高中数学总复习教学案07D：数列的求和

高中数学总复习题组法教学案编写体例

§7.4数列的求和

新课标要求

1、了解数列求和的意义，主要利用等差、等比数列的前n项和公式解决数列的求和问题；

2、掌握常见数列的求和方法，尤其是要掌握用公式法、分组结合法、裂项相消法、错位相减

法、倒序相加法求解一些特殊的数列的前n项和。

重点难点聚焦

数列求和的常用方法,尤其是利用裂项法和错位相减法求一些特殊数列的和。

高考分析及预装

数列的求和也是高考中的热点内容，考察学生能否把一般数列转化为特殊数列求和，体

现了化归的思想方法，其中错位相减和裂项相消是高考命题的热点。估计在以后的高考中不

会有太大的改变。

题组设计

再现型题组

1.求数列[■的前n项和

2.[]

3x|

4.求和■~~=■

5.（05天津）叵]中■■

巩固型题组

6.（国福建文）”数列0的前四项和为因，3，二」

（I）求数列□的通项S；

（II）求数列a的前回项和a.

7.设等差数列0的前区项和为因，I一・

（1）求通项目及前回项和a；

（2）求数列叵］前回项和因.

8.大楼共n层，现每层指定一人，共n人集中到设在第k层的临时会议室开会，问k

如何确定能使n位参加人员上、下楼梯所走的路程总和最短。（假定相邻两层楼梯长相等）

提高型题组

9.（06湖北）已知二次函数y=f（x）的图像经过坐标原点，其导函数为1=1o数

列叵］的前n项和为因，点［x|均在函数目的图像上。（I）求数列{%}

的通项公式；

（II）设,a是数列a的前n项和,求使得S对所有国都成立

的最小正整数m。

io.已知数列a的各项为正数，其前"项和

（I）求।・之间的关系式，并求a的通项公式;

（ID求证[-1

女糠型敢殂

11..在数列a中,,则项数"为）

A.9B.10C.99D.100

12.数列■一11二_■的前一T而不n笺干()

A.日B.「x|C.x1D.Ez口

13.设■——■—()

A.-1B.0C.1D.2

14.数列1,■=()

A.□B.□c3D.叵]

15.数列｛冈｝的前n项和1—■()

A.目B.3C.日D.国

16.数列｛曰｝的通项公式为［.则数列｛0｝的前n项和为

()

A.0B.C.曰D.1*I

17.已知｛0｝的前n项和「----■的值为_______

18.求下面数列的前n项和

(1)数列■="~~■

(2)数列叵］.

(3)数列|■

19.数列｛0｝的前n项和为回，且满足I■

(I)求回与叵］的关系式，并求｛曰｝的通项公式；

(II)求和I一

§7.4数列的求和(解答部分)

再现型题组

1.【提示或答案】设数列的通项为a，前回项和为g，

则IXI

当日时,[X1

当S时,

【基础知识聚焦】当数列的通项由两部分组成，每一部分都是易于求和的特殊数列，可

以用拆项求和的方法。注意在应用等比数列的求和公式时，要对公比分类讨论。

2.【提示或答案】=I

两式做差得

【基础知识聚焦】解题的关键是抓住式子的结构特征，选择合适的求和方法。若数列□

为等差数列，□为等比数列，则求目的和用拆项法，a用错位相减，

用裂项相消。

【变式与拓展】

【答案】I*|

3.【提示或答案】设数列的通项为a,则

【基础知识聚焦】本题用的是裂项相消，这是高考中经常考察的方法，即把一个数列的通项

公式分成两项差的形式,相加过程中消去中间项，只剩下有限项再求和.

【变式与拓展】求数列前n项和

【答案】

4.【提示或答案】①,

②,

①+②得

【基础知识聚焦】选择数列求和的方法，关键是准确抓住数列通项公式呈现的规律，然

后选定一种求和方法，并作出相应的变换.题目中IXI，又[X]而

运用反序求和方法是比较好的想法

【变式与拓展】

已知函数函数■=~Mo

(1)求m的值；

(2)已知数列S满足[==.求0

【答案】目，叵].

5.【提示或答案】当日为奇数时，■■；

当因为偶数时，・一■

【基础知识聚焦】对通项公式中含有3的一类数列，在求日时，要注意讨论回的奇

偶性。

【变式与拓展】试求a.

【答案】回

巩固型题组

6.解：(1)

数列a是首项为1,公比为3的等比数列：।一■

当日时,

2)当国时，叵］当叵］时，

［,又当E时，上式也成立。

1■

【点评】本题的求和主要考察了错位相减的方法，这种方法的实质是转化为等比数列求和,

这是高考命题的热点，在复习中务必引起充分的重视。

7.解(1)由I一■,11・得IXI，IX|

(2)由国，目得目.所以当日时

I■

从而

【点评】解题的关键时分清从那一项开始国，然后再对日讨论。本题容易忽略对回的讨论,

而直接得出IX|出错。

［变式］［X|则叵］

【答案】日

8.解：设相邻两层楼梯长为日a,则

当臼为奇数时，取叵I时，s达到最小值.

当因为偶数时，取EH3时，s达到最大值.

【点评】最值问题转化为函数问题，是解决问题的基本解法，在解题过程中要注意日取值

的实际意义，即应取正整数，所以对回应分情况讨论。

提高型题组

9.解：（I）依题意可设则I

由J得[XI所以XI

又由点匹I均在函数NI的图像上得

当日时

当国时

所以I

(II)由（I）得

故，[nu~B=IX|

因此使得|・成立的m必须且必须满足S即日

故满足最小的正整数m为：L0

【点评】本小题主要考查二次函数、等差数列、数列求和、不等式等基础和基本的运算

技能，考查分析问题的能力和推理能力。

10.(I)①，而

①一②得

■的等差数列,

IxI

【点评】本题是十分常见的数列型的不等式证明问题，由于运用了数列求和的思想，作

出了一个巧妙的放缩变换，然后与数列求和挂上了钩.

锦堂小辂

数列求和的基本方法：

回基本公式法：回