第4章 三角形复习与巩固（基础篇）

《三角形》全章复习与巩固（基础篇）（专项练习）一、单选题1．如图，是的外角的平分线，若，，则的度数为（

）A． B． C． D．2．已知△ABC中，∠A，∠B、∠C的外角度数之比为2：3：4，则这个三角形是（

）A．直角三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形3．李老师在课堂上组织学生用小棍摆三角形，小棍的长度有6cm，8cm，10cm和14cm四种规格，小雨同学已经取了6cm和8cm两根木棍，那么第三根木棍不可能取（

）A．6cm B．8cm C．10cm D．14cm4．下列各组图形中，AD是的高的图形是A． B． C． D．5．如图，已知BD是△ABC的中线，AB＝5，BC＝3，△ABD和△BCD的周长的差是(

)A．2 B．3 C．6 D．不能确定6．将一副直角三角板按如图所示的位置放置，使含30°角的三角板的一条直角边和含45°角的三角板的一条直角边放在同一条直线上，则∠α的度数是（

）.A．45° B．60° C．75° D．85°7．如图，AB和CD相交于点O，∠A＝∠C，则下列结论中不能完全确定正确的是（

）A．∠B＝∠D B．∠1＝∠A＋∠D C．∠2＞∠D D．∠C＝∠D8．如图，△ABC≌△AEF，AB＝AE，∠B＝∠E，则对于结论：①AC＝AF；②∠FAB＝∠EAB；③EF＝BC；④∠EAB＝∠FAC，其中正确结论的个数是（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个9．如图，点D，E分别在线段AB，AC上，CD与BE相交于O点，已知AB=AC，现添加以下的哪个条件仍不能判定△ABE≌△ACD（）A．∠B=∠C B．AD=AE C．BD=CE D．BE=CD10．如图，已知△ABC，AB＜BC，用尺规作图的方法在BC上取一点P，使得PA+PC＝BC，则下列选项正确的是（

） B． C． D．11．如图，已知：，，，，则（

）A． B． C．或 D．12．如图，已知AC平分，于E，，则下列结论①；②；③；④．其中，正确结论的个数（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、填空题13．如图，已知∠ABD=∠PCE，AB∥CD，∠AEC的角平分线交直线

CD于点H，∠AFD=86°，∠H=22°，∠PCE=______°．14．中，，于，，则______．15．三角形有两条边的长度分别是5和7，则最长边a的取值范围是_____．16．如图，△ABC中，AD是BC边上的中线，BE是△ABD中AD边上的中线，若△ABC的面积是24，则△ABE的面积________．

17．△ABC中，D为BC边上任意一点，DE、DF分别是△ADB和△ADC的角平分线，连接EF，则△DEF的形状为_________．18．如图，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝__________．

19．如图是由4个相同的小正方形组成的网格图，其中∠1+∠2=______．

20．如图所示，在△ABC中，AB＝6，AC＝4，AD是△ABC的中线，若AD的长为偶数，则AD＝_____．21．在直线l上依次摆放着七个正方形(如图所示)．已知斜放置的三个正方形的面积分别是a，b，c，正放置的四个正方形的面积依次是S1，S2，S3，S4，则S1＋S2＋S3＋S4＝_____．三、解答题22．如图，已知∠A＝20°，∠B＝27°，AC⊥DE，求∠1，∠D的度数．23．已知，为的三边，化简．24．如图，中，点在边上，，将线段绕点旋转到的位置，使得，连接，与交于点（1）求证：；(2)若，，求的度数.25．如图，，，D，E，A在一条直线上，BD⊥DE于点D，CE⊥DE于点E，（1）若BC在DE的同侧（如图①）求证：DE=BD+CE．（2）若BC在DE的两侧（如图②），探究DE，BD，CE三条线段之间的关系，并说明理由．26．问题：如图①，在直角三角形中，，于点，可知（不需要证明）；（1）探究：如图②，，射线在这个角的内部，点、在的边、上，且，于点，于点．证明：；（2）证明：如图③，点、在的边、上，点、在内部的射线上，、分别是、的外角．已知，．求证：；（3）应用：如图④，在中，，．点在边上，，点、在线段上，．若的面积为15，则与的面积之和为________．

参考答案1．C【解析】【分析】根据三角形外角的性质，角平分线的定义，计算角的差即可；【详解】解：CD是∠ACD的角平分线，则∠ACE=2∠ACD=2×55°=110°，∠ACE是三角形ABC的外角，则∠ACE=∠A＋∠B，∴∠A=∠ACE－∠B=110°－40°=70°，故选：C；【点拨】本题考查角平分线的定义——平分所在的角，三角形的外角——三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；掌握三角形外角的性质是解题的关键．2．C【解析】【分析】根据三个外角度数比为2：3：4，求出最大角内角的度数，即可判断形状．【详解】∠A，∠B、∠C的外角度数之比为2：3：4，最小的外角为，则则这个三角形是钝角三角形，故选C【点拨】本题考查的是三角形的外角的定义与性质，解答本题的关键是熟练掌握三角形的外角和为360°，同时知道只要三角形的最大角的度数确定了，三角形的形状也确定了．3．D【解析】【分析】利用三角形三边关系判断即可【详解】解：第三边的取值范围是大于2小于14，观察各选项可知选择A、B、C均可以构成三角形，选择D不能构成三角形，故选D【点拨】本题考查了三角形三边关系，熟练掌握是解题的关键4．D【解析】【分析】根据过三角形的顶点向对边作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线解答．【详解】△ABC的高AD是过顶点A与BC垂直的线段，只有D选项符合．故选D．【点拨】本题考查了三角形的高线，是基础题，熟记概念是解题的关键．5．A【解析】【详解】试题分析：根据三角形的中线得出AD=CD，根据三角形的周长求出即可．解：∵BD是△ABC的中线，∴AD=CD，∴△ABD和△BCD的周长的差是：（AB+BD+AD）﹣（BC+BD+CD）=AB﹣BC=5﹣3=2．故选A．考点：三角形的角平分线、中线和高．6．C【解析】【详解】分析：先根据三角形的内角和得出∠CGF=∠DGB=45°，再利用∠α=∠D+∠DGB可得答案．详解：如图，∵∠ACD=90°、∠F=45°，∴∠CGF=∠DGB=45°，则∠α=∠D+∠DGB=30°+45°=75°，故选C．点睛：本题主要考查三角形的外角的性质，解题的关键是掌握三角形的内角和定理和三角形外角的性质．7．D【解析】【分析】利用三角形的外角性质，对顶角相等逐一判断即可．【详解】∵∠A＋∠AOD＋∠D＝180°，∠C＋∠COB＋∠B＝180°，∠A＝∠C，∠AOD＝∠BOC，∴∠B＝∠D，∵∠1＝∠2＝∠A＋∠D，∴∠2＞∠D，故选项A，B，C正确，故选D．【点拨】本题考查了对顶角的性质，三角形外角的性质，熟练掌握并运用两条性质是解题的关键．8．C【解析】【分析】根据全等三角形对应边相等，对应角相等，结合图象逐个分析即可．【详解】解：∵△ABC≌△AEF，∴AC＝AF，EF＝BC，∠EAF＝∠BAC，故①③正确；∵∠EAF＝∠EAB＋∠BAF，∠BAC＝∠FAC＋∠BAF，∴∠EAB＝∠FAC，故④正确；条件不足，无法证明∠FAB＝∠EAB，故②错误；综上所述，结论正确的是①③④共3个．故选：C．【点拨】本题考查了全等三角形的性质，熟记性质并准确识图，准确确定出对应边和对应角是解题的关键．9．D【解析】【详解】试题分析：添加A可以利用ASA来进行全等判定；添加B可以利用SAS来进行判定；添加C选项可以得出AD=AE，然后利用SAS来进行全等判定.考点：三角形全等的判定10．B【解析】【详解】解：∵PB+PC=BC，PA+PC=BC，∴PA=PB，根据线段垂直平分线定理的逆定理可得，点P在线段AB的垂直平分线上，故可判断B选项正确．故选B．11．B【解析】【分析】连接，可证≌，根据全等三角形对应角相等可以得到，，代入角度即可求出和的度数，最后利用三角形内角和定理即可求解．【详解】连接，如图，在与中，≌，，，，，，，，．故选：B．【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，添加正确的辅助线是解题的关键．12．D【解析】【分析】①直线AB上取点F，使EF=BE，①直线AB上取点F，使EF=BE，即可得到△BCE和△FCE全等，再由AB=AD+2BE即可求解；②由①可证明△ACD和△ACF全等，再根据即可求解；③由②即可得解；④由②即可得解．【详解】解：①在AE取点F，使．在Rt△BCE与Rt△FCE中，∴，∴△BCE≌△FCE，，，，，，，故①正确；②AB上取点F，使，连接CF．在与中，，，，，．垂直平分BF，，．又，，，故②正确；③由②知，，，又，，故③正确；④易证，，又，，，故④正确．故答案为：D．【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟记性质是解题的关键．13．65【解析】【分析】根据平行线的性质得到∠ABD=∠PDB，得到∠PDB=∠PCE，求得BD∥CE，根据平行线的性质得到∠CEG=∠DGH，根据角平分线的定义得到∠CEH=∠AEH，根据三角形外角的性质得到∠EGF=43°，于是得到结论．【详解】解：∵AB∥CD，∴∠ABD=∠PDB，∵∠ABD=∠PCE，∴∠PDB=∠PCE，∴BD∥CE，∴∠CEG=∠DGH，∵EH平分∠AEC，∴∠CEH=∠AEH，∵∠DGH=∠EGF，∴∠EGF=∠GEF，∵∠AFD=∠AEG+∠EGF=2∠EGF=86°，∴∠EGF=43°，∴∠DGH=43°，∴∠PCE=∠PDG=∠H+∠DGH=65°，故答案为：65．【点拨】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，三角形的外角的性质，熟练掌握平行线的性质定理是解题的关键．14．或【解析】【分析】分两种情况讨论，当是锐角三角形或钝角三角形时，分别画出合适的图形，再由角的和差解题．【详解】解：分两种情况讨论：当是锐角三角形时，如图，于，，；当是钝角三角形时，如图，于，，；综上所述，或，故答案为：或．【点拨】本题考查三角形的分类，是基础考点，正确画出图形，分类讨论解题是关键．15．7＜a＜12【解析】【分析】已知三角形两边的长，根据三角形三边关系定理知：第三边的取值范围应该是大于已知两边的差而小于已知两边的和．【详解】解：根据三角形三边关系定理知：最长边a的取值范围是：7＜a＜（7+5），即7＜a＜12．故答案为7＜a＜12．【点拨】此题主要考查的是三角形的三边关系，即：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．16．6【解析】【分析】根据三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分，即可解答．【详解】解：∵AD是BC上的中线，△ABC的面积是24，∴S△ABD=S△ACD=S△ABC=12，∵BE是△ABD中AD边上的中线，∴S△ABE=S△BED=S△ABD=6，故答案为：6．【点拨】本题主要考查了三角形面积的求法，掌握三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，是解答本题的关键．17．直角三角形【解析】【分析】根据三角形角平分线的定义，可以得到2∠ADE=∠ADB，2∠ADF=∠ADC；根据平角的定义可知，∠ADB+∠ADC=180°；接下来，求出∠ADE+∠ADF的度数，不难判断三角形的形状.【详解】∵DE，DF分别是△ADB和△ADC的角平分线，∴2∠ADE=∠ADB，2∠ADF=∠ADC.∵∠ADB+∠ADC=180°，∴2∠ADE+2∠ADF=180°，∴∠ADE+∠ADF=90°，即∠EDF=90°，∴△DEF是直角三角形.故答案为直角三角形.【点拨】本题考查了直角三角形的定义，角平分线的定义，平角的定义，根据角平分线的定义及平角的定义求出∠ADE+∠ADF=90°是解答本题的关键.18．360°【解析】【分析】利用三角形外角性质可得，，，三式相加易得，而、、是三角形的三个不同的外角，从而可求．【详解】解：如图所示，，，，，又、、是三角形的三个不同的外角，，．故答案为：．【点拨】本题考查了三角形的外角性质，解题的关键是：掌握三角形的外角性质：①三角形的外角和为．②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．19．180°【解析】【详解】分析：由全等三角形性质和邻补角定义可求得.详解：如图：由已知可得△ABC≌△AED,所以∠1=∠ACB.又因为∠2+∠ACB=180°，所以，∠2+∠1=180°.故答案为：180°点睛：本题考核知识点:全等三角形性质和邻补角定义.20．2或4【解析】【分析】延长AD至E，使DE＝AD，连接CE，由“SAS”可证△ABD≌△ECD，可得CE＝AB＝6，由三角形的三边关系可得1＜AD＜5，即可求解．【详解】解：延长AD至E，使DE＝AD，连接CE，在△ABD与△ECD中，，∴△ABD≌△ECD（SAS），∴CE＝AB＝6，在△ACE中，CE﹣AC＜AE＜CE+AC，即2＜2AD＜10，∴1＜AD＜5，∵AD为偶数，∴AD＝2或4，故答案为2或4．【点拨】本题主要考查全等三角形的判定与性质及三角形的三边关系，关键是根据倍长中线这个辅助线作法得到三角形全等，进而求解即可．21．a+c【解析】【分析】运用勾股定理可知，每两个相邻的正方形面积和都等于中间斜放的正方形面积，据此即可解答．【详解】解：∵∠ACB+∠DCE=90°，∠BAC+∠ACB=90°，∴∠DCE=∠BAC，∵AC=CE，∠ABC=∠CDE∴△ABC≌△CDE，∴BC=DE，在直角△ABC中，AB2+BC2=AC2，即AB2+DE2=AC2，∵S3=AB2，S4=DE2∴S3+S4=c同理S1+S2=a故可得S1+S2+S3+S4=a+c，故答案是：a+c．【点拨】本题考查正方形面积的计算，正方形各边相等的性质，全等三角形的判定．解题关键是本题中根据△ABC≌△CDE证明S3+S4=c22．43°【解析】【详解】试题分析：利用三角形外角性质，得∠1=∠A+∠APE，只需求∠APE，由AC⊥DE，得∠APE=90°；由三角形内角和定理得出∠D的度数．解：∵AC⊥DE，∴∠APE=90°．∵∠1是△AEP的外角，∴∠1=∠A+∠APE．∵∠A=20°，∴∠1=20°+90°=110°．在△BDE中，∠1+∠D+∠B=180°，∵∠B=27°，∴∠D=180°﹣110°﹣27°=43°．点睛：考查三角形外角性质与内角和定理．内容简单，可直接利用所学知识解决．23．-2a+4b-2c【解析】【分析】根据三角形三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，来判定绝对值里的式子的正负值，然后去绝对值进行计算即可．【详解】解：|a-b-c|-2|b-c-a|+|a+b-c|=-（a-b-c）+2（b-c-a）+（a+b-c）=-a+b+c+2b-2c-2a+a+b-c=-2a+4b-2c．【点拨】此题主要考查了三角形三边关系，整式的加减，以及绝对值的性质，关键是掌握三边关系定理．24．（1）证明见解析；（2）78°【解析】【分析】（1）因为，所以有，又因为，所以有，得到；（2）利用等腰三角形ABE内