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文档简介
高考数学函数压轴题:
I4
1.已知函数fM^-x^+ax+b^beR)在x=2处取得的极小值是一
(1)求/(x)的单调递增区间;
⑵若xe[-4,3]时,有/(%)«*+加+一恒成立,求实数〃?的取值范围.
2.某造船公司年最高造船量是20艘.已知造船x艘的产值函数R(x)=3700x+45x2-
10x“单位:万元),成本函数为C(x)=460x+5000(单位:万元).又在经济学中,函数
f(x)的边际函数Mf(x)定义为:Mf(x)=f(x+1)-f(x).求:(提示:利润=产值-
成本)
(1)利润函数P(x)及边际利润函数MP(x);
(2)年造船量安排多少艘时,可使公司造船的年利润最大?
(3)边际利润函数MP(x)的单调递减区间,并说明单调递减在本题中的实际意义是什
么?
3.已知函数夕*)=5x2+5x+l(xeR),函数y=/(幻的图象与夕(幻的图象关于点
(0,工)中心对称。
2
(1)求函数y=/(x)的解析式;
⑵如果g](x)=f(x),gn(x)=f[gn_t(x)](neN,n>2),试求出使g2(x)<。成
立的x取值范围;
(3)是否存在区间E,使Eck|/(x)<0}=①对于区间内的任意实数x,只要
neN,且“22H寸,都有g"(x)<0恒成立?
4.已知函数:=~3(aeR月/Ha)
a—x
(I)证明:£6)+2+£(2@—分二0对定义域内的所有乂都成立.
(II)当f(x)的定义域为[a+,,a+l]时,求证:f(x)的值域为[—3,-2];
2
(III)设函数g(x)=x2+|(X—a)f(x)|,求g(x)的最小值.
5.设/(%)是定义在[0,1]上的函数,若存在x*e(0,1),使得/(x)在[0,x*]上单调递增,在
上单调递减,则称/(x)为[0J上的单峰函数,x*为峰点,包含峰点的区间为含峰区间.
对任意的[0,1]上的单峰函数/(x),下面研究缩短其含峰区间长度的方法.
(1)证明:对任意的事,々6(0,1),苞<彳2,若/(芭)2/(々),则(0,4)为含峰区间;若
/(x()</(x2),则(项,1)为含峰区间;
(2)对给定的«0<尸<0.5),证明:存在再,々€(0,1),满足》2-苞?2r,使得由(1)所
确定的含峰区间的长度不大于0.5+r:
6.设关于x的方程2--ax-2=0的两根分别为a、/?(«</?),函数/(x)=空二区
x+1
(1)证明/(X)在区间(a,£)上是增函数;
(2)当。为何值时,/(x)在区间[a,上的最大值与最小值之差最小
7.甲乙两公司生产同一种新产品,经测算,对于函数/(x)=x+8,g(x)=J7+12,
及任意的x20,当甲公司投入x万元作宣传时,乙公司投入的宣传费若小于/(x)万元,
则乙公司有失败的危险,否则无失败的危险;当乙公司投入x万元作宣传时,甲公司投入的
宣传费若小于g(x)万元,则甲公司有失败的危险,否则无失败的危险.设甲公司投入宣传
费x万元,乙公司投入宣传费y万元,建立如图直角坐标系,试回答以下问题:
⑴请解释f(o),g(o);
(2)甲、乙两公司在均无失败危险的情况下尽可能少地投入宣传费用,问此时各应投入多少
宣传费?
(3)若甲、乙分别在上述策略下,为确保无失败的危险,根据对方所投入的宣传费,按最少
投入费用原则,投入自己的宣传费:若甲先投入为=12万元,乙在上述策略下,投入最
少费用仇;而甲根据乙的情况,调整宣传费为生;同样,乙再根据甲的情况,调整宣传
费为名,…,如此得当甲调整宣传费为4时,乙调整宣传费为2;试问是否存在山门为,
lim〃,的值,若存在写出此极限值(不必证明),若不存在,说明理由.
〃一)8
8.设“X)是定义域在[-1,1]上的奇函数,且其图象上任意两点连线的斜率均小于零.
(1)求证“X)在[―1,1]上是减函数;
(11)如果/(x—c),/(x-T)的定义域的交集为空集,求实数c的取值范围;
(111)证明若一1<。《2,则/(x-c),存在公共的定义域,并求这个公
共的空义域.
9.已知函数f(x)=ax'+bx+c,其中aCN*,bGN,c€Z»
(1)若b>2a,且f(sinx)(x£R)的最大值为2,最小值为-4,试求函数f(x)的最小
值;
(2)若对任意实数x,不等式4xWf(x)W2(x2+l)恒成立,且存在x。,使得f(xo)<2
(xo2+l)成立,求c的值。
10.已知函数/(x)=x4-4/_]在区间[o,1]上单调递增,在区间[1,2]上单调递
减;
(1)求a的值;
(2)求证:x=l是该函数的•条对称轴;
(3)是否存在实数b,使函数g(x)=b--l的图象与函数f(x)的图象恰好有两个交点?
若存在,求出b的值;若不存在,请说明理由.
11.定义在区间(0,8)上的函f(x)满足:(1)f(x)不恒为零;(2)对任何实数x、q,都
有〃x")=/(x).
(1)求证:方程f(x)=O有且只有一个实根;
(2)若a>b>c>l,且a、b、c成等差数列,求证:/(4)・/(c)Y(田;
(3)(本小题只理科做)若f(x)单调递增,且m>n〉0时,有=|/(〃)|=2/('产),
求证:3</??<2+V2
12.已知三次函数/(x)=/+ax2+bx+c在y轴上的截距是2,且在(一8,-1),(2,+8)
上单调递增,在(-1,2)上单调递减.
(1)求函数£(x)的解析式;
广⑴
(II)若函数/z(x)一(〃?+l)ln(x+m),求/z(x)的单调区间.
3(x-2)
13.已知函数/*)=县+百』-1)(4H0且4H1).
ax
(1)试就实数。的不同取值,写出该函数的单调递增区间;
(2)已知当x>0时,函数在(0,")上单调递减,在(卡,—)上单调递增,求a的值并
写出函数的解析式;
(3)(理)记⑵中的函数的图像为曲线C,试问是否存在经过原点的直线/,使得/为
曲线C的对称轴?若存在,求出/的方程;若不存在,请说明理由.
(文)记(2)中的函数的图像为曲线C,试问曲线C是否为中心对称图形?若是,
请求出对称中心的坐标并加以证明;若不是,请说明理由.
14.已知函数/(x)=log“x和g(x)=21og〃(2x+f-2),(q>0,aHl,/eR)的图象在
x=2处的切线互相平行.
(I)求f的值;
(H)设/(x)=g(x)-/(x),当xe[l,4]时,/(x)22恒成立,求a的取值范围.
15.设函数/(x)定义在R+上,对任意的R+,恒有/(机•”)=/(a)+/(〃),且当
x>l时,/(x)<0»试解决以下问题:
(1)求/(I)的值,并判断/(x)的单调性;
(2)设集合A={(x,y)l/(x+y)+f(x-y)>0],B={(x,y)lf(ax-y+2)=0,aG/?},
若AABH。,求实数a的取值范围;
(3)若0<a<b,满足1/(。)H/S)1=2I,求证:3<。<2+夜
16.(理科)二次函数f(x)=x?+ax+b(a、beR)
(1)若方程f(x)=0无实数根,求证:b>0;
1°
(II)若方程f(x)=O有两实数根,且两实根是相邻的两个整数,求证:f(—a)=—(a?-1);
4
(HI)若方程f(x)=O有两个非整数实根,且这两实数根在相邻两整数之间,试证明存在整
数k,使得
(文科)已知函数f(x)=ax2+bx+c,其中aeN',beN,ceZ.
(I)若b>2a,且f(sinx)(xGR)的最大值为2,最小值为一4,试求函数f(x)的最小值;
(II)若对任意实数x,不等式4x«f(x)<2(/+1)恒成立,且存在
/使得/'(%)<2(X2O+1)成立,求c的值。
17.定义在(-1,1)上的函数f(x)满足:对任意x、y三(-1,1)都有1■•刀。
(1)求证:函数f(x)是奇函数;
(II)如果当时,有f(x)〉O,判断f(x)在(-1,1)上的单调性,并加以证明;
(III)设T<a<l,解不等式:"
2
18.已知二次函数/(x)=ax+bx+l(a>0,/>eR),设方程f(x)=x有两个实数根xi、x2.
(I)如果Xi<2<x2<4,设函数f(x)的对称轴为x=xo,求证xo>—1;
(H)如果0<为<2,且£«)=*的两实根相差为2,求实数b的取值范围.
19.函数/(x)的定义域为R,并满足以下条件:①对任意xeR,有/(x)>0;
②对任意x、yeR,有/(盯)=[_/'(x)]';③则
(1)求/(0)的值;(4分)
(2)求证:/(x)在R上是单调增函数:(5分)
(3)若〃>。>c>0,且b?=,求证:f(a)+/(c)>2f(h).
20.(理)已知,。)=历(1+/)+原(。40)
(1)讨论/(x)的单调性;
(2)证明:(1+(•)(1+(•)…(1+4)<e("CN"),〃22其中无理数e=2.71828…).
(文)设函数/(x)=-ax3+bx~+cx(a<b<c),其图象在点
处的切线的斜率分别为o,-a.
(1)求证:1;
a
(2)若函数的递增区间为[s,r],求[s-r]的取值范围.
21.设函数/(x)=—+lax2—3a2x+&(0<a<1)
(1)求函数f(x)的单调区间,并求函数f(x)的极大值和极小值;
(2)当xG[a+l,a+2]时,不等l/'(x)Ka,求a的取值范围.
If-t
22.已知函数f(x)=x+------,函数g(x)=61nx+m.
x-1
(1)当X>1时,求函数f(x)的最小值;
(2)设函数h(x)=(l—x)f(x)+16,试根据m的取值分析函数h(x)的图象与函数g(x)
的图象交点的个数.
23.已知二次函数〃乃=奴2+bx+c,直线%-.y=-t2+8f(其中OWf<2/为常数);
/2:X=2.若直线1卜12与函数£行)的图象以及L,y轴与函数f(x)的图象所围成的封
闭图形如阴影所示.
(I)求a、b、c的值;
(II)求阴影面积S关于t的函数S(t)的解析式;
(III)若g(x)=61nx+〃?,问是否存在实数m,使得y=f(x)的图象与y=g(x)的图象
有且只有两个不同的交点?若存在,求出m的值;
24.已知f(x)=Mx-a)(x-M),点A(s,f(s)),B(t,f(t))
(I)若a=b=l,求函数/(x)的单调递增区间;
(ID若函数/(x)的导函数/'(x)满足:当|x|W1时,有恒成立,求函数
f(x)的解析表达式;
(III)若O〈a〈b,函数/(x)在x=s和x=f处取得极值,且a+b=26,证明:苏与
0B不可能垂直.
2
25.已知函数/(x)=/---(/weR).
x
⑴设g(x)=/(x)+lnx,当时,求g(x)在[1,2]上的最大值;
42
(2)若),=logJ8-/(刈在[1,+8)上是单调减函数,求实数m的取值范围.
3
26.(本小题满分12分)
nn
已知常数a>0,n为正整数,fn(x)=x-(x+a)(x>0)是关于x的函数.
(1)判定函数fn(x)的单调性,并证明你的结论.
(2)对任意n2a,证明f'n+i(n+1)<(n+1)fn'(n)
答案:
/(2)=4+a=0
a=-4
1.解:⑴f\x)=x1+a,由题意<840"
f(2)=-+2a+b=--|b=4
、JJ
令1f(x)=x2—4>0得/(x)的单调递增区间为(-8,-2)和(2,8).
3
(2)/(X)=1X-4X+4,当x变化时,/(幻与/(X)的变化情况如下表:
X-4(-4,-2)-2(-2,2(2,33
2))
00
/'(X)
_4单调28单调单调1
fW
~3递增T递减_4递增
-3
所以xe[T,3]时,/(初皿=号.于是/COW/+机+方在xe[T,3]上恒成立等价
1()28
m~+m+—>—,求得加e3]u[2,+o«).
2.解:(1)P(x)=R(x)-C(x)=-10x3+45x2+3240x-5000(xeN且xe[l,20]);
2分
MP(x)=P(x+1)-P(x)=-30x2+60x+3275(xeN且xe[l,20]).4
分
(2)P'(x)=-30x2+90x+3240=-30(x+9)(x-12)(xeN且xe[l,20])
7分
当1〈x<12时,P'(x)>0,P(x)单调递增,
当12〈x<20时,P'(x)<0,P(x)单调递减.
二x=12时,P(x)取最大值,10分
即,年建造12艘船时,公司造船的年利润最大.11分
(3)由MP(x)=-30(x-1)2+3305(xeN且xe[l,20]).
.,•当1<x<20时,MP(x)单调递减.12分
MP(x)是减函数说明:随着产量的增加,每艘利润与前一台比较,利润在减少.1
3.解:(1)/(x)=5x-5/..................................................(6
分)
(2)由g2(x)=5gl(x)-5g;(x)<0解得g](x)<0或g](x)>1
即5x-5-<Osg5x-5x2>1
解得x<0或x>1或^~—<x<§+书..........................(12分)
1010
(1)由<()}二卜上<0或x>1},
又」+石)nL|x<0或x>1}=①,
101011J
当",'"if)时'g2(x)<。,g3(x)=5g2(x)-5g22(x)<0.
,对于〃=2,3时,Eu(左正,立近),命题成立。
(14分)
—1010
以下用数学归纳法证明Eq(f5,〈5)对〃eN,月.〃22时,都有g,(x)<0成立
假设〃=MAN2,AeN)时命题成立,即g*(x)<0,
那么g川(x)=(x)]=5gk(x)-5gJ(x)<0即〃=后+1时,命题也成立。
•••存在满足条件的区间E=(匕521)。
1010
._/Y、、*rri〜、—、无+1—〃-2。—X+1—Q
4.解:(I)证明:/(x)+2+f(2a-x)=-------+2+------------
a-xa—2a+x
x—cix+1x+1—〃+2〃—2x—a+x—1八
=-------+2+-------=-------------------------=0
a-xx-aa-x
・••结论成立............................4分
(H)证明:/(x)="(a~X)+1=-1+—
a-xa-x
当Q+1时一Q-1〈一X<-Q-J-1<a-x<-—,-2<---<-1
222a-x
-3<-l+-^—<-2即/(x)值域为[—3,—2]......9分
a-x
(III)解:g(x)=/+Ix+1I(XW。)
i3
(1)当x2〃-1且xWa时,g(x)=/+x+l-a=(x+—)2+—
如果即时,则函数在[a-1,a)和(a,8)上单调递增
22
g(x)min=g(a-l)=(a-l)2
如果Q-1<一;即当Q<(且。W—g时,g*)min=8(~~)=~~a
当Q二一^时,g(x)最小值不存在....................11分
(2)当xW〃-1时g(x)=x2-x-\+a=(%—3)2+。一?
如果Q-1>g即Q>'时g(X)min=
1o
如果。一1工耳即。《5时g(X)在(-©0,4-1)上为减函数g(X)mm=g(。T)=(。-D?…13分
353131
当a>一时(〃-1)2-(a—)=(a—)2>0当〃<一时(〃-1)2-(---a)=(a—)2>0
242242
综合得:当a<L月.a时g(x)最小值是』一a
224
I335
当一—时g(x)最小值是(a—l)2当a>—时g(x)最小值为。一己
2224
当a=-^•时g(x)最小值不存在
2
5.解:(1)证明:设x*为/(x)的峰点,则由单峰函数定义可知,/")在[0,x*]上单调递增,在
[x*,l]上单调递减,
当f(x,)>f(x2)时,假设x*任(0,x2),则x<々<%*,从而/(X*)N/U2)>/(x,),这与
/(%,)>/。2)矛盾,所以x*e(0,/),即(0,々)为含峰区间.
当/(x,)</(x2)时,假设x*出(再,1),则x*4用</,从而/(/)>/(x,)>/(/),这与
/(%,)</(/)矛盾,所以x*e(X1,l),即(七,1)为含峰区间.....................(7分)
(2)证明:由(1)的结论可知:
当/(x,)>/(%)时,,含峰区间的长度为/|=》2;
当/(%()</(々)时,含峰区间的长度为,2=1一再;
对于上述两种情况,由题意得《2①
1-X,<0.5+r
由①得1+尤2—X]W1+2r,即—X1<2r,
又因为马一七22r,所以32—玉=2厂②
将②代入①得x,<0.5-r,x2>0.5+r,③
由①和③解得X]=0.5—r,%2=0.5+厂,
所以这时含峰区间的长度乙=/2=0.5+r,
即存在9使得所确定的含峰区间的长度不大于0.5+r
6.解:(1)证明:/解)=((:+')
由方程2x2-ax-2=0的两根分别为白、夕(a<⑶知
xc(a,夕)时,2x2-ax—2<0,所以此时/'(x)>0,
所以/(x)在区间(a,£)上是增函数
⑵解:由(1)知在(a,⑶上,/(x)最小值为/(a),最大值为/(0,
4a-a
or+1
(B-a)[a[a+£)+4-4"]
a~/3'+[(a+/?)2-2a(3]+1
2
,.•a+〃=£a,aj3=-i,可求得用一二=,3-+4,
J"+4.(〃+4+4)
=U——/-=J/+16,
1+—+2+1
4
所以当a=0时,/(x)在区间[a,夕]上的最大值与最小值之差最小,最小值为4
7.解:(1)/(0)表示当甲公司不投入宣传费时,乙公司要回避失败风险,至少要投入/(0)=8
万元;(2分)
g(0)表示当乙公司不投入宣传费时,甲公司要回避失败风险,至少要投入g(0)
=12万元.(4分)
(2)解方程组
x=6+12
...(6分)
y=x+8
得:x=17,y=25....•(9分)
故甲公司至少投入17万元,
乙公司至少投入25万元.••(11分)
(3)经观察,
显见lima“=17,limb,,=25.
故点M(17,25)是双方在宣传投入上保
证自己不失败的一个平衡点.......(16分)
8.解:(1)•.•奇函数/(x)的图像上任意两点连线的斜率均为负
,对于任意玉、x2e[-1,1]且X]。/有
')一小)<0.........................................3分
X1f
从而X]-无2与/(占)-f(X2)异号
.••/(*)在[—1,1]上是减函数.................................5分
(2)/(x—c)的定义域为[c—1,c+\]
/(》一,2)的定义域为[c2_l,C2+l]........................7分
V上述两个定义域的交集为空集
则有:c2-1>c+1或+1<c-1....................9分
解得:。>2或(?<-1
故c的取值范围为。>2或c<—l.....................................10分
(3),/。2+1>,一1恒成立
由(2)知:当一1WCW2时
c2-l<c+l
当1WcW2或一1WcWO时
c2+1>c+lKc2-1>c-l
此时的交集为c+1]...............................12分
当0<c<l
c2+1<C+1且
此时的交集为[c—1,c2+l]
故—1WCW2时,存在公共定义域,且
当一IWcWO或1WcW2时,公共定义域为c+1];
当0<c<l时,公共定义域为[c-l,c2+l].
9.解:(1)由函数f(x)的图像开口向上,对称轴x=-b/2a〈一l知,f(x)在[-1,1]
上为增函数,故f(1)=a+b+c=2,f(―1)=a—b+c=—4,;.b=3,a+c=—1。又
2
b>2a,故a=l,c=-2eAf(x)=x+3x-2,最小值为一17/4。
(2)令x=l,代入不等式4xWf(x)W2(x2+l)得f(1)=4,即a+b+c=4,从而b
=4—a—Co又4x〈f(x)恒成立,得ax2+(b—4)x+c20恒成立,故4=(b—4)?一
4acW0,.*.a=Co又b20,a+cW4,♦・.c=l或c=2。当c=2时,f(x)=2x2+2,此时
不存在满足题意的x。。当c=l时满足条件,故c=l。
10.解:⑴
•・•/(X)在[0,1]上单调递增,在[1,2]上单调递减,.•.当x=l时,/(X)取得极大值,
//(x)=0,即(41-12/+2ax)L=I=0,:.a=4,
(2)设点A
(X。J。。))是/'(x)上的任一点,它关于x=l的对称点的坐标为8(2-x0,/(x0)),
V/(2—x0)=/(4)J.x=1是?=/(x)的图象的一条对称轴。
由g(x)="2一1与f(x)=x4_41+4——1的图象恰有2个不同的交点对应于方程
版2一』4一4炉+4--1恰有2个不同的实根,即
x4—4x?+4x2—bx2=0/.x=0^一个根,当x=0时b=4,当x,0时方程有等根得〃=0
-,.b=4或b=0为所求.
11.解:⑴取x=l,q=2,有
/(12)=〃2)即〃1)=0.・.1邺(乃=0的一个根,若存在另一个实根与,使得
/区)。0对任意的再区e(0,+8)成立,月.为二飞夕日。0),有y(X1)=必③)=0,
/(x0)=0恒成立,r./(X])三0,与条件矛盾,/(x)=0有且只有一个实根x=1
(2):a>b>c>1,不妨设。=匕矶,c=匕取,
,则一〉0,q°>0:.f(a)・f(c)=fW)・f(b")=q1q”产⑻,又a+c=2b,
..22=—生立<0
4
/\2
即ac<b」2VA2,...oW%+"<1A<f2(/?)
\2y
(3)
•.•/⑴=0J(x)在(0,+8)单调递增,当X€(O,1)时/(x)<0;当xw(l,+8)时,/(x)>0.
又|/(〃2)|=|/(〃)|,;.f(/n)=f(n),f(m)=-f(n),-.-m>n>0,.\f(m)=-f(n).
令m=b,n-bg2,bW1,且q©2。。
/\2
=
则f(m)+f(n)=(q,+q2)f(b)=f(mn)=0/./M/J=1.0<n<1<m,':|/(m)|2/l—~—I,且
,m+nI—,r/、c,/"?+〃、、r(m+n\(m+nV
m>>^mn=1,v/(?«)=2/(—y-),.\/(w)=/II
即4m=m2+2mn+n2'.\4m-m2-2-n2,由0<n<l得0<4m-m2-2<1,,/m>\,
.\3<m<2+V2
12.解:(1);/(n="+4—+"+<?在丫轴上的截距是2,;.£(0)=2,.言=2.1分
又•••/(x)在(—8,—1),(2,+8)上单调递增,(-1,2)上单调递减,
.•./'(x)=3x2+2ax+b=0有两个根为一1,2,
-1+2=-—[_3,
3。=—30
*.,・<2••/(x)=x—厂—6x+2,........5分
、〜b7,2
-1x2=—h=-6
31
(II)•//'(x)=3x2-3x-6=3(x+l)(x-2),
//(x)=x+1—(m+l)ln(x+〃?)(x>一机且xH2),.....6分
,.m+1x-1,八
/.h(x)=l-------=------,...............................7分
x+mx+m
当mW—2时,一m22,定义域:(―加,+8),
h\x)>0恒成立,力(%)在(一%+oo)上单增;..................8分
当一2<用工一1时,2>-m>1,定义域:(一〃?,2)U(2,+8)
(九)>0恒成立,力。)在〉九2),(2,+oo)上单增..................9分
当m>一1时,一m<1,定义域:(m,2)U(2,+8)
由//(x)>0得x>1,由//(x)<0得x<1.
故在(1,2),(2,+8)上单增;在(一机,1)上单减............11分
综上所述,当mW—2时,h(x)在(-m,+8)上单增;
当一2<m<-1时,/z(x)在(一优,2),(2,+8)上单增;
当m>"1时,在(1,2),(2,+8)上单增;在(一m,1)单减.…12分
13.解:(1)①当。<0时,函数/(幻的单调递增区间为-1),0)及(0,〃("1)),
②当0<。<1时,函数/(x)的单调递增区间为(-oo,0)及(0,+oo),
③当。>1时,函数/(X)的单调递增区间为—7ag-1))及-1),+-).
(6分)
(2)由题设及设)中③知5-1)=指且a>1,解得。=3,(9分)
因此函数解析式为/(x)=l+1±(xHO).(10分)
3x
(3)(理)假设存在经过原点的直线/为曲线C的对称轴,显然x、y轴不是曲线C的
对称轴,故可设/:y=kx(无片0),
设P(p,q)为曲线C上的任意一点,P'(p',/)与P(p,q)关于直线/对称,且
p^p,q手q',则P'也在曲线C上,由此得"=k史叱,旦二£=」,
22P~P左
HP,2G,p,2V3
且“飞+下’q飞+7,“分)
整理得」=之,解得k域或k=
k3
所以存在直线y=J"及y=-苧x为曲线C的对称轴.(16分)
(文)该函数的定义域。=(一,0)U(0,+8),曲线C的对称中心为(0,0),
因为对任意xeD,/(-%)=一叵+瓜—=J叵+技"叫=-/(x),
a-x|_ax
所以该函数为奇函数,曲线C为中心对称图形.
I4
14.解:([)..•/'(x)=-]og“e,g'(x)=;:;---------loge..............................3分
x2x+t-2u
,:函数/(x)和g(x)的图象在x=2处的切线互相平行
•••/'(2)=g'(2).......................................................................5分
1,4,
"2°§<,=7+2°§u
:.t=6...........................................................................................6分
(II)•.*t=6
・・・F(x)=g(x)-f(x)=21og”(2x+4)—log”x
,(2x+4)2r,,1
=log,,------------,X€[1,4]............................................................7分
X
令〃(x)=(2x+4)=4工+3+]6,/€[1,4]
xx
...hXx)=4-16=4(尤-2)(X+2)”[],4]
xx
...当lWx<2时,/i'(x)<0,当2<xW4时,///(x)>0.
二人。)在[1,2)是单调减函数,在(2,4]是单调增函数.....................9分
力(X)min=〃(2)=32,/./i(x)mav=/l(l)=力(4)=36
...当0<”1时,有f(x)min=10g036,当。〉1时,有歹(x)*=10g“32.
•.•当xe[l,4]时,/(x)22恒成立,.•./(x)1Tmi22..................11分
•••满足条件的a的值满足下列不等式组
0<a<1,…[a>1,…
1①,或1②
[log.3622;[log,32>2.
不等式组①的解集为空集,解不等式组②得1<«<472
综上所述,满足条件的a的取值范围是:l<aW4行.
15.解:(1)在f(m-n)-f(m)4-/(;2)中令m=几=1,得
/(D=0;.............2分
设网>4>0,则土>1,从而有/(%)<0
XX
L
所以,/(%1)=/(X2-)=f(/)+/1)</(X2)
x2x2
所以,f(x)在R+上单调递
减..............5分
(2)-//(x+y)+/(x-y)=/(x2-y2)>O=/(l),由(1)知,/(x)在R+上单调递减,
x+y>0
<x-y>0,.............7分
x2-y2<l
故集合A中的点所表示的区域为如图所示的阴影部分;
而/(ax—y+2)=0=/(I),所以,ax—y+l=0,
故集合5中的点所表示的区域为一直线,如图所示,
由图可知,要4口8。0,只要。<1,
.♦•实数a的取值范围是(-8,1)10分
(3)由(1)知/(x)在R+上单调递减,,当0<x<l时,/(x)>0,当x>"寸,/(x)<0,
v0<a<b,WI/(a)H/0)L:.a<\,b>\,故/⑷>0J3)<0,
由"(a)l="3)l得,f(a)+f(b)=0,所以,
ab=\,..............12分
又审>痴=1,所以/(苫2)</(1)=0,
又・••/3)=2/(货)=/(审)
由1/3)1=21/(^^)I得,4b=(a+b)2=a2+b2+2,:.4b-b2=a
+2,
又0<。<1,所以2</+2<3,由
2<4/?—〃<3及6>1解得,3<Z><2+V2
16.解:(理)(I)A=Y一也若。40,则ANO,方程有实根与题设矛盾..\/?>0.(3
分)
(II)设两整根为Xl,X2,X1>X2
匹+九2=一《,:.a2-4b=\
vX|X2=b,Q2_]
ib=------
3-x2=1,4
1°
/(-6Z)=〃=—(a~-1)(5分)
4
(III)设m<Xi<X2〈m+l,m为整数。
6f2-4/?>0=>/?<—
4
1Oa.11
1-G(/n,m4--]即一1W〃+2m<0
.、2i2/a、21
f(m)二机4-am+bam4---=(〃?+—)<—
424
cc。/1i、
2.—G(〃?+—,m+l)
22
00Q2Oil
2
f(m+l)=(m+1)~+Q。%+1)+/?<(/n4-2)+a(m+1)H---=(m+1+—)<-
424
・•・存在.(6分)
(文)f(sinx)二asin?x+bsinx+c
--<-l,A对称轴在X=-1左边
2a
/(sinx)min=/(-I)=-4,f(sinx)max=f(1)=2,
a—b+c=—4,b=3,
Q+/7+(?=2,[c=—1—6Z,
又b>2a>0,:.a=\,c=—2./.f(x)=x2+3x—2.
17
/Wmin(7分)
(2)・・・4x</(x)<2(x2+1),.\4</(I)<2(1+1)=4,/./(I)=4.(1分)
.'.a+h+c=4,即。—4=—(a+c).(l分)
又/(x)>4x,即ar?+(h-4)x+c>0恒成立.
A=(/?-4)-4ac<0,即(一a-c)2-4ac<0,
A(a—c)2<0
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