高中数学必修2基本初等函数(I )

第三章

基本初等函数(I)

§3.1指数与指数函数

3.1.1实数指数慕及其运算(一)

【学习目标】1.理解正整指数基的含义，掌握正整指数基的运算法则2了解根式与方根的概

念.3.掌握根式的性质，并能进行简单的根式运算.

问题导学预习新知夯实基础

知识点一整数指数

思考1〃个相同因数a相乘的结果怎么表示？这个结果叫什么？

答案an,叫哥.

思考2零指数塞和负整指数塞是如何规定的？

答案规定：a°=l(aWO),零的零次幕无意义；(a#0,〃GN+).

梳理整数指数赛的概念及性质

(1)有关幕的概念

a"=a»a»--*a,a"叫做a的”次幕,a叫做幕的底数,n叫做暴的指数,“GN+,并规定"

=a.

(2)零指数幕与负整指数幕

规定：a°=[(a#O),。-"=下(〃#0,“GN+).

(3)整数指数纂的运算法则

m+nin

a"-.a"=a.(a"y=a".

^7=am~l,(m>n.aWO).(abr=amhm.

知识点二"次方根、”次根式

思考若r=3,这样的x有几个？它们叫做3的什么？怎么表示？

答案这样的x有2个，它们都称为3的平方根，记作±75.

梳理根式的概念

(1必的n次方根定义

如果存在实数X,使得存=a,那么x叫做a的〃次方根，其中aWR,且“GN

(2)“的n次方根的表示

n的奇偶性。的“次方根的表示符号a的取值范围

n为奇数

n为偶数±y[a[0,+8）

⑶根式

当初有意义的时候，仙叫做根式，这里“叫做根指数,。叫做被开方数.

知识点三根式的性质

一般地，有(1)*=Q(〃《N+,且〃>1).

(2)(仙)"=e(〃GN+,且”>1).

(3)面=4(〃为大于1的奇数).

(4)旧=同={("为大于1的偶数).

\—a,a<0

思考辨析判断正误

1.〃°一定等于1.(X)

2.实数a的"次方根有且只有一个.(X)

3.当"为偶数，a20时，如20.(V)

4版=(仙)".(X)

题型探究------------------启迪思维探究重点

类型一根式的意义

例1求使等式刊(。-3)(/—9)=(3—外肝5成立的实数a的取值范围.

解医（“一3）（次-9）=N（a—3）2g+3）

=\a-3\y[a+3,

要使Ia―3W4+3=(3—ay\[a+3,

a—3W0,

需,解得aG[—3,3].

a+3^0,

反思与感悟对于仙，当〃为偶教时，要注意两点：(1)只有”20才有意义；(2)只要初有意

义，论必不为负.

跟踪训练1若4片―2a+i=”一1,求a的取值范围.

解y]a2—2a+1\a—1|=a—1,

Aa-l＞0,，心1.

类型二利用根式的性质化简或求值

例2化简：

(1舟(3-兀)4;

(2)[(4—/?)2(〃＞力；

(3)N〃-1)2+d(l-a)2+\(]-〃)3.

解(1川(3—兀＞=|3—兀|=兀一3.

(2八/(。一切2=\a—b\=a—b.

(3)由题意知a—120,即〃21.原式=々-1+|1—a|+1—a=a—1+Q—1+1—a=a—1.

反思与感悟〃为奇数时，(%)"=标=凡。为任意实数；

〃为偶数时，a20,才有意义，且(%)”=“；

而。为任意实数仙均有意义，且用7=同.

跟踪训练2求下列各式的值：

(1)可(一2)7；

⑵々(3a—3)4(aWl)；

(3)^?+^/(l-a)4.

解(l/7(-2)7=-2.

(2川(34-3)4=|3a—3|=3|a-l|=3-3a.

_--------1,

(3)而7+5(1_〃)4=〃+|1―〃|=1

2a—1,a>\.

类型三有限制条件的根式的化简

例3设一3<%<3,求d%2—2x+1—｛，+6田+9的值.

解原式])2_'&+3)2=《-11—卜+3|,

V-3<x<3,

・・・当-3avl时，

原式=一。一1)一(x+3)=—2x—2；

当lWx<3时，原式=(x—1)—(x+3)=-4.

―2x—2,—3<x<l,

...原式=

—4,

引申探究

本例中，若将“一3〃<3"变为“xW—3”，则结果又是什么？

解原式=7(1_Ip—#X+3)2=\X—1|—|X+3|.

・・启一3,

.*.x—1<0,x+3W0,

・、原式=—(x—l)+(x+3)=4.

反思与感悟〃为偶数时，幅先化为间，再根据。的正负去绝对值符号.

跟踪训练3已知xG[l,2],化简(5ZrT)4+^(x2—4x+4)3=.

答案1

解析[112],/.x—120,x—2W0,

，(亚三)4+1(——44+4)3

=x—1+yj(x—2)6

=x-1—(x—2)

=1.

达标检测-----------------检测评价达标过关

1.已知2=6,则x等于()

A.乖B.讹

C.一讹D.±yff)

答案B

2.〃2是实数，则下列式子中可能没有意义的是（）

A.y/n?B.yfm

C.yfinDX/一〃?

答案C

3.（6）4运算的结果是（）

A.2B.-2

C.±2D.不确定

答案A

4.乎两的值是（）

A.2B.-2

C.±2D.-8

答案B

5.化简4（1—2X）2（2X>1）的结果是（)

A.1—2xB.0

C.2x~1D.(l-2x)2

答案c

L规律与方法

1.如果炉=a,"为奇数时，x=%，”为偶数时，x=±y[a（a>0）;负数没有偶次方根，0的任

何次方根都是0.

L——心0,

2.掌握两个公式：（1）（仙）"=a;（2）〃为奇数，3万=（1,n为偶数，标=同=,

[-a,a<0.

课时对点练-----------------注重双基强化落实

一、选择题

1.已知加°=2,则机等于（）

A.1阻B.—5

C.pD.±'^2

答案D

解析•.•加°=2,...机是2的10次方根.

又..TO是偶数，...2的10次方根有两个，且互为相反数.

.,.刀=土彤.故选D.

计算或的结果是（

2.4."x2?-2)

A.32B.16

C.64D.128

答案B

3.化简］一卷的值是（）

2

AB.

-55

C.±|3

D.

5

答案B

答案A

解析,\/(e-1+e)2—4=^/e-2+2e-1e+e2—4

=-\/e2-2+e2=-\/(e'-e)2

=|e-1—e|=e—e-1.

5.若2<4<3,化简4(2-4>+^(3—〃产的结果是()

A.5~2aB.2a—5

C.1D.-1

答案C

解析・・・2<〃v3,."—2>0,〃一3<0,

・，・y/（2—a。+《（3—a），=|2一tz|+|3—〃|=a—2+3—a=\.

6.5—2加的平方根是（）

A.小+/B#一啦

CS一小D.小一卷也一小

答案D

解析±\)5-2\[6=±^3—2^6+2=±\j(y[3—y[2)2

=±(<3-^2).

二、填空题

7.化简七（兀-4>+卜（兀-4）3的结果为.

答案0

解析原式=|兀一4|+兀-4=4—兀+兀一4=0.

8.若x<0,则团一.

答案1

—X

解析Vx<0,.,•原式=-x—（一1）+二^=—x+x+l=

•3+2P--------,

答案3-2<2

解析方法一植建=遮玉=号｝

=（陋*幕-1）=3-2小.

方法二耒感=/1需语=3-2也

10.把a寸［根号外的a移到根号内等于.

答案-yj-a

解析要使寸】有意义，需a<0.

•••"十1=一同

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