暑期预习2021高一数学必修四知识点总结

必修四第一章：三角函数

1.1.1任意角

1、角的有关概念:

.①角的定义:

角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形.

.②角的名称：

.③角的分类：

・负角：按顺时针方向旋转形成的角

i正角：按逆时针方向旋转形成的角

、零角：射线没有任何旋转形成的角

图4-3

2、象限角的概念：

.①定义：若将角顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么角的终边(端点除外)在第几

象限，我们就说这个角是第几象限角.

终边相同的角的表示：

所有与角。终边相同的角，连同。在内，可构成一个集合S={?|尸=。+/■•360°,

AS2},即任一与角。终边相同的角，都可以表示成角。与整个周角的和.

注意：

(1)k《Z(2)a是任一角；

⑶终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同.终边相同的角有无限个，它们相差

360°的整数倍；

⑷角a+k-720°与角a终边相同，但不能表示与角a终边相同的所有角.

3、写出终边在y轴上的角的集合(用0°到360。的角表示).

解：{a|a=90°+〃•180°,〃WZ}.

4、已知。角是第三象限角，则2。，区各是第几象限角？

2

解：:a角属于第三象限，...k•360°+180°<360°+270°(AeZ)

因此,2k•3600+360°<2a<2k•360°+540°(AGZ)

即(24+1)360°<2a<(2A+1)360°+180°(AeZ)

故2a是第一、二象限或终边在y轴的非负半轴上的角.

a

又人180°+90°V—<4•180°+135°("CZ).

2

a

当A为偶数时，令公2〃(〃GZ),则"・360°+90°<—</?•3600+135°(nGZ),

2

a

当〃为奇数时，令A=2n+1(〃eZ),则八360°+270°<—<n-360°+315°(〃eZ),

2

因此里ct属于第二或第四象限角.

2

1.1.2弧度制

1、弧度制

我们规定，长度等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的角;用弧度来度量角的单位制叫做弧度制.在

弧度制下，1弧度记做Irad.在实际运算中，常常将rad单位省略.

2、.弧度制的性质：

7ir2勿.c

----=71\-----=2

①半圆所对的圆心角为r②整圆所对的圆心角为r

③正角的弧度数是一个正数.④负角的弧度数是一个负数.

⑤零角的弧度数是零.⑥角a的弧度数的绝对值|a|=r

3、弧长公式

lai=——s[—p•\o(\

r弧长等于弧所对应的圆心角(的弧度数)的绝对值与半径的积.

例6.利用弧度制证明扇形面取公式其中/是扇形弧长R是圆的半径

2

,—7lR2

证法一：♦圆的面积为成一，...圆心角为Irad的扇形面积为21，又扇形弧长为1,半径为R,

—s=--R2=-lR

二扇形的圆心角大小为Arad,.♦.扇形面积R22.

on^R~.nTiR

证法二:设圆心角的度数为n,则在角度制下的扇形面积公式为360，又此时弧长180,

5=--•/?=-/-/?

•••21802

可看出弧度制与角度制下的扇形面积公式可以互化，而弧度制下的扇形面积公式显然要简洁得多.

扇形面积公式:S=；1R=^\a\R2

1.2.1任意角的三角函数

1、三角函数定义

在直角坐标系中，设a是一个任意角，a终边上任意一点P(除了原点)的坐标为(x,y),它与原

点的距离为r(r=+>Q),那么

(1)比值)叫做a的正弦，记作sin即sina=)

rr

xX

(2)比值一叫做a的余弦,记作cosa,即cosa=

rr

(3)比值上叫做a的正切，记作tana,即tana=2

XX

YX

(4)比值一叫做a的余切，记作cota,即cota二

yy

2.三角函数的定义域、值域

.函数定义域值域

y=sinaR[-1,1]

y=cos。R[-1,1]

71

y=tana{a\a^—+K7i.keZ}R

Icosxltanx

3、求函数y=J——+；华的值域

cosx|tanx|

解：定义域：cosxwOAx的终边不在x轴上又•.•tanxwO.*.x的终边不在y轴上

••刍X是弟1家限用时，x>U,y>Ucosx二|cosx|tanx=|tanx|・・y=/

...........11................,x<0,y>0cosx|=-cosxtanx|=-tanxy=-2

x<0,<0cosx=-cosx|tanx|=tanxy=0

..............IllIV..........,x>0,y<0

4、诱导公式

sin(2&乃+a)=sina也eZ)

COS(2ATT+a)=cosa(ZeZ)

tan(2Z1+a)=tana(keZ)

5、三角函数线的定义：

设任意角a的顶点在原点。，始边与X轴非负半轴重合，终边与单位圆相交与点P(x,y),

过户作x轴的垂线，垂足为M；过点A(l,0)作单位圆的切线，它与角a的终边或其反向延

长线交与点T.广y\

<wr

LE

zf

卜MX

(Ill)(IV)

由四个图看出：

当角a的终边不在坐标轴上时，有向线段OM=x,MP=y,于是有

yy.xx八，，yMPAT.„

smc=二=:=y=MP,cosa--OM,tana=-=-----=-----=AT

r1r1xOMOA

我们就分别称有向线段MP,OM,AT为正弦线、余弦线、正切线。

说明：

(1)三条有向线段的位置：正弦线为£的终边与单位圆的交点到了轴的垂直线段；余弦线在*轴上;

正切线在过单位圆与无轴正方向的交点的切线上，三条有向线段中两条

在单位圆内，一条在单位圆外。

(2)三条有向线段的方向：正弦线由垂足指向a的终边与单位圆的交点；余弦线由原点指向垂

足；正切线由切点指向与。的终边的交点。

(3)三条有向线段的正负：三条有向线段凡与*轴或y轴同向的为正值，与x轴或卜轴反向的

为负值。

(4)三条有向线段的书写：有向线段的起点字母在前，终点字母在后面。

6、利用三角函数线比较下列各组数的大小：

.27v..47r〜2万,一4万

1°sin——与sin——2°tan——与tan——

3535

解：如图可知：

.2/r.4万2%4万

sin——>sin——tan——<tan---

3535

1.2.2同角三角函数的基本关系

1、由三角函数的定义，我们可以得到以下关系：

cmci

1.(1)商数关系：tana=-------(2)平方关系：sin2a+con2a=1

cona

12

2、已知sina=—,并且a是第二象限角，求cosa,tana,cota.

13

22

解：sii?。+cosa=lf.・・cos二二1一sin2a=1-(j|)2=(5)2

又Ya是第二象限角，，cosavO,即有cosa=-■—,从而

sina1215

tana--------=------cotcr=------=-----

cosa5,tana12

〜sin。-4cosa

3^已知sina=2cosa,求---------------

5sina+2cosa2sin2a+2sinacosa-cos?a.

cosx_1+sinx

4^求证:

1—sinxcosx

证法一：由题义知cosxwO,所以l+sinxwO,l—sinxwO.

.尸、十_cosx(l+sinx)_cosx(l+sinx)_1+sinx

(1-sinx)(l+sinx)cosxcosx

J原式成立.

证法二：由题义知cosxwO,所以l+sinxwO』-sinxwO.

又丁(1-sinx)(l+sinx)=l-sin2x=cos2x-cosx-cosx,

.cosx1+sinx

..----；—=-------.

1-sinxcosx

证法三：由题义知cosxwO,所以l+sinxwO,l-sinxwO.

cosx1+sinx_cosx•cosx-(l+sinx)(l-sinx)_cos2x-l+sin2x

——(),

1-sinxcosx(l-sinx)cosx(1-sinx)cosx

.cosx_1+sinx

1-sinxcosx

1.3诱导公式

1、诱导公式(一)

sin(360%-Fa)=sinacos(360%+a)=cosatan(360%+ez)=tana

诱导公式（二）

sin(180°+a)=-sinacosQ800+a)=-cosatan(180°+<z)=tana

诱导公式（三）

sin（-tt）=—sinacos(-a)=cosatan(-cr)=-tana

诱导公式（四）

sin（兀一a）=sinaCOS(TT—a)"-cosatan(兀一a)--tana

诱导公式（五）

sin('-a)=cosacosg-a)=sina

诱导公式（六）

sin(—+a)=cosacos(^-+a)=-sina

22

sin(2;r-2)cos3+a)cos《+o)cos/尻-a)

2、化简：--------------------------2

------29%——

COS^T-a)sin(3;r-a)sin(—a-^)sin(^-+a)

42sin(a-〃)+3tan(37r-a)

3、已知sin(a+乃)=g,且sinacosa<0,求的值

4cas(a-3zr)

4、化简:

tan(360°+a)

(1)・sin(a-2%)♦cos(2%—a);(2)cos2(-a)-

sin(-a)

L4.1正弦、余弦函数的图象

正弦函数y=sinx的图象和余弦函数y=cosx的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线.

2、用五点法作正弦函数和余弦函数的简图（描点法）：

正弦函数丫=$1僦，xe[o,2"]的图象中，五个关键点是：（0,0）（巴，1）（兀,0）（红，-1）（2兀,0）

22

余弦函数丫M。5*xe[0,2扪的五个点关键是哪几个？（0,1）（-.0）（K,-1）（―,0）（2兀，1）

22

3、别利用函数的图象和三角函数线两种方法，求满足下列条件的x的集合:

⑴sinxN—;(2)cosx<—,(0<x<—).

22

1.4.2正弦、余弦函数的性质

1、奇偶性：y二cosx是偶函数y=sinx是奇函数。

2、单调性

7TTT

正弦函数在每一个闭区间［一一+24右一+2攵"］(4EZ)上都是增函数，其值从一1增大到1；

22

TT37r

在每一个闭区间［一+2"匹—+2A^］(ACZ)上都是减函数，其值从1减小到一1.

22

余弦函数在每一个闭区间［(24—1)",(A6Z)上都是增函数，其值从-1增加到1：

在每一个闭区间［2么万，(2A+1)乃］(4CZ)上都是减函数，其值从1减小到一1.

3、有关对称轴

观察正、余弦函数的图形，可知

JT

y=sinx的对称轴为x=brd—k《Zy二cosx的对称轴为x=Z»k£Z

2

4、判断下列函数的奇偶性

(1)/(x)=1)五11''；(2)f(x)=lg(sinx+Vl+sin2x);

1+sinx+cosx

1.4.3正切函数的性质与图象

1、正切函数丫=tanx的定义域是什么？尢攵肛Zcz

3、正切函数的性质(1)定义域：xw^+攵乃,攵£z,；

(2)值域：R观察：当x从小于ATF+］(左£z)，x----＞阮+工时，tanx----＞+oo

当犬从大于万+攵4(攵Ez)，x---＞万+%)时，tanx-----＞一8。

(3)周期性：T=4；

(4)奇偶性：由tan(-x)=-tanx知，正切函数是奇函数;

(5)单调性：在开区间(_]+版■卷+时上€2内，函数单调递增。

4、求下列函数的周期：

(1)y=3tan[x+(j答：T=兀。(2)y=tan(3x-?1答：7=(。

说明：函数丁=43(5+*)(4。°，3。0)的周期7=£.

同

5、求函数y=tan(3x-?1的定义域、值域，指出它的周期性、奇偶性、单调性，

解：1、由3x—乙万+工得X。红+红，所求定义域为(x|xeR,且XH/+2,kez

32318I318

2、值域为R,周期T=工，3、在区间(包一工,红+红〕(Aez)上是增函数。

31318318r

1.5函数y=Asin(wx+<p)(A>0,w>0)的图象

1、函数y=Asin(wx+(p),(A>0,w>0)的图像可以看作是先把y二sinx的图像上所有的点向左((p>0)

或向右3<0)平移"I个单位，再把所得各点的横坐标缩短(W>1)或伸长(O〈w〈l)到原来的L倍(纵坐

3

标不变)，再把所得各点的纵坐标伸长(A>1)或缩短(O〈A〈1)到原来的A倍，(横坐标不变)。即：平移

变换f周期变换f振幅变换。

2、⑴函数y=sin2x图像向右平移着个单位所得图像的函数表达式为y=sin2(x-11)

⑵函数y=3cos(x+()图像向左平移g个单位所得图像的函数表达式为y=3cos(x+1|0

⑶函数y=21oga2x图像向左平移3个单位所得图像的函数表达式y=21og“2(x+3)

⑷函数y=2tan(2x+N)图像向右平移3个单位所得图像的函数表达式为

3

TT

y=2tan[2(x-3)+y

3、函数y=Asin(wx+(p)表示一个振动量时：

A：这个量振动时离开平衡位置的最大距离，称为“振幅”.

T：T=二往复振动一次所需的时间，称为“周期”

0)

f:/=!=*单位时间内往返振动白族数，称为“频率”

T2%

皿+夕:称为“相位”.

（P：尸0时的相位，称为“初相”.

4、y=Asin（a（x+9）（|9|<〃）的表达式

解析：由图象可知在2,

T7TT7t

T-----(---)=乃,

88

口r2万_

即——=71,0)=2.

(O

又（-白,0）为五点作图的第一个点

O

因此2x（一£）+夕=0,

84

JT

因此所求函数的表达Wsg+2

1.6三角函数模型的简单应用

1、画出函数y=|sinx!的图象并观察其周期.

第二章：平面向量

2.1.1-2.1.2向量的物理背景与概念及向量的几何表示

1、数量与向量的区别：,

数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；,终点）

向量有方向，大小，双重性，不能比较大小.A（起点）

2、向量的表示方法：

①用有向线段表示；②用字母a、b（黑体，印刷用）等表示；

③用有向线段的起点与终点字母：AB；④向量通的大小一长度称为向量的模，记作ABI.

3、有向线段：具有方向的线段就叫做有向线段，三个要素：起点、方向、长度.

向量与有向线段的区别：

（1）向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，这两个向量就是相同的

向量；

（2）有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向

线段.

4、零向量、单位向量概念:

①长度为0的向量叫零向量，记作〃。的方向是任意的.注意0与0的含义与书写区别.

②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量.

说明：零向量、单位向量的定义都只是限制了大小.之二

5、平行向量定义：

①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定。与任一向量平行.//

说明：（1）综合①、②才是平行向量的完整定义；（2）向量a、b、c平行，记作a〃b〃c.

2.1.3相等向量与共线向量

1、相等向量定义：）/

长度相等且方向相同的向量叫相等向量.二

说明：（1）向量a与b相等，记作a=6；（2）零向量与零向量相等；

（3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段表示，并且与有向线段的起点无关.

2、共线向量与平行向量关系：

.平行向量就是共线向量，因为任一组平行向量都可移到同一直线上（与有向线段的起点无关）.

说明：（1）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；

（2）共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.

3、判断：

（1）不相等的向量是否一定不平行？（不一定）

（2）与零向量相等的向量必定是什么向量？（零向量）

（3）两个非零向量相等的当且仅当什么？（长度相等且方向相同）

（4）共线向量一定在同一直线上吗？（不一定）

4、下列命题正确的是（）

A.a与6共线，6与c共线，则a与c也共线

B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点

C.向量a与b不共线，则a与b都是非零向量

D.有相同起点的两个非零向量不平行

解：由于零向量与任一向量都共线，所以A不正确；由于数学中研究的向量是自由向量，所以两个相

等的非零向量可以在同一直线上，而此时就构不成四边形，根本不可能是一个平行四边形的四个顶点,

所以B不正确；向量的平行只要方向相同或相反即可，与起点是否相同无关，所以D不正确；对于C,

其条件以否定形式给出，所以可从其逆否命题来入手考虑，假若a与b不都是非零向量，即a与b至

少有一个是零向量，而由零向量与任一向量都共线，可有a与b共线，不符合已知条件，所以有a与

b都是非零向量，所以应选C.

5、判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由.

①向量A8与是共线向量，则/、B、C、〃四点必在一直线上;

②单位向量都相等；

③任一向量与它的相反向量不相等；

④四边形/腼是平行四边形当且仅当南=比

⑤一个向量方向不确定当且仅当模为0；

⑥共线的向量，若起点不同，则终点一定不同.

解：①不正确.共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量而、AC

在同一直线上.

②不正确.单位向量模均相等且为1,但方向并不确定.

③不正确.零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等的.④、⑤正确.⑥不正确.

___.___,ABC

如图冠与近共线，虽起点不同，但其终点却相同.*----------'---------

2.2.1向量的加法运算及其几何意义

1、三角形法则（“首尾相接，首尾连”）

如图，已知向量a、b.在平面内任取一点A,作而=a,前=b,则向量尼叫做a与b的

和，记作a+b,即a+b=AB+BC=AC,规定：a+0-=0+a

2、已知向量a、b,求作向量a+3

作法：在平面内取一点，作。4=aAB=b,JJiiJOB=a+b.

2.2.2向量的减法运算及其几何意义

1、作法：在平面内取一点0,

作OA-a,AB=b则BA-a-b

即a-6可以表示为从向量6的终点指向向量a的终点的向量.

注意：1。而表示a-6.强调：差向量“箭头”指向被减数

2。用“相反向量”定义法作差向量，a-b=a+(-6)

2.2.3向量的数乘运算及几何意义

1、实数与向量的积的定义：

一般地，实数4与向量£的积是一个向量，记作它的长度与方向规定如下:

(1)14aHaIIaI；

(2)当；1>0时，的方向与£的方向相同；

当4<0时・，几£的方向与£的方向相反；

当4=0时，九。=6.

2、实数与向量的积的运算律：

(1)4(〃a)=(%)a(结合律);

(2)(4+=Xa+(第一分配律)；

(3)A(a+b)=A,a+A,b(第二分配律).

3、计算：(1)(—3)x4。；(2)3(。+/?)—2(。—力)—。；

(3)(2a+3b—c)—(3〃—2b+c).

解：(1)原式二一121(2)原式二5九(3)原式=一£+5行一22

已知向量"、京黄足"型一土心[(3/7+2力,求证：向量a和线.

吧三，里譬问题

AB=^BC(BC^O)=>A>B、。三点共线.

2.3.1-2平面向量基本定理、平面向量的正交分解

和坐标表示

1、.平面向量基本定理：如果％,02是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向

量五，有且只有一对实数入I,入2使5=Aq+Le2.

2、.(1)我们把不共线向量.、ez叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；

(2)基底不惟一，关键是不共线；

(3)由定理可将任一向量a在给出基底e“e2的条件下进行分解；

(4)基底给定时，分解形式惟一.储，储是被五，工

唯一确定的数量占

3、如图，苏、而不共线，且

而=/诟'(feR),用苏，丽表示》.\

本题实质是已知0、A、8三点不共线，°4

若点P在直线A8上，则丽=/〃刀+，且加+〃=1.

4、向量的夹角：已知两个非零向量2、b,作O4=a,0B=b,则NA0B=6»,叫向量云、B的夹

角，当。=0°,a,万同向，当。=180°,a,B反向，当。=90°,石与B垂直，记作后，分。

6、正交分解：把向量分解为两个互相垂直的向量。

7、在直角坐标系内，我们分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量入/作为基底.任作一个向

量。，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x、y,使得a=xi+yf........①

我们把(x,y)叫做向量”的(直角)坐标，记作a=(x,y)...................②

在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示.

2.3.3平面向量的坐标运算

1、平面向量的坐标运算

(1)若a=(x“y),b=(x2,y2),则a+Z?=+/,丁1+必)，a-b=(x1-^2,^-y2)

两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差.

(2)若。=(%,丁)和实数4,则九7=(疝,卷).

实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.

设基底为i、j,则而=/1(立+历)=%ci+初，即九7=(公办0

实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标。

(3)若A(X|,y),B(x2,y2),则43=(/一%”％-M)

AB~OB—OA-(X2.ya)—(xi,yi)=(xz—xi,y?—yi)

2、一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标.

3、思考：你能标出坐标为(xz-X”y2-yj的P点吗？

向量获的坐标与以原点为始点、点P为终点的向量的坐标是相同的。

4、已知三个力耳(3,4),元(2,-5),可(x,y)的合力后+弓+元=6,求尺的坐标.

解：由题设K+瓦+弓=6得：(3，4)+(2,-5)+(x,y)=(0,0)

3+2+x=0x=-5

即：＜K(-5,1)

4-5+y=0b=l

5,若A(0,1),B(l,2),C(3,4),则AB-2BC=.

2.3.4平面向量共线的坐标表示

1、设五=(xi,yi),很=3，y2)其中

一{x.-疝2

.由2=人人得，(xi,y,)=入区，y2)=＞〈消去入，Xiy2-x2yi=0

Ji=机

a//b(彼声6)的充要条件是x»2-X2yi=0

2、若向量5=(-1,x)与彼=(-x,2)共线且方向相同，求x

解：；口=(-1,x)与B=(-x,2)共线/.(-1)X2-x*(-x)=0

:.x二土桓；5与石方向相同/.x=V2

2.4.1平面向量的数量积的物理背景及其含义

1、平面向量数量积(内积)的定义：已知两个非零向量a与6,它们的夹角是0,

,则数量|a||引cos。叫a与6的数量积,记作a6,即有a-6=|a||引cos。，(0W〃W0).

.并规定0向量与任何向量的数量积为0.

.•探究：1、向量数量积是一个向量还是一个数量？它的符号什么时候为正？什么时候为负？

2、两个向量的数量积与实数乘向量的积有什么区别？

(1)两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos。的符号所决定.

(2)两个向量的数量积称为内积，写成ab；今后要学到两个向量的外积aXb,而是两个向量的

数量的积，书写时要严格区分.符号“•”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“X”代

替.

(3)在实数中，若存0,且丹乐0,则6=0；但是在数量积中，若存。，且a房。，不能推出左〃因

为其中cos。有可能为0.

(4)已知实数a、b、c(feO),则.但是a,=bc0a-c

如右图：&b=\a\|Z?|cosp=\b\|0A|,be=\b\\c\cosa=|b\|0A|

.=>ab=be但awc

Ob

(5)在实数中，有(a6)c=a(〃c),但是(ab)cwa(l>c)

显然，这是因为左端是与。共线的向量，而右端是与》共线的向量，而一般a与。不共线.

2、“投影”的概念：作图

定义：|blcosO叫做向量8在a方向上的投影.投影也是一个数量，不是向量；

当。为锐角时投影为正值；当6为钝角时投影为负值；当。为直角时投影为0；

当6=0。时投影为\b\；当。二180。时投影为-|引.

3、向量的数量积的几何意义：

数量积a人等于a的长度与。在3方向上投影|引cos。的乘积.

探究：两个向量的数量积的性质：设石、6为两个非零向量，

1、alb=26=0

2、当a与。同向时，a-b=\a\IZ?l；当a与。反向时，a-b--\a\\b\.

特别的aa二或|a|=JaaI&b\<Ia||^1cosO="”

\a\\b\

4、平面向量数量积的运算律

1.交换律：a-b-b-a

证：设a,6夹角为0,则a•b-Ia\\Z?|cosO,b-a=|b\\a|cosG:.a•b=b•a

2.数乘结合律：（九a）/二九（aZ?）=a•（九6）

证:若九〉0,（九a）力Z?|cos0,X（a-Z?）=XIa\Z?|cos0,a・（九b）=k\a\|Z?|cos0,

若—<0,（X=|Xa\\b\cos（K-0）=-XI|Z?|（-cosO）=XIa\\Z?|cos0,X（88）

-X\a\\b\cosG,

a・（-6）=\a\\k/?|cos（K-0）=-X\a\\b\（-cosO）=kIa||Z?|cos0.

3.分配律：(a+Lt)-c=a-c+l>c

在平面内取一点0,作04=a,AB=b,OC=c,Ya+b(即08)在。方向上的投影等

于a8在c方向上的投影和，即\a+b\cos0=|a\cosGi+Ib\cos02

|c|\a+b\cos0=|c\cosGi+|c\Ib\cos02,Ac-(a+Z?)=c-a+cb即：(a+

6)-c=&c+be

说明：(1)一般地，(a•b)c#a(b•c)

(2)a•c=b•c,cW0¥a=b

(3)有如下常用性质：屋=।己|2,

(a+6)(c+d)=a•c+a9d+b•c+b•d

5、已知|a|二12,|6|=9,^•b=-54V2,求互与B的夹角。

6、已知|a|=6,|引=4,a与b的夹角为60°求:(1)(a+2b)•(a-3b).(2)目与|看引.

(利用]。|=五二)

1、已知|a|=3,㈤=4,且a与6不共线，k为何值时，向量a+kb与a-kb互相垂直.

2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角

1、平面两向量数量积的坐标表示

两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.即。包=王修+XM

2、平面内两点间的距离公式

(1)设。=(x,y),则|。-=/+,2或।q[=正+,2.

(2)如果表示向量。的有向线段的起点和终点的坐标分别为(王，口)、(x2,y2),

22

那么Ia|=y/(x,-x2)+(y,-y2)(平面内两点间的距离公式)

3、.向量垂直的判定

设a=(X，y),b=(x2,y2),则<^>xtx2+y,y2=0

4、两向量夹角的余弦(0W84万)

CO50=

\a\-\b\I~2~,2I2~,2

E+y丑2+%

5、已知a=(1,V3),b=(V3+1,>/3—1),则a与3的夹角是多少？

分析：为求a与人夹角，需先求a•6及lai•\b\,再结合夹角〃的范围确定其值.

解：由a=(1,73),b=(V3+1,V3—1)

有a,b—V3+1+V3(V3—1)—4,\a\—2,|6|=20-

b

记a与8的夹角为0,则c。s^-4--=—又YOW0W",，=工

W-W24

评述：已知三角形函数值求角时，应注重角的范围的确定.

6、在中，赤=(2,3),AC=(1,公，且比的一个内角为直角，求A•值.

—如—"3

解：当4=90。时，ABAC=0,；.2X1+3XA=0：.k=--

2

当6=90。时，~AB~BC=0,BC=AC-^B^(1-2,b3)=(-1,4-3)

.,.2X(-1)+3X(A-3)=0：.k=—

3

—*—*3±J13

当C=90。时，AC-BC-0,.,.-1+4(4-3)=0:.k=—=----

2.5.1平面几何中的向量方法

例1.已知/C为。。的一条直径，N/8C为圆周角.求证：N4a1=90°.

证明：设彩=々=而，而=上a=b,

AB=AO+OB=a+b,BC=a-b,

AB-BC=(a+b)-(a—b)=a—|ft|=0,

/.AB±BC,：.ZABC=9Q°

2.5.2向量在物理中的应用举例

1、如图，一条河的两岸平行，河的宽度4=500ni,一艘船从1处出发到河对岸.己知船的速度I匕1

=10km/h,水流速度|=2km/h,问行驶航程最短时，所用时间是多少（精确到0.1min）?

图2.5-5

解：v\=v/TvTl'—|vj!2=/96(km/h).

所以/=•"=旦注X6Og3.l(min).

py96

答:行驶航程最短时,所用时间是3.1min.

第三章：三角恒等变换

3.1.1两角差的余弦公式

1、两角和差的余弦公式：cos(«±(3}=cosacos+sinasin/3

2、利用和、差角余弦公式求cos75。、cosl5。的值.

解：分析：把75°、15°构造成两个特殊角的和、差.

母上及IV6-V2

cos75°=cos(45,+30)=cos45,cos30-sin45sin30-------X-----------------X—=-------------------

22224

V2V3721V6+V2

cos15=cos(45-3())=cos45cos30+sin45sin30--x1---x-=------

22224

3、已知sina=],a€1],%),(：05月=一得,夕是第三象限角，求cos(tz-6)的值.

=《由此得3

解：因为•，万sinacosa=-Jl-sin2a=-

5

12

又因为cosQ=-是第三象限角,所以sin6=二

13

33

所以cos(a一,)=cosacos,+sinasin(3=

65

3