六年级奥数第27讲-同余法解题（教）

学科教师辅导讲义

学员编号：年级六年级课时数：3

学员姓名：辅导科目奥数学科教师：

授课主题第27讲一一同余法解题

授课类型T同步课堂P实战演练S归纳总结

余数问题主要包括了带余除法的定义，三大余数定理(加法余数定理，乘法余数定理，

教学目标

和同余定理)，及中国剩余定理和有关弃九法原理的应用。

授课日期及时段

T(Textbook-Based)El1]/1果早

知识梳理，

一、带余除法的定义及性质

一般地，如果a是整数，b是整数(bWO)，若有a+b=q...r,也就是a=bXq+r,

0Wr<b；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。这里：

(1)当r=0时：我们称a可以被b整除，q称为a除以b的商或完全商

(2)当rwO时：我们称a不可以被b整除，q称为a除以b的商或不完全商

二、三大余数定理：

1.余数的加法定理

a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。

当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。

2.余数的乘法定理

a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。

3.同余定理

若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数，那么称a、b对于模m同余，用式子表示为：a三b(modm),

左边的式子叫做同余式。

同余式读作：a同余于b,模m。由同余的性质，我们可以得到一个非常重要的推论:

若两个数a,b除以同一个数m得到的余数相同，则a,b的差一定能被m整除

用式子表示为：如果有a三b(modm),那么一定有a—b=mk,k是整数，即m|(a—b)

三、中国剩余定理

1.中国古代趣题

韩信点兵又称为中国剩余定理，相传汉高祖刘邦问大将军韩信统御兵士多少，韩信答说，每3人一列余1

人、5人一列余2人、7人一列余4人、13人一列余6人……。刘邦茫然而不知其数。

我们先考虑下列的问题：假设兵不满一万，每5人一列、9人一列、13人一列、17人一列都剩3人，则

兵有多少？

首先我们先求5、9、13、17之最小公倍数9945(注：因为5、9、13、17为两两互质的整数，故其最小

公倍数为这些数的积)，然后再加3,得9948(人)。

2.核心思想和方法

对于这一类问题，我们有一套看似繁琐但是一旦掌握便可一通百通的方法，下面我们就以《孙子算经》中

的问题为例，分析此方法：

今有物，不知其数，三三数之，剩二，五五数之，剩三，七七数之，剩二，问物几何？

题目中我们可以知道，一个自然数分别除以3,5,7后，得到三个余数分别为2,3,2.那么我们首先构

造一个数字，使得这个数字除以3余1,并且还是5和7的公倍数。

先由5x7=35,即5和7的最小公倍数出发，先看35除以3余2,不符合要求，那么就继续看5和7的

“下一个”倍数35x2=70是否可以，很显然70除以3余1

类似的，我们再构造一个除以5余1,同时又是3和7的公倍数的数字，显然21可以符合要求。

最后再构造除以7余1,同时又是3,5公倍数的数字，45符合要求，那么所求的自然数可以这样计算：

2x70+3x21+2x45+-3,5,7]=233--3,5,7],其中k是从1开始的自然数。

也就是说满足上述关系的数有无穷多，如果根据实际情况对数的范围加以限制，那么我们就能找到所求的

数。

例如对上面的问题加上限制条件“满足上面条件最小的自然数”，

那么我们可以计算2x70+3x21+2x45-2x[3,5,7]=23得到所求

如果加上限制条件“满足上面条件最小的三位自然数”，

我们只要对最小的23加上[3,5,7]即可，即23+105=128。

典例分析

考点一：带余除法的定义和性质

例1、两数相除，商4余8,被除数、除数、商数、余数四数之和等于415,则被除数是.

【解析】因为被除数减去8后是除数的4倍，所以根据和倍问题可知，除数为(415-4-8-8)-(4+1)=79,

所以，被除数为79x4+8=324。

例2、用一个自然数去除另一个自然数，商为40,余数是16.被除数、除数、商、余数的和是933,求这2个

自然数各是多少？

【解析】本题为带余除法定义式的基本题型。根据题意设两个自然数分别为x,y,可以得到

x=40y+16x=856

，解方程组得，即这两个自然数分别是856,21.

x+y+40+16=933y=21

例3、一个两位数除以13的商是6,除以11所得的余数是6,求这个两位数.

【解析】因为一个两位数除以13的商是6,所以这个两位数一定大于13x6=78,并且小于13x(6+l)=91；

又因为这个两位数除以11余6,而78除以11余1,这个两位数为78+5=83.

考点二：三大余数定理的应用

例1、一个三位数除以17和19都有余数，并且除以17后所得的商与余数的和等于它除以19后所得到的商与

余数的和.那么这样的三位数中最大数是多少，最小数是多少？

【解析】设这个三位数为s,它除以17和19的商分别为a和。，余数分别为球和〃,贝!]s=17a+m=19b+〃.

根据题意可知a+7”=b+〃，所以s-(a+〃z)=s-(6+〃)，即16a=18b,得8a=96.所以a是9的倍数，b是

81

8的倍数.止匕时，由。+根=人+〃知〃一〃i=a—b=a——a=­a.

99

由于s为三位数，最小为100,最大为999,所以100<17。+加工999,而1〈根416,

所以17a+lK17a+zn«999,100<17tz+m<17tz+16,得至lj5W〃K58,而〃是9的倍数，所以〃最小为9,最

大为54.

当。=54时，〃一加=!4=6,而”418,所以加412,故止匕时s最大为17x54+12=930；

9

当a=9时，n-m=-a=l,由于加21,所以此时s最小为17x9+1=154.

9

所以这样的三位数中最大的是930,最小的是154.

例2、(3产+303)被13除所得的余数是多少？

【解析】31被13除所得的余数为5,当n取1,2,3,时5"被13除所得余数分别是5,12,8,1,5,12,

8,1以4为周期循环出现，所以53。被13除的余数与父被13除的余数相同，余12,贝1]3俨除以13的余数

为12；

30被13除所得的余数是4,当n取1,2,3,时，4"被13除所得的余数分别是4,3,12,9,10,1,4,

3,12,9,10,以6为周期循环出现，所以早被13除所得的余数等于4被13除所得的余数，即4,故30及

除以13的余数为4；

所以（3产+3（）31）被13除所得的余数是12+4-13=3.

例3、777…77除以41的余数是多少？

1996个7

【解析】找规律：7+41=口37,77+41=口~36,777+41=口339,7777+41=口…28,

77777+41=□…0,...，所以77777是41的倍数，而1996+5=3991,所以777…77可以分成399段77777

1996个7

和1个7组成，那么它除以41的余数为7.

例4、求所有的质数P,使得4P?+1与6/+1也是质数.

【解析】如果p=5,贝U4〃2+I=IOI,602+1=151都是质数，所以5符合题意.如果P不等于5,那么P除

以5的余数为1、2、3或者4,加除以5的余数即等于F、2?、3?或者42除以5的余数，即1、4、9或者16

除以5的余数，只有1和4两种情况.如果/除以5的余数为1,那么4P?+1除以5的余数等于4xl+l=5除

以5的余数，为0,即此时4/+1被5整除，而402+1大于5,所以此时4P2+1不是质数；如果p2除以5的

余数为4,同理可知6P2+1不是质数，所以P不等于5,4"+1与6P2+1至少有一个不是质数，所以只有p=5

满足条件.

例5、甲、乙、丙三数分别为603,939,393.某数A除甲数所得余数是A除乙数所得余数的2倍，A除乙数

所得余数是A除丙数所得余数的2倍.求A等于多少？

【解析】根据题意，这三个数除以A都有余数，则可以用带余除法的形式将它们表示出来：

6O3+A=K]rx504-9=495393+A=44

由于4=2马，弓=2弓，要消去余数小阳4,我们只能先把余数处理成相同的，再两数相减.

这样我们先把第二个式子乘以2,使得被除数和余数都扩大2倍，同理，第三个式子乘以4.

于是我们可以得到下面的式子：

603+A=Mr｛（939x2）+4=232rl（393x4）+A=2（44

这样余数就处理成相同的.最后两两相减消去余数，意味着能被A整除.

939x2-603=1275,393x4-603=969,(1275,969)=51=3x17.

51的约数有1、3、17、51,其中1、3显然不满足，检验17和51可知17满足，所以A等于17.

考点三：余数综合应用

例1、设2〃+1是质数，证明：『，2"…，"被2〃+1除所得的余数各不相同.

【解析】假设有两个数“、b,(l<b<a<n),它们的平方"，方2被2w+l除余数相同.那么，由

同余定理得a2-b2=0(mod(2”+1)),即(a-b)(a+b)=0(mod(2/z+1)),由于2〃+1是质数，所以

a+b=0(mod(2w+1))nga-=0(mod(2w+1)),由于a+>,a-b均小于2"+l且大于0,可知，a+Z>与2"+l互

质，也与2w+l互质，即a+b,a-b者B不能被2〃+1整除，产生矛盾，所以假设不成立，原题得证.

例2、从1,2,3,……,n中，任取57个数，使这57个数必有两个数的差为13,则n的最大值为多少？

【解析】被13除的同余序列当中，如余1的同余序列，1、14、27、40、53、66……，其中只要取到两个相邻

的，这两个数的差为13；如果没有两个相邻的数，则没有两个数的差为13,不同的同余序列当中不可能有两

个数的差为13,对于任意一条长度为x的序列，都最多能取个数，使得取出的数中没有两个数的差为

13,即从第1个数起隔1个取1个.

基于以上，n个数分成13个序列，每条序列的长度为［2］或+两个长度差为1的序列，要使取出的

［13」113」

数中没有两个数的差为13,能够被取得的数的个数之差也不会超过1,所以为使57个数中任意两个数的差都

不等于13,则这57个数被分配在13条序列中，在每条序列被分配的数的个数差不会超过1,那么13个序列

有8个序列分配了4个数，5个序列分配了5个数，则这13个序列中8个长度为8,5个长度为9,那么当n

最小为8x8+9x5=109时，可以取出57个数，其中任两个数的差不为13,所以要使任取57个数必有两个数

的差为13,那么n的最大值为108.

例3、已知n是正整数，规定〃!=lx2xxn,令》i=l!xl+2!x2+3!x3++2007!x2007,则整数m除以2008

的余数为多少？

【解析】m=l!xl+2!x2+3!x3++2007!x2007=l!x(2-D+2!x(3-l)+3!x(4-1)++2007!x(2008-1)

=2!-1!+3!-2!+4!-3!++2008!-2007!=2008!-l

2008能够整除2008!,所以2008J1的余数是2007.

例4、有2个三位数相乘的积是一个五位数，积的后四位是1031,第一个数各个位的数字之和是10,第二个

数的各个位数字之和是8,求两个三位数的和。

【解析】本题条件仅给出了两个乘数的数字之和，同时发现乘积的一部分己经给出，即乘积的一部分数字之和

已经给出，我们可以采用弃九法原理的倒推来构造出原三位数。因为这是一个一定正确的算式，所以一定可以

满足弃九法的条件，两个三位数除以9的余数分别为1和8,所以等式一边除以9的余数为8,那么口1031除

以9的余数也必须为8,口只能是3.将31031分解质因数发现仅有一种情况可以满足是两个三位数的乘积，

即31031=31x1001=143x217

所以两个三位数是143和217,那么两个三位数的和是360o

例5、设2OO92009的各位数字之和为A,A的各位数字之和为B，B的各位数字之和为C,C的各位数字之和

为D,那么。=?

【解析】由于一个数除以9的余数与它的各位数字之和除以9的余数相同，所以2009颉9与A、8、C、。除

以9都同余，而2009除以9的余数为2,则20092°°9除以9的余数与2加9除以9的余数相同，而2‘=64除以9

的余数为1,所以2.9=26*334+5=(26广4*25除以9的余数为25除以9的余数，即为5.

另一方面，由于20092°°9<1000()2期=10“36,所以20092°。9的位数不超过8036位，那么它的各位数字之和不超

过9x8036=72324,即AW72324；那么A的各位数字之和8<9x5=45,3的各位数字之和C<9x2=18,C

小于18且除以9的余数为5,那么C为5或14,C的各位数字之和为5,即£>=5.

考点四：中国剩余定理

例1、一个自然数在1000和1200之间，且被3除余1,被5除余2,被7除余3,求符合条件的数.

【解析】方法1：先列出除以3余1的数：1,4,7,10,13,16,…；再列出除以5余2的数：2,7,12,

17,22,27,…；

这两列数中，首先出现的公共数是7.3与5的最小公倍数是15.两个条件合并成一个就是

7+15x整数，列出这一串数是7,22,37,52,…；再列出除以7余3的数：

3,10,17,24,31,38,45,52,•••；就得出符合题目条件的最小数是52.事实上，我们已把题目中三个条

件合并成一个：被105除余52.那么这个数在1000和1200之间，应该是105xl0+52=1102.

方法2：我们先找出被3除余1的数：1,4,7,10,13,16,19,22,25,28,31,34,37,40,43,46,

49,52,•••；被5除余2的数：2,7,12,17,22,27,32,37,42,47,52,57,•••；被7除余3的数：3,

10,17,24,31,38,45,52,…；

三个条件都符合的最小的数是52,其后的是一次加上3、5、7的最小公倍数，直到加到1000和1200之间.结

果是105x10+52=1102.

方法3：设这个自然数为a,被3除余1,被5除余2,可以理解为被3除余3x2+1,被5除与5+2,所以满

足前面两个条件的。=15机+7（根为自然数），只需15m+7除以7余3,即15m除以7余3,而15+7=21,

只需m除以7余3,m最小为3,所以满足三个条件的最小自然数为3义15+7=52,那么这个数在1000和1200

之间,应该是105x10+52=1102.

例2、一个大于10的自然数，除以5余3,除以7余1,除以9余8,那么满足条件的自然数最小为多少？

【解析】根据总结，我们发现三个数中前两个数的除数与余数的和都是5+3=7+1=8,这样我们可以把余数

都处理成8,即一个数除以5余3相当于除以5余8,除以7余1相当于除以7余8,所以可以看成这个数除

以5、7、9的余数都是8,那么它减去8之后是5、7、9的公倍数.而[5,7,9]=315，所以这个数最小为315+8=323.

例3、一个数除以3余2,除以5余3,除以7余4,问满足条件的最小自然数为多少？

【解析】法一：根据总结，我们发现前面两种都不符合，所以可以使用普遍适用的“中国剩余定理”，步骤如

下：

3、5的公3、7的公5、71公

传数倍数倍数

152135

304270

4563105

6084⑷

...••••••...

分别找出除以7余4的3、5的公倍数，除以5余3的3、7的公倍数，除以3余2的5、7的公倍数，分别是:

60、63、35；

可见60+63+35=158满足我们的条件，但是要求的是满足条件的最小的自然数，158不是最小的，对此的处

理方法就是减去3、5、7的最小公倍数的若干倍，使结果小于最小公倍数.所以答案为：158-105=53.

法二：逐步构造符合条件的最小自然数，

首先求符合后面两个条件的最小自然数，依次用7的倍数加4,当4被加上两个7时得到18,恰好除以5余3,

此时符合后两个条件；

再依次用7和5的最小公倍数的倍数加18,当18被加上1个35个，得到53,检验符合三个条件.所以所求

的最小自然数就是53.

例4、在200至300之间，有三个连续的自然数，其中，最小的能被3整除，中间的能被7整除，最大的能被

13整除，那么这样的三个连续自然数分别是多少？

【解析】先找出两个连续自然数，第一个被3整除，第二个被7整除.例如，找出6和7,下一个连续自然数

是8.3和7的最小公倍数是21,考虑8加上21的整数倍，使加得的数能被13整除.8+21x12=260,能被

13整除，那么258,259,260这三个连续自然数，依次分别能被3,7,13整除，又恰好在200至300之间.由

于3,7,13的最小公倍数为273,所以在200至300之间只有258,259,260这三个数满足条件.

例5、一个数除以3、5、7、11的余数分别是2、3、4、5,求符合条件的最小的数.

【解析】法一：将3、5、7、11这4个数3个3个一起分别计算公倍数，如表：

5、7、11公倍数3、7、11公倍数3、5、11公倍数3、5、7公倍教

385231165105

770%2330210

1155693495315

............................

除3余2的最小除5余3的最小除7余4的最小

数是刀0值是693值是165

3、5、7的公倍数中被11除余5的数不太好找，但注意到210除以11余1,所以210x5=1050被11除余5,

由此可知770+693+165+1050=2678是符合条件的一个值，但不是最小值，还需要减去3、5、7、11的公倍

数使得它小于它们的最小公倍数.

由于3、5、7、11的最小公倍数是1155,所以2678-1155x2=368是符合条件的最小值.

法二：对于这种题目，也可以先求满足其中3个余数条件的，比如先求满足除以3、5、7的余数分别是2、3、

4的，既可采用中国剩余定理，得到70x2+21x3+15x4=263是满足前3个余数条件的，从而其中最小的是

263-105x2=53；由于53除以11的余数为9,105除以11的余数为6,可知9+6x3=27除以11的余数为

5,所以53+105x3=368是满足条件的最小数.

也可以直接观察发现这个数乘以2之后除以3、5、7的余数分别是4、6、8,也就是除以3、5、7的余数都是

1,所以满足前三个条件的数最小为(3X5X7+1)+2=53,后面的步骤与上面的解法相同.

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实战演练

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1、有一个整数，除39,51,147所得的余数都是3,求这个数.

【解析】(法1)39-3=36,147-3=144,(36,144)=12,12的约数是1,2,3,4,6,12,因为余数为3要小于除

数，这个数是4,6,12；

(法2)由于所得的余数相同，得到这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差，也就是说它是任意两数差的

公约数.51-39=12,147-39=108,(12,108)=12,所以这个数是4,6,12.

2、求397的最后两位数.

【解析】即考虑3.除以10。的余数.由于100=4x25,由于33=27除以25余2,所以39除以25余8,

3°除以25余24,那么3"除以25余1；又因为3?除以4余1,则3”除以4余1；即3?。-1能被4和25整除,

而4与25互质，所以32°-1能被100整除，即3,°除以100余1,由于1997=20x99+17,所以3四7除以ioo

的余数即等于3口除以100的余数,而36=729除以100余29,3$=243除以100余43,317=(36)2x35,所以3*

除以100的余数等于29><29x43除以100的余数，而29x29x43=36163除以100余63,所以除以100余

63,即3曲的最后两位数为63.

3、试求不大于100,且使3"+7”+4能被H整除的所有自然数n的和.

【解析】通过逐次计算，可以求出3"被11除的余数，依次为：31为3,3?为9,3'为5,3」为4,为1,…，

因而3"被11除的余数5个构成一个周期：3,9,5,4,1,3,9,5,4,1,……；类似地，可以求出7"被

11除的余数10个构成一个周期：7,5,2,3,10,4,6,9,8,1,……；于是3"+7,+4被11除的余数也

是10个构成一个周期：3,7,0,0,4,0,8,7,5,6,……；这就表明，每一个周期中，只有第3、4、6

个这三个数满足题意，即”=3,4,6,13,14,16,……,93,94,96时颦+7"+4能被H整除,所以，所有满足条件的自

然数n的和为：3+4+6+13+14+16+...+93+94+96=13+43+...+283=1480.

4、将1至2008这2008个自然数，按从小到大的次序依次写出，得一个多位1234567891011121320072008,

试求这个多位数除以9的余数.

【解析】以19992000这个八位数为例，它被9除的余数等于(1+9+9+9+2+0+0+0)被9除的余数，但是

由于1999与(1+9+9+9)被9除的余数相同，2000与(2+0+0+0)被9除的余数相同，所以19992000就与

(1999+2000)被9除的余数相同.

由此可得，从1开始的自然数1234567891011121320072008被9除的余数与前2008个自然数之和除以9的

余数相同.

根据等差数列求和公式，这个和为：(1+2008)x2008=2017036,它被9除的余数为1.

2

另外还可以利用连续9个自然数之和必能被9整除这个性质，将原多位数分成123456789,

101112131415161718,...,199920002001200220032004200520062007,2008等数，可见它被9除的余数与

2008被9除的余数相同.

因此，此数被9除的余数为1.

5、Ix3x5xx1991的末三位数是多少？

首先，仅考虑后三位数字，所求的数目相当于1X3X5Xx991的平方再乘以993x995x997x999的末三位.

而993x995x997x999=993x999x995x997

=(993000-993)x(995000-995x3)=(993000-993)x(995000-2985),

其末三位为7x15=105；然后来看前者.它是一个奇数的平方，设其为(5人丫(k为奇数)，

由于(5左)2=25太=25+25(/—1),而奇数的平方除以8余1,所以62一1是8的倍数，贝U25(太—1)是200的

倍数，设25化2—l)=200〃z,贝!](5左y=25+251)=25+200〃？，所以它与105的乘积

（5村x105=（25+200m）x105=21000m+2625,

所以不论m的值是多少，所求的末三位都是625.

6、有一个数，除以3余2,除以4余1,问这个数除以12余几？

【解析】方法一：除以3余2的数有：2,5,8,11,14,17,20,23,•••；

它们除以12的余数是：2,5,8,11,2,5,8,11,•••；

除以4余1的数有：1,5,9,13,17,21,25,29,•••；

它们除以12的余数是：1,5,9,1,5,9,•••；

一个数除以12的余数是唯一的.上面两行余数中，只有5是共同的，因此这个数除以12的余数是5.

方法二：一个数，除以3余2,除以4余1,可以理解为除以3余3+2,除以4余4+1,所以这个数减去5

后，既能被3整除，又能被4整除，设这个数为则a=l2Hl+5,（m为自然数）所以这个数除以12余5。

＞课后反击

1、一个两位数除310,余数是37,求这样的两位数。

【解析】本题为余数问题的基础题型，需要学生明白一个重要知识点，就是把余数问题一-即“不整除问题”

转化为整除问题。方法为用被除数减去余数，即得到一个除数的倍数；或者是用被除数加上一个“除数与余

数的差”，也可以得到一个除数的倍数。

本题中310-37=273,说明273是所求余数的倍数，而273=3X7X13,所求的两位数约数还要满足比37大，

符合条件的有39,91.

2、求14岁除以7的余数.

【解析】法一：由于143=3（mod7）（143被7除余3）,

所以143'9=389（m°d7）（14389被7除所得余数与389被7除所得余数相等）

而36=729,729三l（mod7）（729除以7的余数为1）,所以3'9三36x36/x36x35=35=5（mod7）.

14个

故14389除以7的余数为5.

法二：计算辞被7除所得的余数可以用找规律的方法，规律如下表：

Q1Q2Q3Q4Q506

mod73264513

于是余数以6为周期变化.所以389三35三5(mod7).

3、若。为自然数，证明10|(产5_/9).

【解析】10=2x5,由于片期与4949的奇偶性相同，所以2|(/05-4949).1005_"949="949d6一助，如果。能

被5整除，那么5|"949m56—])；如果。不能被5整除，那么。被5除的余数为1、2、3或者4,4被5除的余

数为1、2、3\4"被5除的余数，即为1、16、81、256被5除的余数，而这四个数除以5均余1,所以

不管“为多少，/被5除的余数为1,而“56=(/)%即14个/相乘，所以,除以5均余1,则456T能被

5整除，有5|"949m56—1).所以W(45—产9).由于2与5互质，所以吨/期-/9).

4、将自然数1,2,3,4……依次写下去，若最终写到2000,成为12319992000,那么这个自然数除以99

余几？

【解析】由于99=9x11,可以分别求这个数除以9和H的余数，进而求出它除以99的余数.实际上求得这

个数除以9和11的余数均为3,所以这个数减去3后是9和H的倍数，那么也是99的倍数，所以这个数除

以99的余数为3.

5、一个大于10的数，除以3余1,除以5余2,除以11余7,问满足条件的最小自然数是多少？

【解析】法一:仔细分析可以发现3x2+1=5+2=7,所以这个数可以看成被3、5、11除余7,由于[3,5,11]=165,

所以这个数最小是165+7=172.

法二：事实上，如果没有“大于10”这个条件，7即可符合条件，所以只需要在7的基础上加上3、5、11的

最小公倍数，得到172即为所求的数.

6、对任意的自然数n,证明A=2903"-803"-464"+261”能被1897整除.

【解析】1897=7x271,7与271互质，因为2903三5(mod7),803三5(mod7),

464=2(mod7),261=2(mod7),所以，

A=2903"-803"-464"+261"三5"-5"-2"+2"=0(mod7),故A能被7整除.

又因为2903=193(mod271),803三261(mod271),464三193(mod271)，所以

A=2903"-803"-464"+26F=193"-261"-193"+26F=0(mod271),故A能被271整除.

因为7与271互质，所以A能被1897整除.

直击赛场.

1、(南京市少年数学智力冬令营试题)22期与2003,的和除以7的余数是.

【解析】找规律.用7除2,22,23,24,25,2$,…的余数分别是2,4,1,2,4,1,2,4,1,…,2的

个数是3的倍数时，用7除的余数为1；2的个数是3的倍数多1时，用7除的余数为2；2的个数是3的倍

数多2时，用7除的余数为4.因为22°°3=23/667+2,所以220®除以7余4.又两个数的积除以7的余数，与两

个数分别除以7所得余数的积相同.而2003除以7余1,所以20032除以7余1.故22。。3与2003?的和除以7

的余数是4+1=5.

2、(全国小学数学奥林匹克试题)六张卡片上分别标上1193、1258、1842、1866、1912、2494六个数，甲取3

张，乙取2张，丙取1张，结果发现甲、乙各自手中卡片上的数之和一个人是另一个人的2倍，则丙手中卡

片上的数是.(第五届小数报数学竞赛初赛)

【解析】根据“甲、乙二人各自手中卡片上的数之和一个人是另一个人的2倍”可知，甲、乙手中五张卡片

上的数之和应是3的倍数.计算这六个数的总和是

1193+1258+1842+1866+1912+2494=10565,

10565除以3余2；因为甲、乙二人手中五张卡片上的数之和是3的倍数，那么丙手中的卡片上

的数除以3余2.六个数中只有1193除以3余2,故丙手中卡片上的数为1193.

3、(奥数网杯)已知a=200820082008,问：a除以13所得的余数是多少？

2008个2008

【解析】2008除以13余6,10000除以13余3,注意到20082008=2008x10000+2008；

200820082008=20082008x10000+2008；

2008200820082008=200820082008x10000+2008；

根据这样的递推规律求出余数的变化规律：

20082008除以13余6x3+6-13=11,200820082008除以13余11x3+6-39=0,即200820082008是13的

倍数.

而2008除以3余1,所以4=200820082008除以13的余数与2008除以13的余数相同，为6.

2008个2008

4、(“华杯赛"试题)3个三位数乘积的算式abcxbcaxcaZ?=234235286(其中。>6>c),在校对时，发现

右边的积的数字顺序出现错误，但是知道最后一位6是正确的，问原式中的嬴是多少？

【解析】由于234235286三2+3+4+2+3+5+2+8+6m8(mod9),abcxbcaxcab=(a+b+c)3(mod9),

于是(a+6+c)3=8(mod9),从而(用。+方+。三0,1,2,..”8(010(19)代入上式检验)

a+b+c三2,5,8(mod9)…(1),对a进行讨论：

如果a=9,那么b+c三2,5,8(mod9)…(2),又cxaxb的个位数字是6,所以bxc的个位数字为4,bxc可能

为4x1、7x2、8x3、6x4,其中只有(匕©=(4,1),(8,3)符合⑵,经检验只有983x839x398=328245326符

合题意.

如果。=8,那么6+c三3,6,0(mod9)…(3),又为xc的个位数字为2或7则bxc可能为2x1、4x3、6x2、

7x6、7x1,其中只有3,c)=(2,l)符合⑶，经检验，定=821不合题意.

如果。=7,那么6+c=4,7,l(mod9)…(4),贝ljbxc可能为4x2、6x3,其中没有符合⑷的(b,c).

如果aV6,那么6W5,c<4,xbcax^b<700x