高中数学：函数的单调性

第2讲函数的单调性

I玩前必备］

1.函数的单调性

(1)单调函数的定义

增函数减函数

一般地，设函数y=f(x)的定义域为A,区间.仁A.如果取区间"中的

任意两个值小，*2,

定义改变量Ax=X2—汨＞0,则当△y改变量Ax=X2—小＞0,当Ay=

=『(X2)一＞0时,就称函数f(%)—F(x)VO时,就称函数y

y=F(x)在区间M上是增函数=f(x)在区间〃上是减函数

增函数减函数

图象描述。聂春；

0\^*2«

自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的

(2)单调区间的定义

如果函数，=F(x)在区间〃上是增函数或减函数,那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,

区间，叫做函数y=f(x)的单调区间.

2.函数的最值

前提设函数y=f{x)的定义域为I,如果存在实数,"满足

(1)对于任意xw/,都有f(x)W(1)对于任意xG/,都有f(于2

条件孙孙

(2)存在於eI,使得/'(照)=』/(2)存在於£/,使得鼠照)=M

结论M为最大值M为最小值

［玩转典例］

题型一函数单调性的判断和证明

x+2

例1判断并证明函数尸E在(—1，+8)上的单调性.

1,x>0,

例2.设函数f(x)=<0,x=0,g(x)=/f(x—1),则函数g(x)的递减区间是

「1,xVO,

例3.函数y=J/-2x—3|的单调递增区间为.

［玩转跟踪］

2—x

1.已知函数f(x)=F7,证明：函数Mx)在(-1，+8)上为减函数.

x+\

fo—fh

2.定义在R上的函数/'(x)对任意两个不相等的实数a,6,总有----7——>0,则必有()

A.函数/Xx)先增后减

B.f(x)是R上的增函数

C.函数f(x)先减后增

D.函数/U)是R上的减函数

3.画出函数尸一f+2|x|+l的图象并写出函数的单调区间.

题型二函数单调性的应用

角度一：利用函数的单调性求最值

|-，d,

例4(1)函数/Xx)=\x的最大值为.

［―y+2,KI

(2)已知函数f{x)=ax+Ul—x)(a〉0),且f(x)在［0,1］上的最小值为g(a),求g3的最大值.

a

角度二：利用函数的单调性求解不等式

例51.(1)已知尸f(x)在定义域(一1,1)上是减函数，且/'(1—a)〈/X2a—1),则实数a的取值范围为

(2)已知函数f(x)为(0,+8)上的增函数，若/•(才-a)>f(a+3),则实数a的取值范围为.

2.探究与创新

设f(x)是定义在(0,+8)上的函数，满足条件：

(l)Axy)-Ax)+/(Z);

⑵f⑵=1；

(3)在(0,+8)上是增函数.

如果f(2)+f(x-3)W2,求x的取值范围.

角度三：利用函数的单调性求参数

例6(1)如果函数f(x)=af+2x-3在区间(一8,4)上是单调递增的，则实数a的取值范围是()

A.(一；,+8)B,+8)

C-I°)D.-p0

3a］I，4rj］

(2).已知/Xx)=,'是定义在R上的减函数，那么a的取值范围是________.

x+1fX》1

题型三分类讨论二次函数单调性和最值

例7若函数/'(X)=af+2ax+l在［1,2］上有最大值4,则a的值为.

【玩转跟踪】

1.已知函数/0)=/+力a+2,求/(处在［-5,5］上的最大值与最小值.

2.已知函数/(%)=炉一2彳+3,当f+1］时,求/(x)的最大值与最小值.

题型四抽象函数单调性和最值

2

例8已知函数/G)对于任意必y£R,总有f(x)+/'(y)=F(x+y),且当x>0时，f(x)<0,f(l)=--

(1)求证：/(x)在R上是减函数；

(2)求/(x)在［-3,3］上的最大值和最小值.

【玩转跟踪】

1.己知函数/(x)的定义域为(0,+8),且当x>l时，/(%)>0K/(%•y)=/(x)+/(y).

(1)求/⑴的值；

(2)证明/(x)在定义域上的增函数；

(3)解不等式/［x(x-1)］<0.

［玩转练习］

1.下列说法中，正确的有()

①若任意为，*后1,当为<盟时，/凶7->0,则尸/■(*)在/上是增函数;

小一尼

②函数在R上是增函数；

③函数y=一;在定义域上是增函数；

④函数y=%勺单调区间是(-8,o)U(0,+8).

A.0个B.1个C.2个D.3个

2.下列函数中，在区间(0,1)上是增函数的是()

A.y=|x|B.y=i-x

12.

C.y=~D.y=~x+4

3.若函数〃x)=4V—而一8在［5,8］上是单调函数，则衣的取值范围是()

A.(—8,40)B.[40,64]

C.(一8,40]U[64,+«>)D.[64,+0o)

4.若/Xx)为R上的增函数，Af(x)为R上的减函数，则实数4的取值范围是()

A4为任意实数B.A>0

C.k<0D.4W0

5.函数y=x|x—1|的单调递增区间是.

6.函数f(x)—2x—mx+3,当xG[2,+8)时是增函数，当8,2]时是减函数，则F(l)=

7.求证：函数/1(x)=—1在区间(一8,0)上是增函数.

8.如果函数f(x)=a*+2x-3在区间(-8,4)上是单调递增的，则实数a的取值范围是()

1、1

A.a>—TB.心一二

44

C.一JwaVOD.一

44

9.已知函数〃入)=/+"+。的图象的对称轴为直线x=l,则()

A./(-1XA1XA2)B,A1XA2XA-D

c.A2XA-1XA1)D.A1XA-1XA2)

10.讨论函数尸/一2(2a+l)x+3在[-2,2]上的单调性.

11.已知函数/Xx)在实数集中满足F(xy)=F(x)+F(y),且F(x)在定义域内是减函数.

(1)求/U)的值；

(2)若f(2a-3)<0,试确定a的取值范围.

第3讲函数的奇偶性

I玩前必备]

1.函数奇偶性的定义

(1)奇函数：设函数y=f(x)的定义域为〃，如果对〃内的任意一个x,都有一且f(—x)=—f(x),

则这个函数叫做奇函数.

(2)设函数y=g(x)的定义域为〃，如果对〃内的任意一个x,都有一且q(—x)=g(x),则这个函数

叫做偶函数.

2.奇、偶函数图象的对称性

(1)奇函数的图象关于原点成中心对称图形，反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对

称图形，则这个函数是奇函数.

(2)偶函数的图象是以理为对称轴的轴对称图形；反之，如果一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数

是偶函数.

曳判断奇偶性的步骤

4.奇偶性的有关结论

(1)若奇函数在x=0处有意义，则有/(0)=0.

(2)奇函数在定义域内的对称区间上单调性相同；

偶函数在定义域内的对称区间上单调性相反。

［玩转典例］

题型一判断函数的奇偶性

例1判断下列函数的奇偶性.

(lV(x)=x2(f+2)；

(2次x)=ey；

(3yu)=、f—1+》1一日

［玩转跟踪］

1.判断下列函数的奇偶性：(D〃x)=,;(2)f(x)=d三;

2.判断函数的奇偶性：f(x)=''I

|x+3|-3

例2判断函数/(幻=产：+*'”>°的奇偶性.

fx--x,x<0

［玩转跟踪］

1.判断函数y=Y-2|X+1的奇偶性，并指出它的单调区间.

题型二已知函数奇偶性求参数值

例3⑴若函数f(x)=a*+6x+3a+b是偶函数，定义域为［a—1,2a］,则a=,

b=.

(2)设函数/(x)=")为奇函数,则2=.

x

［玩转跟踪］

1.若函数/(x)=*一|x+a|为偶函数，则实数a=.

2.定义在上的奇函数/(©=」+'”,则常数m=__,〃=

X+71X+1

题型三奇偶性求解析式或函数值

例4已知/(x)是R上的偶函数，且当x>0时，/(x)=x?-x-1,贝I］当x<0时，/(x)=.

思考：如果改为是R上的奇函数，则当x<0时，/(%)=.

例5设f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)+g(x)=二;，求函数A%),g(x)的解析式

X—1

［玩转跟踪］

1.已知函数4x)(xGR)是奇函数，且当x>0时，,*x)=2x—1,求函数y(x)的解析式.

2.设./(X)是偶函数，g(x)是奇函数，且yU)+g(x)=f+2r,求函数,穴x),g(x)的解析式.

题型四函数奇偶性与单调性的综合应用

例6设偶函数兀c)的定义域为R,当x《［0,+8)时，火x)是增函数，则人一2),用r),/(一3)的大小关系是()

A.犬兀)次—3)》—2)

B.八兀)次一2)刁(一3)

c.X7t）＜/（-3）＜/（-2）

D.犬兀）勺（一2）勺（一3）

例7已知偶函数Kt）在区间［0,+8）上单调递增，则满足共左一1）勺,6）的X的取值范围为（）

’12A~1

5,3；B.3

-1

1)D.r

［玩转跟踪］

1.定义在R上的奇函数次外为增函数，偶函数g（x）在区间10,+8）上的图象与兀0的图象重合，设

下列不等式中成立的有.（填序号）

①/（a）次一6）；②。）习S）；

③g（"）＞g（一勿；④g（一“）＜g（b）；

⑤g（一a）/一4）•

2.设定义在［-2,2］上的奇函数/Xx）在区间［0,2］上是减函数，若穴1一哨勺（m）,求实数机的取值范围.

［玩转练习］

1.已知y=/（x）,xW（—a,a）,F（x）=/x）+fi—x）,则「（工）是（）

A.奇函数B.偶函数

C.既是奇函数又是偶函数