2024年北京市中考数学真题解析

年北京市中考数学试卷一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．（2分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A． B． C． D．2．（2分）如图，直线AB和CD相交于点O，OE⊥OC．若∠AOC＝58°，则∠EOB的大小为（）A．29° B．32° C．45° D．58°3．（2分）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（）A．b＞﹣1 B．|b|＞2 C．a+b＞0 D．ab＞04．（2分）若关于x的一元二次方程x2﹣4x+c＝0有两个相等的实数根，则实数c的值为（）A．﹣16 B．﹣4 C．4 D．165．（2分）不透明袋子中仅有红、黄小球各一个，两个小球除颜色外无其他差别．从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，则两次摸出的都是红球的概率是（）A． B． C． D．6．（2分）为助力数字经济发展，北京积极推进多个公共算力中心的建设．北京数字经济算力中心日前已部署上架和调试的设备的算力为4×1017Flops（Flops是计算机系统算力的一种度量单位），整体投产后，累计实现的算力将是日前已部署上架和调试的设备的算力的5倍，达到mFlops，则m的值为（）A．8×1016 B．2×1017 C．5×1017 D．2×10187．（2分）下面是“作一个角使其等于∠AOB”的尺规作图方法．（1）如图，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C，D；（2）作射线O′A′，以点O′为圆心，OC长为半径画弧，交O′A′于点C′；以点C′为圆心，CD长为半径画弧，两弧交于点D′；（3）过点D′作射线O′B′，则∠A′O′B′＝∠AOB．上述方法通过判定△C′O′D′≌△COD得到∠A′O′B′＝∠AOB，其中判定△C′O′D′≌△COD的依据是（）A．三边分别相等的两个三角形全等 B．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 C．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 D．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等8．（2分）如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，O为对角线的交点．将菱形ABCD绕点O逆时针旋转90°得到菱形A′B′C′D′，两个菱形的公共点为E，F，G，H．对八边形BFB′GDHD′E给出下面四个结论：①该八边形各边长都相等；②该八边形各内角都相等；③点O到该八边形各顶点的距离都相等；④点O到该八边形各边所在直线的距离都相等．上述结论中，所有正确结论的序号是（）A．①③ B．①④ C．②③ D．②④二、填空题（共16分，每题2分）9．（2分）若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是．10．（2分）分解因式：x3﹣25x＝．11．（2分）方程的解为．12．（2分）在平面直角坐标系xOy中，若函数的图象经过点（3，y1）和（﹣3，y2），则y1+y2的值是．13．（2分）某厂加工了200个工件，质检员从中随机抽取10个工件检测了它们的质量（单位：g），得到的数据如下：50.0349.9850.0049.9950.0249.9950.0149.9750.0050.02当一个工件的质量x（单位：g）满足49.98≤x≤50.02时，评定该工件为一等品．根据以上数据，估计这200个工件中一等品的个数是．14．（2分）如图，⊙O的直径AB平分弦CD（不是直径）．若∠D＝35°，则∠C＝°．15．（2分）如图，在正方形ABCD中，点E在AB上，AF⊥DE于点F，CG⊥DE于点G．若AD＝5，CG＝4，则△AEF的面积为．16．（2分）联欢会有A，B，C，D四个节目需要彩排，所有演员到场后节目彩排开始．一个节目彩排完毕，下一个节目彩排立即开始．每个节目的演员人数和彩排时长（单位：min）如下：节目ABCD演员人数102101彩排时长30102010已知每位演员只参演一个节目．一位演员的候场时间是指从第一个彩排的节目彩排开始到这位演员参演的节目彩排开始的时间间隔（不考虑换场时间等其他因素）．若节目按“A﹣B﹣C﹣D”的先后顺序彩排，则节目D的演员的候场时间为min；若使这23位演员的候场时间之和最小，则节目应按的先后顺序彩排．三、解答题（共68分，第17-19题每题5分，第20-21题每题6分，第22-23题每题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17．（5分）计算：．18．（5分）解不等式组：．19．（5分）已知a﹣b﹣1＝0，求代数式的值．20．（6分）如图，在四边形ABCD中，E是AB的中点，DB，CE交于点F，DF＝FB，AF∥DC．（1）求证：四边形AFCD为平行四边形；（2）若∠EFB＝90°，tan∠FEB＝3，EF＝1，求BC的长．21．（6分）为防治污染，保护和改善生态环境，自2023年7月1日起，我国全面实施汽车国六排放标准6b阶段（以下简称“标准”）．对某型号汽车，“标准”要求A类物质排放量不超过35mg/km，A，B两类物质排放量之和不超过50mg/km．已知该型号某汽车的A，B两类物质排放量之和原为92mg/km．经过一次技术改进，该汽车的A类物质排放量降低了50%，B类物质排放量降低了75%，A，B两类物质排放量之和为40mg/km．判断这次技术改进后该汽车的A类物质排放量是否符合“标准”，并说明理由．22．（5分）在平面直角坐标系xOy中，函数y＝kx+b（k≠0）与y＝﹣kx+3的图象交于点（2，1）．（1）求k，b的值；（2）当x＞2时，对于x的每一个值，函数y＝mx（m≠0）的值既大于函数y＝kx+b的值，也大于函数y＝﹣kx+3的值，直接写出m的取值范围．23．（5分）某学校举办的“青春飞扬”主题演讲比赛分为初赛和决赛两个阶段．（1）初赛由10名教师评委和45名学生评委给每位选手打分（百分制）．对评委给某位选手的打分进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．a．教师评委打分：86889091919191929298b．学生评委打分的频数分布直方图如图（数据分6组：第1组82≤x＜85，第2组85≤x＜88，第3组88≤x＜91，第4组91≤x＜94，第5组94≤x＜97，第6组97≤x≤100）：c．评委打分的平均数、中位数、众数如下：平均数中位数众数教师评委9191m学生评委90.8n93根据以上信息，回答下列问题：①m的值为，n的值位于学生评委打分数据分组的第组；②若去掉教师评委打分中的最高分和最低分，记其余8名教师评委打分的平均数为，则91（填“＞”“＝”或“＜”）；（2）决赛由5名专业评委给每位选手打分（百分制）．对每位选手，计算5名专业评委给其打分的平均数和方差．平均数较大的选手排序靠前，若平均数相同，则方差较小的选手排序靠前.5名专业评委给进入决赛的甲、乙、丙三位选手的打分如下：评委1评委2评委3评委4评委5甲9390929392乙9192929292丙90949094k若丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，则这三位选手中排序最靠前的是，表中k（k为整数）的值为．24．（6分）如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，OD平分∠AOC．（1）求证：OD∥BC；（2）延长DO交⊙O于点E，连接CE交OB于点F，过点B作⊙O的切线交DE的延长线于点P．若，PE＝1，求⊙O半径的长．25．（5分）小云有一个圆柱形水杯（记为1号杯）．在科技活动中，小云用所学数学知识和人工智能软件设计了一个新水杯，并将其制作出来．新水杯（记为2号杯）示意图如图．当1号杯和2号杯中都有VmL水时，小云分别记录了1号杯的水面高度h1（单位：cm）和2号杯的水面高度h2单位：cm），部分数据如下：V/mL040100200300400500h1/cm02.55.07.510.012.5h2/cm02.84.87.28.910.511.8（1）补全表格（结果保留小数点后一位）；（2）通过分析数据，发现可以用函数刻画h1与V，h2与V之间的关系．在给出的平面直角坐标系中，画出这两个函数的图象；（3）根据以上数据与函数图象，解决下列问题：①当1号杯和2号杯中都有320mL水时，2号杯的水面高度与1号杯的水面高度的差约为cm（结果保留小数点后一位）；②在①的条件下，将2号杯中的一部分水倒入1号杯中，当两个水杯的水面高度相同时，其水面高度约为cm（结果保留小数点后一位）．26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2﹣2a2x（a≠0）．（1）当a＝1时，求抛物线的顶点坐标；（2）已知M（x1，y1）和N（x2，y2）是抛物线上的两点．若对于x1＝3a，3≤x2≤4，都有y1＜y2，求a的取值范围．27．（7分）已知∠MAN＝α（0°＜α＜45°），点B，C分别在射线AN，AM上，将线段BC绕点B顺时针旋转180°﹣2α得到线段BD，过点D作AN的垂线交射线AM于点E．（1）如图1，当点D在射线AN上时，求证：C是AE的中点；（2）如图2，当点D在∠MAN内部时，作DF∥AN，交射线AM于点F，用等式表示线段EF与AC的数量关系，并证明．28．（7分）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1．对于⊙O的弦AB和不在直线AB上的点C，给出如下定义：若点C关于直线AB的对称点C′在⊙O上或其内部，且∠ACB＝α，则称点C是弦AB的“α可及点”．（1）如图，点A（0，1），B（1，0）．①在点C1（2，0），C2（1，2），中，点是弦AB的“α可及点”，其中α＝°；②若点D是弦AB的“90°可及点”，则点D的横坐标的最大值为；（2）已知P是直线上一点，且存在⊙O的弦MN，使得点P是弦MN的“60°可及点”．记点P的横坐标为t，直接写出t的取值范围．

2024年北京市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．（2分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A． B． C． D．【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念解答即可．【解答】解：A、图形是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意；B、图形是中心对称图形，也是轴对称图形，符合题意；C、图形不是中心对称图形，也不是轴对称图形，不符合题意；D、图形不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意，故选：B．【点评】本题考查的是中心对称图形和轴对称图形，熟知把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形是解题的关键．2．（2分）如图，直线AB和CD相交于点O，OE⊥OC．若∠AOC＝58°，则∠EOB的大小为（）A．29° B．32° C．45° D．58°【分析】根据垂直的定义得出∠COE＝∠DOE＝90°，再由对顶角相等得出∠BOD＝∠AOC＝58°，由∠EOB＝90°﹣∠BOD进行计算即可．【解答】解：∵OE⊥OC，∴∠COE＝∠DOE＝90°，∵∠BOD＝∠AOC＝58°，∴∠EOB＝90°﹣58°＝32°．故选：B．【点评】本题考查垂线，对顶角、邻补角，掌握互相垂直的定义，对顶角相等是正确解答的关键．3．（2分）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（）A．b＞﹣1 B．|b|＞2 C．a+b＞0 D．ab＞0【分析】由数轴得，﹣2＜b＜﹣1，2＜a＜3，进一步得出|b|＜2，a+b＞0，ab＜0，即可作出判断．【解答】解：由数轴得，﹣2＜b＜﹣1，2＜a＜3，∴|b|＜2，a+b＞0，ab＜0，故选：C．【点评】本题考查了实数与数轴，熟练掌握数轴的性质、绝对值、有理数的加法、有理数的乘法法则是解题的关键．4．（2分）若关于x的一元二次方程x2﹣4x+c＝0有两个相等的实数根，则实数c的值为（）A．﹣16 B．﹣4 C．4 D．16【分析】根据一元二次方程根的判别式即可解决问题．【解答】解：因为关于x的一元二次方程x2﹣4x+c＝0有两个相等的实数根，所以Δ＝（﹣4）2﹣4c＝0，解得c＝4．故选：C．【点评】本题主要考查了根的判别式，熟知一元二次方程根的判别式是解题的关键．5．（2分）不透明袋子中仅有红、黄小球各一个，两个小球除颜色外无其他差别．从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，则两次摸出的都是红球的概率是（）A． B． C． D．【分析】列表可得出所有等可能的结果数以及两次摸出的都是红球的结果数，再利用概率公式可得出答案．【解答】解：列表如下：红黄红（红，红）（红，黄）黄（黄，红）（黄，黄）共有4种等可能的结果，其中两次摸出的都是红球的结果有1种，∴两次摸出的都是红球的概率为．故选：A．【点评】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法是解答本题的关键．6．（2分）为助力数字经济发展，北京积极推进多个公共算力中心的建设．北京数字经济算力中心日前已部署上架和调试的设备的算力为4×1017Flops（Flops是计算机系统算力的一种度量单位），整体投产后，累计实现的算力将是日前已部署上架和调试的设备的算力的5倍，达到mFlops，则m的值为（）A．8×1016 B．2×1017 C．5×1017 D．2×1018【分析】根据把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法，进而得出答案．【解答】解：由题意可得：4×1017×5＝2×1018．故选：D．【点评】此题主要考查了科学记数法—表示较大的数，正确掌握科学记数法是解题关键．7．（2分）下面是“作一个角使其等于∠AOB”的尺规作图方法．（1）如图，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C，D；（2）作射线O′A′，以点O′为圆心，OC长为半径画弧，交O′A′于点C′；以点C′为圆心，CD长为半径画弧，两弧交于点D′；（3）过点D′作射线O′B′，则∠A′O′B′＝∠AOB．上述方法通过判定△C′O′D′≌△COD得到∠A′O′B′＝∠AOB，其中判定△C′O′D′≌△COD的依据是（）A．三边分别相等的两个三角形全等 B．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 C．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 D．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等【分析】由作图过程可得，OC＝OD＝O'C'＝O'D'，C'D'＝CD，结合全等三角形的判定可得答案．【解答】解：由作图过程可得，OC＝OD＝O'C'＝O'D'，C'D'＝CD，∴△C′O′D′≌△COD（SSS），∴判定△C′O′D′≌△COD的依据是三边分别相等的两个三角形全等．故选：A．【点评】本题考查作图—复杂作图、全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解答本题的关键．8．（2分）如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，O为对角线的交点．将菱形ABCD绕点O逆时针旋转90°得到菱形A′B′C′D′，两个菱形的公共点为E，F，G，H．对八边形BFB′GDHD′E给出下面四个结论：①该八边形各边长都相等；②该八边形各内角都相等；③点O到该八边形各顶点的距离都相等；④点O到该八边形各边所在直线的距离都相等．上述结论中，所有正确结论的序号是（）A．①③ B．①④ C．②③ D．②④【分析】通过△AD'H≌△C'DH和△A'BE≌△C'DH可判断①；根据角平分线的性质定理判断④；通过角度计算判断②；通过长度计算判断③．【解答】解：延长BD和DB，连接OH，∵菱形ABCD，∠BAD＝60°，∴∠BAO＝∠DAO＝30°，∠AOD＝∠AOB＝90°，∵菱形ABCD绕点O逆时针旋转90°得到菱形A'B'C'D'，∴点A′，D′，B′，C′一定在对角线AC，BD上，且OD＝OD'＝OB＝OB'，OA＝OA'＝OC＝OC'，∴AD'＝C'D，∠D'AH＝∠DC'H＝30°，∵∠D′HA＝∠DHC′，∴△AD'H≌△C'DH（AAS），∴D′H＝DH，C′H＝AH，同理可证D'E＝BE，BF＝B'F，B'G＝DG，∵∠EA'B＝∠HC'D＝30°，A′B＝C′D，∠A'BE＝∠C'DH＝120°，∴△A'BE≌△C'DH（ASA），∴DH＝BE，∴DH＝BE＝D′H＝D′E＝BF＝FB′＝B′G＝DG，∴该八边形各边长都相等，故①正确；根据角的平分线的性质定理，得点O到该八边形各边所在直线的距离都相等，故④正确；根据题意，得∠ED'H＝120°，∵∠D'OD＝90°，∠OD'H＝∠ODH＝60°，∴∠D'HD＝150°，∴该八边形各内角不相等，故②错误；∵OD＝OD′，D′H＝DH，OH＝OH，∴△D'OH≌△DOH（SSS），∴∠D'OH＝∠DOH＝45°，∠D'HO＝∠DHO＝75°，∴OD≠OH，∴点O到该八边形各顶点的距离不相等，故③错误；故选：B．【点评】本题考查了菱形的性质，全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定等，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．二、填空题（共16分，每题2分）9．（2分）若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是x≥9．【分析】根据二次根式有意义的条件，即可求解．【解答】解：根据题意得x﹣9≥0，解得：x≥9．故答案为：x≥9．【点评】本题主要考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的被开方数为非负数是解题的关键．10．（2分）分解因式：x3﹣25x＝x（x+5）（x﹣5）．【分析】先提取公因式x，再对余下的多项式运用平方差公式继续分解．【解答】解：x3﹣25x，＝x（x2﹣25），＝x（x+5）（x﹣5）．【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，关键在于提取公因式后继续利用平方差公式进行二次因式分解，分解因式要彻底．11．（2分）方程的解为x＝﹣1．【分析】方程两边同乘x（2x+3），将分式化为整式方程求解即可．【解答】解：x+（2x+3）＝03x+3＝0x＝﹣1，经检验，x＝﹣1是原方程的解．【点评】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键．12．（2分）在平面直角坐标系xOy中，若函数的图象经过点（3，y1）和（﹣3，y2），则y1+y2的值是0．【分析】将两点代入得到y1＝，y2＝﹣，则y1+y2＝0．【解答】解：∵函数的图象经过点（3，y1）和（﹣3，y2），∴y1＝，y2＝﹣，∴y1+y2＝0．故答案为：0．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，图象上点的坐标满足解析式是解题的关键．13．（2分）某厂加工了200个工件，质检员从中随机抽取10个工件检测了它们的质量（单位：g），得到的数据如下：50.0349.9850.0049.9950.0249.9950.0149.9750.0050.02当一个工件的质量x（单位：g）满足49.98≤x≤50.02时，评定该工件为一等品．根据以上数据，估计这200个工件中一等品的个数是160．【分析】根据题意，先写出10个数据中的一等品，然后即可计算出估计这200个工件中一等品的个数．【解答】解：∵满足49.98≤x≤50.02时，评定该工件为一等品，∴抽取10个工件的一等品有49.98，50.00，49.99，50.02，49.99，50.01，50.00，50.02，共计8个，∴估计这200个工件中一等品的个数是200×＝160，故答案为：160．【点评】本题考查用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，求出这200个工件中一等品的个数．14．（2分）如图，⊙O的直径AB平分弦CD（不是直径）．若∠D＝35°，则∠C＝55°．【分析】设AB与CD相交于点E，根据垂直定义可得∠DEB＝90°，然后利用直角三角形的两个锐角可得互余∠B＝55°，从而利用同弧所对的圆周角相等可得∠C＝∠B＝55°，即可解答．【解答】解：设AB与CD相交于点E，∵⊙O的直径AB平分弦CD（不是直径），∴AB⊥CD，∴∠DEB＝90°，∵∠D＝35°，∴∠B＝90°﹣∠D＝55°，∴∠C＝∠B＝55°，故选：55．【点评】本题考查了圆周角定理，垂径定理，熟练掌握圆周角定理，以及垂径定理是解题的关键．15．（2分）如图，在正方形ABCD中，点E在AB上，AF⊥DE于点F，CG⊥DE于点G．若AD＝5，CG＝4，则△AEF的面积为．【分析】要求△AEF的面积，需要知道AE和EF的边长，先证△CDG≌△DAF（AAS），再证△AFE∽△DFA即可求解．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝CD，∠ADC＝DAE＝90°，∵AF⊥DE，CG⊥DE，∴∠AFD＝∠CGD＝90°，∵∠ADF+∠CDG＝∠ADF+∠DAF，∴∠CDG＝∠DAF，∴△CDG≌△DAF（AAS），∴AF＝DG＝＝3，DF＝CG＝4，同理可得∠EAF＝∠ADF，又∠AFE＝∠AFD，∴△AFE∽△DFA，∴，即，∴EF＝，∴S△AEF＝AE•EF＝．故答案为：．【点评】本题主要考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识是解题的关键．16．（2分）联欢会有A，B，C，D四个节目需要彩排，所有演员到场后节目彩排开始．一个节目彩排完毕，下一个节目彩排立即开始．每个节目的演员人数和彩排时长（单位：min）如下：节目ABCD演员人数102101彩排时长30102010已知每位演员只参演一个节目．一位演员的候场时间是指从第一个彩排的节目彩排开始到这位演员参演的节目彩排开始的时间间隔（不考虑换场时间等其他因素）．若节目按“A﹣B﹣C﹣D”的先后顺序彩排，则节目D的演员的候场时间为60min；若使这23位演员的候场时间之和最小，则节目应按B﹣D﹣C﹣D的先后顺序彩排．【分析】根据候场时间定义计算即可，若使这23位演员的候场时间之和最小，则节目应按：B﹣D﹣C﹣D顺序排序．【解答】解：根据题意，节目D的演员的候场时间为：30+10+20＝60（min）；若使这23位演员的候场时间之和最小，则节目应按：B﹣D﹣C﹣D顺序排序，即1×10+10×10+10×20＝310（min），故答案为：60；B﹣D﹣C﹣D．【点评】本题考查的是有理数的混合运算，熟练掌握其运算方法是解题的关键．三、解答题（共68分，第17-19题每题5分，第20-21题每题6分，第22-23题每题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17．（5分）计算：．【分析】先化简零指数幂，二次根式，三角函数，绝对值，再按照实数的运算法则计算即可．【解答】解：＝1+﹣2×+＝．【点评】本题考查了实数的运算，解题的关键式掌握去绝对值，零指数幂，特殊三角函数值等相关知识．18．（5分）解不等式组：．【分析】根据解一元一次不等式组的步骤，对所给不等式组进行求解即可解决问题．【解答】解：解不等式3（x﹣1）＜4+2x得，x＜7，解不等式得，x＞﹣1，所以不等式组的解集为：﹣1＜x＜7．【点评】本题主要考查了解一元一次不等式组，熟知解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．19．（5分）已知a﹣b﹣1＝0，求代数式的值．【分析】先将分式的分子、分母分别分解因式，约分化为最简结果，然后代入求值即可．【解答】解：∵a﹣b﹣1＝0，∴a﹣b＝1，＝＝＝＝＝＝3．【点评】本题考查了分式的值，通过将分式的分子、分母分别分解因式化为是解题的关键．20．（6分）如图，在四边形ABCD中，E是AB的中点，DB，CE交于点F，DF＝FB，AF∥DC．（1）求证：四边形AFCD为平行四边形；（2）若∠EFB＝90°，tan∠FEB＝3，EF＝1，求BC的长．【分析】（1）根据三角形中位线定理得到EF∥AD，根据平行四边形的判定定理得到结论；（2）根据三角形中位线定理求得AD＝2EF＝2，根据三角函数的定义得到BF＝3EF＝3，求得DF＝BF＝3，根据勾股定理得到AF＝＝，根据平行四边形的性质得到CD＝AF＝，根据线段垂直平分线的性质得到结论．【解答】（1）证明：∵E是AB的中点，∴AE＝BE，∵DF＝BF，∴EF是△ABD的中位线，∴EF∥AD，∴CF∥AD，∵AF∥CD，∴四边形AFCD为平行四边形；（2）解：由（1）知，EF是△ABD的中位线，∴AD＝2EF＝2，∵∠EFB＝90°，tan∠FEB＝3，∴BF＝3EF＝3，∵DF＝FB，∴DF＝BF＝3，∵AD∥CE，∴∠ADF＝∠EFB＝90°，∴AF＝＝，∵四边形AFCD为平行四边形，∴CD＝AF＝，∵DF＝BF，CE⊥BD，∴BC＝CD＝．【点评】本题考查了平行四边形的判定和性质，解直角三角形，三角形中位线定理，勾股定理，熟练掌握平行四边形的判定和性质定理是解题的关键．21．（6分）为防治污染，保护和改善生态环境，自2023年7月1日起，我国全面实施汽车国六排放标准6b阶段（以下简称“标准”）．对某型号汽车，“标准”要求A类物质排放量不超过35mg/km，A，B两类物质排放量之和不超过50mg/km．已知该型号某汽车的A，B两类物质排放量之和原为92mg/km．经过一次技术改进，该汽车的A类物质排放量降低了50%，B类物质排放量降低了75%，A，B两类物质排放量之和为40mg/km．判断这次技术改进后该汽车的A类物质排放量是否符合“标准”，并说明理由．【分析】设该汽车的A类物质排放量为xmg/km，则该汽车的B类物质排放量为（92﹣x）mg/km，根据题意列方程求出x的值，即可求解．【解答】解：这次技术改进后该汽车的A类物质排放量符合“标准”，理由如下：设该汽车的A类物质排放量为xmg/km，则该汽车的B类物质排放量为（92﹣x）mg/km，根据题意得（1﹣50%）x+（1﹣75%）（92﹣x）＝40，解得x＝68，∴这次技术改进后该汽车的A类物质排放量（1﹣50%）x＝34，∵“标准”要求A类物质排放量不超过35mg/km，∴这次技术改进后该汽车的A类物质排放量符合“标准”．【点评】本题考查了一元一次方程的应用，百分数的应用，解答时充分理解题意是关键．22．（5分）在平面直角坐标系xOy中，函数y＝kx+b（k≠0）与y＝﹣kx+3的图象交于点（2，1）．（1）求k，b的值；（2）当x＞2时，对于x的每一个值，函数y＝mx（m≠0）的值既大于函数y＝kx+b的值，也大于函数y＝﹣kx+3的值，直接写出m的取值范围．【分析】（1）先根据直线y＝﹣kx+3点（2，1）得出k＝1，再将点（2，1）代入y＝x+b，求出b的值；（2）根据图象即可求得．【解答】解：（1）∵直线y＝﹣kx+3点（2，1），∴﹣2k+3＝1，解得k＝1，将点（2，1）代入y＝x+b得：2+b＝1，解得b＝﹣1．（2）∵当x＞2时，对于x的每一个值，函数y＝mx（m≠0）的值既大于函数y＝x﹣1的值，也大于函数y＝﹣x+3的值，∴m≥1．∴m的取值范围是m≥1．【点评】本题是两条直线相交或平行问题，考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数与系数的关系，数形结合是解题的关键．23．（5分）某学校举办的“青春飞扬”主题演讲比赛分为初赛和决赛两个阶段．（1）初赛由10名教师评委和45名学生评委给每位选手打分（百分制）．对评委给某位选手的打分进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．a．教师评委打分：86889091919191929298b．学生评委打分的频数分布直方图如图（数据分6组：第1组82≤x＜85，第2组85≤x＜88，第3组88≤x＜91，第4组91≤x＜94，第5组94≤x＜97，第6组97≤x≤100）：c．评委打分的平均数、中位数、众数如下：平均数中位数众数教师评委9191m学生评委90.8n93根据以上信息，回答下列问题：①m的值为91，n的值位于学生评委打分数据分组的第4组；②若去掉教师评委打分中的最高分和最低分，记其余8名教师评委打分的平均数为，则＜91（填“＞”“＝”或“＜”）；（2）决赛由5名专业评委给每位选手打分（百分制）．对每位选手，计算5名专业评委给其打分的平均数和方差．平均数较大的选手排序靠前，若平均数相同，则方差较小的选手排序靠前.5名专业评委给进入决赛的甲、乙、丙三位选手的打分如下：评委1评委2评委3评委4评委5甲9390929392乙9192929292丙90949094k若丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，则这三位选手中排序最靠前的是甲，表中k（k为整数）的值为92．【分析】（1）①根据众数以及中位数的定义解答即可；②根据算术平均数的定义求出其余8名教师评委打分的平均数，即可得出答案；（2）根据方差的定义和平均数的意义求解即可．【解答】解：（1）①由题意得，教师评委打分中91出现的次数最多，故众数m＝91．45名学生评委打分数据的中位数是第23个数，故n的值位于学生评委打分数据分组的第4组；故答案为：91；4；②若去掉教师评委打分中的最高分和最低分，记其余8名教师评委打分的平均数为，则＝×（88+90+91+91+91+91+92+92）＝90.75，∴＜91．故答案为：＜；（2）甲选手的平均数为×（93+90+92+93+92）＝92，乙选手的平均数为×（91+92+92+92+92）＝91.8，∵丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，∴丙选手的平均数大于或等于乙选手的平均数，∵5名专业评委给乙选手的打分为91，92，92，92，92，乙选手的方差S2乙＝×[4×（92﹣91.8）2+（91﹣91.8）2]＝0.16，5名专业评委给丙选手的打分为90，94，90，94，k，∴乙选手的方差小于丙选手的方差，∴丙选手的平均数大于乙选手的平均数，小于或等于甲选手的平均数，∴93+90+92+93+92≥90+94+90+94+k＞91+92+92+92+92，∴92≥k＞91，∵k为整数，∴k（k为整数）的值为92，故答案为：92．【点评】本题考查频数分布直方图，平均数、众数、中位数、方差，理解平均数、众数、中位数、方差的意义和计算方法是正确解答的前提．24．（6分）如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，OD平分∠AOC．（1）求证：OD∥BC；（2）延长DO交⊙O于点E，连接CE交OB于点F，过点B作⊙O的切线交DE的延长线于点P．若，PE＝1，求⊙O半径的长．【分析】（1）连接AC交OD于H，根据圆周角定理得到AC⊥BC，根据角平分线的定义得到∠AOD＝∠COD，根据垂径定理得到OD⊥AC，根据平行线的判定定理得到OD∥BC；（2）根据相似三角形的性质得到＝，设OE＝5x，BC＝6x，求得OH＝BC＝3x，根据切线的性质得到∠OBP＝90°，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．【解答】（1）证明：连接AC交OD于H，∵AB是⊙O的直径，∴AC⊥BC，∵OD平分∠AOC，∴∠AOD＝∠COD，∴＝，∴OD⊥AC，∴OD∥BC；（2）解：∵OE∥BC，∴△OEF∽△BCF，∴＝，∴设OE＝5x，BC＝6x，∵AO＝OB，OH∥BC，∴AH＝CH，∴OH＝BC＝3x，∵PB是⊙O的切线，∴∠OBP＝90，∴∠PBO＝∠AHO，∵∠BOP＝∠AOH，∴△AOH∽△POB，∴，∴，∴x＝或x＝0（不合题意舍去），∴OE＝，∴⊙O半径的长为．【点评】本题考查了切线的性质，相似三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，垂径定理，熟练掌握切线的性质和相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．25．（5分）小云有一个圆柱形水杯（记为1号杯）．在科技活动中，小云用所学数学知识和人工智能软件设计了一个新水杯，并将其制作出来．新水杯（记为2号杯）示意图如图．当1号杯和2号杯中都有VmL水时，小云分别记录了1号杯的水面高度h1（单位：cm）和2号杯的水面高度h2单位：cm），部分数据如下：V/mL040100200300400500h1/cm02.55.07.510.012.5h2/cm02.84.87.28.910.511.8（1）补全表格（结果保留小数点后一位）；（2）通过分析数据，发现可以用函数刻画h1与V，h2与V之间的关系．在给出的平面直角坐标系中，画出这两个函数的图象；（3）根据以上数据与函数图象，解决下列问题：①当1号杯和2号杯中都有320mL水时，2号杯的水面高度与1号杯的水面高度的差约为1.2cm（结果保留小数点后一位）；②在①的条件下，将2号杯中的一部分水倒入1号杯中，当两个水杯的水面高度相同时，其水面高度约为8.5cm（结果保留小数点后一位）．【分析】（1）观察表格数据可知，h1和V是正比例函数关系，设解析式，代入求解即可．（2）描点、连线画出函数图象即可；（3）由图象观察可得出①②的答案．【解答】解：（1）设h1＝kV，将（100，2.5）代入得：2.5＝100k，解得k＝，∴h1＝V，∵V＝40，∴h1＝1.0，故答案为：1.0．（2）如图所示，（3）①当V＝320ml时，h1＝8.0cm，由图象可知相差约为1.2cm．故答案为：1.2．②在①的条件下两杯相差1.2cm，此时h1大约是7.9，加上0.6约为8.5cm．故答案为：8.5．【点评】本题主要考查了一次函数的应用、函数的图象与性质、描点法画函数图象，正确理解题意熟练掌握知识点是解题关键．26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2﹣2a2x（a≠0）．（1）当a＝1时，求抛物线的顶点坐标；（2）已知M（x1，y1）和N（x2，y2）是抛物线上的两点．若对于x1＝3a，3≤x2≤4，都有y1＜y2，求a的取值范围．【分析】（1）将a＝1代入即可求出抛物线的顶点坐标；（2）利用作差法建立关于x2和a的不等式，因为a不确定，所以要分类讨论，再根据范围取舍即可．【解答】解：（1）将a＝1代入得y＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1，∴顶点坐标为（1，﹣1）；（2）由题得，y1＝a•（3a）2﹣2a2•3a＝3a3，y2＝﹣2a2x2，∵y1＜y2，∴y2﹣y1＝a（﹣2ax2﹣3a2）＝a（x2﹣3a）（x2+a）＞0，①当a＞0时，（x2﹣3a）（x2+a）＞0，∴或，解得x2＞3a或x2＜﹣a，∵3≤x2≤4，∴3a＜3或﹣a＞4，∴a＜1或a＜﹣4，∵a＞0，∴0＜a＜1；②当a＜0时，（x2﹣3a）（x2+a）＜0，∴或，解得3a＜x2＜﹣a，∵3≤x2≤4，∴，解得a＜﹣4，综上，0＜a＜1或a＜﹣4．【点评】本题主要考查二次函数综合，熟练掌握二次函数的图象和性质、因式分解、解不等式等知识点是解题关键．27．（7分）已知∠MAN＝α（0°＜α＜45°），点B，C分别在射线AN，AM上，将线段BC绕点B顺时针旋转180°﹣2α得到线段BD，过点D作AN的垂线交射线AM于点E．（1）如图1，当点D在射线AN上时，求证：C是AE的中点；（2）如图2，当点D在∠MAN内部时，作DF∥AN，交射线AM于点F，用等式表示线段EF与AC的数量关系，并证明．【分析】（1）证明CA＝CD＝CE即可证明点C是AE的中点；（2）先证明△ABC≌△HBD，得到AC＝DH，再根据角度计算得到DG＝AC，从而得出EF和AC的数量关系．【解答】（1）证明：连接CD，由题意得：BC＝BD，∠CBD＝180°﹣2α，∴∠BDC＝∠BCD，∵∠BDC+∠BCD+∠CBD＝180°，∴，∴∠BDC＝∠A，∴CA＝CD，∵DN⊥AN，∴∠1+∠A＝∠2+∠BDC＝90°，∴∠1＝∠2，∴CD＝CE，∴CA＝CE，∴点C是AE的中点；（2）解：EF＝2AC，在射线AM上取点H，使得BH＝BA，取EF的中点G，连接DG，∵BH＝BA，∴∠BAH＝∠BHA＝α，∴∠ABH＝180°﹣2