高中数学函数压轴题

高考数学函数压轴题:

I4

1.已知函数fM^-x^+ax+b^beR)在x=2处取得的极小值是一

(1)求/(x)的单调递增区间；

⑵若xe[-4,3]时,有/(%)«*+加+一恒成立,求实数〃?的取值范围.

2.某造船公司年最高造船量是20艘.已知造船x艘的产值函数R(x)=3700x+45x2-

10x“单位：万元)，成本函数为C(x)=460x+5000(单位：万元).又在经济学中，函数

f(x)的边际函数Mf(x)定义为：Mf(x)=f(x+1)-f(x).求：(提示：利润=产值-

成本)

(1)利润函数P(x)及边际利润函数MP(x);

(2)年造船量安排多少艘时，可使公司造船的年利润最大？

(3)边际利润函数MP(x)的单调递减区间，并说明单调递减在本题中的实际意义是什

么？

3.已知函数夕*)=5x2+5x+l(xeR),函数y=/(幻的图象与夕(幻的图象关于点

(0,工)中心对称。

2

(1)求函数y=/(x)的解析式；

⑵如果g](x)=f(x),gn(x)=f[gn_t(x)](neN,n>2),试求出使g2(x)<。成

立的x取值范围；

(3)是否存在区间E,使Eck|/(x)<0}=①对于区间内的任意实数x,只要

neN,且“22H寸，都有g"(x)<0恒成立？

4.已知函数：=~3(aeR月/Ha)

a—x

(I)证明：£6)+2+£(2@—分二0对定义域内的所有乂都成立.

(II)当f(x)的定义域为［a+,,a+l］时，求证：f(x)的值域为［—3,-2］；

2

(III)设函数g(x)=x2+|(X—a)f(x)|,求g(x)的最小值.

5.设/(%)是定义在［0,1］上的函数，若存在x*e(0,1)，使得/(x)在［0,x*］上单调递增，在

上单调递减，则称/(x)为［0J上的单峰函数，x*为峰点，包含峰点的区间为含峰区间.

对任意的［0,1］上的单峰函数/(x),下面研究缩短其含峰区间长度的方法.

(1)证明：对任意的事,々6(0,1)，苞＜彳2,若/(芭)2/(々)，则(0,4)为含峰区间；若

/(x()＜/(x2),则(项,1)为含峰区间；

(2)对给定的«0＜尸＜0.5),证明：存在再,々€(0,1),满足》2-苞？2r，使得由(1)所

确定的含峰区间的长度不大于0.5+r：

6.设关于x的方程2--ax-2=0的两根分别为a、/?(«＜/?),函数/(x)=空二区

x+1

(1)证明/(X)在区间(a,£)上是增函数；

(2)当。为何值时，/(x)在区间［a,上的最大值与最小值之差最小

7.甲乙两公司生产同一种新产品，经测算，对于函数/(x)=x+8,g(x)=J7+12,

及任意的x20,当甲公司投入x万元作宣传时，乙公司投入的宣传费若小于/(x)万元，

则乙公司有失败的危险，否则无失败的危险；当乙公司投入x万元作宣传时，甲公司投入的

宣传费若小于g(x)万元，则甲公司有失败的危险，否则无失败的危险.设甲公司投入宣传

费x万元，乙公司投入宣传费y万元，建立如图直角坐标系，试回答以下问题：

⑴请解释f(o),g(o)；

(2)甲、乙两公司在均无失败危险的情况下尽可能少地投入宣传费用，问此时各应投入多少

宣传费？

(3)若甲、乙分别在上述策略下，为确保无失败的危险，根据对方所投入的宣传费，按最少

投入费用原则，投入自己的宣传费：若甲先投入为=12万元，乙在上述策略下，投入最

少费用仇；而甲根据乙的情况，调整宣传费为生；同样，乙再根据甲的情况，调整宣传

费为名，…,如此得当甲调整宣传费为4时，乙调整宣传费为2；试问是否存在山门为，

lim〃,的值，若存在写出此极限值(不必证明)，若不存在，说明理由.

〃一)8

8.设“X)是定义域在［-1,1］上的奇函数，且其图象上任意两点连线的斜率均小于零.

(1)求证“X)在［―1,1］上是减函数；

(11)如果/(x—c),/(x-T)的定义域的交集为空集，求实数c的取值范围；

(111)证明若一1<。《2,则/(x-c),存在公共的定义域，并求这个公

共的空义域.

9.已知函数f(x)=ax'+bx+c,其中aCN*,bGN,c€Z»

(1)若b>2a,且f(sinx)(x£R)的最大值为2,最小值为-4,试求函数f(x)的最小

值；

(2)若对任意实数x,不等式4xWf(x)W2(x2+l)恒成立，且存在x。，使得f(xo)<2

(xo2+l)成立，求c的值。

10.已知函数/(x)=x4-4/_］在区间［o,1］上单调递增，在区间［1,2］上单调递

减；

(1)求a的值；

(2)求证：x=l是该函数的•条对称轴；

(3)是否存在实数b,使函数g(x)=b--l的图象与函数f(x)的图象恰好有两个交点？

若存在，求出b的值；若不存在，请说明理由.

11.定义在区间(0,8)上的函f(x)满足：(1)f(x)不恒为零；(2)对任何实数x、q,都

有〃x")=/(x).

(1)求证：方程f(x)=O有且只有一个实根；

(2)若a>b>c>l,且a、b、c成等差数列，求证：/(4)・/(c)Y(田；

(3)(本小题只理科做)若f(x)单调递增，且m>n〉0时，有=|/(〃)|=2/('产)，

求证：3</??<2+V2

12.已知三次函数/(x)=/+ax2+bx+c在y轴上的截距是2,且在(一8,-1),(2,+8)

上单调递增，在(-1,2)上单调递减.

(1)求函数£(x)的解析式；

广⑴

(II)若函数/z(x)一(〃?+l)ln(x+m),求/z(x)的单调区间.

3(x-2)

13.已知函数/*)=县+百』-1)(4H0且4H1).

ax

(1)试就实数。的不同取值，写出该函数的单调递增区间；

(2)已知当x>0时，函数在(0,")上单调递减，在(卡,—)上单调递增，求a的值并

写出函数的解析式；

(3)(理)记⑵中的函数的图像为曲线C,试问是否存在经过原点的直线/,使得/为

曲线C的对称轴？若存在，求出/的方程；若不存在，请说明理由.

(文)记(2)中的函数的图像为曲线C,试问曲线C是否为中心对称图形？若是，

请求出对称中心的坐标并加以证明；若不是，请说明理由.

14.已知函数/(x)=log“x和g(x)=21og〃(2x+f-2),(q>0,aHl,/eR)的图象在

x=2处的切线互相平行.

(I)求f的值；

(H)设/(x)=g(x)-/(x),当xe[l,4]时，/(x)22恒成立，求a的取值范围.

15.设函数/(x)定义在R+上，对任意的R+,恒有/(机•”)=/(a)+/(〃)，且当

x>l时，/(x)<0»试解决以下问题：

(1)求/(I)的值，并判断/(x)的单调性；

(2)设集合A={(x,y)l/(x+y)+f(x-y)>0],B={(x,y)lf(ax-y+2)=0,aG/?},

若AABH。，求实数a的取值范围；

(3)若0<a<b,满足1/(。)H/S)1=2I,求证：3<。<2+夜

16.(理科)二次函数f(x)=x?+ax+b(a、beR)

(1)若方程f(x)=0无实数根，求证：b>0；

1°

(II)若方程f(x)=O有两实数根，且两实根是相邻的两个整数，求证：f(—a)=—(a?-1)；

4

(HI)若方程f(x)=O有两个非整数实根，且这两实数根在相邻两整数之间，试证明存在整

数k,使得

(文科)已知函数f(x)=ax2+bx+c,其中aeN',beN,ceZ.

(I)若b>2a,且f(sinx)(xGR)的最大值为2,最小值为一4,试求函数f(x)的最小值；

(II)若对任意实数x,不等式4x«f(x)<2(/+1)恒成立，且存在

/使得/'(%)<2(X2O+1)成立，求c的值。

17.定义在(-1,1)上的函数f(x)满足：对任意x、y三(-1,1)都有1■•刀。

(1)求证：函数f(x)是奇函数；

(II)如果当时，有f(x)〉O,判断f(x)在(-1,1)上的单调性，并加以证明；

(III)设T<a<l,解不等式："

2

18.已知二次函数/(x)=ax+bx+l(a>0,/>eR),设方程f(x)=x有两个实数根xi、x2.

(I)如果Xi<2<x2<4,设函数f(x)的对称轴为x=xo,求证xo>—1;

(H)如果0<为<2,且£«)=*的两实根相差为2,求实数b的取值范围.

19.函数/(x)的定义域为R,并满足以下条件：①对任意xeR,有/(x)>0；

②对任意x、yeR,有/(盯)=[_/'(x)]'；③则

(1)求/(0)的值；(4分)

(2)求证：/(x)在R上是单调增函数：(5分)

(3)若〃>。>c>0,且b?=,求证：f(a)+/(c)>2f(h).

20.(理)已知，。)=历(1+/)+原(。40)

(1)讨论/(x)的单调性；

(2)证明：(1+(•)(1+(•)…(1+4)<e("CN"),〃22其中无理数e=2.71828…).

(文)设函数/(x)=-ax3+bx~+cx(a<b<c),其图象在点

处的切线的斜率分别为o,-a.

(1)求证：1；

a

(2)若函数的递增区间为［s,r］,求［s-r］的取值范围.

21.设函数/(x)=—+lax2—3a2x+&(0<a<1)

(1)求函数f(x)的单调区间，并求函数f(x)的极大值和极小值；

(2)当xG［a+l,a+2］时，不等l/'(x)Ka,求a的取值范围.

If-t

22.已知函数f(x)=x+------,函数g(x)=61nx+m.

x-1

(1)当X>1时，求函数f(x)的最小值;

(2)设函数h(x)=(l—x)f(x)+16,试根据m的取值分析函数h(x)的图象与函数g(x)

的图象交点的个数.

23.已知二次函数〃乃=奴2+bx+c,直线%-.y=-t2+8f(其中OWf<2/为常数);

/2：X=2.若直线1卜12与函数£行)的图象以及L,y轴与函数f(x)的图象所围成的封

闭图形如阴影所示.

(I)求a、b、c的值；

(II)求阴影面积S关于t的函数S(t)的解析式；

(III)若g(x)=61nx+〃?,问是否存在实数m,使得y=f(x)的图象与y=g(x)的图象

有且只有两个不同的交点？若存在，求出m的值;

24.已知f(x)=Mx-a)(x-M),点A(s,f(s)),B(t,f(t))

(I)若a=b=l,求函数/(x)的单调递增区间；

(ID若函数/(x)的导函数/'(x)满足：当|x|W1时，有恒成立，求函数

f(x)的解析表达式；

(III)若O〈a〈b,函数/(x)在x=s和x=f处取得极值，且a+b=26，证明：苏与

0B不可能垂直.

2

25.已知函数/(x)=/---(/weR).

x

⑴设g(x)=/(x)+lnx,当时,求g(x)在［1,2］上的最大值；

42

(2)若),=logJ8-/(刈在［1,+8)上是单调减函数，求实数m的取值范围.

3

26.(本小题满分12分)

nn

已知常数a>0,n为正整数，fn(x)=x-(x+a)(x>0)是关于x的函数.

(1)判定函数fn(x)的单调性，并证明你的结论.

(2)对任意n2a,证明f'n+i(n+1)<(n+1)fn'(n)

答案:

/(2)=4+a=0

a=-4

1.解：⑴f\x)=x1+a,由题意<840"

f(2)=-+2a+b=--|b=4

、JJ

令1f（x）=x2—4>0得/（x）的单调递增区间为（-8,-2）和（2,8）.

3

（2）/（X）=1X-4X+4,当x变化时，/（幻与/（X）的变化情况如下表:

X-4(-4,-2)-2(-2,2(2,33

2))

00

/'（X）

_4单调28单调单调1

fW

~3递增T递减_4递增

-3

所以xe[T,3]时，/(初皿=号.于是/COW/+机+方在xe[T,3]上恒成立等价

1()28

m~+m+—>—,求得加e3]u[2,+o«).

2.解：(1)P(x)=R(x)-C(x)=-10x3+45x2+3240x-5000(xeN且xe[l,20]);

2分

MP(x)=P(x+1)-P(x)=-30x2+60x+3275(xeN且xe[l,20]).4

分

(2)P'(x)=-30x2+90x+3240=-30(x+9)(x-12)(xeN且xe[l,20])

7分

当1〈x<12时，P'(x)>0,P(x)单调递增,

当12〈x<20时，P'(x)<0,P(x)单调递减.

二x=12时，P(x)取最大值，10分

即，年建造12艘船时，公司造船的年利润最大.11分

(3)由MP(x)=-30(x-1)2+3305(xeN且xe[l,20]).

.,•当1<x<20时，MP(x)单调递减.12分

MP(x)是减函数说明：随着产量的增加，每艘利润与前一台比较，利润在减少.1

3.解：(1)/(x)=5x-5/..................................................(6

分)

(2)由g2(x)=5gl(x)-5g；(x)<0解得g](x)<0或g](x)>1

即5x-5-<Osg5x-5x2>1

解得x<0或x>1或^~—<x<§+书..........................(12分)

1010

(1)由<()}二卜上<0或x>1},

又」+石)nL|x<0或x>1}=①,

101011J

当",'"if)时'g2(x)<。，g3(x)=5g2(x)-5g22(x)<0.

，对于〃=2,3时，Eu（左正，立近），命题成立。

（14分）

—1010

以下用数学归纳法证明Eq（f5,〈5）对〃eN,月.〃22时，都有g,（x）＜0成立

假设〃=MAN2,AeN）时命题成立，即g*（x）＜0,

那么g川（x）=（x）］=5gk（x）-5gJ（x）＜0即〃=后+1时，命题也成立。

•••存在满足条件的区间E=（匕521）。

1010

._/Y、、*rri〜、—、无+1—〃-2。—X+1—Q

4.解：(I)证明：/(x)+2+f(2a-x)=-------+2+------------

a-xa—2a+x

x—cix+1x+1—〃+2〃—2x—a+x—1八

=-------+2+-------=-------------------------=0

a-xx-aa-x

・••结论成立............................4分

(H)证明：/(x)="(a~X)+1=-1+—

a-xa-x

当Q+1时一Q-1〈一X<-Q-J-1<a-x<-—,-2<---<-1

222a-x

-3<-l+-^—<-2即/(x)值域为［—3,—2］......9分

a-x

(III)解：g(x)=/+Ix+1I(XW。)

i3

(1)当x2〃-1且xWa时,g(x)=/+x+l-a=(x+—)2+—

如果即时，则函数在［a-1,a)和(a,8)上单调递增

22

g（x）min=g（a-l）=（a-l）2

如果Q-1<一;即当Q<(且。W—g时,g*)min=8(~~)=~~a

当Q二一^时，g(x)最小值不存在....................11分

(2)当xW〃-1时g(x)=x2-x-\+a=(%—3)2+。一?

如果Q-1>g即Q>'时g(X)min=

1o

如果。一1工耳即。《5时g(X)在(-©0,4-1)上为减函数g(X)mm=g(。T)=(。-D?…13分

353131

当a>一时(〃-1)2-(a—)=(a—)2>0当〃<一时(〃-1)2-(---a)=(a—)2>0

242242

综合得：当a<L月.a时g(x)最小值是』一a

224

I335

当一—时g(x)最小值是(a—l)2当a>—时g(x)最小值为。一己

2224

当a=-^•时g(x)最小值不存在

2

5.解：(1)证明：设x*为/(x)的峰点，则由单峰函数定义可知，/")在[0,x*]上单调递增，在

[x*,l]上单调递减，

当f(x,)>f(x2)时，假设x*任(0,x2),则x<々<%*，从而/(X*)N/U2)>/(x,),这与

/(%,)>/。2)矛盾，所以x*e(0,/)，即(0，々)为含峰区间.

当/(x,)</(x2)时，假设x*出(再,1),则x*4用</,从而/(/)>/(x,)>/(/)，这与

/(%,)</(/)矛盾，所以x*e(X1,l),即(七,1)为含峰区间.....................(7分)

(2)证明：由(1)的结论可知：

当/(x,)>/(%)时,，含峰区间的长度为/|=》2；

当/(%()</(々)时，含峰区间的长度为，2=1一再；

对于上述两种情况，由题意得《2①

1-X,<0.5+r

由①得1+尤2—X]W1+2r,即—X1<2r,

又因为马一七22r,所以32—玉=2厂②

将②代入①得x,<0.5-r,x2>0.5+r,③

由①和③解得X]=0.5—r,%2=0.5+厂，

所以这时含峰区间的长度乙=/2=0.5+r,

即存在9使得所确定的含峰区间的长度不大于0.5+r

6.解：(1)证明：/解)=((：+')

由方程2x2-ax-2=0的两根分别为白、夕(a<⑶知

xc(a,夕)时,2x2-ax—2<0,所以此时/'(x)>0,

所以/(x)在区间(a,£)上是增函数

⑵解：由(1)知在(a,⑶上，/(x)最小值为/(a),最大值为/(0,

4a-a

or+1

(B-a)[a[a+£)+4-4"]

a~/3'+[(a+/?)2-2a(3]+1

2

,.•a+〃=£a,aj3=-i,可求得用一二=,3-+4,

J"+4.(〃+4+4)

=U——/-=J/+16,

1+—+2+1

4

所以当a=0时，/(x)在区间［a,夕］上的最大值与最小值之差最小，最小值为4

7.解：(1)/(0)表示当甲公司不投入宣传费时，乙公司要回避失败风险，至少要投入/(0)=8

万元;(2分)

g(0)表示当乙公司不投入宣传费时，甲公司要回避失败风险，至少要投入g(0)

=12万元.(4分)

(2)解方程组

x=6+12

...(6分)

y=x+8

得：x=17,y=25....•(9分)

故甲公司至少投入17万元，

乙公司至少投入25万元.••(11分)

(3)经观察，

显见lima“=17,limb,,=25.

故点M(17,25)是双方在宣传投入上保

证自己不失败的一个平衡点.......(16分)

8.解：(1)•.•奇函数/(x)的图像上任意两点连线的斜率均为负

，对于任意玉、x2e［-1,1］且X］。/有

')一小)<0.........................................3分

X1f

从而X］-无2与/(占)-f(X2)异号

.••/(*)在［—1,1］上是减函数.................................5分

(2)/(x—c)的定义域为［c—1,c+\］

/(》一，2)的定义域为［c2_l,C2+l］........................7分

V上述两个定义域的交集为空集

则有：c2-1>c+1或+1<c-1....................9分

解得：。>2或(?<-1

故c的取值范围为。>2或c<—l.....................................10分

(3),/。2+1>，一1恒成立

由(2)知：当一1WCW2时

c2-l<c+l

当1WcW2或一1WcWO时

c2+1>c+lKc2-1>c-l

此时的交集为c+1］...............................12分

当0<c<l

c2+1<C+1且

此时的交集为［c—1,c2+l］

故—1WCW2时，存在公共定义域，且

当一IWcWO或1WcW2时，公共定义域为c+1］；

当0<c<l时，公共定义域为［c-l,c2+l］.

9.解：(1)由函数f(x)的图像开口向上，对称轴x=-b/2a〈一l知，f(x)在［-1,1］

上为增函数，故f(1)=a+b+c=2,f(―1)=a—b+c=—4,；.b=3,a+c=—1。又

2

b>2a,故a=l,c=-2eAf(x)=x+3x-2,最小值为一17/4。

(2)令x=l,代入不等式4xWf(x)W2(x2+l)得f(1)=4,即a+b+c=4,从而b

=4—a—Co又4x〈f(x)恒成立，得ax2+(b—4)x+c20恒成立，故4=(b—4)?一

4acW0,.*.a=Co又b20,a+cW4,♦・.c=l或c=2。当c=2时，f(x)=2x2+2,此时

不存在满足题意的x。。当c=l时满足条件，故c=l。

10.解：⑴

•・•/(X)在［0,1］上单调递增，在［1,2］上单调递减,.•.当x=l时，/(X)取得极大值，

//(x)=0,即(41-12/+2ax)L=I=0,：.a=4,

(2)设点A

(X。J。。))是/'(x)上的任一点，它关于x=l的对称点的坐标为8(2-x0,/(x0)),

V/(2—x0)=/(4)J.x=1是？=/(x)的图象的一条对称轴。

由g(x)="2一1与f(x)=x4_41+4——1的图象恰有2个不同的交点对应于方程

版2一』4一4炉+4--1恰有2个不同的实根，即

x4—4x?+4x2—bx2=0/.x=0^一个根，当x=0时b=4,当x，0时方程有等根得〃=0

-,.b=4或b=0为所求.

11.解：⑴取x=l,q=2,有

/(12)=〃2)即〃1)=0.・.1邺(乃=0的一个根,若存在另一个实根与,使得

/区)。0对任意的再区e(0,+8)成立，月.为二飞夕日。0),有y(X1)=必③)=0,

/(x0)=0恒成立,r./(X］)三0,与条件矛盾,/(x)=0有且只有一个实根x=1

(2):a>b>c>1,不妨设。=匕矶，c=匕取，

,则一〉0,q°>0：.f(a)・f(c)=fW)・f(b")=q1q”产⑻,又a+c=2b,

..22=—生立<0

4

/\2

即ac<b」2VA2,...oW%+"<1A<f2(/?)

\2y

(3)

•.•/⑴=0J(x)在(0,+8)单调递增，当X€(O,1)时/(x)<0;当xw(l,+8)时，/(x)>0.

又|/(〃2)|=|/(〃)|，；.f(/n)=f(n),f(m)=-f(n),-.-m>n>0,.\f(m)=-f(n).

令m=b,n-bg2,bW1,且q©2。。

/\2

=

则f(m)+f(n)=(q,+q2)f(b)=f(mn)=0/./M/J=1.0<n<1<m,'：|/(m)|2/l—~—I，且

,m+nI—,r/、c,/"?+〃、­、r(m+n\(m+nV

m>>^mn=1,v/(?«)=2/(—y-),.\/(w)=/II

即4m=m2+2mn+n2'.\4m-m2-2-n2,由0<n<l得0<4m-m2-2<1,,/m>\,

.\3<m<2+V2

12.解:(1)；/(n="+4—+"+<?在丫轴上的截距是2,；.£(0)=2,.言=2.1分

又•••/(x)在(—8,—1),(2,+8)上单调递增，(-1,2)上单调递减，

.•./'(x)=3x2+2ax+b=0有两个根为一1,2,

-1+2=-—[_3,

3。=—30

*.，・<2••/(x)=x—厂—6x+2,........5分

、〜b7,2

-1x2=—h=-6

31

(II)•//'(x)=3x2-3x-6=3(x+l)(x-2),

//(x)=x+1—(m+l)ln(x+〃?)(x>一机且xH2),.....6分

,.m+1x-1,八

/.h(x)=l-------=------,...............................7分

x+mx+m

当mW—2时，一m22,定义域：(―加,+8),

h\x)>0恒成立,力(%)在(一%+oo)上单增;..................8分

当一2<用工一1时，2>-m>1,定义域：(一〃?,2)U(2,+8)

(九)>0恒成立，力。)在〉九2),(2,+oo)上单增..................9分

当m>一1时，一m<1,定义域：(m,2)U(2,+8)

由//(x)>0得x>1,由//(x)<0得x<1.

故在(1,2),(2,+8)上单增；在(一机,1)上单减............11分

综上所述，当mW—2时，h(x)在(-m,+8)上单增；

当一2<m<-1时，/z(x)在(一优,2),(2,+8)上单增；

当m>"1时，在(1,2),(2,+8)上单增；在(一m,1)单减.…12分

13.解：(1)①当。＜0时，函数/(幻的单调递增区间为-1),0)及(0,〃("1)),

②当0＜。＜1时，函数/(x)的单调递增区间为(-oo,0)及(0,+oo),

③当。＞1时，函数/(X)的单调递增区间为—7ag-1))及-1),+-).

(6分)

(2)由题设及设)中③知5-1)=指且a＞1,解得。=3,(9分)

因此函数解析式为/(x)=l+1±(xHO).(10分)

3x

(3)(理)假设存在经过原点的直线/为曲线C的对称轴，显然x、y轴不是曲线C的

对称轴，故可设/：y=kx(无片0),

设P(p,q)为曲线C上的任意一点，P'(p',/)与P(p,q)关于直线/对称，且

p^p,q手q',则P'也在曲线C上，由此得"=k史叱，旦二£=」，

22P~P左

HP,2G,p,2V3

且“飞+下’q飞+7,“分)

整理得」=之，解得k域或k=

k3

所以存在直线y=J"及y=-苧x为曲线C的对称轴.(16分)

(文)该函数的定义域。=(一,0)U(0,+8),曲线C的对称中心为(0,0),

因为对任意xeD,/(-%)=一叵+瓜—=J叵+技"叫=-/(x),

a-x|_ax

所以该函数为奇函数，曲线C为中心对称图形.

I4

14.解：([)..•/'(x)=-]og“e,g'(x)=；:;---------loge..............................3分

x2x+t-2u

,：函数/(x)和g(x)的图象在x=2处的切线互相平行

•••/'(2)=g'(2).......................................................................5分

1,4,

"2°§＜，=7+2°§u

：.t=6...........................................................................................6分

(II)•.*t=6

・・・F(x)=g(x)-f(x)=21og”(2x+4)—log”x

,(2x+4)2r,,1

=log,,------------,X€[1,4]............................................................7分

X

令〃(x)=(2x+4)=4工+3+]6,/€[1,4]

xx

...hXx)=4-16=4(尤-2)(X+2)”[],4]

xx

...当lWx<2时，/i'(x)<0,当2<xW4时，///(x)>0.

二人。)在[1,2)是单调减函数，在(2,4]是单调增函数.....................9分

力(X)min=〃(2)=32,/./i(x)mav=/l(l)=力(4)=36

...当0<”1时，有f(x)min=10g036,当。〉1时，有歹(x)*=10g“32.

•.•当xe[l,4]时，/(x)22恒成立，.•./(x)1Tmi22..................11分

•••满足条件的a的值满足下列不等式组

0<a<1,…[a>1,…

1①，或1②

[log.3622;[log,32>2.

不等式组①的解集为空集，解不等式组②得1<«<472

综上所述，满足条件的a的取值范围是：l<aW4行.

15.解：(1)在f(m-n)-f(m)4-/(；2)中令m=几=1,得

/(D=0；.............2分

设网>4>0,则土>1，从而有/(%)<0

XX

L

所以，/(%1)=/(X2-)=f(/)+/1)</(X2)

x2x2

所以,f(x)在R+上单调递

减..............5分

(2)-//(x+y)+/(x-y)=/(x2-y2)>O=/(l),由(1)知，/(x)在R+上单调递减,

x+y>0

<x-y>0,.............7分

x2-y2<l

故集合A中的点所表示的区域为如图所示的阴影部分；

而/(ax—y+2)=0=/(I),所以，ax—y+l=0,

故集合5中的点所表示的区域为一直线，如图所示，

由图可知，要4口8。0，只要。<1，

.♦•实数a的取值范围是(-8,1)10分

(3)由(1)知/(x)在R+上单调递减，，当0<x<l时，/(x)>0,当x>"寸，/(x)<0,

v0<a<b,WI/(a)H/0)L:.a<\,b>\,故/⑷>0J3)<0,

由"(a)l="3)l得,f(a)+f(b)=0，所以，

ab=\,..............12分

又审>痴=1,所以/(苫2)</(1)=0,

又・••/3)=2/(货)=/(审)

由1/3)1=21/(^^)I得，4b=(a+b)2=a2+b2+2,:.4b-b2=a

+2,

又0<。<1,所以2</+2<3,由

2<4/?—〃<3及6>1解得，3<Z><2+V2

16.解:（理）（I）A=Y一也若。40,则ANO,方程有实根与题设矛盾..\/?>0.(3

分）

（II）设两整根为Xl,X2,X1>X2

匹+九2=一《,:.a2-4b=\

vX|X2=b,Q2_]

ib=------

3-x2=1,4

1°

/(-6Z)=〃=—(a~-1)(5分)

4

(III)设m<Xi<X2〈m+l,m为整数。

6f2-4/?>0=>/?<—

4

1Oa.11

1-G(/n,m4--]即一1W〃+2m<0

.、2i2/a、21

f(m)二机4-am+bam4---=(〃？+—)<—

424

cc。/1i、

2.—G(〃？+—,m+l)

22

00Q2Oil

2

f(m+l)=(m+1)~+Q。%+1)+/?<(/n4-2)+a(m+1)H---=(m+1+—)<-

424

・•・存在.(6分)

(文)f(sinx)二asin?x+bsinx+c

--<-l,A对称轴在X=-1左边

2a

/(sinx)min=/(-I)=-4,f(sinx)max=f(1)=2,

a—b+c=—4,b=3,

Q+/7+(?=2,[c=—1—6Z,

又b>2a>0,:.a=\,c=—2./.f(x)=x2+3x—2.

17

/Wmin(7分)

(2)・・・4x</(x)<2(x2+1),.\4</(I)<2(1+1)=4,/./(I)=4.(1分)

.'.a+h+c=4,即。—4=—(a+c).(l分)

又/(x)>4x,即ar?+(h-4)x+c>0恒成立.

A=(/?-4)-4ac<0,即(一a-c)2-4ac<0,

A(a—c)2<0