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文档简介
人教版数学中考综合模拟检测试题
学校班级姓名成绩
一.选择题
1.-3的绝对值是()
1
A.-3B.3C.±3D.-一
3
2.若式子与在实数范围内有意义,则x的取值范围是
A,x>3B.x<3C.x>3D.x<3
3.投掷两枚质地均匀的骰子,骰子的六个面上分别刻有1到6的点数,则下列事件为随机事件的是()
A.两枚骰子向上一面的点数之和大于1
B.两枚骰子向上一面点数之和等于1
C.两枚骰子向上一面的点数之和大于12
D.两枚骰子向上一面点数之和等于12
4.下列图案中,既是中心对称图形又是轴对称图形的是()
6.某公司计划新建一个容积V(n?)一定的长方体污水处理池,池的底面积Sin?)与其深度h(m)之间的函数
关系式为S=:(〃NO),这个函数的图象大致是()
h
A.B.D.
7.某个密码锁的密码由三个数字组成,每个数字都是0-9这十个数字中的一个,只有当三个数字与所设定的
密码及顺序完全相同,才能将锁打开,如果仅忘记了所设密码的最后那个数字,那么一次就能打开该密码
的概率是()
1„1c1r1
A.—B.-C.-D.一
10932
k2+1
8.对于反比例函数》=巴士,下列说法正确的个数是()
①函数图象位于第一、三象限;②函数值y随x增大而减小;③若A(-l,y),B(2,%),C(l,%)
是图象上三个点,则X<为<%;④P为图象上任一点,过P作PQ±y轴于点Q,则△OPQ的面积是定
值.
A.1个B.2个C.3个D.4个
9.如图,OO半径为2,圆心O在坐标原点,正方形ABCD的边长为2,点A、B在第二象限,点C、D
在。。上,且点D的坐标为(0,2),现将正方形ABCD绕点C按逆时针方向旋转150。,点B运动到了。O
上点8处,点A、D分别运动到了点Ai、Di处,即得到正方形AiBCQi(点C】与C重合);再将正方形
AIBIGDI绕点&按逆时针方向旋转150。,点Ai运动到了。。上点A?处,点D卜G分别运动到了点D?、
C2处,即得到正方形A2B2c2口2(点B2与日重合),…,按上述方法旋转2020次后,点A2020的坐标为()
X
A.(0,2)B.(2+73--1)
1-6,-1-V3)D.(1,-2-73)
10.如图,在平面直角坐标系中,点A在一次函数位于第一象限的图象上运动,点8在x轴正半轴
上运动,在A8右侧以它为边作矩形4BCD,且AB=2g,AD=1,则。。的最大值是()
A.V5+V3B.疗+2C.V5+2D.2V2+V3
二.填空题
11.计算:V27+748=.
13.某班体育委员统计了全班45名同学一周的体育锻炼时间(单位:小时),并绘制了如图的折线统计图,
这组数据的中位数是,极差是,平均数是.
(小时)
14.如图,在平行四边形ABCD中,AB=AE.若AE平分NDAB,ZEAC=25°,则NB=,ZAED
的度数为
15.已知二次函数y=ax2+bx+c(a*0)的图象如图所示,有下列结论:
①b2-4ac>0;②abc>0;③8a+c>0;④9a+3b+c<0.其中,正确结论的有.
16.如图,等腰直角aABC的斜边AB下方有一动点D,ZADB=90°,BE平分NABD交CD于点E,则一
的最小值是
三.解答题
17.计算:(-2x))2+x3,x-x”x
18.矩形ABCD中,AE平分/BAD交BC于点E,CF平分NBCD交AD于点F,求证:AE〃CF.
19.为弘扬中华传统文化,了解学生整体数学阅读能力,某校组次阅读理解大赛的初赛,从中抽取部分学生
的成绩进行统计分析,根据测试成绩绘制出了频数分布表和频数分布直方图
分组/分频数频率
A组50<x<6060.12
B组60<x<70a0.28
C组70<x<80160.32
D组80<x<90100.20
E组90<x<10040.08
(1)表中的a=:抽取部分学生的成绩的中位数在组;
(2)把上面的频数分布直方图补充完整;
(3)全校总人数为1000人,如果成绩达到90及90分以上者为优秀,可推荐参加决赛,那么请你估计该校
进入决赛的学生大约有多少人.
即顶点A、B、C均在格点上,利用无刻度直尺按
要求完成下列各题,并保留作图痕迹:
(1)边AB上找一点E,使N8CE=45。(请在图①中完成);
4n1
(2)在边AC上找一点。,使中=7(请在图②中完成).
21.已知:如图,在△ABC中,AB=AC,AE是角平分线,平分NABC交AE于点M,经过8,M两点的
交8C于点G,交A8于点尸,尸B恰为。。的直径.
(1)求证:AE与OO相切;
(2)当BC=4,cosC=,时,求。。的半径.
22.某客商准备采购一批特色商品,经调查,用16000元采购A型商品的件数是用7500元采购B型商品的件
数的2倍,一件A型商品的进价比一件B型商品的进价多10元.
(1)求一件A,B型商品的进价分别为多少元?
(2)若该客商购进A,8型商品共250件进行试销,其中A型品的件数不大于B型商品的件数,且不小于
80件,已知4型商品的售价为240元/件,B型商品的售价为220元/件,且全部售出,设购进A型商品机件,
求该客商销售这批商品的利润),与根之间的函数关系式,并写出m的取值范围;
(3)在(2)的条件下,客商决定在试销活动中每售出一件A型商品,就从一件A型商品的利润中捐献慈
善资金。元(0<aV80),若该客商售完所有商品并捐献资金后获得的最大收益是17100元,求的。值.
23.在RtZXACB中,NACB=90。,点D为AB上一点.
(1)如图1,若CD_LAB,求证:CD2=AD«DB;
FH4AD
(2)如图2,若AC=BC,EF_LCD于H,EF与BC交于E,与AC交于F,且——=一,求——的值;
HE9BD
(3)如图3,若AC=BC,点H在CD上,且NAHD=45。,CH=3DH,直接写出tanNACH的值为
24.如图,抛物线y=/+(4a-l)x-4与x轴交于点A、B,与y轴交于点C,S.OC=2OB,点。为线段08
上一动点(不与点8重合),过点。作矩形。EF",点“、F在抛物线上,点E在x轴上.
(1)求抛物线的解析式;
(2)当矩形QE尸”的周长最大时,求矩形。EF”的面积:
(3)在(2)的条件下,矩形。EF”不动,将抛物线沿着x轴向左平移,"个单位,抛物线与矩形QEFH的
边交于点M、N,连接M、N.若MN恰好平分矩形OEFH的面积,求,”的值.
C
答案与解析
一.选择题
1.-3的绝对值是()
1
A.-3B.3C.±3D.--
3
【答案】B
【解析】
【分析】
计算绝对值要根据绝对值的定义求解.第一步列出绝对值的表达式;第二步根据绝对值定义去掉这个绝对
值的符号.
【详解】根据负数的绝对值是它的相反数,得
|-3|=3,
故选B.
【点睛】本题考查了绝对值的定义,绝对值规律总结:一个正数的绝对值是它本身;一个负数的绝对值是
它的相反数;0的绝对值是0.
2.若式子)二在实数范围内有意义,则x的取值范围是
A.xe3B.xW3C.x>3D.x<3
【答案】A
【解析】
分析:根据二次根式被开方数必须是非负数的条件,要使在实数范围内有意义,必须
x-3>O=>x>3.
故选A.
3.投掷两枚质地均匀的骰子,骰子的六个面上分别刻有I到6的点数,则下列事件为随机事件的是()
A.两枚骰子向上一面的点数之和大于1
B.两枚骰子向上一面的点数之和等于1
C.两枚骰子向上一面的点数之和大于12
D.两枚骰子向上一面的点数之和等于12
【答案】D
【解析】
【分析】
根据事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件,事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件,
在一定条件下,可能发生也可能不发生的事件,称为随机事件进行分析即可.
【详解】A、两枚骰子向上一面的点数之和大于1,是必然事件,故此选项错误;
B、两枚骰子向上一面的点数之和等于1,是不可能事件,故此选项错误;
C、两枚骰子向上一面的点数之和大于12,是不可能事件,故此选项错误;
D、两枚骰子向上一面的点数之和等于12,是随机事件,故此选项正确;
故选D.
【点睛】此题主要考查了随机事件,关键是掌握随机事件定义.
4.下列图案中,既是中心对称图形又是轴对称图形的是()
【答案】A
【解析】
【分析】
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解.
【详解】A、是中心对称图形,是轴对称图形,故此选项符合题意;
B、不是中心对称图形,是轴对称图形,故此选项不合题意;
C、是中心对称图形,不是轴对称图形,故此选项不符合题意;
D、不是中心对称图形,不是轴对称图形,故此选项不合题意;
故选:A.
【点睛】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念.轴对称图形的关键是寻找对称轴,图形两部
分折叠后可重合,中心对称图形是要寻找对称中心,旋转180度后两部分重合.
5.如图,下列选项中不是正六棱柱的三视图的是()
【解析】
【分析】
主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看,所得到的图形.
【详解】正六棱柱三视图分别为:三个左右相邻的矩形,两个左右相邻的矩形,正六边形.
故选A.
【点睛】本题考查了几何体的三种视图,注意所有的看到的棱都应表现在三视图中.
6.某公司计划新建一个容积V(n?)一定的长方体污水处理池,池的底面积S(n?)与其深度h(m)之间的函数
【解析】
【详解】解:由题意可知:v>0,h>0,
v
Js=:(力工0)中,当u的值一定时,§是〃的反比例函数,
h
v
函数5=一(〃h0)的图象当u>0,〃>0时是:“双曲线”在第一象限的分支.
h
故选C.
7.某个密码锁的密码由三个数字组成,每个数字都是0-9这十个数字中的一个,只有当三个数字与所设定的
密码及顺序完全相同,才能将锁打开,如果仅忘记了所设密码的最后那个数字,那么一次就能打开该密码
的概率是()
1111
A.—B.—C.-D.一
10932
【答案】A
【解析】
试题分析:根据题意可知总共有10种等可能的结果,一次就能打开该密码的结果只有1种,所以P(一次
就能打该密码)=—,故答案选A.
考点:概率.
+i
8.对于反比例函数y=LE二■,下列说法正确的个数是()
X
①函数图象位于第一、三象限;②函数值y随X的增大而减小;③若A(-l,X),B(2,为),C(l)为)
是图象上三个点,则X<为<%;④P为图象上任一点,过P作PQ±y轴于点Q,则的面积是定
值.
A.1个B.2个C.3个D.4个
【答案】B
【解析】
【分析】
根据反比例函数图象的性质对各选项分析判断后利用排除法求解.
21
【详解】丫=二k二+中,公+1>0,,函数图象位于第一、三象限,①正确;
x
函数在各象限中,y随x的增大而减小,故②错误;
若A(-l,y),B(2,%),C(l,为)是图象上三个点,则乂<%<%,故③错误;
上2,1
④P为图象上任一点,过P作PQ,y轴于点Q,则AOPQ的面积等于勺二,为定值,故④正确.
2
故选:B.
【点睛】本题考查了反比例函数的性质,对于反比例函数y=&(kWO),(1)k>o,反比例函数图象在一、
X
三象限,在每一个象限内,y随X的增大而减小;(2)kVO,反比例函数图象在第二、四象限内,在每一个
象限内,y随x的增大而增大.
9.如图,OO的半径为2,圆心O在坐标原点,正方形ABCD的边长为2,点A、B在第二象限,点C、D
在。。上,且点D的坐标为(0,2),现将正方形ABCD绕点C按逆时针方向旋转150。,点B运动到了。O
上点&处,点A、D分别运动到了点Ai、Di处,即得到正方形AIBIGDI(点Ci与C重合);再将正方形
ANIGDI绕点臼按逆时针方向旋转150。,点Ai运动到了。。上点A2处,点Di、G分别运动到了点D2、
C2处,即得到正方形A2B2c2口2(点B2与Bi重合),…,按上述方法旋转2020次后,点A2020的坐标为()
B.(2+3-1)
c.(-1-#),-1-G)D.(1,-2-V3)
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意找到规律,12次为一个循环,则A2O2O的坐标与A4相同,求出A4的坐标即可解决本题.
【详解】解:如图,由题意发现12次一个循环,
;2020+12=168L4,
.,•A202O的坐标与At相同,
如图,连接MA4、OE、OF,
,/EOF=360+6=60°,
:OE=OE,
...△OEF为等边三角形,
•,.ZOEF=60°,ZOME=90°,
.•.OM=OExcos600=y/3,MF=;EF=1,
ON=OM+MN=2+y/3,NA=MF=1,
.*.A(2+百,-1),
A2O2O(2+百,-1),
故选:B.
【点睛】本题考查了旋转规律,三角函数、正方形、等边三角形的性质,准确根据题意找到旋转规律是解
决本题的关键.
10.如图,在平面直角坐标系中,点A在一次函数y=6x位于第一象限的图象上运动,点B在x轴正半轴
上运动,在AB右侧以它为边作矩形A8C。,且AO=1,则0。的最大值是()
A.y[5+y/3B.77+2C.75+2D.2点+百
【答案】B
【解析】
【分析】
作△AO8的外接圆。P,连接OP、PA,PB、PD,作尸G_LCZ),交AB于H,垂足为G,易得NAPH=NAOB,
解直角三角形求得产4=2,然后根据三角形三边关系得出。。取最大值时,OD=OP+PD,据此即可求得.
【详解】解:•.•点A在一次函数y=Gx图象上,."11/408=,^,
作aAOB的外接圆。尸,连接。尸、PA.PB、PQ,作PGLCZ),交AB于”,垂足为G,
•••四边形ABC。是矩形,
:.AB//CD,四边形是矩形,
:.PG1AB,GH=AD=l,
VZAPB=2ZA0B,NAPH=;NAPB,AH=AB==DG,
:.ZAPH=ZAOB,
/.tanZAPH=tanZAOB=6,
.也=R
..PHG
・•・PH=1,
・・・PG=PH+HG=1+1=2,
:・PD=4PGr+DG2=j2?+(百尸=币,
°P=B4=yjAH2+PH2=7(V3)2+12=2,
在△OP。中,OP+PD'OD,
,0力的最大值为:OP+PD=2+不,
故选:B.
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征,圆周角定理,垂径定理,三角函数的定义以及勾股定
理的应用,三角形三边关系等知识点,正确作出辅助线是解题的关键.
二.填空题
11.计算:后+748=.
【答案】773
【解析】
【分析】
根据二次根式的运算法则即可求出答案.
【详解】解:原式=36+46=76,
故答案为:76.
2
12.计算:
nr-1m-\
1
【答案】
zn+1
【解析】
【分析】
先通分,再根据同分母的分式相加减法则进行计算,再求出即可.
2m+l
【详解】解:原式=
(m+1)(7?:-1)
2-(771+1)
(m+1)(777-1)
1-m
(m+l)(m-1)
1
"7+1
故答案为:-------.
m+\
【点睛】此题考查了分式的混合运算,熟练掌握运算法则是解本题的关键.
13.某班体育委员统计了全班45名同学一周的体育锻炼时间(单位:小时),并绘制了如图的折线统计图,
这组数据的中位数是,极差是,平均数是.
【答案】(1).9⑵.4(3).9
【解析】
【分析】
此题根据中位数,极差,平均数的定义解答.
【详解】解:由图可知,把45个数据从小到大排列,中位数是第23位数,第23位是9,所以中位数是9.
这组数据中最大值是11,最小值是7,所以极差是11-7=4.
平均数是(7x5+8是+9x18+10x10+11x4)+45=9,所以平均数是9.
故答案为9,4,9.
【点睛】此题考查了折线统计图,用到的知识点是平均数、中位数、极差,中位数是将一组数据从小到大
(或从大到小)重新排列后,最中间的那个数(最中间两个数的平均数),叫做这组数据的中位数.平均数
是所有数的和除以所有数的个数.极差就是这组数据中的最大值与最小值的差.
14.如图,在平行四边形ABCD中,AB=AE.若AE平分/DAB,/EAC=25。,则/B=_____,ZAED
的度数为____.
【解析】
【分析】
先证△ABC0Z\EAD(SAS),得出NBAC=NAED,再证4ABE为等边三角形.得出NB=/BAE=60。,
求出NBAC=85。,即可得出答案.
【详解】解:;四边形ABCD为平行四边形,
,AD〃BC,AD=BC.
;./DAE=/AEB.
VAB=AE,
.*.ZAEB=ZB.
.\ZB=ZDAE.
AB=AE
•.•在AABC和AEAD中,ZB=ZDAE,
AD=BC
.".△ABC^AEAD(SAS),
;./BAC=/AED,
TAE平分NDAB,
.\ZDAE=ZBAE;
又:NDAE=NAEB,
;./BAE=NAEB=/B.
.•.△ABE为等边三角形.
NB=NBAE=60°,
VZEAC=25O,
AZBAC=85°,
.\ZAED=85°.
故答案为:60°,85°.
【点睛】本题考查了平行四边形性质、全等三角形的判定及性质、等边三角形的判定与性质等知识;熟
练掌握平行四边形的性质和等边三角形的判定与性质,证明三角形全等是解题的关键.
15.已知二次函数y=ax?+bx+c(a*0)的图象如图所示,有下列结论:
(l)b2-4ac>0:②abc>0;③8a+c>0;④9a+3b+c<0.其中,正确结论有.
【答案】①②③④
【解析】
【分析】
①由图象与c轴的交点可以判断;
②根据开口方向可以判断a的正负,根据顶点坐标所在的位置可以判断b的正负,根据与y轴的交点可以判
断c的正负,从而可以解答本题;
③根据对称轴可以确定a、b的关系,由x=-2对应的函数图象可以判断该结论是否正确;
④根据对称轴和二次函数具有对称性可以判断该结.论是否正确.
【详解】解:由二次函数的图象与z轴两个交点可知,b2-4ac>0,故①正确;
由二次函数的图象可知,开口向上,则a>0,顶点在y轴右侧,则b<0(左同右异),图象与y轴交于负半轴,则c<0,
故abc>0,故②正确;
由图象可知:——=1,则b=-2a,当x=2时,y=4a-2b+c>0则y=4a-2x(-2a)+c>0,即8a+c>0,故③正确;
2a
由图象可知:此函数的对称轴为x=l,当x=-l时和x=3时的函数相等并且都小于0,故x=3时,y=9a+3b+c<0,
故④正确;
故答案为:①②③④.
【点睛】主题主要考查二次函数的图像与性质,注意观察用图像,利用二次函数的性质解题.
16.如图,等腰直角AABC的斜边AB下方有一动点D,/ADB=90。,BE平分/ABD交CD于点E,则一
的最小值是
【答案】鉴
2
【解析】
【分析】
CE
如图,取AB的中点0,连接OC,OD,AE.想办法证明CE=CA,当CD是直径时——的值最小.
CD
【详解】如图,取AB的中点O,连接OC,OD,AE.
・.,NACB=NADB=90。,OA=OB,
.•.0C=0D=—AB,
2
:.A,C,B,D四点共圆,
VCA=CB,
・・・NCBA=NCBA=45。,
・・・NCDA=NCBA=45。,NCDB=NCAB=45。,
ZCDB=ZCDA,
〈BE平分NABD,
,AE平分NBAD,
NBAE=NDAE,
VZCAE=ZCAB+ZBAE=45°+ZBAE,ZCEA=ZEDA+ZEAD=45°+ZDAE,
ZCAE=ZCEA,
,CA=CE=定值,
CF
...当CD的值最大时,——的值最小,
CD
cpAC/Q
;.CD是直径时,丝的值最小,最小值=•一~•=在,
CDBA2
故答案为正.
2
【点睛】本题考查了三角形的内心、等腰直角三角形的性质、四点共圆、圆周角定理、等腰三角形的判定
等知识;证明CA=CE是解题的关键.
三.解答题
17.计算:(-2x2)2+x3,x-x”x
【答案】4x4
【解析】
【分析】
利用积的乘方法则、同底数累的乘除法法则,直接运算得结果.
【详解】(-2x2)2+X3,X_x5^x
=4X4+X4-x4
=4x"
【点睛】本题考查了积的乘方、同底数幕的乘除法法则及合并同类项法则.掌握累的相关运算法则是解决
本题的关键.
18.矩形ABCD中,AE平分NBAD交BC于点E,CF平分NBCD交AD于点F,求证:AE〃CF.
【答案】见解析
【解析】
【分析】
由矩形的性质的AD〃BC,/BAD=/BCD=90。,由平行线的性质得出/AEB=NDAE,由角平分线定义得
出/AEB=/DAE=NBCF,即可得出AE〃CF.
【详解】证明:•・•四边形ABCD是矩形,
,AD〃BC,ZBAD=ZBCD=90°,
/AEB=/DAE,
:AE平分/BAD,CF平分/BCD,
ZDAE=-NBAD=45°,ZBCF=—ZBCD=45°,
22
AZAEB=ZDAE=ZBCF,
;.AE〃CF.
【点睛】本题考查了矩形的性质、平行线的判定以及角平分线定义;熟练掌握矩形的性质,证出
ZAEB=ZDAE=ZBCF是解题的关键.
19.为弘扬中华传统文化,了解学生整体数学阅读能力,某校组次阅读理解大赛的初赛,从中抽取部分学生
的成绩进行统计分析,根据测试成绩绘制出了频数分布表和频数分布直方图
分组/分频数频率
A组50<x<6060.12
B组60<x<70a0.28
C组70<x<80160.32
D组80<x<90100.20
E组90<x<10040.08
(1)表中的a=;抽取部分学生的成绩的中位数在组;
(2)把上面的频数分布直方图补充完整;
(3)全校总人数为1000人,如果成绩达到90及90分以上者为优秀,可推荐参加决赛,那么请你估计该校
进入决赛的学生大约有多少人.
【解析】
【分析】
(1)由A组频数及其频率可得总人数,总人数乘以B组频率可得a的值,根据中位数的定义可得答案;
(2)根据以上所求数据可补全图形;
(3)利用样本估计总体思想求解可得.
【详解】解:(1)I•样本容量为6+0.12=50,
.■=50x0.28=14,
•.•被调查的总人数为50,其中位数为第25、26个数据的平均数,
而第25、26个数据均落在C组,
.•.这组数据的中位数落在C组,
故答案为:14、C;
【点睛】本题考查了频数(率)分布直方图:提高读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力.利
用统计图获取信息时,必须认真观察、分析、研究统计图,才能作出正确的判断和解决问题.也考查了用
样本估计总体.
20.如图,在4x4的格点图中,口A3C为格点三角形,即顶点A、B、C均在格点上,利用无刻度直尺按
要求完成下列各题,并保留作图痕迹:
(1)在边A8上找一点E,使NBCE=45。(请在图①中完成);
An1
(2)在边AC上找一点。,使——=一(请在图②中完成).
DC2
【答案】(1)如图见解析;(2)如图见解析.
【解析】
【分析】
(1)直接利用网格结合等腰直角三角形的性质得出答案;
(2)直接利用相似三角形的判定与性质得出答案.
【详解】(1)如图,E为所求;
【点睛】此题主要考查了应用设计图与作图、相似三角形的性质和判定,正确利用网格分析是解题关键.
21.已知:如图,在△ABC中,AB=AC,AE是角平分线,平分NABC交AE于点经过8,M两点的
。0交BC于点G,交A8于点R尸B恰为。。的直径.
(1)求证:AE与。。相切;
(2)当BC=4,cosC=;时,求。。的半径.
3/
O'B
【答案】(1)通过证明OMLAE即可证明AE与(DO相切.
3
(2)半径为不
2
【解析】
【分析】
(1)连接OM.根据OB=OM,得/OMB=NOBM,结合BM平分NABC交AE于点M,得/OBM=/EBM,
则OM〃BE;根据等腰三角形三线合一的性质,得AELBC,则OMLAE,从而证明结论;(2)设圆的半
径是r.根据等腰三角形三线合一的性质,得BE=CE=2,再根据解直角三角形的知识求得AB=6,则OA=6-r,
从而根据平行线分线段成比例定理求解.
【详解】(1)连接0M,则0M=0B,如图所示:
NOBM=NOMB
•.•8M平分/A3C
NOBM=NEBM
ZOMB=ZEBM
:.OM//BE
:.ZAMO=ZAEB
而在/ABC中,A8=4C,AE是角平分线
:.AE±BC
:./AMO=/AEB=90°
与。。相切
(2)在/ABC中,是角平分线
/.BE=LBC=2,NABC=NACB
“u.21
...在Rt/ABC中cosNA8C=cosNACB=—=-
AB3
;.AB=6
设。O的半径为匚贝IAO=6-r
•:OM〃BC
:./\AOM^/\ABE
•_O_M___A__O
"BE-AB
„,r6-r
即=——
26
3
/.r=—
2
22.某客商准备采购一批特色商品,经调查,用16000元采购A型商品的件数是用7500元采购B型商品的件
数的2倍,一件A型商品的进价比一件B型商品的进价多10元.
(1)求一件A,8型商品的进价分别为多少元?
(2)若该客商购进4,B型商品共250件进行试销,其中A型品的件数不大于8型商品的件数,且不小于
80件,已知A型商品的售价为240元/件,B型商品的售价为220元/件,且全部售出,设购进A型商品机件,
求该客商销售这批商品的利润y与,〃之间的函数关系式,并写出〃,的取值范围;
(3)在(2)的条件下,客商决定在试销活动中每售出一件A型商品,就从一件A型商品的利润中捐献慈
善资金a元(0<。<80),若该客商售完所有商品并捐献资金后获得的最大收益是17100元,求的。值.
【答案】(1)一件B型商品的进价为150元,则一件4型商品的进价为160元;(2)y=10/n+17500,
8gms125;(3)a值为15
【解析】
【分析】
(1)设一件8型商品的进价为x元,则一件A型商品的进价为(x+10)元.根据16000元采购A型商品的
件数是用7500元采购B型商品的件数的2倍,列出方程即可解决问题;
(2)根据总利润=两种商品的利润之和,列出式子即可解决问题;
(3)设利润为w元.则卬=(80-。)机+7。(25。一加)=(1。一。),"+1750。,分三种情形讨论即可解决问
题,把7100代入解答即可.
【详解】解:(1)设一件8型商品的进价为x元,则一件A型商品的进价为(x+10)元,
理=吗2,
由题意:
x+10x
解得x=150,
经检验x=150是分式方程的解,
答:一件3型商品的进价为150元,则一件A型商品的进价为160元;
(2)因为客商购进A型商品机件,所以客商购进8型商品(250-根)件,
由题意:y—80w+70(250-m)=l0m+17500,
y=l0/77+17500,
80<m<250-m,
80<m<125;
(3)设利润为w元.则w=(8。—a)m+70(250—加)=(10-a)/n+17500,
①当10-。〉0时,即0<a<10时,.随机的增大而增大,所以机=125时,最大利润为(18750-125a)元;
②当10-。=0时,最大利润为17500元;
③当10-。<0时,即10<aV80时,w随机的增大而减小,所以机=80时,最大利润为(18300-80a)元,
18750-125«=17100^18300-80«=17100,
解得a=13.2(不合题意,舍去)或15.
答:若该客商售完所有商品并捐献资金后获得的最大收益是17100元,则a值为15.
【点睛】本题主要考查了分式的实际应用,一次函数的实际应用,二次函数的应用及最值问题,熟练掌握
相关知识及寻找题目的等量关系列式求解是解决本题的关键.
23.在RtZ\ACB中,ZACB=90°,点D为AB上一点.
(1)如图1,若CDLAB,求证:CD2=AD-DB;
FH4AD
(2)如图2,若AC=BC,EFLCD于H,EF与BC交于E,与AC交于F,且一=一,求——的值;
HE9BD
(3)如图3,若AC=BC,点H在CD上,且NAHD=45。,CH=3DH,直接写出tan/ACH的值为
【答案】(1)见解析;(2)-;(3)立
37
【解析】
【分析】
(1)证出NB=NACD,证明ACBDSAACD,得出CD:AD=BD:CD,即可得出结论;
FH
(2)设FH=4a,则HE=9a(a>0),R(1)WCH2=HE«FH=36a2,则CH=6a,在Rt^CHF中,tanZACD=
CH
2DP2
=一,过D作DP_LAC于P,则DP〃BC,在RtzSDPC中,tan/ACD=——=一,Z^ADP是等腰直角三角
3PC3
APDP2
形,得出AP=DP,求出——=——=不,由平行线分线段成比例定理即可得出答案;
PCPC3
(3)过点D作DM_LAH于M,设DH=2x,则CH=6x(x>0),CD=DH+CH=8x,证明ZkADHsACDA,
得出/DAH=NACH,AD:CD=DH:AD,求出AD=4x,证明AADM是等腰直角三角形,得出
DM=HM=2^DH=J5X,由勾股定理得出AM=J%x,由三角函数定义即可得出答案.
【详解】(1)证明:ICDJ_AB,
ZADC=ZCDB=90°,
ZACB=90°,
.".ZB+ZBCD=ZACD+ZBCD=90°,
/B=NACD,
.".△CBD^AACD,
ACD:AD=BD:CD,
.♦.CDJADRB;
.•.设FH=4a,则HE=9a(a>0),
:/ACB=90。,EFXCD,
.•.同(1)得:CH2=HE*FH=9ax4a=36a2,
ACH=6a,
*▲FH4a2
在RtACHF中,tan/ACD=————,
CH6a3
过D作DP_LAC于P,如图2所示:
则DP〃BC,
++DP2
在RSDPC中,tanZACD=—=-,
PC3
VAC=BC,ZACB=90°,
ZA=45°,
AADP是等腰直角三角形,
;.AP=DP,
.APDP2
''PC-PC
DP〃BC,
•AD_AP_2
BD-PC
(3)过点D作DM_LAH于M,如图3所示:
・.・CH=3DH,
・••设DH=2x,则CH=6x(x>0),
・・・CD=DH+CH=8x,
VAC=BC,ZACB=90°,
.\ZBAC=45°=ZAHD,
又・・・NADH=NCDA,
AAADH^ACDA,
・・・NDAH=NACH,AD:CD=DH:AD,
.\AD2=DH<D=16X2,
・・・AD=4x,
VDM±AH,NAHD=45°,
.•.△ADM是等腰直角三角形,
.\DM=HM=—DH=V2x,
2一
AM=yjAD2-DM2=J(4x)2-(岳『=714x.
DMy/2xJl
tanZACH=tanZDAH=------=-=;
AMV14x7
故答案为:叵.
7
【点睛】本题是相似形综合题目,考查了相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、直角
三角形的性质、三角函数定义、平行线分
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