新教材人教A版高中数学必修第一册第五章三角函数2022新高考一轮复习练习题

第五章三角函数

1任意角弧度制与任意角的三角函数....................................-1-

2同角三角函数的基本关系与诱导公式..................................-8-

3三角函数的图象与性质............................................-13-

4三角恒等变换....................................................-20-

5函数y=Asin3x+6的图象及应用...................................-28-

6正弦定理和余弦定理..............................................-36-

7解三角形应用举例................................................-44-

1任意角弧度制与任意角的三角函数

A组全考点巩固练

e9

起

贝i

COS-COS-n-

1.设。是第三象限角，且2Yj2

A.第一象限角B.第二象限角

C.第三象限角D.第四象限角

。

所以?是第二或第四象限角.因为一

B解析：因为。是第三象限角2

£

2所以cosg<0.所以多是第二象限角.

—COS

2.若a=k360°+8,4=〃上360。一。伙,mGZ）,则角a与夕的终边的位置关系

是（）

A.重合B.关于原点对称

C.关于x轴对称D.关于），轴对称

C解析：角a与。终边相同，尸与一。终边相同.又角。与一。的终边关于x

轴对称，所以角a与夕的终边关于x轴对称.

3.（2020.百校联考高考考前冲刺（二））已知0为坐标原点，角a的终边经过点

P(3,m)(m<0),JI.sina=^^m,

则sin2a=()

4334

A.5B.5C.—7D.5

。=1〃；+9=喀加,解得"=-1，所以P（3,-

C解析：根据题意，得sin

1),所以sina=—邛，cosa=4俏，所以sin2a=2sinacosa=一|.

4.（2020.北京卷）2020年3月14日是全球首个国际圆周率日（无Day）.历史上,

求圆周率无的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似.数学家阿尔・卡

西的方法是：当正整数〃充分大时，计算单位圆的内接正6〃边形的周长和外切正

6〃边形（各边均与圆相切的正6〃边形）的周长，将它们的算术平均数作为271的近似

值.按照阿尔・卡西的方法，兀的近似值的表达式是（）

A.3〃（sin*+tan*）B.6〃Qin*+tan*）

C.3〃Qin野+tan争D.6〃gin等+tan等

A解析：单位圆内接正6〃边形的每条边所对应的圆周角为惑=野,每条

边长为2sin

所以，单位圆的内接正6”边形的周长为12〃sin学.

30°30°

单位圆的外切正〃边形的每条边长为,其周长为〃

62tan--n--12tann----.

.30°30°

12»sin—+12«tan—（,30°30°）

所以2兀=---------------------=6/?lsin—+tan—I,

则兀=3〃（sin乎+tan%.故选A.

5.（2020.潍坊一模）在平面直角坐标系xOy中，点P（小，1）.将向量舁绕点

。按逆时针方向旋转方后，得到向量两，则点Q的坐标是（）

A.（一6，1）B.（-1,业

C.（一小，1）D.（-1,小）

D解析：设以射线OP为终边的角为a,以射线OQ为终边的角为夕，且夕

=a+].由题意可得sina=；,cosa=坐，结合三角函数的定义与诱导公式可得XQ

=2cos4=2cos（a+，）=­2sina=-1,y°=2sin4=2sin（a+1]=2cosa=4,即点

。的坐标为（一1,小）.故选D.

6.已知点尸（sin。，cos。）是角a终边上的一点，其中。=至，则与角a终边相

同的最小正角为.

解析：因为。=制，故P（半，一：），故a为第四象限角且cosa=率，

11jr11JT

所以a=2E+k，kGZ,则最小的正角为k.

oo

7.如图，扇形A08的面积是1,它的弧长是2,则扇形的圆心角a的弧度数

为,弦A8的长为.

1/1ft

22sin1解析：由扇形面积公式S=1/r.又a=;,/=2,可得S=]z=l，所

n

以。=2.易得r=1,结合图形知AB=2rsin/=2sin1.

,3

8.已知角a的终边在直线y=-3%上，求lOsina+二]的值.

COSCf.

解：（方法一）设a终边上任一点为P（A,-3k）,

则r=yl/c+(-3k)2=\[u)\k\.

当A>0时，

-3k3]曙=恒,

一一回'cosa

所以10sina+」-=—3®+3，T6=0;

cosa

当MO时，r=一寸血,

—3k3

所以sina=

一回1瓜，

1—y[10k

cosakVTo,

所以10sina+」一=3，15—3，15=0.

COSot

、3

综上'10sina+cosa=0.

（方法二）依题意，tana=-3,

所以sina=_3cosa.

3—30cos2a+3

所以—3°cosa+蓊cosa

又sin2a+cos2a=1,

所以ta/a+l=^

1_1

所以cos2a=

1+tan2a10'

所以一30COS2Q+3=—30*春+3=0,所以原式=0.

9.已知sina<0,tana>0.

(1)求角a的集合；

⑵求舞边所在的象限；

(3)试判断ta号in与cos5的符号.

解：(1)因为sina<0且tana>0,

所以a是第三象限角，

故角。的集合为卜2&兀+兀<。<2%兀+当，

(2)由(1)知2E+"a<2E+芸&WZ,故2兀+，途4兀+芋，k^Z.

当)=2〃(〃GZ)时,2〃兀+5<*2〃无+手〃ez,即F是第二象限角：

当k=2〃+1(〃GZ)时，2〃无+咨<5<2〃兀+牛，〃ez,即今是第四象限角，

综上，方的终边在第二象限或第四象限.

⑶当含第二象限角时,

八八。八

tar”a〈O,si.na]>0,cosg<0,

故ta玲sin*os^>0;

当今是第四象限角时,

a,a八a八

tan]<0,s吗<0,cos]>0,

,,a.aa_

故tan'sinscos,〉。.

综上，tan胃球cos拼取正号.

B组新高考培优练

10.在平面直角坐标系中，A3,CD,EF,G”是圆f+^=l上的四段弧（如

图），点P在其中一段上,角a以Ox为始边，OP为终边.若tana<cosa<sina,

则点P所在的圆弧是（)

A.ABB.CDC.EFD.GH

C解析：若点P在A3或CO（不包含端点A,0上，则角a的终边在第一象

限，此时tana—sina=tana・（l-cosa）>0,与tana〈sina矛盾，排除A,B.

若点P在诵（不包含端点G）上，则角a的终边在第三象限，此时tana>0,cos

a<0,与tana<cosa矛盾，排除D.故选C.

11.（多选题X2020.山东师范大学附中月考）在平面直角坐标系xOy中，角a的

顶点在原点O,以x轴正半轴为始边，终边经过点P（l,⑼（机<0）,则下列各式的

值恒大于0的是（）

sina「.

A.;B.cosa-sma

tana

C.sinacosaD.sina+cosa

AB解析：因为角a以Qx为始边，终边经过点P（l,〃z）（加vO）,所以a是第

四象限角，所以sina<0,cosa>0.

所以^---=cosa>0,cosa—sina>0,cosa-sina<0,cosa+sina的符号不确

tana

定.故选AB.

12.意大利“美术三杰”（文艺复兴后三杰）之一的达・芬奇的经典之作——《蒙

娜丽莎》举世闻名，画中女子神秘的微笑数百年来让无数观赏者入迷.某数学兼

艺术爱好者对《蒙娜丽莎》的同比例影像作品进行了测绘，将画中女子的嘴唇近

似看作一个圆弧，在嘴角A,。处作圆弧的切线，两条切线交于8点，测得如下数

据：AB=6.9cm,8c=71cm,AC=12.6cm.根据测量得到的结果推算，将《蒙娜

丽莎》中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角位于区间（）

，兀兀、"兀、，兀5TI\（5兀TI\

A・64）B.仁，于c.G，司D,后，2；

12.6

B解析：取设NA3C=2。，则sin。心~1-=0.9£惇，逅要？）.

.八5兀、八（2兀5兀、

.小用词,2夕*卬yj.

设《蒙娜丽莎》中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角为a,则a+20=兀

Aae^,"故选B.

13.如图，在Rtz^PB。中，ZPBO=90°,以。为圆心、08为半径作圆弧交

0P于点A.若圆弧A8等分△P03的面积，且NA0B=a,则盘=.

5解析：设扇形的半径为r,则扇形的面积为%，.在RtAiPOB中，PB=rtana,

所以△POB的面积为:广rtana.由题意得;nrtana=2X^ar9所以tana=2a,所以

a1

tan。-2'

14.已知圆。与直线/相切于点A,点P,。同时从A点出发，P沿着直线/

向右，。沿着圆周按逆时针以相同的速度运动.当。运动到点A时，点P也停止

运动，连接OQ，0P(如图)，则阴影部分面积S,S2的大小关系是.

Si=S2解析：设运动速度为加，运动时间为圆。的半径为r,则AQ=AP

=祝根据切线的性质知0A1.AP,所以Si=^tm-r-SMAOB,

S2=^tm-r—S扁协AOB,

所以S1=S2恒成立.

15.如图，在平面直角坐标系xQy中，角a的始边与x轴的非负半轴重合且

与单位圆相交于A点，它的终边与单位圆相交于龙轴上方一点8,始边不动，终边

在运动.

⑴若点B的横坐标为一,，求tana的值；

(2)若AAOB为等边三角形，写出与角a终边相同的角尸的集合；

⑶若y],请写出弓形AB的面积S与a的函数解析式.

解：⑴由题意可得心之，|),根据三角函数的定义得tana=『一*

⑵与角a终边相同的角夕的集合为/4=胃+2匕1,AGZ

(3)若aW(0,亨，则S&衫。八8=$产="而S\AOB=；X1X1义sina=；sina.

11(2-

故弓形AB的面积S=S南卷OAB—SAAOB=]a-]sina,ael0,铲.

2同角三角函数的基本关系与诱导公式

A组全考点巩固练

1.10g2（c0S引的值为（）

A.-1B.C.3D.坐

B解析：log2（cos牛）=k）g2（cos：）=log2乎=10g22—3=—故选B.

2.若sin（9cos夕=5,则tan。+不一万的值是（）

zsin（7

A.-2B.2C.±2D.!

介i_cos8sin81.cos0______]

B解析:'an+sincos8十sincosOsin8=2.

3.（2020•全国100所名校新高考模拟）cos?（一点一0）+cos2g—。）=（）

A.IB.啦C.1D.当

C解析：COS?（一点—ej+cos?停一e）=cos2^+jxj+cOS21一（夕+制］=

cos2（e+点）+sin2（。+总=1.故选C.

4.若8陪，兀），则、/l—2sin（ji+e）sin停一0）等于（）

A.sincos0B.cossin0

C.±（sincos6）D.sin8+cos夕

A解析：1—2sin（兀+8）sin^^一。）

=\]1—2sin^cos0=y[（sincos02

=|sin9-cos0\.

因为。£住，兀），所以sin。-cos例＞0,所以原式=§111。一cos8.故选A.

5.已知sin（a—制=；,则cos（a+窄^等于（）

手C.YD.

A.3B,

=!.故选

A解析:cosA.

/。5

6.sins^K-tan的值是

乎解析：原式=

X（一小尸—乎.

7.（2020•嘉定区一模）已知点（一2,y）在角a终边上，且tan（无一a）=2啦，则

sina=

■解析：由题意得tana=y

-2,

因为tan（7t—a）=—tana=2巾,

所以tan

解得y=4"\Q.所以sina=.

8.已知2sina—cosa=0,贝ijsin%—2sinacosa的值为,

31

—X解析：由已知2sina—cosa=0得ztana=/.所以sin2a—2sinacosa=

sin2a2sinacosatan2a2tana3

sirPa+cos2atan2a+l5-

9.已矢口cosa-sina0,

⑴求sinacosa的值;

sin仁一2a

（2）求。的值.

cos|A+a

572

解：（1）因为cosa—sina=0

13，

50

平方得1—2sinacosa=

1691

所以sinacosa=1|j.

(2)sina+cosa=q(sina+cosa)2=y]1+2sinacosa=

,rtivcos2a

所以，原式=—~r----：

cosH+a

(cosa-sina)(cosa+sina)

芈(cosa-sina)

厂24

=*\/2(cosa+sin4)=百.

10.（2020.宜昌一中期末）已知a是第三象限角，且cosa=-1%.

⑴求tana的值;

____cos(兀一a)

⑵化简并求的值.

.(n'

2sin(a)Isin(2十a

解：（1）因为a是第三象限角，cosa=-所以sina=—yj1—cos2a=—

3V15“、,sina「

,所以

10'tana=-c-o-s--a-=3.

小、工v-cosacosa1用。7、如工工

(2)原式=工=7­;=7777.4^tana=3代入，仔原式

—2sina+cosa2sina-cosa2tana—1

_1_1

=2X3-1=5,

B组新高考培优练

IL(多选题)(202。潍坊月考)下列化简正确的是()

A.tan(7i+l)=tan1

sin(-a)

B.;~7^7^；=cosa

tan(360°—a)

-sin(兀-a)

C・----:~~7=tana

cos(兀十a)

cos(7T—a)tan(一兀一a)

D*sin(2n—a)]

AB解析：由诱导公式得tan（兀+l）=tan1,故A正确;

sin(-a)一sina

/c/cc7==cosa,故B正确;

tan(360-a)-tana

sin(兀一a)sina

tana,故C不正确;

cos(7i+a)-cosa

cos（L）an（<—叽-cos双―tana）=_】,故D不正确.故选AB.

sm（2兀­a）—sina

人、人口七乙sin（E+a）,cos（E+a）,、

12.（多选题2知〃=，+一I：7"CZ），则na的值s可以为（z）

Olli（XV-VzOLA

A.1B.—2

C.-1D.2

BD解析：当左为偶数时，。=鬻+悬*=2；

一sina一cosa

当女为奇数时,a2.

sinacosa

13.已知sin(一方—ajcos(一号+a)=x，且0<a<：,贝ijsina=,cosa

34解析：sin（苫_<x）cos（一与+a)=—cosa(-sina)=sinacosa=1|.

55

兀

又因为0<a<4，所以0<sina<cosa

f.12

sinacosa=^,

由'

^sin2a+cos2a=1,

得sina=|,cosa=1

14.如图，在平面直角坐标系xOy中，一个单位圆的圆心的初始位置在（0』）,

此时圆上一点P的位置在（0,0）,圆在x轴上沿正向滚动.当圆滚动到圆心位于C（2,l）

时，次的坐标为.

（2—sin2,1-cos2）解析：如图，过圆心C作x轴的垂线，垂足为A,过点P

作无轴的垂线与过点C作>-轴的垂线交于点B.

因为圆心移动的距离为2,所以劣弧41=2,即圆心角NPC4=2,则NPCB=

2—^,所以|PB|=sin(2—甘=—cos2,\BC\=cosf2—=sin2,所以xp=2~\BC\

=2—sin2,yp=1+|P3|=1—cos2,所以8=(2—sin2,1—cos2).

15.在△ABC中，

⑴求证：cos"；'+cos5=1.

(2)若cos仔+A)sin(竽+qtan(f—兀)<0,

求证：△ABC为钝角三角形.

证明：(1)在△ABC中，A+B=n-C,

近以A+8兀C

所以丁一丁了

,,A+B(7iC

所以cos-2-=c°s(g-£=sinf.

所以cos2^^+cos2^=sin2y+cos2y=1.

(2)因为cos'+A)sin(^+B).tan(C—冗)<0,

所以(一sinA)(—cos5)tanC<0,

即sinAcosBtanC<0.

因为在△ABC中，0<A<兀，0<8〈兀，OvCv兀且sinA>0,«']cosBtanC<0.

cosB<0,[cosB>0,

所以〈或V

ItanOO[tanC<0,

所以8为钝角或C为钝角，

所以△ABC为钝角三角形.

3三角函数的图象与性质

A组全考点巩固练

1.函数/(©=tan(2x一§的单调递增区间是()

kn兀kn,nkn兀kn.5兀'

A.~212'T+12(kS)B.・5FT+12,l(%ez)

Tl3兀

C.E—记，E+记(AGZ)D.Iht+g,E+*yJ(AGZ)

TV

B解析：由左兀一]<2x一铲E+2(左£Z),

仔邢GZ),

所以函数/(x)=tan(2x一野的单调递增区间为(与一,，与+匍(％WZ).

2.函数y=2sin信一群(0«9)的最大值与最小值之和为()

A.2-B.0

C.—1D.-1—小

A解析：因为(XW9.所以一审袭九一畀普，所以sin&—习e一日,1

所以yW[一小，2],所以ymax+ymin=2一小.

JT

3.已知函数/(x)=cos尹+1.设。=/(兀-1),b=f(3~02'),c=/(—311),则a,

b,c的大小关系为()

A.c>b>aB.c>a>b

C.b>a>cD.a>b>c

C解析：函数/(x)=cosW；+l的定义域为R,/(—x)=cos[—枭)+l=cos紧

IF

+l=/(x),所以函数y=/(x)为偶函数.所以c=/(-3M)=/(3i/).当0<尹<兀，即

0<x<5时，O(x)=cos，+1在(0,5)上单调递减.因为0<3一。2<]<无一1<3<31/<335,

所以/(3一°2)"(九-即b>a>c.

4.同时满足/(x+n)=/(x)与fe+隹一J的函数/㈤的解析式可以是

()

A.f(x)=cos2xB./(x)=tanx

C.f(x)=sinxD./(x)=sin2x

TT

D解析：由题意得所求函数的周期为兀，且图象关于直线对称.

/(x)=cos2x的周期为兀，而/佯)=。不是最值，所以图象不关于直线犬=彳对

称.

7T

/(x)=tanx的周期为兀，但图象不关于直线工=^对称.

/(x)=sinx的周期为2兀，不合题意.

三

f(x)=sin2x的周期为兀，且/1为最大值，所以D项满足条件.故选D.

5.(多选题)下列函数中，以方为周期且在区间俘，号上单调递增的是()

A./(x)=|cos2x|B./(x)=|sin2x\

C./(x)=cos|4x|D./(x)=sin\x\

AC解析：作出函数/(x)=|cos2x|的图象如图所示.

由图象可知/(x)=|cos2x|的周期为壬在区间件号上单调递增.同理可得/(x)

7T

=|sin2x|的周期为在区间cos|4x|的周期为壬且在仔,

上单调递增；/(x)=sin因不是周期函数.故选AC.

6.函数/(x)=cos(3x+2在［0,兀］上的零点个数为.

TT7rl97rTTTTTT

解析：因为尤WTI,所以=-.由题意可知3X+Z=5，3X+T=

30Wooo02。

3兀v.।兀5兀2兀4兀).7兀..-人e>>

受，或3x+q=g,解付x=g,互或互，故有3个零点.

7..若存在这样的实数为,双，对任意的xdR,都有

/(X1)W/(X)守(X2)成立，则M—X21的最小值为

的最小值和最大值，故|xi—X2|的最小值为亨=2.

8.若x=W是函数/(x)=4^sin((ox—：)(xdR)的一个零点，且OVtoVlO,则函

数的最小正周期为.

兀解析：依题意知/低)=/6吊(詈一彳)=0,即詈一j=E,女ez,整理得

口=8攵+2,ZWZ.又因为OVtyVIO,所以OV8k+2V10,得一占＜k〈l.而kGZ,

所以攵=0,co=2,所以/(x)=，Esin(2x—彳)，最小正周期为兀.

9.已知函数/(x)=sin(tyx+s)(0＜8＜明的最小正周期为兀

(1)当/(x)为偶函数时，求a的值；

(2)若/(x)的图象过点后，坐)，求“X)的单调递增区间.

27r

解：因为/Q)的最小正周期为兀，所以7=五=兀.

所以①=2.所以/(x)=sin(2x+^).

(1)当/(x)为偶函数时，/(-x)=/(x).

所以sin(2x+s)=sin(—2x+g).

展开整理，得sin2xcos(p=0.

上式对任意x£R都成立，

2兀71

所以cos9=0.因为0＜9＜了，所以夕=,

(2)因为/⑴的图象过点总明

所以sin(2X5+9)=乎，

即sin修+夕)=坐

27r7T7T

又因为0<9Vy,所以§<1+夕<兀.

所以胃+3=与，所以

所以/(x)=sin(2x+"

T^.

令2&兀-2<2X+§<2E+2，kGZ,

57r7t

解得攵兀一五WxWE+3，kRZ.

57rTT

所以/(尤)的单调递增区间为桁―五，E+p，%ez.

10.已知函数/(x)=[^asin(尤+；)+a+0.

⑴若。=一1,求函数/(x)的单调递增区间；

(2)若xd[0,扪，函数/(x)的值域是[5,8],求。，。的值.

解：(1)若a=—1,则/(x)=-g-sin(x+T+b—L

由竽(AGZ).

TT5兀

得2&兀+wW%W2&兀+彳(4£2).

TTJ7T

所以/(X)的单调递增区间为2%i+&2E+]*(AdZ).

TTTT57r

(2)因为0WxW兀，所以彳.

所以一乎<sinQ+彳)W1.

依题意知QWO.

y[2a+a+b=S

当a>0时，\9

1^=5,

解得〃=3啦一3,b=5;

伍=8,

当.时,U+^^5,

解得a=3—3啦，b=8.

综上所述，a=3啦一3,人=5或a=3—36，b=8.

B组新高考培优练

11.(多选题)已知函数/(x)=cosxsinx(xeR),则下列说法正确的是()

A.若/(xi)=­f(九2)，则XI=~X2

B./(幻的最小正周期是2兀

C./⑴在区间［谭手上递增

D./(x)的图象关于直线产于对称

1jr

CD解析：/(x)=/sin2x,当xi=O,九2=/时，/(xi)=—/(%2),但尤iW—X2,

故A错误：f(x)的最小正周期为兀，故B错误；当一不W时，2xe—］，2,

故C正确；因为/僵)=£sin与=一1，故/(x)的图象关于直线工=斗对称，故D

正确.

12.(2020.衡水中学调研)直线产a与函数/(x)=tan|yx+飘>>0)的图象的相

邻两个交点的距离为2兀.若/㈤在(一〃z,加)(,心0)上单调递增，则m的取值范围是

()

A.(0,彳B,(0,方

C.(0,华D.(0,当

B解析：因为直线y=a与函数/(x)的图象的相邻两个交点的距离为一个周

期，所以co=g,所以/(x)=tan&+：).

jr1jrjr37rir

由攵兀一5<$V+I<E+5(Z：£Z),得2E—3~<x<2E+5(攵£Z),

所以/⑴在(一竽，上单调递增，故(一加，〃2)=(一华，3，解得0<"2§.故

选B.

13.重庆被誉为“桥都”，数十座各式各样的大桥横跨长江、嘉陵江两岸，

其中朝天门长江大桥是世界第一大拱桥，其主体造型为：桥拱部分(开口向下的抛

物线)与主桁(图中粗线)部分(可视为余弦函数一个周期的图象)相结合.已知拱桥部

分长552m,两端引桥各有190m,主桁最高处距离桥面89.5m,则将下列函数等

比放大后，与主桁形状最相似的是()

2

A.y=0.45cos^x

3

C.y=0.9cos/

A解析：设主桁部分对应的余弦函数为f(x)=Acoswx,

27rTC

可得周期即川乃=而.

7=552+190X2=932,=8yJZ40。

又由2A=89.5,得4=当之所以/(x)=^los比1c

按1：100的比例等比变换，可得/(x)=^cos嘿、，对比选项，可得与函数

2

y=0.45cosQx相似.故选A.

14.已知函数/(x)=2sin(s—看)+l(x£R)的图象的一条对称轴为直线尤=兀，

其中①为常数，且①£(1,2),则①=；函数/(九)的零点是.

|或x=?^一尊女£Z解析：由函数/(x)=2sin(①x—*)+l(x£R)

7TTT2

的图象的一条对称轴为x=n,可得60冗一%=尿+己,k®Z,所以G=Z+Q.又①£(1,2),

所以①=.所以函数/(x)=2singx—看)+1.令/(幻=0,即singx—,)=-g,所以

57T_.兀*-75兀____々订,06&兀v62兀2兀__a,"7业,“/、

%=2%兀一％或2E—不，kGZ,解付■"或■一歹，kGZ,即函数/(x)

的零点为一或工=有一一行，kez.

15.设定义在R上的函数/(x)=sin(£yx+s)(⑦>0,一言<夕〈5，给出以下四

个论断：

①/"(X)的最小正周期为兀；

②/Xx)在区间(一会0)上单调递增;

③/Xx)的图象关于点停0)对称；

④/Xx)的图象关于直线尸盍对称.

以其中两个论断作为条件，另两个论断作为结论，写出你认为正确的一个命

题(写成“p0q”的形式).(用到的论断都用序号表示)

①④今②③或①③0②④解析：若/(x)的最小正周期为兀，则⑦=2,函数/

(x)=sin(2x+s).同时，若/(x)的图象关于直线*=强对称，则sin(2X盍+夕)=±].

TTTTif7Tjr(兀、

又一行V8V5,所以2X石+夕=5,所以(p=c，此时/(x)=sinl2^+71,②③成立.故

①④二②③.若/(x)的最小正周期为兀，则①=2,函数/(x)=sin(2x+9)・同时，若

./"(X)的图象关于点G，oj对称，则2Xg+s=E,%ez.又一伙所以8=1,

此时./"(x)=sin(2x+1),②④成立.故①③。②④.

16.已知a=(sinx,事cosx),Q(cosx,—cosx),函数/(x)=aS+竽

⑴求函数y=/(x)图象的对称轴方程；

(2)若方程/(无)=g在(0,兀)上的解为XI,XI,求COS(X1—X2)的值.

解：(l»(x)=a・A+曰=(sinx,小cosx>(cosx,-cosx)+^=sinx-cosx-y[3

cos2%+坐=/in2x一杀os2x=sin(2r一n.

jrjr

令2%—兀+](k£Z),

得%=居+第%WZ),

即函数y=/(x)图象的对称轴方程为X=|^+"(AGZ).

5JT

⑵由(1)及已知条件可知(XI,/(X1))与(X2,/(⑼)关于尤=五对称,

,571

贝n1IXl+x2=W，

所以COS（X1—X2）=COS

=cos2x1

71

：2xi—

=co-2

71）c1

=sin2xi—3）=/（XI）=3.

3

4三角恒等变换

A组全考点巩固练

1.（2020•山东省实验中学第二次诊断）已知cos住一j=2cos（兀+a）,且tan（a+

份=3，则tan4的值为（）

A.-7B.7C.1D.-1

B解析：因为cos俘-a）=2cos（兀+a）,所以sina=—2cosa,即tana=—2.

又tan（a+^）=i,则⑦口"tan夕='将a=—2代入，解得tan4=7.故选B.

『31—tanatanp5"

,3

2.（2020・威海一模）ti知sin伊一a）cos4一cos（a—』）sina为第三象限角,

则cos,+g=（）

A_也R_谨「正口也

八.10010J10510

3

A解析：因为sin0-Q）COS4一cos（a一夕）sin^=sin[Q§—a）—^]=-sina=g,

所以sina=—"

4

又a为第三象限角,则cosa=­q,

所以cos（a+；，=cosacos^-sinasin^=-|x^+|x^

IO-

3.（2020•全国卷HI）已知2tan。一tan（。+可=7,则tan0=（）

A.-2B.-1C.1D.2

D解析：2tan。-tan（9+用=2tan（9—-7=7,整理可得tan2^-4tan8+4

I4/1—tan0

=0,所以1211，=2.故选口.

4.已知函数/(x)=2cos2x—sin?x+2,则()

A./(x)的最小正周期为兀，最大值为3

B./(x)的最小正周期为兀，最大值为4

C./(%)的最小正周期为2兀，最大值为3

D./(x)的最小正周期为2无，最大值为4

cos2%+13

B解析：易知/(x)=2cos2x—sin?尤+2=3cos2x+1=3义-------+l=/cos2x

+1,所以/(x)的最小正周期为兀当2x=2E,即x=E(ZCZ)时，/(x)取得最大值,

最大值为4.

5.若cos低-a）=（,则cos律+2a）的值为（）

A17n17「18「18

A-18B'一而C-19D-―西

A解析：因为cos（1-a）=\,

=_cos1_2a）=j^.故选A.

6.（2020・山西模拟）已知函数/（x）=45sinZr+Zsin?%.若/（加＞/（九2）=—3,则3

+刈的最小值是（）

7U7C—1兀27r

A.7B.7C.TD.-7

6435

A解析：/(x)=*\/3sin2x+2sin2x

,1-cos2x

=y]r3sin2x+2X-----------

=，5sin2x-cos2x+1

=2sin(2x-1+1.

所以函数/(x)的最大值为3,最小值为一1.

又/(XI)/(12)=—3,所以/(X)在尤1,X2处取到最大值和最小值.不妨设在XI

JTTT

处有最大值，则尤1=41兀+§；在无2处取到最小值，则X2=42兀一不

兀

所以|九1+刈=(41+&2)兀+不,k\,k2Gz.

jr

所以|xi+x2|的最小值为4.故选A.

1+coslx,

7.已知函数/(x)=--京---r+asin的最大值为2,则常数。的值

4sin(]+xJ

为________

±715解析：因为/(x)=^K：-%sinx=x-asin,)=^cos(x+

8)(其中tans=a),所以"2,解得a=±\/T^.

sinasin1373兀

8.定义运算=ad—bc,若cosa

cosacos/

则B=.

?解析:由题意有sinacos夕一cosasin£=sin(a一夕.又0</?<a<^,得0<a

一尸专故cos(a—(i)=yj1—sin2(a—/?)=因为cosa=；，所以sin0!=42所以sin4

=sin[a—(a—£)]=sincc-cos(a-^)-cos0(6亩(。一夕)=砰><*一；*嗜=坐.又

TTTT

0</?<2，故P=y

9.已知函数/(x)=(sinx+cos尤产—cos2x.

(1)求函数/(x)的最小正周期；

兀

⑵求证:当％e[0,.时,/(x)^0.

(1)解：因为f(x)=sin2x+cos2x+sin2x—cos2x=1+sin2x—cos2x=啦

sin(2%-g)+l，

所以函数f(X)的最小正周期为71.

(2)证明：由⑴可知/(x)=^/2sin^2x—+1.

„「八兀]।兀「兀3元

当小时，陵一彳气一不yj,

所以sin(2x—[w—乎，1，

所以啦sin(2x-：)+lW[0,y/2+1].

TTJr

当2x—a=一不即x=。时，/(x)取得最小值0・

兀

所以,当xG0,2时,/(九)20.

10.已知函数f(x)=Sin^x—7)+cosLr—,g(x)=2sin21.

(1)若a是第一象限角，且求g(a)的值；

⑵求使成立的x的取值集合.

解：(iy(x)=-^sinx-；cosx+；cosx+乎sinx=*\/3sinx.

所以f(a)=d^sin。=邛^,解得sin«=1.

4

因为。是第一^象限角，所以cos〃=予

所以^(a)=2sin21=1—cosa=1.

⑵由得小sinx21—cosx.

所以坐sinx

TT

所以x+'G