高考高中数学必考：立体几何外接球与内切球相关知识点总结

高中数学必考：立体几何外接球与内切球相关知识点总结

空间几何体的外接球与内切球

一、有关定义

1.球的定义：空间中到定点的距离等于定长的点的集合（轨迹）叫球面，简称球。

2.外接球的定义：若一个多面体的各个顶点都在一个球的球面上，则称这个多

面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球。

3.内切球的定义：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个多面

体是这个球的外切多面体，这个球是这个多面体的内切球。

二、外接球的有关知识与方法

1.性质：

性质1：过球心的平面截球面所得圆是大圆，大圆的半径与球的半径相等；

性质2：经过小圆的直径与小圆面垂直的平面必过球心，该平面截球所得圆是大

圆；

性质3：过球心与小圆圆心的直线垂直于小圆所在的平面（类比：圆的垂径定理）;

性质4：球心在大圆面和小圆面上的射影是相应圆的圆心；

性质5：在同一球中，过两相交圆的圆心垂直于相应的圆面的直线相交，交点是

球心（类比：在同圆中，两相交弦的中垂线交点是圆心）.

初图1初图2

2.结论：

结论1：长方体的外接球的球心在体对角线的交点处，即长方体的体对角线的中

点是球心；

结论2：若由长方体切得的多面体的所有顶点是原长方体的顶点，则所得多面体

与原长方体的外接球相同；

结论3：长方体的外接球直径就是面对角线及与此面垂直的棱构成的直角三角形

的外接圆圆心，换言之，就是：底面的一条对角线与一条高（棱）构成的直角三角

形的外接圆是大圆；

结论4：圆柱体的外接球球心在上下两底面圆的圆心连一段中点处；

结论5：圆柱体轴截面矩形的外接圆是大圆，该矩形的对角线（外接圆直径）是球

的直径；

结论6：直棱柱的外接球与该棱柱外接圆柱体有相同的外接球；

结论7：圆锥体的外接球球心在圆锥的高所在的直线上；

结论8：圆锥体轴截面等腰三角形的外接圆是大圆，该三角形的外接圆直径是球

的直径；

结论9：侧棱相等的棱锥的外接球与该棱锥外接圆锥有相同的外接球.

3.终极利器：勾股定理、正弦定理及余弦定理（解三角形求线段长度）；

三、内切球的有关知识与方法

1.若球与平面相切，则切点与球心连线与切面垂直。（与直线切圆的结论有一致性）

2.内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面体各顶点的距离均

相等。（类比：与多边形的内切圆）

3.正多面体的内切球和外接球的球心重合。

4.正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不一定重合。

5.基本方法：

⑴构造三角形利用相似比和勾股定理；

⑵体积分割是求内切球半径的通用做法（等体积法）.

四、八大模型

类型一、墙角模型（三条棱两两垂直，不找球心的位置即可求出球半径）

方法：找三条两两垂直的线段，直接用公式（2火）2=。2+〃+/,即

2R=^]a2+b2+c2,求出火

例1（1）已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为4,体积为16,则这个球

的表面积是（C）

A.16%B.20%C.24万D.32%

解：V=a~h=16,。=2,4火2=a?+a2+=4+4+16=24,3=24乃，选C;

⑵若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为百，则其外接球的表面积是

9万

解：4火之=3+3+3=9,S=4兀R?=9兀；

（3）在正三棱锥S-48「中，M、N分别是棱SC、BC

的中点，且4Ml脑V，若侧棱SA=273，则正三棱锥

S-ABC外接球的表面积是_______.36%

解：引理：正三棱锥的对棱互相垂直.证明如下：如（3）题・1（引理）

图(3)-1,取初潭「的中点。连接4瓦AE,CD交于H,连接S”,则〃

是底面正三角形48。的中心,

SH1平面ABC,SH1AB,

AC=BC,AD=BD,CD1AB,.•.481平面81刀，

ABISC,同理：灰'1SZ,ACLSB,即正三棱锥的对棱互垂直,

本题图如图(3)-2,AM1MN、SB//MN,

AMLSB,­/AC1SB,SB1平面SAC,

SBISA,SB1.SC,;SBISA,8cls4,

341平面SBC，,SA1SC,

故三棱锥S—ABC的三棱条侧棱两两互相垂直,(3)题-2(解答图)

(2/?)2=(273)2+(2V3)2+(2V3)2=36,即4H2=36,.•.正三棱锥8—48('外接

球的表面积是36兀.

(4)在四面体S—中，S4J,平面/BC,N8/C=120°,52=40=2,48=1,则该

四面体的外接球的表面积为(D)

…nr"0c40

411〃B.IKC.—7tD.—兀

33

解：在AJ8C中，BC2=AC2+AB2-2AB-BC-cos1200=7,BC=近，MB。的

BC_V?_277

外接球直径为

sin一百一西

2

40。40乃

(2R)2=(2r)2+SA2=+4=—,5=----选D

33

(5)如果三棱锥的三个侧面两两垂直，它们的面积分别为6、4、3,那么它的外

接球的表面积是

解：由已知得三条侧棱两两垂直，设三条侧棱长分别为。力,c(a,acc火+),则

ab=\2

，bc=8,abc=24,/.a=3,6=4,c=2,(27?)2=a2+b2+c2=29,

ac=6

S=4成2=29%,

(6)已知某几何体的三视图如图所示，三视图是腰长为1的等腰直角三角形和边长

为1的正方形，则该几何体外接球的体积为

解:(2R)2=a2+b2+c2=3,R2=-,R=—

42

4炉435/3V3

Kr/o=一#=一冗----——71.

类型二、对棱相等模型（补形为长方体）

题设：三棱锥（即四面体）中，已知三组对棱分别相等，求外接球半径

AD=BC,AC=BD）

第一步：画出一个长方体，标出三组互为异面直线的对棱；

第二步：设出长方体的长宽高分别为a,b,c,AD=BC=x,

AB=CD=y,AC=BD=z,列方程组，

a2+b2=x2

……广，

<b~+c2=y2=>RR)?=a2+力

c2+a2=z2

补充：图2-1中，V_=ahc——abcx4=-abc.--------

ABCD63图2-1

第三步根据墙角模型

222722222

2R=y/a2+b2+c心匚求出

R.

思考：如何求棱长为1的正四面体体积，如何求其外接球体积？

例2(1)如下图所示三棱锥A-BCD，其中AB=CD=5,AC=BD=6,AD=BC=7,

则该三棱锥外接球的表面积为.

解：对棱相等，补形为长方体，如图2-1,设长宽高分别为。，“c,

2(a2+Z>2+c2)=25+36+49=110,a2+b2+c2=55,4R2=55,S=55%

(I)翘图

(2)在三棱锥力―BCZ)中，AB=CD=2,AD=BC=3,AC=BD=4,则三棱锥

29

A-BCD外接球的表面积为.—n

2

解：如图2-1,设补形为长方体，三个长度为三对面的对角线长，设长宽高分别

为a,b,c,则/+方2=9,

b2+c2=4,c2+a2=162(a2+/>2+c2)=9+4+16=29,

2(/+/+/)=9+4+16=29,

2/2929e29

dT+b~+c2=—,47?=—S=—TC

2292

(3)正四面体的各条棱长都为五，则该正面体外接球的体积为

解：正四面体对棱相等的模式，放入正方体中，2火=6,,

2

r/4373V3

V——7t-------=兀

382

（4）棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面

如下图，则图中三角形（正四面体的截面）的面积是___________.

解：如解答图，将正四面体放入正方体中，截面为面积是7L

类型三、汉堡模型（直棱柱的外接球、圆柱的外接球）

图3-1图3-2图3-3

题设：如图3-1,图3-2,图3-3.直三棱柱内接于球（同时直棱柱也内接于圆柱,

棱柱的上下底面可以是任意三角形）

第一步：确定球心。的位置，a是A48C的外心，贝IjoqJ_平面48C；

第二步：算出小圆a的半径力«=r，0a=344="（44=。也是圆柱的高）;

第三步：勾股定理：042=。/+，02n宠2=（g）2+〃2n火=/2+§2,解出

R

例3（1）一个正六棱柱的底面上正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶

点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为？，底面周长为3,则这个球的体积

为___________________

解：设正六边形边长为。，正六棱柱的高为〃，底面外接圆的半径为厂，则。=’,

2

正六棱柱的底面积为S=6・3d）2=述，％=5%=迪6=2,〃=g,

428」88

4/e2=I2+（VI）2=4

也可火2=（乎）2+（；）2=1）,R”球的体积为唳=q；

⑵直三棱柱ABC-A^Q的各顶点都在同一球面上，若

AB=AC=AA1=2,ZBAC=120°,则此球的表面积等于.

解：BC=26，2r==4,r—2,R—y[5,S=20%；

sin120°

（3）已知\EAB所在的平面与矩形ABCD所在的平

面互相垂直，EA—EB-3,A1)—2,Z.AEB—60,

则多面体E-ABCD的外接球的表面积

B

(3)题

解：折叠型,

法一：的外接圆半径为6=6,00{=\,/?=VT+3=2；

2

法二：OXM=——,r2=02D=，A=+=4,R=2,S表=164；

法三：补形为直三棱柱，可改变直三棱柱的放置方式为立式，算法可同上，略.

换一种方式，通过算圆柱的轴截面的对角线长来求球的直径：

(2/?)2=(2V3)2+22=16,S表=16%；

TT

(4)在直三棱柱43C-44G中，AB=4,AC=6,A=^,AAl=4,则直三棱柱

ABC-4耳0的外接球的表面积为.一〃

解:法一：Be?=16+36一2.4.6.；=28,BC=2-/7,2r==11~1

2

„2，4728/400160

/?2=r+(—L)=—+4=—,3表=——不；

233表3

法二：求圆柱的轴截面的对角线长得球直径，此略.

类型四、切瓜模型(两个大小圆面互相垂直且交于小圆直径——正弦定理求大圆

直径是通法)

1.如图4-1,平面24。，平面4/、且43_L3。(即力。为小圆的直径)，且P的

射影是MBC的外心。三棱锥P-ABC的三条侧棱相等o三棱P-ABC的底面

A4a'在圆锥的底上，顶点。点也是圆锥的顶点.

解题步骤：

第一步：确定球心。的位置，取/UH'的外心则三点共线;

第二步：先算出小圆01的半径4Q=，,，再算出棱锥的高POi=h(也是圆锥的高)；

第三步：勾股定理：2=0/2+002=^2=(。一©2+「2,解出R；

事实上，ZU(7的外接圆就是大圆，直接用正弦定理也可求解出R.

2.如图4-2,平面R4C1平面Z8C,且Z313。(即ZC为小圆的直径)，且

PAA.AC,则

利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：

①RA)?=PA2+(2r)2。2R=^PA2+(2r)2；

②&=r+0()：oR="+oq2

3.如图4-3,平面尸NCJ_平面力BC,且18。(即“为小圆的直径)

222

0C=0,C+0020火2=/+002ozc=2荷-002

4.题设：如图4-4,平面产力。J_平面力且(即NC为小圆的直径)

第一步：易知球心。必是A/"C的外心，即A/"C的外接圆是大圆，先求出小圆

的直径/。=2r

第二步：在AP4c中，可根据正弦定理，-=--=，=2火，求出火.

sinAsinBsinC

例4(1)正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为1,底面边长为2百，

则该球的表面积为.

解：法一：由正弦定理(用大圆求外接球直径)；法二：找球心联合勾股定理，

2火=7,S=4成2=494；

(2)正四棱锥S-48(7)的底面边长和各侧棱长都为正，各顶点都在同一球面上,

则此球体积为

解：方法一：找球心的位置，易知r=l"=1,"=「，故球心在正方形的中心4?(7)

47r

处，R=T,V=—

3

方法二:大圆是轴截面所的外接圆，即大圆是ASZC的外接圆，此处特殊，Rt\SAC

的斜边是球半径，2R=2,R=\,V=一

（3）一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球

的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是（）

A*B.3C.8D.立

43412

解：高h=R=\,底面外接圆的半径为火=1,直径为2火=2,

设底面边长为。，则2火=」^=2,a=6,S=%=巫,三棱锥的体积

sin6044

41V3

为nlVz=—Sh=——；

34

（4）在三棱锥P-ABC中，PA=PB="=百，侧棱PA与底面ABC所成的角为

60。，则该三棱锥外接球的体积为（）

解：选D,由线面角的知识，得&45。的顶点4氏。在以r•为半径的圆上，

2

在圆锥中求解，R=T;

⑸已知三棱锥S-4永'的所有顶点都在球。的求面上,ZU8C'是边长为1的正三

角形,为球O的直径，且SC'=2,则此棱锥的体积为（）A

V6,2V6..11V3276V2

解：()O[=R2—r~z~，h=~~~，喉=­—Sh=—•—•--------=-----

类型五、垂面模型（一条直线垂直于一个平面）

1.题设：如图5,产力_L平面求外接球半径

解题步骤：

第一步：将画在小圆面上，4为小圆直径的一个端点，作小圆的直径4。，

连接99,则。。必过球心0;

第二步：，为A45C的外心，所以oa_L平面4?。，算出小圆a的半径

。1。=尸(三角形的外接圆直径算法：利用正弦定理，得，一=/一=—J=2r),

sin4sinnsine

第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：

①(2X)2=〃幺2+(2/.yO2火=yjPA2+(2r)2；

②胪=/+()()：oR二次+co；

2.题设：如图5-1至5-8这七个图形，〃的射影是448('的外心o三棱锥尸-Z3C

的三条侧棱相等。三棱锥P-ABC的底面\ABC在圆锥的底上，顶点P点也是

圆锥的顶点.

图5-1图5-2图5-3图5-4

pp

第一步：确定球心。的位置，取418。的外心a，则尸,三点共线；

第二步：先算出小圆a的半径AO.=r,再算出棱锥的高P0I=h（也是圆锥的高）;

第三步：勾股定理：=04+002nR2=g_R）2,解出区

方法二：小圆直径参与构造大圆，用正弦定理求大圆直径得球的直径.

例5一个几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为（）C

A.3〃B.2%C.—D.以上都不对

3

解：选C,

法一：（勾股定理）利用球心的位置求球半径，球心在圆锥的高线上,

（旧-R）2+1=R2,R=s=4成2=三兀;

法二：（大圆法求外接球直径）如图，球心在圆锥的高线上，故圆锥的轴截面三角

24

形尸A/N的外接圆是大圆，于是27?=-：----=—7=＞下略；

sin60V3

类型六、折叠模型

题设：两个全等三角形或等腰三角形拼在一起，或菱形折叠（如图6）

图6

第一步：先画出如图6所示的图形，将△灰7）画在小圆上，找出ABCQ和

的外心儿和品；

第二步：过4和也分别作平面8。）和平面48。的垂线，两垂线的交点即为球

心。，连接。£,。。；

第三步：解△0叩|,算出04，在RfAO（H中,勾股定理：OH；+CH；=0。

注：易知。,4|,反，2四点共面且四点共圆，证略.

例6（1）三棱锥P-中，平面/）「_L平面力8。，和△4?。均为边长为

2的正三角形，则三棱锥P-4灰'外接球的半径为.

2421

解：如图，212〔次°/=而

145

R2=OH2+r^R

21333

1

法二:OH47=1,

2w

22222

R=AO=AH+OlH+010

(i)题

(2)在直角梯形48C7)中，AB//CD,ZJ=90°,ZC=45°,AB=AD=\,沿对

角线折成四面体4'-灰刃，使平面平面次力，若四面体力’-水力的

顶点在同一个球面上，则该项球的表面积为_______________4%

解：如图，易知球心在8C的中点处，S表=44；

(3)在四面体S-48('中，ABVBC,AB=BC=G,二面角3-/。一8的余弦

值为-巨，则四面体S-0的外接球表面积为___________6兀

3

/T

解：如图，法一：cosZSOXB-COS(Z(7621O2+=———,

sinNOOR=~~,cos^0(\02=,

(独=三乳;等*="那S—4成2=6兀；

法二：延长到。使。@=30]=八，由余弦定理得5方=而，SD=42,大圆

直径为2R=SB-5/6；

(4)在边长为2百的菱形4次'Q中，N84)=60。，沿对角线纵)折成二面角

A-BD-C为120°的四面体ABCD,则此四面体的外接球表面积为

28%

A

(4)题图

解：如图，取8。的中点A1,和ACH。的外接圆半径为｛=々=2,MBD

和NCBD的外心已，2到弦B。的距离(弦心距)为4=乙=1,

法一：四边形0aM?2的外接圆直径。〃=2,A=V7,S=28万；

法二：00[=6,R=5;

法三：作出ACBO的外接圆直径则4H=CA/=3,C£=4,ME=1,

AE=41,4c=35

7+16—271sinZJEC=^

cosZ.AEC-

2-V7-42772j7

AC3-\/3rzG

2Rn=------=—T=-=2v7,R=V7；

sinNAEC3百

277

(5)在四棱锥/灰7)中，ZBDA=\2Q,ZBDC=150,AD=BD=2,CQ=JJ,

二面角的平面角的大小为120。，则此四面体的外接球的体积为

解：如图，过两小圆圆心作相应小圆所在平面的垂线确定球心，

AB=2后,々=2,弦心距。2〃=0，8。=旧，八=用,弦心距。|川=2月,

002=标,0M==277,

sin120

法一：R2=OD2=MD2+OM2=29,R=咽、二喂=—三——;

2222

法二：C)O^=OM-O2M=25,R=OD=r^+OOl=29,&=场，

116回1

类型七、两直角三角形拼接在一起（斜边相同,也可看作矩形沿对角线折起所得三

棱锥）模型

/片~~~~

题设：如图7,/APB=ZACB=90°,求三棱锥48「外接球半径（分析：取公

共的斜边的中点。，连接OROC,则0/=08=0C=0P=g/8,二。为三棱锥

48（’外接球球心，然后在OC"中求出半径），当看作矩形沿对角线折起所得

三棱锥时与折起成的二面角大小无关，只要不是平角球半径都为定值.

例7（1）在矩形Z8CZ）中，AB=4,BC=3,沿4。将矩形43CQ折成一个直二面

角B-AC-D,则四面体相（7）的外接球的体积为（）

125卜125—125>125

A.7tB.71C.7tD.---71

12963

&力/八-八AC厂r\5__4八？4125125乃、出入

角牛：（1）2R=4C=5,R=—,V=—TTR——7t---=----,选C

⑵在矩形48CQ中，AB=2,BC=3,沿8。将矩形力双刀折叠，连接〃'，所

得三棱锥4-贺爰的外接球的表面积为.

解：3Q的中点是球心O,2R=BD=A,5'=4成2=13%.

类型八、锥体的内切球问题

1.题设：如图8-1,三棱锥尸-4?('上正三棱锥，求其内切球的半径.

第一步：先现出内切球的截面图，分别是两个三角形的外心;

第二步：求DH,PO=PH-r,/>£>是侧面A4HP的高;

3

PC)

第三步：由A/>O后相似于建立等式：万"=万，

解出尸

2.题设：如图8-2,四棱锥2-/以'是正四棱推，求其内切球

的半径

第一步：先现出内切球的截面图，P,。//三点共线;

第二步:求卜,PO=PH—r,PF是侧面"CD的

2

rsj；

第三步：由APOG相似于ATS,建立等式：生=磔,

HrPr

解出

3.题设：三棱锥。-4月「是任意三棱锥，求其的内切球半径

方法：等体积法，即内切球球心与四个面构成的四个三棱锥的体积之和相等

第一步：先画出四个表面的面积和整个锥体体积;

第二步：设内切球的半径为尸，建立等式：

^P-ABC=1'么友、.r+3.r+］、PAC"+］、PBC,尸二§如c+'SAB+、PAC+'SPBC).r

3ypABC

第三步：解出〃=

^O-ABC+^O-PAB+^O-PAC+、(”PBC

m12

例棱长为的正四面体的内切球表面积是

8（1）a~6~

a

解：设正四面体内切球的半径为人将正四面体放入棱长为的正方体中（即补

正

形为正方体），如图，则

1//

ABC=~/方体

32726叵,

又•••—A吟"

旦2

3

a

.•・内切球的表面积为

一66'2屈'

S表=W=子（注：还有别的方法，此略）

⑵正四棱锥S-Z3CQ的底面边长为2,侧棱长为3,则其内切球的半径为

1+272

解：如图，正四棱锥S-Z改'。的高。=77,正四棱锥的体积为

_±2

rvS-ABCD-3

侧面斜高4=2出,正四棱锥S-/8GD的表面积为S表=4+8&,

正四棱锋S-ABCD的

14+8V2

rzcr

^S-ABCD_5、袋r_1，

4+8V24"

-----------------r=,

3