高中数学概率

第十一章概率

第一节古典概型

A组

1.某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，在正常生产情况下，出现乙级品

和丙级品的概率分别是5%和3%,则抽验一只是正品(甲级品)的概率为.

解析：记抽脸的产品是甲级品为事件/,是乙级品为事件8,是丙级品为事件C,这三

个事件彼此互斥，因而抽验产品是正品(甲级品)的概率为P(A)=1-P(5)-P(Q=1-5%-

3%=92%=0.92.答案：0.92

2.某射手在一次射击中，射中10环，9环，8环的概率分别是0.20,0.30,0.10.则此射手

在一次射击中不够8环的概率为.

解析：射中8环及以上的概率为0.20+0.30+0.10=0.60,故不够8环的概率为1-0.60

=0.40.答案:0.40

3.从甲、乙、丙、丁四人中任选两名代表，甲被选中的概率为.

解析：从甲、乙、丙、丁四人中任选两名代表的所有可能为：甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、

311

乙丁、丙丁，满足题意的有：甲乙、甲丙、甲丁，所以概率为尸=5.答案：5

4.(2010年佛山第二次质检)从一个信箱中任取一封信，记一封信的重量为副单位：克)，如

果「(。<10)=0.3,尸(10W4W30)=0.4,则尸("30)=.

解析：尸©>30)=1-P(<f<10)-P(10W]W30)=1-0.3-0.4=0.3.答案：0.3

5.某种电子元件在某一时刻是否接通的可能性是相同的，有3个这样的电子元件，则出现

至少有一个接通的概率为.

解析：设电子元件接通记为1,没有接通记为0.又设/表示“3个电子元件至少有一个

接通”，显然丁表示“3个电子元件都没有接通”，。表示“3个电子元件的状态”,则Q

={(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1).(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1),(1,1,1)(0,0,0)}.Q由8个基本事件组

成，而且这些基本事件的出现是等可能的，T={(o,o,o)},事件下由1个基本事件组成，

—1———17—7

因此P(4)=g,*./(/)+2(4)=1,二尸(4)=1-P(/)=1-g=g.答案：g

6.(2010年南京调研)某学校的篮球队、羽毛球队、乒乓球队各有10名队员，某些队员不止

参加了一支球队，具体情况如图所示，现从中随机抽取

贝，求：

(1)该队员只属于一支球队的概率；

(2)该队员最多属于两支球队的概率.

解：从图中可以看出，3个球队共有20名队员，

(1)记“随机抽取一名队员，该队员只属于一支球

3+5+43

事件A,则P(A)=—20—=亍故随机抽取一名队员，该队员只

3

属于一支球队的概率为§

(2)记“随机抽取一名队员，该队员最多属于两支球队”为事件B,则P(B)=1-P(B)

o

故随机抽取一名队员，该队员最多属于两支球队的概率为京.

B组

1.(2009年高考安徽卷)从长度分别为2、3、4、5的四条线段中任意取出三条，则以这三条

线段为边可以构成三角形的概率是.

解析：从四条线段中任取三条有4种取法：(2,3,4),(2,3,5),(2,4,5),(3,4,5),其中能构

3

成三角形的取法有3种：(2,3,4),(2,4,5),(3,4,5),故所求的概率为[

3

答案：4

2.甲射手击中靶心的概率为/乙射手击中靶心的概率为:，甲、乙两人各射击•次，那么，

甲、乙不全击中靶心的概率为________.

解析：P=]一卜：=（.答案：!

3.口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是0.42,

摸出白球的概率是0.28,那么摸出黑球的概率是.

解析：P=1-0.42-0.28=0.30.答案:0.30

4.甲、乙两人各写一张贺年卡随意送给丙、丁两人中的一人，则甲、乙将贺年卡送给同一

人的概率是.

解析：（甲送给丙,乙送给丁），（甲送给丁，乙送给丙），（甲、乙都送给丙），（甲、乙都

送给丁）共四种情况，其中甲、乙将贺年卡送给同一人的情况有两种.

答案：|

5.（2008年高考江苏卷）若将一颗质地均匀的骰子（一种各面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正

方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和为4的概率是—.

31

解析：基本事件共6X6个，点数和为4的有（1,3）、（2,2）、（3,1）共3个.故尸=不77==.

OXO

答案：

6.有两个质地均匀、大小相同的正四面体玩具，每个玩具的各面上分别写有数字1、2、3、

4,把两个玩具各抛掷一次，斜向上的面写有的数字之和能被5整除的概率为.

解析：由于正四面体各面都完全相同，故每个数字向上都是等可能的，被5整除的可能

411

为（2,3）,（3,2）,（1,4）,（4,1）共4种，而总共有4X4=16（种），故。=记=]答案：

7.有一个奇数列1,3,5,7,9,…，现在进行如下分组，第一组有1个数为1,第二组有2个数

为3、5,第三组有3个数为7、9、11,…，依此类推，则从第十组中随机抽取一个数恰为

3的倍数的概率为.

解析：由已知可得前九组共有（1+2+3+…+9）=45（个）奇数，第十组共有10个奇数且

依次构成公差为2的等差数列，且第一个奇数为0=1+2X（46-1）=91,所以，第十组的

奇数为91,93,95,97,99,101,103,105,107,109这十个数字，其中恰为3的倍数的数有93,99,105

三个，故所求概率为入行3答案：言3

8.先后抛掷两枚均匀的正方体骰子（它们的六个面分别标有点数1、2、3、4、5、6）,骰子

朝上的面的点数分别为x、y,则满足log2U=l的概率为.

解析：由ktg2U=1得y=2x，满足条件的x、v有3对，而骰子朝上的点数共有6X6

311

=36,二概率为石=运.答案：五

9.（2010年江苏宿迁模拟）将•枚骰子抛掷两次，若先后出现的点数分别为b、c则方程x2

+bx+c=0有实根的概率为.

解析：一枚骰子掷两次，其基本事件总数为36,方程有实根的充要条件为居24c.

b123456

使/24c的基本事

012466

件个数

由此可见，使方程有实根的基本事件个数为1+2+4+6+6=19,于是方程有实根的概

1919

率为尸=石•答案：36

10.如图，四边形ABCD被两条对角线分成四个小三角形，若每个小

三角形用4种不同颜色中的任一种涂染，求出现相邻三角4v7\形均不同

色的概率./\

BC

解：若不考虑相邻三角形不同色的要求，则有44=256(种)涂法，下面求相邻三角形不

同色的涂法种数：①若△408与△CO。同色，它们共有4种涂法，对每一种涂法，△80C

与△40。各有3种涂法，所以此时共有4X3X3=36(种)涂法.②若△408与△C。。不同

色，它们共有4X3=12(种)涂法，对每一种涂法△8OC与各有2种涂法，所以此时

36+4821

有4X3X2X2=48(种)涂法.故相邻三角形均不同色的概率P=二反一=

11.在数学考试中，小明的成绩在90分及以上的概率是0.18,在80〜89分的概率是0.51,

在70〜79分的概率是0.15,在60〜69分的概率是0.09,计算小明在数学考试中取得80分

及以上一成绩的概率和小明考试不及格(低于60分)的概率.

解：设小明的数学考试成绩在90分及以上，在80~89分，在70~79分，在60~69

分分别为事件8,C,D,E,这4个事件是彼此互斥的.

根据互斥事件的加法公式，小明的考试成绩在80分及以上的概率为P(B+Q=P(B)+

P(Q=0.18+0.51=0.69.

小明考试及格的概率，即成绩在60分及以上的概率为P(8+C+。+£)=P(B)+P(Q+

尸(。)+P(E)=0.18+0.51+0.15+0.09=0.93.

而小明考试不及格与小明考试及格互为对立事件，所以小明考试不及格的概率为1-

P(5+C+£>+£)=1-0.93=0.07.

12.盒中有6只灯泡，其中2只次品，4只正品，有放回地从中任取2次，每次只取1只，

试求下列事件的概率：⑴取到的2只都是次品；(2)取到的2只中正品、次品各1只；(3)取

到的2只中至少有1只正品.

解：从6只灯泡中有放回地任取2次，每次只取1只，共有6?=36(种)不同取法.

⑴取到的2只都是次品的情况有22=4(种)，因而所求概率为P==

(2)由于取到的2只中正品、次品各1只有2种可能：第一次取到正品，第二次取到次

品；第一次取到次品，第二次取到正品，所以所求的概率为

4X22X44

P=--------+--------=-

136369-

(3)由于“取到的2只中至少有1只正品”是事件“取到的2只都是次品”的对立事件，

1Q

因而所求的概率为P=\

第二节概率的应用

A组

1.在一个袋子中装有分别标注数字123,4,5的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相

同.现从中随机取出2个小球，则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是.

解析：当取出的小球标注的数字之和为3时只有｛1,2｝一种取法；当取出的小球标注的

数字之和为6时，有｛1,5｝,｛2,4｝两种取法，所以符合条件的取法种数为3种，而所有的取

33

法有10种，故所求的概率为而答案：行

2.已知MZ,港=仇1),左1uQA),若H万|W4,则△/8C是直角三角形的概率为.

解析：M—W4,妙+々16,产<15,k=-3,-2,-1,0,1,2,3.

BC=(2-^,3).若/济-必+2无+3=0,则％=T,4=3;T&BCAC=0,则上

qa

=8(舍)；若/8/C=0,则左=-2.故尸=,.答案：亍

3.(2010年南京调研)甲盒子里装有分别标有数字1,2,4,7的4张卡片，乙盒子里装有分别标

有数字1,4的2张卡片.若从两个盒子中各随机地取出1张卡片，则2张卡片上的数字之和

为奇数的概率是.

解析：数字之和为奇数的有(1,4),(2,1),(4,1),(7,4)共4种情形，而从两个盒子中各抽

取一张卡片共有8种情况，所以所求概率为;.答案：；

4.(2009年高考江苏卷)现有5根竹竿,它们的长度(单位：m)分别为2.5,2.6,272.8,2.9,若

从中一次随机抽取2根竹竿，则它们的长度恰好相差0.3m的概率为.

解析：在5个长度中一次随机抽取2个，则有(2.5,2.6),(2.5,2.7),(2.5,2.8),(2.5,2.9),

(2.6,2.7),(2.6,2.8),(2.6,2.9),(2.7,2.8),(2,7,2.9),(2.8,2.9),共10种情况.满足长度恰好相

差0.3m的基本事件有(2.5,2.8),(2.6,2.9),共2种情况，所以它们的长度恰好相差0.3m的

211

概率为答案：-

5.(原创题)连掷两次骰子分别得到点数加,小向量。=(怙ri),6=(-1,1),若在△48C中,

与a同向，C才与人反向，则/Z8C是钝角的概率是.

解析：要使乙48c是钝角，必须满足/济C5<0,即“。=〃-机>0.连掷两次骰子所得点

数加,〃共有36种情形，其中15种满足条件，故所求概率是，.

6.一个袋子中有红、白、蓝三种颜色的球共24个，除颜色外其他特征完全相同，已知蓝色

球3个.若从袋子中随机取出1个球，取到红色球的概率是今

(1)求红色球的个数；

(2)若将这三种颜色的球分别进行编号，并将1号红色球，1号白色球，2号蓝色球和3

号蓝色球这四个球装入另一个袋子中，甲乙两人先后从这个袋子中各取一个球(甲先取，取

出的球不放回)，求甲取出的球的编号比乙大的概率.

Y1

解：⑴设红色球有x个，依题意得五=不，解得x=4,.,.红色球有4个.

(2)记“甲取出的球的编号比乙的大”为事件4所有的基本事件有(红1,白1),(红1,

蓝2),(红1,蓝3),(白1,红1),(白1,蓝2),(白1,蓝3),(蓝2,红1),(蓝2,白

1),(蓝2,蓝3),(蓝3,红1),(蓝3,白1),(蓝3,蓝2),共12个.事件/包含的基

本事件有(蓝2,红1),(蓝2,白1),(蓝3,红1),(蓝3,白1),(蓝3,蓝2),共5个,

所以心)=方

B组

1.(2009年高考浙江卷)有20张卡片，每张卡片上分别标有两个连续的自然数上k+1,其

中％=0,1,2,…，19.从这20张卡片中任取一张，记事件“该卡片上两个数的各位数字之和(例

如：若取到标有9,10的卡片，则卡片上两个数的各位数字之和为9+1+0=10)不小于14”

为A,则P(/)=.

解析：对于大于14的情况通过列举可得有5种情况：

(7,8)、(8,9)、(16,17).(17,18)、(18,19),而基本事件有20种，因此P(/)=；.

答案：|

2.用黑白两种颜色的正方形地砖依照下图的规律拼成若干图形，则按此规律第100个图形

中有白色地砖块；现将一粒豆子随机撒在第100个图形中，则豆子落在白色地砖上

的概率是________.

第1个第2个第3个

解析：白色地砖构成等差数列：8,13,18,5〃+3,…

：.a„=5n+3,aiOO=5O3,第100个图形中有地痔503+100=603,故所求概率尸=器.

答案：503需

3.设集合/={1,2},5={1,2,3),分别从集合力和8中随机取一个数〃和6,确定平面上

的一个点P(a,b),记“点P(a,b)落在直线》+歹=〃上”为事件C.(2W〃W5,〃6N),若事

件C„的概率最大，则n的所有可能值为.

解析：分别从力和B中各取1个数，一共有6种等可能的取法，点P(a,b)恰好落在直

线x+y=2上的取法只有1种：(1,1);恰好落在直线x+y=3上的取法有2种：(1,2),(2,1);

恰好落在直线x+y=4上的取法也有2种：(1,3),(2,2);恰好落在直线x+y=5上的取法只

有1种：(2,3),故事件C”的概率分别为卷，("=2,3,4,5),故当〃=3或4时概率最大.答

案：3和4

4.先后从分别标有数字1,2,3,4的4个大小、形状完全相同的球中，有放回地随机抽取2个

球，则抽到的2个球的标号之和不大于5的概率等于.

解析：基本事件共有4X4=16个，其中抽到的2个球的标号之和不大于5的情况有：

(1,1).(1,2)、(1,3).(1,4)、(2,1)、(2,2)、(2,3)、(3,1).(3,2)、(4,1),共10种，所以所求概率

为24答案：8

IOdO

5.把•颗骰子投掷两次，观察HI现的点数，并记第一次出现的点数为。，第二次出现的点

数为〃，向量，b),n=(l,—2),则向量帆与向量〃垂直的概率是.

解析：显然m-n=a-2b=0,所有可能的结果为(a,6)=(2,1)、(4,2)、(6,3).基本事件

总数为36,则概率为私答案：,

6.(2010年南京高三调研)如图，将一个体积为27cm3的正

块表面涂上蓝色，然后锯成体积为1cm3小正方体，从中

块，则这一块恰有两面涂有蓝色的概率是.

解析：据题意知两面涂色的小正方体当且仅当它们是

体的各条棱的中点时满足条件.正方体共12条棱，所以

色的小正方体有12个，而所有小正方体有27个，所以，

1?44

概率为尸=斫=d答案：Q

Z/yy

7.集合4={2,4,6,8,10},5={1,3,5,7,9},在/中任取一元素a和在8中任取一元素〃，则

所取两数m>n的概率是.

解析：基本事件总数为25个.用=2时，H=1;加=4时，n=1,3;加=6时，n=1,3,5;

m=8时，n=1,3,5,7;m=10时，〃=1,3,5,7,9;共15个.故P==0.6.答案：0.6

8.集合/={(x,y)[y2|x—1|},集合8={(x,y)lyW—x+5}.先后

掷两颗骰子，设掷第•颗骰子得点数记作。，掷第二颗骰子得点

数记作b,则(a,b)GACB的概率等于.

解析：如图：满足(a,b)W(/C8)的(a,6)值共有8个，(1,1),

Q

，答2案:2

(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(3,2)..•.尸=而

9.(2010年江苏泰兴模拟)已知|x|W2,MW2,点P的坐标为

(x,y),则当x,yGZ时，P满足。-2)2+0—2KW4的概率为

解析:由k|W2,[y]W2,x、y^Z,则基本事件总数为〃

=25,P满足(x-2)2+8-2pW4,...满足条件的整点有(0,2),

(1,2),(2,2),(1,1),(2,1),(2,0)6个，故「=郎.答案：6

25

10.(2010年皖南八校质检)甲、乙两人各掷一次骰子(均匀的

正方体，六个面上分别为123,4,5,6点)，所得点数分别为x,卜

⑴求的概率；(2)求5令+产10的概率.

解：记基本事件为(x,y),则有(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),

(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),

(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6),共

36个基本事件.

其中满足的基本事件有(1,2),(1,3),(1,4)(1,5)(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),

(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6),共15个.

满足5<x+y<10的基本事件有(1,5),(1,6),(2,4),(2,5),(2,6),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),

(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(6,1),(6,2),(6,3),共20个.

(1)x<y的概率P(x<y)=H=

205

(2)5<x+j<10的概率P(5〈x+_y<10)=石=§.

11.晚会上，主持人面前放着《、B两个箱子，每箱均装有3个完全相同的球，各箱的3个

球分别标有号码1,2,3.现主持人从小8两箱中各摸出一球.

(1)若用(x，回分别表示从4、8两箱中摸出的球的号码，请写出数对(x,力的所有情形，

并回答一共有多少种；

(2)求所摸出的两球号码之和为5的概率；

(3)请你猜这两球的号码之和，猜中有奖.猜什么数获奖的可能性最大？说明理由.

解:⑴数对(x,y)的所有情形为(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3),

共9种.

(2)记“所摸出的两球号码之和为5”为事件则事件/包含的基本情形有Q,3),(3,2),

2

共2种，所以尸(/)=§.

(3)记“所摸出的两球号码之和为i”为事件4a=2,345,6),

由(1)可知事件4的基本结果为1种，事件小的基本结果为2种，事件4的基本结果

12

为3种，事件儿的基本结果为2种，事件4的基本结果为1种，所以P(/2)=g，尸(A)=§，

321

产(40=守尸(45)=§，P(4)=g.

故所摸出的两球号码之和为4的概率最大，即猜4获奖的可能性最大.

12.从某学校高三年级共800名男生中随机抽取50

人测量身高.据测量，被测学生身高全部介于155

cm至Ul95cm之间，将测量结果按如下方式分成八

组：第一组［155,160)；第二组［160,165)；…；第八组

［190,195］,如图是按上述分组方法得到的频率分布

直方图的一部分.已知第一组与第八组人数相同，

第六组、第七组、第八组人数依次构成等差数列.

(1)估计这所学校高三年级全体男生身高在

180cm以上(含180cm)的人数;

(2)求第六组、第七组的频率并补充完整频率分

布直方图；

(3)若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两人，记他们的身高分别为X、

y,求满足”|x—MW5”的事件的概率.

解：(1)由频率分布直方图得前五组频率为(0.008+0.016+0.04+0.04+0.06)X5=0.82,

后三组频率为1-0.82=0.18,人数为0.18X50=9,

这所学校高三年级全体男生身高在180cm以上(含180cm)的人数为800X0.18=144.

(2)由频率分布直方图得第八组频率为

0.008X5=0.04,人数为0.04X50=2,设第频率/组距六组人

0.06...................

数为贝1J第七组人数为9-2-/«=7-/w,又加+2

=2(7-w),解得w=4,所以第六组人数为4,第七

组人数为3,频率分别等于0.08,0.06.0.04

频率

分别等于0.016,0.于2.其完整的频率分布

0.016

直方图如图.0.012

(3)由(2)知身高在［180,185)内的人数为0.0084,设为

155160165170175180185190195.一、

b、c、d,身高在［190,195］内的人数为2,身高(cm)设为4、

B,若x,［180,185）时，有〃/＞、ac、ad、be、bd、cd共6种情况；

若x,yG［190,195］时,有力8共1种情况；

若x,了分别在［180,185）和［190,195］内时，有bA、cA.dA、aB、bB、cB、跖，共8

种情况.

所以基本事件总数为6+1+8=15,

事件*-y|W5”所包含的基本事件个数有6+1=7,；.P（|x-y|W5）=看

第三节几何概型

A组

离小于上的

1.在长为1的线段上任取两点，则这两点之间的距

概率为.

解析：利用几何概型知识，结合线性规划可求出答案，如图.

|x-切＜；0xG（0,l）,j/e（0,l）,设阴影

部分的区

3

域面积为d,可知"=/整个正方形的面积为。，可知。=

1,则所求概率P4,答案：I

2.在等腰直角三角形48C中，若M是斜边48上的点，则小于ZC的概率为______.

解析：可用相应线段长度之比来度量，易知。=怠=坐答案：坐

3.（2009年高考山东卷）在区间［甘，与上随机取一个数x,则COST的值介于。至碌之间的概

率为________.

解析：当-畀x若时，由OWcos'W，得-畀xWg或畀x奇,

根据几何概型概率公式得所求概率为g.答案：I

4.平面上有一组平行线，且相邻平行线间的距离为3cm,

把一枚半径为1cm的硬币任意投掷在这个平面上，则硬

币不与任何-一条平行线相碰的概率是.

解析：如图所示，当硬币中心落在阴影区域时，硬币

不与任何一条平行线相碰，故所求概率为/答案：2

3

5.（原创题）向面积为S的△43C内任投一点尸，则/\PBC的

面积小巧的概率为.

1h

解析：,・•$△尸v$（其中h'为△08。中

4C边上的高，。为△4BC中8C边上的高），设DE为4ABC

的中位线，则点夕应在梯形BCED内（如图阴影部分），，尸=

S祎玲BCED_3

S&ABC.

答案：i3

6.在扇形OAmB中,乙AOB=90。，C为AH

的中点（如图）.

Z***S

⑴在48上任取一点1/,求LMOA<45°

的概率；

（2）在OC上任取点N.过N作EFLOC,

交AB丁EJ；求EF<OA的概率（精确

到0.01）.

解：（1）当且仅当M点在4c上时，4MO4<45°.

又因为例对而上的所有的点都是等可能

地取的，所以在加？上任取一点M,乙MQ47\^JV

<45。的概率为5=；.以

A好长~-----

（2）设M,Q在48上，且乙=15°,/_Q（）A=15°,MQ与OC

交于R,则乙M（）Q=60。，M。等于04,故要使EF<OA,只要使

<MQ,即使N取自CR内.设AB与。C交于S,则所求概率

OA-

即喀

04-T

B组

1.（2009年高考福建卷）点［为周长等于3的圆周上的一个定点，若在该圆周上随机取一点

B,则劣弧/1E的长度小于1的概率为

解析：设事件M为“劣弧/历的长度小于1”，则满足事件初的点B可以在定点A的

2

两侧与定点A构成的弧长小于1的弧上随机取一点,由几何概型的概率公式得：=y

答案:|2

2.（2010年苏、锡、常、镇四市调研）己知如图所示的

为12,宽为5,在矩形内随机地投掷1000粒黄豆，数

影部分的黄豆数为600粒，则可以估计出阴影部分的

解析：设所求的面积为S,由题意得儒=等？

1uuu3A,1z

答案：36

3.在棱长为a的正方体ABCD-AiBCDi内任取一点P,则点P到点A的距离小于等于a

的概率为.

■|xpu/3

解析：尸=工丁吟答案：I

4.(2010年扬州调研)已知集合/{x|-l<x<5},8={x［三>0},在集合4中任取一个元素x,

则事件“XW4CB”的概率是.

解析：由题意得Z={x|-1X5},B={x|2<x<3},由几何概型知：在集合力中任取一个

元素x,则xGZC8的概率为P=1.答案：!

OO

5.某公共汽车站每隔10分钟就有一趟车经过，小王随机赶到车站，则小王等车时间不超过

4分钟的概率是.

答案:|2

6.如图，M是半径为R的圆周上一个定点，在圆周上等可能地任

取一点N,连结MN,则弦MN的长度超过&R的概率是.

解析：连结圆心。与M点，作弦MN使NMON=90°,这样

的点有两个，分别记为M，N2,仅当点N在不包含点A/的半圆弧

上取值时，满足MNK^R,此时NNQN2=180。，故所求的概率为

180°_1

360°=2,

答案：|

M

7.已知Q={(x,y)|x+yW6,x20,y》0},E—{(x,y)|x—2y》0,xW4,y20},若向区域

。内随机投-点尸，则点P落入区域E的概率为‘.'

解析：如图，区域。表示的平面区域为△408边界及其内部的部分，区域E表示的平

面区域为△COO边界及其内部的部分，所以点P落入区域E的

<；X2X4

概率为沁------［答案：!

S=°B|x6X699

8.已知函数y(x)=-f+ax—b.若a、b都是从区间［0,4］任取的一

个数，则川)>0成立的概率是.

解析：.41)=一1+。一6>0,即。一6>1,如图：

9

9S△力5C2

4(1,0),8(4,0),C(4,3),S△.=5,尸="^=不五.答案:

乙3矩4X4

9

32

在区间［0,1］上任意取两个实数。，b,则函数/(x)=$3+公一人在区间［-1用上有且仅有

9.

一个零点的概率为.

解析：/(x)=2<+a,故危)在-1,1］上单调递增，又因为函数火工)=那3+办-。

在［-1,1］上有且仅有一个零点，即有<-1)如)<0成立，即(-呆。一旧+。一与〈0,则g+

"OWaWl"OWaWl

0W6W1OW6W1

+

a+ft)(1+a-h)>0,可d匕为<\a-b>0或《

+Q-X0,由线性规划知识在平面

、；+a+b>06+"X0

直角坐标系〃中画出这两个不等式组所表示的可行域，