高考高中数学必考-求最值的方法全总结

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高考高中数学必考.求最值的方法全总结

16.1利用一次函数的单调性

【例1】已知非负，且1+3?+22=3,31+3»+2=

4.求w=2x-3y-\-z的最值.

皿（3y+2z=3—1

解由条件知

I3y+z=4—3%

得？=N）,N=2Z—1

:.w=9x—6

又非负，

即„《Q6（l—1

0乙

.21—130

依一次函数w=9x—6的单调性知

当工=4"时，3nin3

12

当X—1时,Ww=3

注在求多元函数的条件最值时，通常是根据已知条件消

元，变为一元函数.对一次函数、=技+6(4#0)的最值，关键

是指出自变量的取值范围，即函数的定义域.当一次函数的定义

域是团区间时，其最值在闭区间的端点处取得.

16.2利用二次函数的性质

［例2］设是方程4/一以工十为+2=。的两个实根,

当△为何值时俨有最小值？

解・・・。/为方程的两实根，

。+£=4,叩=^^

设》=。2+夕2,则

y=（0+”_2如=/一^^—；）2一装

L410

又由原方程有实根知，

△=16"-16（4+2）=16（"一无一2）20

・♦・7一1或4）2

而二次函数的顶点（J,一得）不在此范围内，根据二次函

410

数的性质知沙是以比=/为对称轴，开口向上的，定义域为（一

8,—1〕012,+8）的抛物线.比较4=-1及上=2时y的值

知，

当无=—1时，有＞ymln=y.

注利用二次函数的性质求最值时,不能机械地套用最值

在顶点处取得,首先要求出定义域，然后再看顶点是否在定义域

调性来判定.

【例3】如图16—1,抛物线y=4—〃与直线、=3了交于

A.B两点，点P在抛物线上由A运动到3,求尸8的面积最

大时点P的坐标.

分析由于A,8为定点，AB长为定y

值，欲使△4P3面积最大，须使P到AB

的距离最大.

解设P点坐标为（曲~。）.

:4,8在直线y=3i上，

・d—13z（）-No1_3%o—4+4|

V"32+lV/10

联立抛物线与直线方程，得

4A一匕-A图16—1

**.-4410&1

则3刈―4+702=(a：。+/一普京0

•*.d=——=(一4一-3>TO+4)

V4o

“答小。+3、2I5Vzi6

.2)+8

当工=一5时毋取最大值,产8面积最大.此时尸点坐

标为（一

注在实际问题中应注意确定自变量的取值范围的方法,

这里是由直线与抛物线的交点来确定，这样才能确定定义域内

的最值.

【例4］在平面。内有一边长为〃的正△ABC和直线/"

HBC交AB于。，交AC于E,沿直线/将3c所在平面折

成直二面角，若折起后A,B两点间距离最短，试求Z此时的位

置，并求出A3的最小值.

解如图16—2,设折起后点A所在的半平面为回过A在

面夕内作垂足为尸,则A尸_1面/

在a内过F作FG1_BC于G,可证G为BC的中点，且AF

+尸G=（原正三角形的高）.

W

令AF=1,则FG=^—^~a—X

又BG=y

乙

・・・BFZ=BG2+FG2=(y)2+(峥-a—力

乙乙

又在Ht/XAB尸中，

AB2=AF2-FBF2

=〃+?+(^^“一无)2

42

=2(1—+

48

16.3利用二次方程的判别式

欲求函数y=/（z）（NGR）的极值，如果可以把函数式整理

成关于工的二次方程，注意到“在其定义域内取值，即方程有

实根，所以可以通过二次方程的判别式△》（）来探求y的极大

与极小值.

【例5】已知,求冬二的最值•

解原式可化为

（3y—2）x2+（5-10））1+（3y-2）=0

VzGR..・・△:（5—10N）2—4（3、V—2）2>0

解得或））白

41v

即函数”的值域为）或后卷

410

・_1_9

••»极大—彳，）极小-m

当？=/时，代入原函数式解得之=1610,1〕；

当尸白时，代入原函数式解得①=-1与〔0,1〕.

又z=0时，y=；.

O

9

当1=0时，/取最大值

注①由判别式确定的是函数的值域，由值域得到的是函

数的极值而不是最值，②对有些函数来说，极值与最值相同，而

有的函数就不一定，如本例中的极大值比极小值还小，这正是因

为极值是就某局部而言;③若要求函数在给定的定义域内的最

值，一定要注意极值是否在此定义域内取得，即要注意验根・

【例6】已知直线=和点产(6,4),在直线/上求一

点Q,使过点P,Q的直线以及I与力轴在第一象限内围成的三

角形的面积最小.

解设Q点坐标为（心,加），则”=44.PQ的方程为

匕4=『(…

①L6

令、=0得PQ与工轴的交点R（生，0）的横坐标声=

为一1

・C_1_10/2

一方工一~

•♦3sQR22”Xj—17

整理为10zi2-Szi+S=0(*)

V4为实数

,—40S)0

得S>40,取S的最小值40代入

(*)式，得

图16-3

10xf-40勺+40=0

解得皿=2,则》=8

故点Q的坐标为(2,8).

【例7］已知tgN=3tgy(0&z—)＜，)，求］一)的最大

值.

解设〃=%—y,则依题设，有

tg”=tg(x—J)=—.厂

81+tgxtgy1+3tg2y

整理，得(3tg“)tg2y—2tgy+tg〃=。

VtgyER

/.△=(—2)2—4(3tg〃)♦tg〃20

解得tg2〃W：,由知，

O乙J

（N-y）皿x=W

注这里依题设条件，联想到取i—y的正切函数是解题

的关键,而设〃=/一》,继而找其函数关系也具有一定的技巧

性.

16.4利用重要不等式

这里主要是运用平均值不等式及柯西不等式.

【例8】如图16—4,在平面直角坐

标系中，在3轴的正半轴（坐标原点除

外）上给定两个点A.B.试在1轴的正’卜、

半轴（坐标原点除夕卜）上求点C,使B卜

NACB取得最大值.（1986年全国高考-J———

试题）

解设点4,3的坐标分别为（0,国16-4

0）,（0,6）,其中OVbVa；又设点C坐标为（Z,0）,其中x>0.

记N3C4=a，NOC3=8,则NOCA=a+d显然«€（0,

b

“।0、。、tg(a+8)-tg8工x

tga=tgC(.+/9)-=--t—_=--

1+P

a-b

,ab

x-\----

X

i>0,如>0,又T♦"=ab为定值.

xx

：.二十?》2户・华=2\/^,当且仅当z=?，即

\/力时取等号.

/.当7=/^时，工+?有最小值2Vz法,tga有最大值

a-b

2VaJ,

・・・tga在（0,专）内是增函数，

.・.彳=\/^时,NAC3有最大值arctgi专，点C的坐

标为（\力，0）.

注应用均值不等式求函数的最（极）值时，亦应注意使用

不等式的条件，如©WR+,等号成立的条件等，否则容易出错.

这里利用正切函数的单调性来求角的最值及角的拆变也是解题

的基本技巧.

16.5利用三角函数的有界性

对于三角函数的极值，通常是利用三角函数的有界性来求.

如正、余弦函数的最大（小）值很明显;y=asinz+Aosz（a

0）引入辅助角小则kM乔/sin（i+。）（其中唔夕=搭）,其

最值也一目了然•而对于其它的类型或用同角关系式、或用万能

公式、或用正余弦定理作转化,变为二次函数问题来求解.

［例10］半圆O的直径为2,A为直径延长线上一点,04

=2,8为半圆上任意一点，以AB为一边作等边问B

在什么位置时，四边形OACB的面积最大，弃求这个最大值.

解如图16—5所示，设/AO8=a.

在△A03中，=05=1,04=2,依余弦定理，

AB2=OA2~^OB2-20A,OBcosa=5—4cosa

设四边形OAC石的面积为S,

2

则S=40A♦OBsina-F^-XB

24

—sina-\-------(5-4cosa)

4

—(sing—\/3cosa)

图16-5

=5vP'+2sin(a—60°)

4

当且仅当sin（。-60°）=1,即a=150。时，四边形AOBC的

面积最大，即

^maxI乙

4A

【例11］已知氏ZiABC所在的平面内有一条直线/"过

其宜角顶点。且使△A3C在直线的一侧，求将△ABC以I为

；・%；)*=7+5=12,讣皿=7—5=2

解2(用判别式法)

3sin2a_6sinacosa+1lcos2a

：

y=s-ir5ra+；cos^2a

当cosa=0时,y=3

人43tg2a_6tga+11

当cosa^On时,)=---苗瓦不----

得1y(1+tg2a)=3tg2a-6tga+11

整理，得(y—3)tg2a+6tga+(y—11)=0

V又tgaCH

/♦△=36—4(y—3)(、一11))0

解之，得2&V&12

••ymax12,3^min2

注本例还可以用万能公式等方法来解.

16.6利用参数换元

对有些函数，直接求极值比较复杂或不方便,可根据题目的

特点作变量代换，然后运用前面的几种方法来解决,在换元时,

一定要注意新的变量的取值范围.，

【例13】求函数V=I+MT=三的极值.

解令Ml—彳=3则t》O,z=l-0

原函数变为产"+£+1=—“-4)2+_|.

乙X

V1C0.,+oo)

当£=J■，即1=］时=・

注这种换元虽然十分简单，但具有代表性.

［例14］求函数y=(l十M1—々)・/1—\/T—r

应用平均值不等式，得

08夕】3

cos2y+cos2-r--F2sin2-32

------甘---------=行

OJ

其中等号当且仅当cos24=2si/4时可取得,

夕1.6x/Tz..0

即._=T，sini=­(.sin方:0)

•，当6=2arcsin义算时，温又=春

O乙/

即当z=sin(2arcsin-)=-1-VZ2~时，义山二卷^^

OO*/

9__,4，___

故当x=0时，y„in=0;当力=彳\/^时，了5=可\/^

注三角代换是常用的换元法之一•这里是利用均值不等

式来求其最值，通常三角代换后也极便于用三角函数的有界性

来探求极值.

【例15]已知椭圆喘+4=1和直线人4元+5y—40=0.

4010

求椭圆上的点到直线/的最大、最小距离.

解设椭圆的参数方程为

（1=5cosa

（04a《2〃）

Iy=4sina'

则椭圆上任一点尸（5cosa,4sina）到I的距离

,|4X5cosa+5X4sina—401

d=---------------------------

20|sina+cosa-2|

=

="।M_Fsin（a+9）-2]

414

当。=9时".=吟至（2—\/万），得最近点尸】的坐标

441

%（*1\/T,2\/T）楞a=¥^ax=^*（2+\/T），得

最远点尸2的坐标为（一*1\/1\一2\//）.

【例17】在一个锐二面角内有一

个与两面都相切的球O,分别在球面和

二面角的两个半平面上各求一点4从

C,使AABC的周长最短.

分析如图16—8,在二面角a-l

—9内的一点A,在两半平面a，B内有

两点5,C*,构成△ABC.要使其周长图16-8

/3比最短，我们可分别作从关于平面a，B的对称点4,A〃.连

44',分别交两平面于8,C,则不难证明此时心小品最短.

下面再考虑：当A到二面角的棱的距离越近就越

短.

不妨设二面角的平面角为&A4交a于砥月月〃交夕于广

因为/_LAE,/_LA尸，则2J_平面AEF,设平面AEF交I于G,则

NEGF为二面角a—/一万的平面角，即/EG尸=&且AG为A

到/的距离.

易证A,E.G.F四点共圆，且AG为其直径.依正弦定理知

EF_

菽=46

综上所述知，L^BC=4A〃=2EF=2AGsin仇但sinJ为定

值，故AG越小则/，△"（；越短.

由于A必须在球面上，根据以上分析，可以这样确定月点:

过球心O作，的垂线段OG,反向延长OG交球面于4再分别

作A关于两半平面的对称点如前面所说得B,C两点，则

△ABC为所求.

注以上分析过程中，对△A8C的探测先抓住关键点力,

然后分两步进行逐步推进，对多因素的最值的探求，这种方法是

可取的.

16.8利用二次曲线的切线

由于二次曲线的切线是其图形的一种极端情形，所以有时

可以用来求最值.

［例18］如图16—9,四边形A5CQ内接于椭圆［=

"162b

1,且知4(4,0)((0,5)・求四边形ABCD的最大面积.

分析要使四边形ABCD的面积最大，因为A.C已为定

点，只要△A8C与△AQC面积分别最大，即AC上的高取最大

值，因此只要求出平行于AC的两条切线之间的距离即可.

解・・・力，。的坐标分别为

(4,0),(0,5)

AkAC——y

设平行于AC的椭圆的切线方程

为ty——

代入椭圆方程后化简得

257—2061+86-200=0困16—9

•・♦直线与椭圆相切，

:.△=40062-4X25X(8^2-200)=0

解得6=土5。

两切线方程为^=-1^±5\zr

两切线之间的距离为

1z_

・•・5m#x=yMCI♦d=20J2

【例19】在抛物线）=4/上求一点，使该点到直线,=

4z—5的距离最短.

解将y=4i-5代入》=4①2,得

4/-'4I+5=0.

V此方程无实数解

・♦・直线与抛物线不相交

♦.・平行于直线、=41-5且与抛物线相切的切点到已知

直线的距离最短，即切点为所求的点.

设此切线方程为k4z+从代入尸4丁,得

—41一6=0

令△=42+423=0,得b=-1

由广4解得

miJ=1

故点©，D到已知直线k4L5的距离最短.

注从上两例不难体会用切线法求有关最值的思路和方

法,

简捷.

【例21】求满足方程|z+3—MHi|=y的辐角主值最

小的复数之・(1986年全国高考文科试题)

解由|z+3-\/Ti|=M1■知复数z在复平面上对应的

点Z的轨迹是以点4(—3,C)为圆心，以Ml■为半径的圆,

如图16—10,。人与1轴切于点3(—3,0),易见MO|=

2「耳，所以NAO6=30。.

依图不难看出，当点Z位于切点

C处时，复数z有最小辐角主值，且

ZXOC=120°,

贝!］之,=3(cos1200+z'sin120°)

故复数N=-■+'4苣f为所

图16-10

求.

注求复数辐角主值的最值通常采用数形结合的方法较为

直观和方便.本例也体现了运用动点轨迹的方法来探求极值的

思想.

16.10利用数形结合

有些代数和三角问题，若能借助其几何背景，予以几何直

观,这时求其最值常能收到直观、明快，化难为易的功效.

【例22】求尸叫的最假

解将函数式变形为

sinx—(―1)

y=-----------------

，cosz—(―2)

其几何意义是在直角坐标系中，动点/Mcosnsin」)和定点

4(一2,一1)连线的斜率•动点尸的轨迹为单位圆，由图16-11

知38最小，3C最大.显然储8=0

.\OB\1

又T7tg'=W=2

tgZ>l=