临沂大学《概率论与数理统计》期末考试试题及答案解析（AB卷四套）

订线装临沂大学2022－2023学年度第二学期《概率论与数理统计》试题(A卷)答案填写在横线上面).1.已知P(A)=P(B)=0.8，则P(AB)可取最小值为.l0,其他.一二三四一二三四3.设随机变量(X,Y)的联合密度函数为f(x,y)=〈则概将所选项前的字母填写在题后方括号内).4.设X1,X2,,Xn是取自参数为λ的指数总体X将所选项前的字母填写在题后方括号内).1.设A,B为两个随机事件,且B坚A,P(B)>0,则P(A|B)=【】2.设随机变量X~N(1,2),分布函数为F(x),则下列选项正确的是【】(A)1.设A,B为两个随机事件,且B坚A,P(B)>0,则P(A|B)=【】2.设随机变量X~N(1,2),分布函数为F(x),则下列选项正确的是【】(A)P(X<0)=P(X>0)；(B)F(x)=1−F(−x),x为任意实数；3.设X服从二项分布B(n,p),若E(X)=12,D(X)=6,则【】1.设A,B是两个事件,已知P(A)=0.5,P(B)=0.7,P(AUB)=0.8,求：(1)P(A−B)及P(B−A);(2)P(B|A).134.设X1,X2,,Xn为总体X~N(μ,σ2)的一个样本,μ未知,σ2已知，则下(A)Xi；(B)Xi2；(C)()2；(D)min{X1,,Xn}.5.设X1,X2,,X10为总体X~N(0,4)的样本,则服从【】1 订线装求X的密度 订线装求X的密度函数，并计算P(X<1)和P(X>2).3.设二维随机变量(X,Y)的联合密度函数为设X1,X2,X3为总体X~N设X1,X2,X3为总体X~N(μ,σ2)的样本，证明EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up0(ˆ),μ1)+X2EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up0(ˆ),μ2)=X1+X2+X3都是总体均值μ的无偏估计，并进一步判断哪一个估计有效.0.4，求X2的数学期望E(X2).2一二三1.设P(A)=0.2,P(A不B)=0.3，且A与B互不相容，则P(B)=0.1。EQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up4(2),1)EQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up4(2),2)EQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up4(2),6)l0,其它l0,其它(A)ABC(B)C(C)ABC(D)AB4.设随机变量X的分布律为X1234，则常数a+b=P0.20.1+a0.4+b0.15.设X1,X2,X3为取自正态总体N(μ,σ2)的一个简单随机样本，其中σ未知，μ(D)X1(A)X1+X3(B)max(X1,X2,X3(D)X1 34FY只数，以Y表示取到白球的只数，求X与Y的联合分布律。Y\X012CEQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up5(2),CEQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up5(2),4)/CEQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up5(2),6)0000CEQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up5(2),2)/CEQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up5(2),6)02CEQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up5(1),4)CEQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up5(1),2)/CEQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up5(2),6)20Y\X01200000220λ>0，求E(X),D(X)。4.设随机变量X的概率密度为f(x)=〈(λeλ>0，求E(X),D(X)。l0,其他E(X)=xf(x)dx=xλe−λxdx=λ…..…..5分E(X2)=x2f(x)dx=x2λe−λxdx=λ+λ2…………..…..2分5.设二维随机变量(X,Y)在区域D={(x,y)x>0,y>0,x+y<1}上服从(2,(x,y)eD（1）(X,Y)的概率密度为f(x,y)=〈，则EQ\*jc3\*hps24\o\al(\s\up8(0<x),其它)由X和Y在联合密度函数中的对称性，可知fY(y)=〈l0,其他观测值，其中θ为未知参数，求θ的矩估计和最大似然估计。 EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up5(ˆ),θ)nEQ\*jc3\*hps24\o\al(\s\up5(ˆ),θ)特别提示：自信考试诚信做人特别提示：自信考试诚信做人一二三2．连续型随机变量X的概率密度函数f(x)不具有的性质是【】EQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up9(b),a)f(x)dx.3．设X和Y是两个随机变量，且E(X)=2,E(Y)=1，则E(3X一Y)=【】4.设X和Y为两个相互独立的随机变量，则下列错误的是【】5.设X1,X2,,Xn为来自总体N(μ,σ2)的简单随机样本，X为样本均值，S2=(Xi一X)2 Xμ S/n2．设随机变量X的分布律为X的分布函数为F(x)，则F(1.5)=.3．设随机变量(X,Y)的概率分布为02X02Y 48 0618则P{X=Y}=.4．X和Y为两个相互独立的随机变量,且D(X)=4,D(Y)=1，则由方差的性质可得D(2X+Y)=.5．随机变量X~N(0,1),Y~N(0,4)，且相互独立，设Z=X2+，则者不得分.5特别提示：自信考试诚信做人特别提示：自信考试诚信做人1.已知P(A)=P(B)=0.6,P(AB)=0.8，计算P(A|B),P(B|A)4.设二维随机变量X服从区间(0,1)上的均匀分布.(1)求Y=3X+1的概率密度;(2)求E(Y),D(Y).特别提示：自信考试诚信做人YX特别提示：自信考试诚信做人YX5.已知二维离散型随机向量(X,Y)的概率分布为求:(1)求Z=X+Y的概率分布;(2)Cov(X,Y).6.设总体X服从指数分布,其概率密度函数其中λ>0是未知参数.x1,x2,,xn是来自总体X的样本观察值,求参数λ71其他0其他其他0其他临沂大学2023－2024学年度第二学期《概率论与数理统计》试题（B卷）参考答案及评分标准 （1）P(AB)=P(A)P(B)=0.70.8=0.56；……4分 （1）P(A|B)=P(A)=0.7；……6分（2）P(AB)=P(A)+P(B)−P(AB)(1)X的密度函数为1 f(x)=F(x)=4……3分0,其他442(3)E(X2)=x2f(x)dx=15dx=……10分2或E(X2)=D(X)+[2nndlnL()ddlnL()dxixi(x,y)dy=EQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up13(1),0)4xydy0fX(x,y)dy=EQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up13(1),0)4xydy0fX(x)=ffY(y)=f(x,y)dx=EQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up16(1),0)4xydx其y1=EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up8(2),0)y0EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up8(y),他)1……8分(2)因为f(x,y)=fX(x)fy(y)，故X与Y相互独立……10分P(AB)=P(AB)=1−P(AB)……4分所以P(AB)−P(AB)=1−[P(A)+P(B)]，……8分从而P(AB)=P(AB)P(A)+P(B)=1……10分16．证X~b(1,p),从而E(X)=p,E(Xi)= nn(1)E(EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up2(ˆ),p))=E(X)=E(nXi)=nE(Xi)=p故EQ\*jc3\*hps24\o\al(\s\up0(ˆ),p)是p的无偏估计.……7分因为E(X)=p，D(X)=，从而p2(2)E(EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up0(ˆ),p)2)=E(X2)=D(X)+[E(X)]2=+p2p2故EQ\*jc3\*hps24\o\al(\s\up0(ˆ),p)2不是p的无偏估计.……7分临沂大学2022－2023学年度第二学期《概率论与数理统计》试题（A卷）参考答案及评分标准1．解注意到P(AUB)=P(A)+P(B)−P(AB)，……2．解由分布函数F(x)与密度函数f(x)的关系，可得在f(x)的一切连续点处有−23．解（1）关于X的边缘密度函数fX(x)=EQ\*jc3\*hps14\o\al(\s\up5(m),m)f(x,y)dy=〈12e−(3x+4y)dy,EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up6(x>0),其他)fY(y)=4e−4y,其他4．解4．解故E5.解记总体指标为X，则有22证明E(EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up1(ˆ),μ1))=EX1+X2+X3=E(X1)+E(X2)+E(X3)（6（6E(EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up1(ˆ),μ2))=EX1+X2+X3=E(X1)+E(X2)+E(X3)EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up0(ˆ),μ)EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up0(ˆ),μ)EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up1(ˆ),μ1))+D(X2)+D(X3)18σD(EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up1(ˆ),μ2))=DX1+X2+X3=D(X1)+D(X2)+D(X3)=25D(X)=25σ2……9EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up0(ˆ),μ)EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up0(ˆ),μ)EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up0(ˆ),μ)CEQ\*jc3\*hps14\o\al(\s\up5(0),4)CEQ\*jc3\*hps14\o\al(\s\up5(2),2)CEQ\*jc3\*hps14\o\al(\s\up5(1),4)CEQ\*jc3\*hps14\o\al(\s\up5(1),2)CEQ\*jc3\*hps14\o\al(\s\up5(2),4)CEQ\*jc3\*hps14\o\al(\s\up5(0),2)182……10分CEQ\*jc3\*hps14\o\al(\s\up5(2),6)CEQ\*jc3\*hps14\o\al(\s\up5(2),6)CEQ\*jc3\*hps14\o\al(\s\up5(CEQ\*jc3\*hps14\o\al(\s\up5(2),6)CEQ\*jc3\*hps14\o\al(\s\up5(2),6)CEQ\*jc3\*hps14\o\al(\s\up5(2),6)15155FYf(x)dx=kxdx+2-dx=+牵k=……5分5dxx2f(x)dx=0.5x2dx=，D(X)=E(X2)-[E(X)]2=.EQ\*jc3\*hps14\o\al(\s\up8(父),父)f(x,y)dxdy=dx∫EQ\*jc3\*hps14\o\al(\s\up8(4),2)k(6-x-y)dy=8k,故k=……5分(2)fX(x)=f(x,y)dy=〈EQ\*jc3\*hps24\o\al(\s\up15(1),8)(6-x-y)dy,0EQ\*jc3\*hps24\o\al(\s\up7(<x<),其他)2……10分 EQ\*jc3\*hps24\o\al(\s\up4(ˆ),θ)nEQ\*jc3\*hps24\o\al(\s\up6(ˆ),θ)装装订线 22．设随机变量X的分布律为X的分布函数为F(x)，则F(1.5)=0.7.3．设随机变量(X,Y)的概率分布为5.设X1,X2,,Xn为来自总体N(μ,σ2)的简单随机样本，X为样本均值，一二三1．如果事件A、B，有B一A，则下述结论正确的是【C】X(A)A与B必同时发生;(B)A发Y 4 4 8 4 4 8 02．连续型随机变量X的概率密度函数f(x)不具有的性质是【A】则P{X=Y}=3/8.EQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up9(b),则P{X=Y}=3/8.3．设X和Y是两个随机变量，且E(X)=2,E(Y)=1，则E(3X一Y)=【B】4．X和Y为两个相互独立的随机变量,且D(X)=4,D(Y)=1，则由方差的性质可得D(2X+Y)=17.5．随机变量X~N(0,1),Y~5．随机变量X~N(0,1),Y~N(0,4)，且相互独立，设Z=X2+，则者不得分.(A)E(X+Y)=E(X)+E(Y);(B)D(X+Y)=D(X)+D(Y);S2=(Xi一X)2 XμS/【C】装装订线 1.已知P(A)=P(B)=0.6,P(AB)=0.8，计算P(A|B),P(B|A) EQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up10(.5),5)EQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up10(.5),5)P(AB)=P(A)+P(B)一P(AB)可得P(AB)=0.,……………4分P(A|B)=P(AB)=0.4=2.………………7分 P(AB) P(AB)P(B)一P(AB)0.6一04.设二维随机变量X服从区间(0,1)上的均匀分布.(1)求Y=3X+1的概率密度;(2)求E(Y),D(Y).解法一4.设二维随机变量X服从区间(0,1)上的均匀分布.(1)求Y=3X+1的概率密度;(2)求E(Y),D(Y).解法一(1)显然X的概率密度函数为l0,其它.设Y的概率密度函数为fY(y),因为Y=3X+1是区间(0,1)上单调增函数,且当X=(0,1)时Y=(1,4),其反函数为X=Y1,…………4且当X=(0,1)时Y=(1,4),其反函数为X=Y1,…………4分3B于是当Y=(1,4时,有fY(y)=fX(yEQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up7(一),3)1).yEQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up7(于是当Y=(1,4时,有fY(y)=fX(yEQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up7(一),3)1).yEQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up7(一),3)1,=,其它情况都有P(A)=P(Bi)P(A|Bi)=0.3x0.02+0.2xEQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up1(3),0)EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up10(<y<),其它)(2)由(1)知Y服从区间(1,4)上的均匀分布,于是装装订线 D(Y)=E(Y2)-[E(Y)]2=21253 344.5.已知二维离散型随机向量(X,Y)的概率分布为YX(2)XEQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up7(1),0)EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up7(,),,)EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up7(<x),其)EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up7(<),它)EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up7(1),0)EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up7(,),,)EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up7(<x),其)EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up7(<),它)Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=0.1-0.15=-0.05…………10分当y=(1,4)当y=(1,4)时,有(y-1)(y-1)fX(x)dx==y-…………4分(1EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up3(，),Y)EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up2(3),0)其中λ>0(1EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up3(，),Y)EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up2(3),0)其它.xi其它其它.xi其它(2)由(1)知Y服从区间(1,4)上的均匀分布,于是(2)由(1)知Y服从区间(1,4)上的均匀分布,于是大值点,对其取对数lnL1(x1,x2,,xn;λ)=nlnλ-λxi………7分iEQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up0(ˆ),λ)xi求:(1)求Z=X+Y的概率分布;(2)Cov(X,Y).解(1)Z=X+Y总共取三个值,分别是1,1,《概率论与数理统计》试题(B卷)一二三四(C)a2f(x)=〈,,EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up8(x=I,),x生I)是随机变量X的概率密度,则区间I是【3.设随机变量X,Y不相关,则下列结论正确的是(C)D(X−Y)=D(X)−D(Y)；(D)D(X+Y)=D(X)+D(Y).4.设总体X~N(0,1),X1,X2,X3是来自总体X的样本,则下列统计量中错误的是【X1(A)XEQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up5(2),1)+XEQ\*jc3\*hps13\o\a