备考2025届高考数学一轮复习分层练习第二章函数第7讲函数的零点与方程的解

第7讲函数的零点与方程的解1.[2024广东省茂名市模拟]函数f（x）＝ex－x－2的一个零点所在的区间为（B）A.（0，1） B.（1，2） C.（2，3） D.（3，4）解析因为f（1）＝e－1－2＜0，f（2）＝e2－4＞0，依据零点存在定理得函数f（x）在（1，2）内有零点，所以选B.2.函数f（x）＝x2＋x－2A.3 B.2 C.7 D.0解析解法一（干脆法）由f（x）＝0得x≤0，解得x＝－2或x＝e.因此函数f（x）共有2个零点.故选B.解法二（图象法）函数f（x）的图象如图所示，由图象知函数f（x）共有2个零点.故选B.3.[2024安徽模拟]已知x1＋2x1＝0，x2＋log2x2＝0，3－x3－log2x3＝0A.x1＜x2＜x3 B.x2＜x1＜x3C.x1＜x3＜x2 D.x2＜x3＜x1解析设函数f（x）＝x＋2x，易知f（x）在R上单调递增，f（－1）＝－12，f（0）＝1，即f（－1）f（0）＜0，由函数零点存在定理可知，－1＜x1＜0.设函数g（x）＝x＋log2x，易知g（x）在（0，＋∞）上单调递增，g（12）＝－12，g（1）＝1，即g（12）g（1）＜0，由函数零点存在定理可知，12＜x2＜1.设函数h（x）＝（13）x－log2x，易知＋∞）上单调递减，h（1）＝13，h（x3）＝0，所以h（1）＞h（x3由函数单调性可知，x3＞1，即－1＜x1＜0＜x2＜1＜x3，故选A.4.已知x1是lnx＋x＝5的根，x2是ln（4－x）－x＝1的根，则（A）A.x1＋x2＝4 B.x1＋x2∈（5，6）C.x1＋x2∈（4，5） D.x1＋x2＝5解析由lnx＋x＝5，得lnx＝5－x，因为函数y＝lnx在（0，＋∞）上单调递增，函数y＝5－x在（0，＋∞）上单调递减，所以由函数y＝lnx与函数y＝5－x的图象（图略）可知lnx＝5－x有唯一解x1.由ln（4－x）－x＝1，得ln（4－x）＝1＋x，令t＝4－x（t＞0），得lnt＝5－t，由题意可知4－x2是lnt＝5－t的根，所以x1＝4－x2，所以x1＋x2＝4，故选A.5.[2024湖北联考]设函数f（x）＝x2+2x+1，x≤0，lnx，x>0，则函数y＝fA.4 B.5 C.6 D.7解析令t＝f（x）－1，则由f（t）－1＝0即f（t）＝1，解得t＝－2或0或e，即f（x）－1＝－2或0或e，所以f（x）＝－1或1或e＋1.在同一平面直角坐标系中分别作出y＝f（x），y＝－1，y＝1，y＝e＋1的图象，如图所示，由图象可知y＝f（x）的图象与y＝－1有1个交点，即f（x）＝－1有1个根；y＝f（x）的图象与y＝1有3个交点，即f（x）＝1有3个根；y＝f（x）的图象与y＝e＋1有2个交点，即f（x）＝e＋1有2个根.所以函数y＝f（f（x）－1）－1的零点个数为1＋3＋2＝6，故选C.6.[2024辽宁省试验中学模拟]函数f（x）＝x3－x2＋5，x∈[－2，－1]有零点，用二分法求零点的近似值（精确度为0.2）时，至少须要进行（B）次中点函数值的计算.A.2 B.3 C.4 D.5解析f（－2）＝－8－4＋5＝－7＜0，f（－1）＝－1－1＋5＝3＞0，｜－2－（－1）｜＝1＞0.2，取区间[－2，－1]的中点x1＝－2－12＝－32，且f（－32）＝－278－94＋5＝－58＜0，所以x0∈（－32，－1）.｜－32－（－1）｜＝12＞0.2，取区间（－32，－1）的中点x2＝－32－12＝－54，且f（－54）＝（－54）3－（－54）2＋5＞0，所以x0∈（－32，－54）.｜－32－（－54）｜＝14＞0.2（－118）2＋5＞0，所以x0∈（－32，－118）.因为｜－118－（－32）｜＝18＜0.27.已知函数f（x）＝lgx＋32x－9在区间（n，n＋1）（n∈Z）上存在零点，则n＝5解析易知函数f（x）的定义域为（0，＋∞），且f（x）在其定义域内单调递增，由函数零点存在定理知，若函数f（x）在区间（n，n＋1）（n∈Z）上存在零点，则有f（n）<0，f（n+1）>0.又f（4）＝lg4＋6－9＝lg4－3＜0，f（5）＝f（6）＝lg6＋9－9＝lg6＞0，所以函数f（x）在（5，6）上存在零点，所以n＝5.8.[2024湖南省株洲市其次中学模拟]设[x]表示不超过x的最大整数，则方程x2－4[x]＋3＝0的全部根的和为4＋5.解析因为x2－4[x]＋3＝0，所以[x]＝x2+34，又x－1＜[x]≤x，所以x－1＜x2+34≤x.由x2+34＞x－1，得x2－4x＋7＝（x－2）2＋3＞0，该不等式恒成立.由x2+34≤x，得x2－4x＋3≤0，解得1≤x≤3，则[x]＝1或[x]＝2或[x]＝3.当[x]＝1时，x2－4[x]＋3＝0可化为x2－1＝0，解得x＝±1，又[x]＝1，所以x＝1；当[x]＝2时，x2－4[x]＋3＝0可化为x2－5＝0，解得x＝±5，又[x]＝2，所以x＝5；当[x]＝3时，x2－4[x]＋3＝0可化为x2－9＝0，解得x＝±3，又[x]＝3，所以x＝3.所以方程x2－4[x]＋3＝0的根为9.[2024全国卷乙]函数f（x）＝x3＋ax＋2存在3个零点，则a的取值范围是（B）A.（－∞，－2） B.（－∞，－3）C.（－4，－1） D.（－3，0）解析由题意知f'（x）＝3x2＋a，要使函数f（x）存在3个零点，则f'（x）＝0要有2个不同的根，则a＜0.令3x2＋a＝0，解得x＝±－a3，所以f（x）在（－∞，－－a3）和（－a3，＋∞）上单调递增，在（－－a3，－a3）上单调递减，所以要使f（x）存在3个零点，则f（－－a10.已知函数f（x）＝logax－4x－1（a＞0且a≠1）在（12，1）上有零点，则实数a的取值范围为（DA.（0，14） B.（14，1）∪（1，C.（0，14] D.（14，1解析函数f（x）在（12，1）上有零点，即方程f（x）＝0在（12，1）上有实数根，即logax＝4x－1在（12，1）上有实数根.设g（x）＝logax（a＞0且a≠1），h（4x－1，易知函数h（x）在R上单调递增，且h（0）＝14，h（12）＝12，h（1）＝1，h（x）＝4x－1＞0恒成立.若a＞1，则当x∈（0，1）时，g（x）＝logax＜0，logax＝4x－1在（12，1）上无实数根，故0＜a＜1.原问题可转化为函数g（x）与hg（x）＝logax（0＜a＜1）和h（x）的大致图象，如图所示，数形结合，得0<a<1，g（12）＞h（111.[多选/2024南京市二模]已知函数f（x）＝｜ex－a｜，a＞0.下列说法正确的为（BCD）A.若a＝1，则函数y＝f（x）与y＝1的图象有两个公共点B.若函数y＝f（x）与y＝a2的图象有两个公共点，则0＜a＜1C.若a＞1，则函数y＝f（f（x））有且仅有两个零点D.若y＝f（x）的图象在x＝x1和x＝x2处的切线相互垂直，则x1＋x2＝0解析解法一（解方程）对选项A，当a＝1时，令f（x）＝｜ex－1｜＝1，解得ex＝0（舍去）或ex＝2，则x＝ln2，故函数y＝f（x）与y＝1的图象只有一个公共点，A错误.对选项B，由｜ex－a｜＝a2有ex＝a＋a2或ex＝a－a2，由a＞0得a＋a2＞0，则ex＝a＋a2必有唯一解，故当函数y＝f（x）与y＝a2的图象有两个公共点时，ex＝a－a2必有解，故a－a2＞0，解得0＜a＜1，故B正确.对选项C，设f（f（x））＝0，t＝f（x），则f（t）＝0，即｜et－a｜＝0，t＝lna，所以f（x）＝lna，即｜ex－a｜＝lna，解得ex＝a＋lna或ex＝a－lna，当a＞1时，a＋lna＞0，ex＝a＋lna必有唯一解，当a＞1时，0＜lna＜a，故ex＝a－lna也有唯一解，故f（f（x））＝0有两个不等实根，故C正确.对选项D，不妨取f（x1）＝a－ex1，f（x2）＝ex2－a，则f'（x1）＝－ex1，f'（x2）＝ex2，由y＝f（x）的图象在x＝x1和x＝x2处的切线相互垂直，得f'（x1）f'（x2）＝－1，即－ex1ex2＝－1，ex1＋解法二（数形结合）对选项A，当a＝1时，f（x）＝｜ex－1｜，作出y＝f（x）的图象和直线y＝1，如图（1），留意到直线y＝1是y＝f（x）在x＜0时的图象的一条渐近线，故函数y＝f（x）的图象与直线y＝1只有一个公共点，A错误.对选项B，当a＝1时，由选项A的推断过程知，不合题意，舍去；当a＞1时，f（0）＝｜1－a｜＝a－1，a2＞a，直线y＝a是y＝f（x），x＜0的图象的一条渐近线，如图（2），直线y＝a2在渐近线y＝a的上方，此时函数y＝f（x）的图象与直线y＝a2只有一个公共点，不合题意，舍去；当0＜a＜1时，f（0）＝｜1－a｜＝1－a，a＞a2，直线y＝a是y＝f（x），x＜lna的图象的一条渐近线，如图（3），直线y＝a2在渐近线y＝a与x轴之间，函数y＝f（x）的图象与直线y＝a2有两个公共点，适合题意，故0＜a＜1.B正确.下同解法一.12.[多选/2024山西运城调研]已知函数f（x）＝2（x+2）2，x≤－1，｜log2（x+1)|,x＞－1，若关于x的方程f（x）＝m有四个不等实根x1，x2，A.1≤m＜2B.－3≤x1＜－2C.54＜x32＋2x3＋2xD.x12＋x22＋log解析方程有4个不同的解，因而由函数f（x）的图象（如图）可知，1＜m≤2，A错误.当f（x）＝2时，最小的根为－3，当f（x）＝1时，最小的根为－2，故－3≤x1＜－2，B正确.－log2（x3＋1）＝log2（x4＋1）＝m，则x3＝2－m－1，x4＝2m－1，所以x32＋2x3＋2x（2－m－1）2＋2（2－m－1）＋2（2m－1）＝2－2m＋2×2m－3.令t＝2m，则t∈（2，4]，构造函数y＝1t2＋2t－3，则y'＝－2t3＋2＝2t3－2t3，明显当t∈（2，4]时，y'＞0，即y＝1t2＋2t－3在（2，4]上单调递增，y＞122＋2×2－3＝54，y≤142＋2×4－3＝8116由图象可知，2（x1+2）2＝2（x2+2）2＝m，则x1＝－x12＋x22＋logm2＝4＋log2m＋2×2×log2m＋4＋log2m－2×2×log2m＋logm2＝8＋2log2m＋logm2＝8＋1logm2＋logm2≥8＋2＝10，当且仅当1logm213.[2024合肥期中]已知函数f（x）＝｜4x－2|,x<1，3－x，xg（f（x））有6个零点，则实数a的取值范围为（－3，－22）.解析画出f（x）＝｜4x－因为g（x）＝x2＋ax＋2最多有两个零点，所以要想y＝g（f（x））有6个零点，结合函数图象知，须要f（x）＝t1和f（x）＝t2分别有3个零点，则t1，t2∈（0，2），且t1≠t2，即g（x）＝x2＋ax＋2有两个不等零点t1，t2∈（0，2），则须要满意Δ＝a2－8>0，0<－a2<2，g（2）>0，g（14.[2024广东惠州质检]定义在R上的函数f（x）满意f（x＋2）＝f（x－2），当x∈[0，4）时，f（x）＝｜x2－4x＋3｜.若关于x的函数y＝f（x）－m在区间[－4，6]上有10个不同零点，则实数m的取值范围是（0，1）.解析关于x的函数y＝f（x）－m在区间[－4，6]上有10个不同零点⇔关于x的方程f（x）－m＝0在区间[－4，6]上有10个不同的根⇔函数y＝f（x）的图象与直线y＝m在[－4，6]上有10个不同的交点.由f（x＋2）＝f（x－2）得f（x＋4）＝f（x），所以函数f（x）的周期为4，依据“当x∈[0，4）时，f（x）＝｜x2－4x＋3｜”作出y＝f（x）在区间[－4，6]上的图象，如图所示，其中f（0）＝3，f（2）＝1，f（1）＝f（3）＝0.由图象可知，若函数y＝f（x）的图象与直线y＝m在[－4，6]上有10个不同的交点，则实数m的取值范围为（0，1）.15.[角度创新/2024江苏盐城模拟]已知函数f（x）＝cos2x＋asinx＋14在区间[0，π]上有2个不同的零点，则实数a的取值范围为（CA.（－54，－14） B.（－1，－1C.（－∞，－14） D.（－54，－解析f（x）＝cos2x＋asinx