线性代数知识点总结

线性代数知识点总结

线性代数知识点总结「篇一」

第一章行列式

知识点1:行列式、逆序数

知识点2：余子式、代数余子式

知识点3：行列式的性质

知识点4：行列式按一行（列）展开公式

知识点5：计算行列式的方法

知识点6：克拉默法则

第二章矩阵

知识点7：矩阵的概念、线性运算及运算律

知识点8：矩阵的乘法运算及运算律

知识点9：计算方阵的褰

知识点10：转置矩阵及运算律

知识点11：伴随矩阵及其性质

知识点12：逆矩阵及运算律

知识点13：矩阵可逆的判断

知识点14：方阵的行列式运算及特殊类型的矩阵的运算

知识点15：矩阵方程的求解

知识点16：初等变换的概念及其应用

知识点17：初等方阵的概念

知识点18：初等变换与初等方阵的关系

知识点19：等价矩阵的概念与判断

知识点20：矩阵的子式与最高阶非零子式

知识点21：矩阵的秩的概念与判断

知识点22：矩阵的秩的性质与定理

知识点23：分块矩阵的概念与运算、特殊分块阵的运算

知识点24：矩阵分块在解题中的技巧举例

第三章向量

知识点25：向量的概念及运算

知识点26：向量的线性组合与线性表示

知识点27：向量组之间的线性表示及等价

知识点28：向量组线性相关与线性无关的概念

知识点29：线性表示与线性相关性的关系

知识点30：线性相关性的判别法

知识点31：向量组的最大线性无关组和向量组的秩的概念

知识点32：矩阵的秩与向量组的秩的关系

知识点33：求向量组的最大无关组

知识点34：有关向量组的定理的综合运用

知识点35：内积的概念及性质

知识点36：正交向量组、正交阵及其性质

知识点37：向量组的正交规范化、施密特正交化方法

知识点38：向量空间（数一）

知识点39：基变换与过渡矩阵（数一）

知识点40：基变换下的坐标变换（数一）

第四章线性方程组

知识点41：齐次线性方程组解的性质与结构

知识点42：非齐次方程组解的性质及结构

知识点43：非齐次线性线性方程组解的各种情形

知识点44：用初等行变换求解线性方程组

知识点45：线性方程组的公共解、同解

知识点46：方程组、矩阵方程与矩阵的乘法运算的关系

知识点47：方程组、矩阵与向量之间的联系及其解题技巧举例

第五章矩阵的特征值与特征向量

知识点48：特征值与特征向量的概念与性质

知识点49：特征值和特征向量的求解

知识点50：相似矩阵的概念及性质

知识点51：矩阵的相似对角化

知识点52：实对称矩阵的相似对角化。

知识点53：利用相似对角化求矩阵和矩阵的幕

第六章二次型

知识点54：二次型及其矩阵表示

知识点55：矩阵的合同

知识点56:矩阵的等价、相似与合同的关系

知识点57：二次型的标准形

知识点58：用正交变换化二次型为标准形

知识点59：用配方法化二次型为标准形

知识点60：正定二次型的概念及判断

线性代数知识点总结「篇二」

行列式

一、行列式概念和性质

1、逆序数：所有的逆序的总数

2、行列式定义：不同行不同列元素乘积代数和

3、行列式性质：（用于化简行列式）

（1）行列互换（转置），行列式的值不变

（2）两行（列）互换，行列式变号

（3）提公因式：行列式的某一行（列）的所有元素都乘以同一数k,等于用

数k乘此行列式

（4）拆列分配：行列式中如果某一行（列）的元素都是两组数之和，那么这

个行列式就等于两个行列式之和。

（5）一行（列）乘k加到另一行（列），行列式的值不变。

（6）两行成比例，行列式的值为0。

二、重要行列式

1、上（下）三角（主对角线）行列式的值等于主对角线元素的乘积

2、副对角线行列式的值等于副对角线元素的乘积乘

3、Laplace展开式：（A是m阶矩阵，B是n阶矩阵），则

4、n阶（n>2）范德蒙德行列式

★5、对角线的元素为a,其余元素为b的行列式的值：

三、按行（列）展开

1、按行展开定理：

（1）任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和等于行列式的值

（2）行列式中某一行（列）各个元素与另一行（列）对应元素的代数余子式

乘积之和等于0

四、克莱姆法则

1、克莱姆法则：

（1）非齐次线性方程组的'系数行列式不为0,那么方程为唯一解

（2）如果非齐次线性方程组无解或有两个不同解，则它的系数行列式必为0

（3）若齐次线性方程组的系数行列式不为0,则齐次线性方程组只有0解；

如果方程组有非零解，那么必有D=0。

矩阵

一、矩阵的运算

1、矩阵乘法注意事项：

（1）矩阵乘法要求前列后行一致；

（2）矩阵乘法不满足交换律；（因式分解的公式对矩阵不适用，但若

B=E,0,A-bA*,f（A）时,可以用交换律）

（3）AB=0不能推出A=0或B=0,

二、矩阵的逆运算

1、逆的求法：

（1）A为抽象矩阵：由定义或性质求解

（2）A为数字矩阵:（A|E）-初等行变换f（E|A-1）

三、矩阵的初等变换

1、初等行（列）变换定义：

（1）两行（列）互换；

（2）一行（列）乘非零常数c

（3）一行（列）乘k加到另一行（列）

★四、矩阵的秩

1、秩的定义：非零子式的最高阶数

注：

(1)r(A)=0意味着所有元素为0,即A=0

(2)r(AnXn)=n(满秩)*--►AWO*--可逆；r(A)<

n--*A|=0*--*A不可逆；

(3)r(A)=r(r=l>2、n-1)---r阶子式非零且所有r+1子式均为0。

2、秩的求法：

(1)A为抽象矩阵：由定义或性质求解；

(2)A为数字矩阵：A-初等行变换f阶梯型(每行第一个非零元素下面的元

素均为0)，则r(A)=非零行的行数

五、伴随矩阵

六、分块矩阵

1、分块矩阵的乘法：要求前列后行分法相同。

2、分块矩阵求逆：

向量

一、向量的概念及运算

1、长度定义：a|h

二、线性组合和线性表示

1、线性表示的充要条件：

非零列向量8可由a1,a2,as线性表示

(1)--非齐次线性方程组(a1,a2,as)(xl,x2,xs)T=B有解。

★⑵*--*r(al,a2,as)=r(al,a2,as,B)(系数矩阵的秩等于

增广矩阵的秩，用于大题第一步的检验)

2、线性表示的充分条件:

若al,a2,as线性无关，a1,a2,as,B线性相关，则B可由a1,

a2,as线性表示。

3、线性表示的求法：(大题第二步)

设al,a2,as线性无关，B可由其线性表示。

(al,a2,as|B)-初等行变换一(行最简形1系数)

行最简形：每行第一个非0的数为1,其余元素均为0

三、线性相关和线性无关

1、线性相关注意事项：

(1)a线性相关<--*a=0

(2)a1,a2线性相关一fa1,a2成比例

2、线性相关的充要条件：

向量组al,a2,as线性相关

(1)--有个向量可由其余向量线性表示；

(2)--齐次方程(al,a2,as)(xl,x2,xs)T=0有非零解；

★(3)-r(a1,a2,as)<s即秩小于个数

3、线性相关的充分条件：

(1)向量组含有零向量或成比例的向量必相关

(4)以少表多，多必相关

★推论：n+1个n维向量一定线性相关

4、线性无关的充要条件：

向量组a1,a2,as线性无关

(1)一-任意向量均不能由其余向量线性表示；

(2)-f齐次方程(a1,a2,as)(xl,x2,xs)T=0只有零解

(3)r(a1,a2,as)=s

特别地，n个n维向量a1,a2,an线性无关

*--*r(a1,a2,an)=n*--►|a1,a2,anWO——矩阵可逆

5、线性无关的充分条件：

(1)整体无关，部分无关

(2)低维无关，高维无关

(3)正交的非零向量组线性无关

(4)不同特征值的特征向量无关

6、线性相关、线性无关判定

(1)定义法

★(2)秩：若小于阶数，线性相关；若等于阶数，线性无关

四、极大线性无关组与向量组的秩

1、极大线性无关组不唯一

2、向量组的秩:极大无关组中向量的个数成为向量组的秩

对比：矩阵的秩:非零子式的最高阶数

★注：

向量组al,a2,as的秩与矩阵A=(a1,a2,as)的秩相等

★3、极大线性无关组的求法

(1)al,a2,as为抽象的：定义法

(2)a1,a2,as为数字的：(al,a2,as)f初等行变换阶梯型矩

则每行第一个非零的数对应的列向量构成极大无关组

五、Schmidt正交化

1、Schmidt正交化

设a1,a2,a3线性无关

(1)正交化

令Bl=a1

(2)单位化

线性方程组

一、解的判定与性质

1、齐次方程组：

(1)只有零解"-->r(A)=n(n为A的列数或是未知数x的个数)

(2)有非零解一一r(A)<n

2、非齐次方程组：

(1)无解----r(A)<r(Ab)----r(A)=r(A)-1

(2)唯一解—一r(A)=r(Ab)=n

(3)无穷多解*-->r(A)=r(A|b)<n

3、解的性质：

(1)若€1,&2是Ax=O的解，则kl&l+k2&2是Ax=O的解

(2)若之是Ax=O的解，n是Ax=b的解，则€+n是Ax=b的解

(3)若nl,n2是Ax=b的解，则nl-n2是Ax=O的解

二、基础解系

★1、重要结论：(证明也很重要)

设A是mXn阶矩阵，B是nXs阶矩阵，AB=O

(1)B的列向量均为方程Ax=O的解

(2)r(A)+r(B)Wn

2、总结：基础解系的求法

(1)A为抽象的：由定义或性质凑n-r(A)个线性无关的解

（2）A为数字的：A—初等行变换f阶梯型

自由未知量分别取1,0,0；0,1,0；0,0,1;代入解得非自由未知量得到基础解

系

三、解的结构（通解）

1、齐次线性方程组的通解（所有解）

设r（A）=r,€1,&2,&n-r为Ax=0的基础解系。

贝ijAx=0的通解为kln1+k2n2++kn-rnn-r（其中kl,k2,kn-r为任意常

数）

2、非齐次线性方程组的通解

设r（A）=r,€1,&2,&n-r为Ax=0的基础解系，n为Ax=b的特解。

则Ax=b的通解为n+kinl+k2n2++kn-rQn-r（其中kl,k2,krrr为任意

常数）

特征值与特征向量

一、矩阵的特征值与特征向量

1、特征值、特征向量的定义：

设A为n阶矩阵，如果存在数X及非零列向量a,使得Aa=Aa,称a是

矩阵A属于特征值X的特征向量。

2、特征多项式、特征方程的定义：

AE-A称为矩阵A的特征多项式（入的n次多项式）。

XE-A=0称为矩阵A的特征方程（入的n次方程）。

注:特征方程可以写为IA-AE=0

3、重要结论：

（1）若a为齐次方程Ax=0的非零解，则Aa=0・a,即a为矩阵A特征值

入=0的特征向量

（2）A的各行元素和为k,则（1,1,1）T为特征值为k的特征向量。

（3）上（下）三角或主对角的矩阵的特征值为主对角线各元素。

△4、总结：特征值与特征向量的求法

(1)A为抽象的：由定义或性质凑

(2)A为数字的：由特征方程法求解

5、特征方程法：

(1)解特征方程IAE-A|=O,得矩阵A的n个特征值入1,入2,Xn

注：n次方程必须有n个根(可有多重根，写作入l=A2==As=实数，不能省略)

(2)解齐次方程(入iE-A)=0,得属于特征值入i的线性无关的特征向量，

即其基础解系(共n-r(XiE-A)个解)

二、相似矩阵

1、相似矩阵的定义：

设A、B均为n阶矩阵，如果存在可逆矩阵P使得B=PTAP,称A与B相似，

记作A〜B

2、相似矩阵的性质

(1)若A与B相似，则f(A)与f(B)相似

(2)若A与B相似，B与C相似，则A与C相似

(3)相似矩阵有相同的行列式、秩、特征多项式、特征方程、特征值、迹

(即主对角线元素之和)

三、矩阵的相似对角化

1、相似对角化定义：如果A与对角矩阵相似，即存在可逆矩阵P,使得P-

1AP=A=

称A可相似对角化。

2、相似对角化的充要条件

(1)A有n个线性无关的特征向量

(2)A的k重特征值有k个线性无关的特征向量

3、相似对角化的充分条件:

(1)A有n个不同的特征值(不同特征值的特征向量线性无关)

(2)A为实对称矩阵

4、重要结论：

(1)若A可相似对角化，则r(A)为非零特征值的个数，n-r(A)为零特征

值的个数

(2)若A不可相似对角化，r(A)不一定为非零特征值的个数

四、实对称矩阵

1、性质

(1)特征值全为实数

(2)不同特征值的特征向量正交

(3)A可相似对角化，即存在可逆矩阵P使得PTAP=A

(4)A可正交相似对角化，即存在正交矩阵Q,使得QTAQ=QTAQ=A

二次型

一、二次型及其标准形

1、二次型：

(1)一般形式

(2)矩阵形式(常用)

2、标准形：

如果二次型只含平方项，这样的二次型称为标准形(对角线)

3、二次型化为标准形的方法：

(1)配方法：

★(2)正交变换法：

二、惯性定理及规范形

1、定义:

正惯性指数：标准形中正平方项的个数称为正惯性指数，记为P;

负惯性指数：标准形中负平方项的个数称为负惯性指数，记为q；

2、惯性定理：

二次型无论选取怎样的可逆线性变换为标准形，其正负惯性指数不变。

注：

(1)由于正负惯性指数不变，所以规范形唯一。

(2)p=正特征值的个数，q=负特征值的个数，p+q=非零特征值的个数=r(A)

三、合同矩阵

1、定义：

A、B均为n阶实对称矩阵，若存在可逆矩阵C,使得B=CTAC,称A与B合同

△2、总结：n阶实对称矩阵A、B的关系

(1)A、B相似(B=PTAP)--»相同的特征值

(2)A、B合同(B=CTAC)--相同的正负惯性指数一f相同的正负特征值的

个数

(3)A、B等价(B=PAQ)—-r(A)=r(B)

注：实对称矩阵相似必合同，合同必等价

四、正定二次型与正定矩阵

1、正定的定义

二次型xTAx,如果任意xWO,恒有xTAx>0,则称二次型正定，并称实对称

矩阵A是正定矩阵。

2、n元二次型xTAx正定充要条件：

(1)A的正惯性指数为n

(2)A与E合同，即存在可逆矩阵C,使得A=CTC或CTAC=E

(3)A的特征值均大于0

（4）A的顺序主子式均大于0（k阶顺序主子式为前k行前k列的行列式）

3、总结：二次型正定判定（大题）

（1）A为数字：顺序主子式均大于0

（2）A为抽象：①证A为实对称矩阵：AT=A；②再由定义或特征值判定

4、重要结论：

（1）若A是正定矩阵，则kA（k>0）,Ak,AT,AT,A*正定

（2）若A、B均为正定矩阵，则A+B正定

线性代数知识点总结「篇三」

线性代数在考研数学中占有重要地位，必须予以高度重视.线性代数试题的特

点比较突出，以计算题为主，证明题为辅，因此，太奇考研专家们提醒广大的

20xx年的考生们必须注重计算能力.线性代数在数学一、二、三中均占22%,所以

考生要想取得高分，学好线代也是必要的。下面，就将线代中重点内容和典型题型

做了总结，希望对20xx年考研的同学们学习有帮助。

行列式在整张试卷中所占比例不是很大，一般以填空题、选择题为主，它是必

考内容，不只是考察行列式的概念、性质、运算，与行列式有关的考题也不少，例

如方阵的行列式、逆矩阵、向量组的线性相关性、矩阵的秩、线性方程组、特征

值、正定二次型与正定矩阵等问题中都会涉及到行列式.如果试卷中没有独立的行

列式的试题，必然会在其他章、节的试题中得以体现.行列式的重点内容是掌握计

算行列式的方法，计算行列式的主要方法是降阶法，用按行、按列展开公式将行列

式降阶.但在展开之前往往先用行列式的性质对行列式进行恒等变形，化简之后再

展开.另外，一些特殊的行列式（行和或列和相等的行列式、三对角行列式、爪型行

列式等等）的计算方法也应掌握.常见题型有：数字型行列式的计算、抽象行列式的

计算、含参数的行列式的计算.关于每个重要题型的具体方法以及例题见《20xx年

全国硕士研究生入学统一考试数学120种常考题型精解》。

矩阵是线性代数的核心，是后续各章的基础.矩阵的概念、运算及理论贯穿线

性代数的始终.这部分考点较多，重点考点有逆矩阵、伴随矩阵及矩阵方程.涉及伴

随矩阵的定义、性质、行列式、逆矩阵、秩及包含伴随矩阵的矩阵方程是矩阵试题

中的一类常见试题.这几年还经常出现有关初等变换与初等矩阵的命题.常见题型有

以下几种：计算方阵的嘉、与伴随矩阵相关联的命题、有关初等变换的命题、有关

逆矩阵的计算与证明、解矩阵方程。

向量组的线性相关性是线性代数的重点，也是考研的重点。考生一定要吃透向

量组线性相关性的概念，熟练掌握有关性质及判定法并能灵活应用，还应与线性表

出、向量组的秩及线性方程组等相联系，从各个侧面加强对线性相关性的理解.常

见题型有：判定向量组的线性相关性、向量组线性相关性的证明、判定一个向量能

否由一向量组线性表出、向量组的秩和极大无关组的求法、有关秩的证明、有关矩

阵与向量组等价的命题、与向量空间有关的命题。

往年考题中，方程组出现的频率较高，几乎每年都有考题，也是线性代数部分

考查的重点内容.本章的重点内容有：齐次线性方程组有非零解和非齐次线性方程

组有解的判定及解的结构、齐次线性方程组基础解系的求解与证明、齐次（非齐次）

线性方程组的求解（含对参数取值的讨论）.主要题型有：线性方程组的求解、方程

组解向量的判别及解的性质、齐次线性方程组的基础解系、非齐次线性方程组的通

解结构、两个方程组的公共解、同解问题。

特征值、特征向量是线性代数的重点内容，是考研的重点之一，题多分值大，

共有三部分重点内容：特征值和特征向量的概念及计算、方阵的相似对角化、实对

称矩阵的正交相似对角化.重点题型有：数值矩阵的特征值和特征向量的求法、抽

象矩阵特征值和特征向量的求法、判定矩阵的相似对角化、由特征值或特征向量反

求A、有关实对称矩阵的问题。

由于二次型与它的实对称矩阵式一一对应的，所以二次型的很多问题都可以转

化为它的实对称矩阵的问题，可见正确写出二次型的矩阵式处理二次型问题的一个

基础.重点内容包括：掌握二次型及其矩阵表示，了解二次型的秩和标准形等概念;

了解二次型的规范形和惯性定理;掌握用正交变换并会用配方法化二次型为标准形;

理解正定二次型和正定矩阵的概念及其判别方法.重点题型有：二次型表成矩阵形

式、化二次型为标准形、二次型正定性的判别。

一、行列式与矩阵

行列式、矩阵是线性代数中的基础章节，从命题人的角度来看，可以像润滑油

一般结合其它章节出题，因此必须熟练掌握。

行列式的核心内容是求行列式一一具体行列式的计算和抽象行列式的计算。其

中具体行列式的计算又有低阶和高阶两种类型，主要方法是应用行列式的性质及按

行（列）展开定理化为上下三角行列式求解;而对于抽象行列式而言，考点不在如何

求行列式，而在于结合后面章节内容的相对综合的题。

矩阵部分出题很灵活，频繁出现的知识点包括矩阵各种运算律、矩阵的基本性

质、矩阵可逆的判定及求逆、矩阵的秩、初等矩阵等。

二、向量与线性方程组

向量与线性方程组是整个线性代数部分的核心内容。相比之下，行列式和矩阵

可视作是为了讨论向量和线性方程组部分的问题而做铺垫的基础性章节，而其后两

章特征值和特征向量、二次型的内容则相对独立，可以看作是对核心内容的扩展。

向量与线性方程组的内容联系很密切，很多知识点相互之间都有或明或暗的相

关性。复习这两部分内容最有效的方法就是彻底理顺诸多知识点之间的内在联系，

因为这样做首先能够保证做到真正意义上的理解，同时也是熟