，比，/血的方向分别为x,y,z轴的正方向建立如图

所示的空间直角坐标系，则C(0,12,0),D>(0,0,5).

,/o

设B(x,12,0),BG,设,5)C#0).设平面AiBCDi的法向量为“=(〃"，c),由nlfit,n

LCf)\,彳导n-lit=(a,b,c)-(-x,0,0)=-ar=0,n-Cf)\=(a,b,c)-(0,-12,5)=-126+5c

=0,.,.a=0,b=得c,，口」取n=(0,5,12).

又盛=(0,0,-5),

.♦.点8倒平面AiBCA的距离为空如=,.

〃平面43Cn,.•.8C国平面48C。的距离为,.

2.如图，已知正方形ABCD的边长为4,E，尸分别是AB,AD的中点，GCL平面ABCD,

且GC=2,则点B到平面EFG的距离为(B)

G

A・嚅

BR-皿11

C-1D.1

［解析1以C为坐标原点，动所在直线为x轴，力所在直线为y轴，仍所在直线为z

轴，建立空间直角坐标系，

则F(4,2,0),£(2,4,0),G(0,0,2),仇0,4,0),

.•.品=(2,0,0),成=(-2,2,0),£&=(-2,-4,2).

设平面EFG的法向量为m=(x,y,z),

mFt,-0,-2x+2y=0,

则即

m-E^j=0,-2x-4y+2z=0.

令x=1,则1,z=3,则m=(1,1,3)，

...点B至IJ平面EFG的距离d=需1=呼.

3.如图，ABCD-EFGH是棱长为1的正方体，若P在正方体内部且满足#=涧+；

万方+|掂，贝!JP至IJAB的品巨离为(C)

A♦！

Cl

［解析］如图，分别以AB.AD.AE所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系，油,

Al),普可作为x,)，，z轴方向上的单位向量,

因为犷二，霜+^Ab+,

所1,D,屈=(1,0,0),,

4.在正四棱柱ABC。-ABQOi中，底面边长为2，侧棱长为4,则点B,到平面ADiC

的距离为(A)

A.|B答

C.乎D.|

［解析］如图，以。为原点,DA,DC,DDy分别为x轴，)•轴，二轴，建立空间直角坐

标系，则A(2,0,0),C(0,2,0),A(0,0,4),5(2,2,4),，〃=(-2,2,0),A^i=(-2,0,4),fiT&i

设平面ADC的法向量为〃=(x,y,z),

n-At=0,-2x+2y=0,

则彳即，

«^=0,[-2x+4z=0,

取z=1,则x=y=2,所以"=(2,2,1),

所以点囱到平面AAC的距离铲呼11=?，故选A.

二、填空题

5.如图所示，在直二面角D-AB-E^,四边形ABCD是边长为2的正方形，&AEB

是等腰直角三角形，其中/AEB=90。，则点。到平面ACE的距离为_芈_.

［解析1取AB的中点。，连接0E,以0为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标

系。-孙z,则A(0,-1,0),E(1,O,O),£>(0,-1,2),C(0,l,2),At)=(0,0,2),Afe=(1,1,0),At

=(0,2,2),设平面ACE的法向量为〃=(x,y,z),则

n-A&=0,x+y=0,

即<

n.At=0,⑵，+2z=0,

令产I,则平面ACE的f法向量为(-1,1,-1).

故点。到平面AC£的距离，/=|察|==半.

6.棱长为1的正方体ABCQ-ASGA中，E,F分别为BBi,CC的中点，G为线段

DDt上的点，且OG=,过E,F,G的平面交M于点H，则AQ倒平面EFGH的距

离为一嚼二.

［解析］以点D为坐标原点，直线D4,QC,DDt分别为x轴，》轴，z轴建立空间直

角坐标系，如图所示.

则E(1,1,,《0,1,,G(0,0,,Di(0,0,l),4(1,0,1)，，或=(-1,0,0),而

=(0,-1,J),办=(1,0,0),

：.D^i//Ep.又"/七平面EFGH,OAC平面EFGH,

.♦.ZMi〃平面EFGH.Di到平面EFGH的距离，

即为点Di到平面EFGH的距离.

设平面EFGH的T法向量为"=(x,y,z),

"•或=0,卜x=0，

则彳即J1

n•而=0,卜+0=。，

令z=6,则y=-1,，”=(0,-1,6),

”的单位向量〃。=(0,-备，揖，

又：加=(0,1,-,

...点D,到平面EFGH的距离d=\DiF-nn\

=|(0,1,

/M1D1到平面EFGH的距离为嚼.

7.正方体A5CD-A向CQi的棱长为4,M,N,E,尸分别为4G,AB,3

Q

的中点，则平面AMN与平面EFBD的距离为.

［解析］如图所示，建立空间直角坐标系Dxyz,

则4(4,0,0),M(2,0,4),0(0,0,0),2(4,4,0),E(0,2,4)，尸(2,4,4),N(4,2,4)..•.存=(2,2,0),

疝=(2,2,0),破=(-2,0,4),BP=(-2,0,4),

:.EP=MK,泳=磁,

:.EF//MN,BF//AM,EFCBF=F,MNCAM=M.

二平面AMN〃平面EFBD.

设"=(x,y,2)是平面AMN的法向量，

n-M^l=2x+2y=0,x=2z,

则解得

n-A^I=-2x+4z=0,[y=-2z-

取z=l,则x=2,y=-2,得〃=(2,-2,1).

平面AMN到平面EFBD的距离就是点B到平面AMN的距离.

•.•屈=(0,4,0),

，平面AMN与平面EFBD间的距离d=喀=1.

三、解答题

8.四棱锥P-ABCD的底面ABCD是菱形,AB=4,ZABC=60°，侧棱以，底面ABCD,

且%