线性代数与概率统计 课件 第一章 随机事件的概率

第一章随机事件的概率随机事件及概率第一节两类现象0102确定性现象条件决定结果随机性现象条件不能决定结果概率论与数理统计研究的对象随机现象01水在1个大气压下，加热到100度：沸腾确定02向上抛硬币：落到地面确定03向上抛硬币落到地面：正面向上随机引

言如何描述？数学上如何表示？一个现象的发生，往往受多个甚至是无数多个因素的影响，其中大量因素的影响是微弱的，时隐时现的，导致现象的结果呈现随机性。要研究随机现象的特点及性质，需要进行多次试验观测。产生随机性的原因？01试验各种科学实验和对某事物的观测的统称。02随机试验01可以在相同的条件下重复进行；02可能的结果不止一个，且试验前明确；03试验之前不能确定哪一个结果会出现。随机试验与样本空间例1写出下列随机试验的样本空间E1

:掷一粒骰子，观察出现的点数.03

随机试验E的所有可能结果组成的集合

𝛀中的元素，即E的每个结果ω.样本点例1E2

：抛一枚硬币两次，观察正反面出现的情况.E3：记录某超市一天内进入的顾客人数E4

:

在一大批灯管中任意抽取一个，测试其寿命.01随机事件随机试验中可能发生也可能不发生的事件随机事件

数学语言描述例1掷一粒骰子，观察出现的点数.事件

“出现的点数为偶数”02事件发生当代表试验结果的样本点属于A时，称事件A发生了.事件A“出现的点数为偶数”

={2,4,6}此时，代表试验结果的样本点“2”属于A.若试验的结果为2点，显然，事件A发生了03特殊事件不可能事件不包含任何样本点的事件，即空集.必然事件每次试验中一定会发生.基本事件由一个样本点组成的单点集.例1若试验E的样本空间为{1,

2,

3,

4,

5,

6

}则

Ai

=

{

i

}i

=1,2,3,

…

6都是基本事件.B“点数为4.5”

,

C

“点数小于9”？？

A,B不能同时发生.

A,

B

可以同时发生.随机事件的关系与运算01随机事件的关系相容关系包含关系事件B包含事件A,

A发生则B发生.

相等关系

不相容关系（互斥）样本空间的不同的基本事件都是互斥的Φ与任意事件互斥对立关系（互逆）A，B两事件在一次实验中有且仅一个发生.

样本空间的划分(多个事件)满足：n个事件B1,

B2

,……,

Bn两两互不相容01和事件为必然事件02BA02随机事件的运算研究事件运算的目的用简单事件表示复杂事件方法借助集合的运算和事件

BABA积事件

差事件

事件间的运算规律设A,B,C为事件，则有交换律结合律分配律对偶律引

言随机事件是集合，在集合上的度量方法：有限集合元素的个数有限区间的长度平面有界区域的面积空间有界区域的体积集合的质量下面我们将针对随机事件研究一种新的度量方法概率“概率”这种度量，与我们非常熟悉的个数、长度、面积、体积、质量等度量具有完全类似的性质和计算方法。数学上：如何定义概率？如何计算？设Ω是随机试验E的样本空间，对E的任一事件A，规定它对应于一个实数，记为P(A).随机事件的概率01概率的定义01RAP(A)Ω若两两互不相容，则若集合函数P(

·

)满足下列性质，则称P(A)为事件A的概率.非负性规范性可列可加性对于n

个互不相容的事件概率具有单调不减性！02概率的性质

不可能事件的概率为零，概率为零的事件不一定是不可能事件！有限可加性

AB AB

本小节结束！第一章随机事件的概率第二节古典概型01样本空间只含有有限个样本点，02每个基本事件发生的可能性相同则称这种试验为古典概型(或等可能概型)若试验

E

具有如下两个特点1.定义01基本事件的概率2.概率计算02一般事件的概率A所包含的样本点个数Ω

中样本点数01加法原理3.计数原理02乘法原理n=n1+n2+…+

nkA1A2AK…分类计数n=n1×n2×…×

nkA1A2AK…分步计数抛一枚骰子两次，求两次点数均为偶数的概率。例1解样本空间Ω

{

(i,

j)

|

i,

j

N

,1

i,

j

6

},

n

6

6

36A=“两次点数均为偶数”={

(2,2),(2,4),(2,6),(4,2),(4,4),(4,6),(6,2),(6,4),(6,6),}An

9,

P(A)

nA

1n 4将一枚硬币抛掷三次.（1）设事件A1为“恰有一次出现正面”，求P(A1)（2）设事件A2为“至少有一次出现正面”，求P(A2)例2解样本空间

产品抽样问题一批产品共有N

件，其中次品M

件。从中任取n

次，（每次一件不放回），求事件A“恰好取到k

件次品”的概率。例3解从N件产品中取出n

件，每种取法是一个基本事件所求的概率为条件概率第三节引言前一节讨论了随机事件概率的定义及计算方法.01将复杂事件表示为简单事件的运算，再利用概率的性质来计算复杂事件的概率；02一些简单概率模型中概率的计算方法.本节主要内容条件概率的概念；1利用条件概率，研究概率的计算方法。2条件概率许多实际问题中，需要计算在某事件B发生的条件下，事件A发生的概率，即为“条件概率”。P(

A

|B)记为将一枚硬币抛掷两次，观察其出现正反面的情况引例设事件A为“至少有一次为正面”设事件B为“两次掷出同一面”现求已知事件A发生的条件下B发生的概率

将事件A

已经发生的条件下事件B

发生的概率记为P(B|A)设H为正面，T为反面分析为事件B发生的条件下事件A发生的条件概率。1.定义设A，B是两个事件，且P(A)>0，称为在事件A发生条件下事件，B发生的条件概率。同理可得

2.性质1非负性2规范性3可列可加性对于每一事件B，有P(B|A)≥0对于必然事件Ω

，有P(Ω

|A)=1设B1

,B2，...是两两互不相容事件，则有：一家庭中有两个小孩，已知其中一个是女孩，问另一个也是女孩的概率是多少？例1解设事件A表示“两个都是女孩”，B表示“其中有一个是女孩”M:代表男孩，F:代表女孩

{(F

,

F

),

(F

,

M

),

(M

,

F

),

(M

,

M

)}

B

B

{(F,

F

),

(F,

M

),

(M

,

F)}A

{(F

,

F

)}所求概率为

P(

A|

B)

1

/

3乘法公式对任意两个事件A，B

，由条件概率公式可得乘积事件概率计算方法。01乘法公式设A，B为两个随机事件，则P(

AB)

P(B)P(

A|B)

P(

A)P(B|A)02n个事件的乘法公式P(

A1

A2

An

)

P(

A1

)P(

A2

|

A1

)P(

A3

|

A1

A2

)

P(

An

|

A1

A2

An

1

)本小节结束！第一章随机事件的概率频率与概率的关系随机事件发生的可能性大小－概率（０到１之间的一个数）是客观存在.

可通过多次试验观测来估计.1.事件发生的频率则称比值

在相同的条件下将试验E重复

次，若事件A

发生了次，为A

发生的频率．频率具有波动性，不能作为概率的定义.缺点频率在一定程度上反映了Ａ发生的可能性大小.反应由实际经验可知：010203当ｎ越来越大时，频率具有稳定性.这种“稳定性”也就是通常所说的统计规律性.频率的稳定值——概率的统计定义.

(不便于演绎推理)历史上曾有人做过试验,试图证明抛掷匀质硬币时，出现正反面的机会均等。大量的随机试验表明：概率n→

lim fn

(

A)存在，这个值就是概率？２.频率的性质非负性：01(2)

规范性：02有限可加性：若A1,A2,…,

Ak

两两互不相容，则03几何概型古典概型是关于试验的结果为有限个且每个结果出现的可能性相同的概率模型。保留等可能性，结果有无限多个推广：特别样本空间为区间，平面上的有界区域，空间中的有界区域。设Ω为平面有界区域，在Ω内等可能地任意取点。1.定义点落入Ω中任何区域A的可能性的大小与区域A

的面积成正比，而与其位置和形状无关，称具有这种特性的试验为二维几何概型.等可能记事件A

为“点落在区域A内”2.概率的计算ΩA2.概率的计算01由等可能性知02由可知A: 区间S: 长度一维几何概型二维几何概型三维几何概型A:立体区域S:体积（会面问题）甲、乙两人相约在晚上6点到7点之间在某地会面,先到者等候另

一人20分钟，过时就离开.假定每个人可在指定的一小时内任意时

刻到达，试计算两人能会面成功的概率.例事件A=“两人能会面成功”解记6点为计时时刻0，以分钟为时间单位，以x,

y分别表示甲、乙两人到达会面地点的时刻.样本空间为两人能会面成功的充要条件是所求概率为本小节结束！第一章随机事件的概率独立性第四节一、事件的相互独立性1引例盒中有5个球（3黑2白），每次取出一个，有放回地取两次。A=第一次抽取，取到黑球B=第二次抽取，取到黑球则有P(BA)=P(B),表示A的发生并不影响B发生的可能性大小。2定义设A,B是两事件，如果满足等式则称事件A、B

相互独立，简称A、B

独立。说明事件A与事件B相互独立，是指事件A的发生与事件B发生的概率无关。容易知道，若P(A)>0，P(B)>0,则A、B相互独立,与A、B互不相容不能同时成立。两事件相互独立与两事件互斥的关系两事件相互独立二者之间没有必然联系两事件互斥请同学们思考3三事件相互独立的概念设A,B,C是三个事件，如果满足不等式则称事件A,B,C

相互独立。二