高中数学习题2：高中数学人教A版2019 选择性必修 第二册 等比数列的前n项和公式

4.3.2等比数列的前n项和同步练习

一.选择题（共8小题）

1.明代数学家程大位编著的《算法统宗》是中国数学史上的一座丰碑.其中有

一段著述“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一”.注：“倍加增”

意为“从塔顶到塔底，相比于上一层，每一层灯的盏数成倍增加”，则该塔正中

间一层的灯的盏数为（）

A.3B.12C.24D.48

2.已知｛《,｝是各项均为正数的等比数列，则下列结论中正确的个数为（）

①②4+。5-2。3；③q+%.42+%；④若凭＞“3，贝的.

A.1B.2C.3D.4

3.设正项等比数列｛4｝的前"项和为S"，若邑=4,S4=20,则公比q=（）

A.-3B.3C.+2D.2

4.已知数列｛4｝的前"项和为S“，且满足S“=2"-l,则为=（）

A.256B.512C.1024D.2048

5.等比数列｛4｝的前"项和为5"，己知邑=4%+1。4，%=9，贝）

6.《算法统宗》是中国古代数学名著，程大位著，共17卷，书中有这样一个问

题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，

要见次日行里数，请公仔细算相还.”大致意思是：有一个人要到距离出发地378

里的地方，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，

走了6天后到达目的地.那么该人第1天所走路程里数为（）

A.96B.126C.192D.252

7.等比数列｛〃〃｝的前〃项和为5“，邑=24,§6=21,则％=（）

A.36B.32C.—D.18

7

8.记S,是等比数列｛”,｝的前〃项和已>知q=1,$3=（,则$4=（）

A.。BC.12D.11

88824

二.多选题（共4小题）

9.设等比数列｛q｝的公比为q,其前〃项的和为s“，前〃项的积为7；,并满足条

9

件4>1,。2019。2020>1，20,97<0下列结论错误的是（）

a2（no~1

A.$刈9>SzgoB.“刈9.”2021—1>°

C.4期是数列区｝中的最大值D.数列｛7J无最小值

10.设U｝（〃eN*）是各项为正数的等比数列，q是其公比，储是其前”项的积，

且（<（，（=则下列选项中成立的（）

A.0<^<1B.%=1

c.K9>K5D.与勺均为K“的最大值

11.已知正项等比数列｛6｝满足q=2,q=2%+%,若设其公比为q,前〃项和

为s“，则（）

n

A.q=2B.an=2C.Sl0=2047D.an+an+[<an+2

12.在公比为4等比数列｛4｝中,是数列｛%｝的前I项和,若4=1,%=27%,

则下列说法正确的是（）

A.q=3B.数列｛S,+2｝是等比数列

3

C.55=121D.2lgan=lga“_2+k可+2（〃…）

三.填空题（共4小题）

13.已知正项等比数列｛q｝的前〃项和为S“，且满足4=g,S2+2a3=1,则

Sio=---•

14.已知S.是等比数列｛〃“｝的前〃项和，若q-q=3,4-。2=6，则鸟■=.

15.已知正项等比数列｛4｝,S“为它的前”项和，若的6=4,%+2%=|,则

§5二-----

16,已知各项都为正数的等比数列｛叫，若火吗2+5%。=14,则

log24+log2%+log2々3+…+log2《9=；

四.解答题（共4小题）

17.（1）求等比数列」，1,…从第6项到第10项的和;

42

（2）求等比数列3,3,3,...从第3项到第7项的和.

248

18.已知等比数列，首项为3,第四项为24,求：公比、通项公式、前〃项的和？

19.设S“是等差数列的前”项和，已知%=6,$9=36.

(1)求a“和Sn;

(2)设d=p"p为大于1的常数)，证明:数列电｝是等比数列；

(3)在(2)的条件下，设c"=”•瓦…b”’试求使c“最小时〃的值.

20.已知5,是数列｛4｝的前〃项和,且S“>=10,S2(,=30,

(1)若｛%｝为等差数列，求取;

(2)若小｝为等比数列,求取.

参考答案与试题解析

一.选择题(共8小题)

1•【解答】解：根据题意，设从塔顶到塔底，每一层灯的盏数组成数列则

数列｝是公比为2的等比数列，

又由“共灯三百八十一”，则有S,=竿9=1274=381,解可得4=3,

则中间层的灯盏数4=《/=24,

故选：C.

2.【解答】解：对于①，根据等比数列的概念、等比数列的通项公式可知①正确;

对于②，设公比为式4>0),则q+/=/(与+42)..2%，所以②正确；

q-

23

对于③，a,+a5-(a2+a4)=a3(-^-+q---q)=^-(l-qXl-q)..O,所以③正确；

q-qq~

对于④，因为｛4｝的各项均为正数，若6>4,则4>1，

所以4>外,④正确.

故选：£>,

3.【解答】解：根据题意，正项等比数列｛4｝中，S2=q+/=4,

又由*=20,贝1」4+4=54-8=20-4=16,

又由的+/=k(4+%)，变形可得〃2=3=4,

4

又由数列｛%｝为正项等比数列,则q=2；

故选：D.

4.【解答】解:根据题意，数列｛”"｝满足，=2"-1,

109

则为=S10-59=(2-l)-(2-l)=512；

故选：B.

5.【解答】解：根据题意，设等比数列｛《,｝的公比为q,

若尾=4%+10卬，贝Uq+生=4%+10卬，则有l+g=W+10,

解可得q=_3,

乂由％=9'贝觞=十号

故选：C.

6•【解答】解：由己知列式求出等比数列的首项和公比,

本题的行程路程构成以;为公比的等比数列，其前6项和为378,

4口--)]

则臬=----^—=378.

1——

2

解得4=192,

故选：C.

7.【解答】解：根据题意，设等比数列｛““｝的公比为小

若$3=24,则S3=。|+“2+见=q(i+*?+q2)=24,①

若S3=24,S6=21,Ml]S6—S3=+a5+a6=(1+(7+)=21-24=-3,②

筌可得：幺=二U「，即八」，则4=」,

①424882

又由q（l+q+/）=24,即q（l—g+；）=24,解可得4=32,

故选：B.

8.【解答】解：：S“是等比数列｛a,J的前〃项和已知4=1,53=

・S一九3

\-q4

解得q=-g，

故选：A.

二.多选题（共4小题）

9.【解答】解：•.•等比数列｛a,,｝的公比为4,其前〃项的和为s“，前〃项的积为T“,

并满足条件4>1,。2019”2期>1，一-<0，

a2020

，a20l9>1,0<aM20<1,：.0<q<],

在A中，^2020>0，,,5,20l9<S2020，口乂Af曰；

在8中，〃2019>1，。2021-1<0，

〃2019,。2021T=々202（：一1<。，故5错误；

.•・4019是数列"J中的最大项，故C错误；

在。中，数列｛7J无最小值，故。正确.

故选：ABC.

10.【解答】解：根据题意，依次分析选项：

对于B,若（=£,则为=坛=1,故B正确；

K6

对于A,由K5V（可得必=">1，则4=立仁（0,1），故A正确；

£«6

对于C,由｛q｝是各项为正数的等比数列且4€（0,1）可得数列单调递减，则有

Kg<Ks,故C错误；

对于£）,结合（=£>（,可得。正确.

故选：ABD.

11.【解答】解：根据题意，

对于A,正项等比数列｛q｝满足2/=4q+2q2,变形可得如一匕？为,解得q=2或

q=-l9

又由｛4｝为正项等比数列，则q=2,故选项A正确；

对于5,an=2x2"-'=2",选项3正确；

对于C,5=卷宁1=2向-2,所以品,=2046,选项C错误；

对于£）,根据8的结论：4=2",则4+4用=2"+2向=3、2"=3见，而

n+2

an+2=2=4x2"=4an>3%,选项D正确.

故选：ABD.

12.【解答】解：%=27%，二4’=27q,解得：q=3,故选项A正确；

又.2+2=二皿上=j=瑞，常数，故选项

"1-32"2S“+23〃+3

3错误；

,.@=匕工=121,.•.选项C正确；

1-3

又；a„=3'i，lgan_2+lgan+2=/g(a,,”•«„+2)=W=2lga.(〃..3),故选项。正确,

故选：ACD.

三.填空题（共4小题）

13.【解答】解：根据题意,设比数列｛q｝的公比为q,

若q=g,S2+2a3=1>贝U有g(l+g)+q2=1,

解可得q或-1（舍）,

则九="=心=喘

故答案为：黑

14•【解答】解：设等比数列｛为｝的公比为q,

a_q=—q=3

若/_q=3,q-%=6,则3

aA-a2=%q，-%q=6

解可得q=2,q=1,

2

贝lj%=a}q=4,53=——=7,

i-q

故邑=工,

44

故答案为：N.

4

15.【解答】解：根据题意，设正项等比数列｛4｝的公比为外

若〃2。6=4，则(%)2=44=4,贝!]有〃4=2或一2(舍)，

又由q+2%=-1,则%=；,

则有q3=—=—9则q=L

a282

故q=，=16,

q

,,5、16x(1--)

故$址山=——产=31,

1-q1」

2

故答案为：31.

16•【解答】解：•.•各项都为正数的等比数列｛4),/.④+5%=14,

.q02+5q°-14=0,解得%=2,

4。＞0

/.log2ax+log2a2+log2/+...+log2a]9

=log2(qx4X/X…X《9)

=bg2as

=/。©2'9

=19.

故答案为：19.

四.解答题（共4小题）

17•【解答】解：⑴等比数列;，《L…从第6项到第1。项的和为:

j[l-(-2)，ol:0一(一2月

S-s=4_________4________=_更

1051-(-2)1-(-2)6

⑵等比数列|，%I…从第3项到第7项的和为:

Ss-X)2(1-2?)_93

1------1------

22

18.【解答】解：根据题意，设该等比数列的为饱｝,其公比为外

若有项为3,第四项为24,q=3,q=24,则/=幺=8,则4=2,

4

通项公式q=3X2"T,

前〃项和5,=4(1-/“)=3(2"-1).

i-q

19.【解答】解：（1）%=6,§9=36,设公差为d,

4+5d=6

八9(9-1)J“，

9a,+————=36

12

解得d=2,4=-