高考天津卷：《数学》2023-2021年考试真题与答案解析

局考精品文档

高考天津卷

数学科目•考试真题与答案解析

2023-2021年

［注］

天津市高考试题采用自主命题

目录

高考天津卷：《数学》2023年考试真题与答案解析..................................1

一、选择题.....................................................................1

二、填空题.....................................................................5

三、解答题.....................................................................6

高考天津卷：《数学》2022年考试真题与答案解析.................................15

一、选择题....................................................................15

二、填空题....................................................................19

三、解答题....................................................................20

高考天津卷：《数学》2021年考试真题与答案解析.................................23

一、选择题....................................................................23

二、填空题....................................................................27

三、解答题....................................................................28

高考天津卷：《数学》2023年考试真题与答案解析

一、选择题

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合。={1,2,3,4,5},4={1,3},6={1,2,4},则电8UA=()

A.{1,3,5}

B.{1,3}

C.{1,2,4}

D.{1,2,4,5)

答案：A

2.ua2=b2n是">+/=2出;"的()

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分又不必要条件

答案：B

3.若a=LOl05,b=LOl06,c=o.6°5,则a,九c的大小关系为()

A.c>a>b

B.c>b>a

Ca>b>c

D.b>a>c

答案：D

4.函数/（x）的图象如下图所示，则/（x）的解析式可能为（）

A5（3）

X2+2

D5sinx

$~"2r

X-4-1

c5（e"+er）

x?+2

n5cosx

'X2+\

答案：D

5.已知函数/（x）的一条对称轴为直线x=2,一个周期为4,则“X）的解析式可能为（）

2

D.cos—x

E）

答案：B

6.已知｛〃“｝为等比数列，S”为数列｛风｝的前〃项和，。，用=2S“+2,则对的值为（）

A.3

B.18

C.54

D.152

答案：C

7.调查某种群花萼长度和花瓣长度,所得数据如图所示，其中相关系数r=0.8245,下列说法

正确的是（）

A.花瓣长度和花萼长度没有相关性

B.花瓣长度和花萼长度呈现负相关

C.花瓣长度和花萼长度呈现正相关

D.若从样本中抽取一部分，则这部分的相关系数一定是0.8245

答案：C

3

8.在三棱锥P-ABC中，线段PC上的点M满足PM=；PC,线段依上的点N满足

2

PN=-PB,则三棱锥P-AAW和三棱锥P-A6C的体积之比为（）

答案：B

22

9.双曲线=-2（4>0,。>0）的左、右焦点分别为6、F2.过名作其中一条渐近线的垂线，垂

a-b~

足为P.已知产工=2,直线P片的斜率为也，则双曲线的方程为（）

4

A-TP

22

C.乙上=1

42

22

D,工-匕=1

24

答案：D

4

二、填空题

每小题5分，共30分。试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分。

10.已知i是虚数单位，化简手竽的结果为________.

2+31

答案：4+i

11.在12丁—的展开式中，/项的系数为.

Ix）

答案：60

12.过原点一条直线与圆C：（x+2y+y2=3相切,交曲线y2=2px（p>0）于点尸,若|。"=8,

则P的值为.

答案：6

13.甲乙丙三个盒子中装有一定数量的黑球和白球，其总数之比为5:4:6.这三个盒子中黑球

占总数的比例分别为40%，25%,50%.现从三个盒子中各取一个球，取到的三个球都是黑球的

概率为；将三个盒子混合后任取一个球，是白球的概率为.

3

答案：0.05;-

14.在中，ZA=60,8c=1,点。为AB的中点，点E为CD的中点，若设==6,

则AE可用表示为；若BF=；BC,则AE-AF的最大值为

-11,13

答案：-«+-^；

24

5

15.若函数一以+［有且仅有两个零点，贝心的取值范围为

答案：(-oo,0)u(0,l)u(l,+oo)

三、解答题

本大题共5小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

16.在aABC中，角A,民。所对边分别是a，"c.已知。=回力=2,NA=120。

口］求sinB的值;

⑵求c的值;

⑶求sin（B-C）。

答案:

ab即且」

⑴由正弦定理可得

sinAsinBsin120sinB

解得：sin8='m

13

⑵由余弦定理可得，a2=b2+c2-2bcsinA,gp39=4+c2-2x2xcx

解得：c=5或c=—7（舍去）。

网由正弦定理可得,

sinAsinC

即且」

sin120sinC

解得：sinC=生恒，而A=120。

26

所以民C都为锐角

6

K史c°sB=12739

因此cosC=t

5226-13~13

V133回2A/395^/137A/3

故sin(B-C)=sinBcosC-cos3sinC=___x____________x_____

13261326

17.三棱台ABC-4与G中，若AAJ.面ABC,AB_LAC,AB=AC=A41=2,4G=1,M，N分别

是3C,84中点。

⑴求证：4N〃平面£M4;

⑵求平面GA%与平面ACG4所成夹角的余弦值;

⑶求点C到平面CMA的距离。

答案：

⑴连接MN，GA。

由M,N分别是3cB4的中点

AC

根据中位线性质，MN//AC,且MN=《-=1

由棱台性质，\CJ/AC

于是MN〃A\C、

由MN=AG=1可知，四边形"NAG是平行四边形，则AN〃MG

7

又?1^^平面6也4,MG<=平面

于是AN〃平面GM4。

⑵过M作ME_LAC,垂足为E,过E作E/LAG,垂足为尸，连接

由MEu面ABC,AA，面ABC,故A4JME

又MELAC,ACHAAi=A,AC,441u平面ACCM,则ME平面ACC；A

由A£u平面ACGA

故ME_LAG,又后产工人孰，MEcEF=E,加瓦后尸匚平面加斯

于是AG-L平面MEF

由Wu平面MEF,故AG，M尸

于是平面C.MA与平面ACGA所成角即ZMFE

AR|

又ME=—=1,cosZCAC,=-I=

2V5

22

则sinNCAC]—,故EF=1xsinNCAC[=y―

在RtAMEF中，ZMEF=90,则MF=r1+*

EF2

于是cosNMFE=——二一

MF3

[3]

过G作CfLAC,垂足为P,作GQLAM,垂足为Q,连接PQ,PM,过〃作PA_LCQ,垂

足为R

22

由题干数据可得，GA=C]C=也,CtM=ylctP+PM=^5

8

根据勾股定理，CQ=《5［句=3，

由Cf_L平面前纥，AMu平面AMC,则GPLAM，又GQ^AM,C,gC,P=C,,CQC/u

平面GPQ,于是401平面GPQ.

又PRu平面C|PQ,则PH，4以

又PR工GQ,GQAM=Q,C©,AMu平面GMA

故PR,平面CAM

2卫

在RtaCFQ中，PR考产

F

又C4=2PA,故点C到平面CtMA的距离是P到平面CXMA的距离的两倍

4

即点C到平面QMA的距离是-。

22

18.设椭圆二+斗=13>〃>0）的左右顶点分别为4,4,右焦点为尸，已知同尸|=3,|劣f|=1.

ab

⑴求椭圆方程及其离心率；

⑵已知点p是椭圆上一动点（不与端点重合），直线4尸交y轴于点Q,若三角形4PQ的面积

是三角形A尸P面积的二倍，求直线劣尸的方程。

答案：

川如下图所示：

9

a+c=3

由题意得…=1,解得a=2，I

所以/?=42?-F=△

Y2V2c1

所以椭圆的方程为上+乙=1,离心率为e=—=彳。

43a2

22

⑵由题意得，直线4P斜率存在，由椭圆的方程为，+5=1可得4(2,0)

设直线A2P的方程为y=k(x-2)

-二+匚1

联立方程组43

y=/:(x-2)

消去y整理得：(3+4女2)Y-16左2》+165-12=0

16£-12

由韦达定理得4「与

3+4公

8公一6

所以巧,=

3+4公

/8A2—6-\2k

所以Q（0,-24）

P3+4公3+4-

=x4xxlxx4x

所以例^|^|^A2pf=|brl^AA2p=^|yp|

10

所以2|切=3|调，即2卜2女|=3

解得』坐，所以直线&P的方程为尸

x-2)°

19.已知｛为｝是等差数列，4+%=16,%-%=4。

⑴求｛4｝的通项公式和

；_”T

⑵已知也｝为等比数列，对于任意左eN*,若2为“<〃贝屹<见<以］。

［I］当左N2时,求证:2*-1<a<2*+1;

明求也｝的通项公式及其前“项和。

答案：

=3

解得°,

[a=2

则数列｛为｝的通项公式为4,=4+(〃—1)1=2“+1

注意到41T=2X2"T+1=2"+1,从旬一至必2”-1共有2"-1-2"T+1=2"T项

故£a,.=2,,-'x(2,,+l)+-~----x2=22',-'+2"-'+22'-2-2"-'=3x22n-l

⑵［I］由题意可知，当人一1时，bk<an

4k

取〃=2-',则bk<a户=2x2*T+1=2"+1,即hk<2+\

11

k2

当2~<n<2*T—1时，an<bk

取〃=2&T-1,此时％=%一」=2（2*T-1）+1=2/一1

据此可得于-1<4

kk

综上可得：2-\<bk<2+\o

阳由［i］可知：<3,3<灯<5,7<勿<9,15<a<17

据此猜测d=2"

否则，若数列的公比4>2,则4=4，I>4X2"T>2"T

注意到2"T—（2"-1）=1—2"T,则2"T一（2"-1）>0不恒成立，即2"T>2"-1不恒成立

此时无法保证2"-1<%

1

若数列的公比”2,则bn=加a<仇x2"-<3x2”T

注意到3x2"T-（2"+1）=2-'-1,则2n-'-l<0不恒成立

即3x2"T<2"+1不恒成立

此时无法保证"<2"+1

综上，数列的公比为2,则数列的通项公式为2=2"。

其前〃项和为：S=2X（「2）=2'用_2

“1-2

（11\

20.已知函数/。）=卜+彳ln（x+l）0

⑴求曲线y=/（x）在x=2处切线的斜率；

⑵当x>0时，证明：/（X）>1；

12

[3]证明：|<ln(«!)-1

〃+一ln(n)+n<1o

o2

答案:

ln(x+l)+ln(x+l)11ln(x+l)

[l]/w=,贝"（x）=-----------------1-----------------

x2x(x+l)2(尤+1)x2

所以/'<2）=；—野

故x=2处的切线斜率看竽

2x

⑵要证x>0时〃x)=In(x+l)>l,即证ln(x+l)>------

x+2

令g(x)=ln(x+l)----且x>。

'/x+2

14x2

贝llg'(X)=-----------T=------------

x+1(x+2)2(x+l)(x+2)2

所以g(X)在(。,+8)上递增

贝IJg(x)>g(O)=。

2X

即ln(x+l)>号

所以x>0时〃力〉1。

[3]设/?(〃)=ln(〃!)-|〃+；)ln(〃)+〃，〃eN*

贝ljh(n+1)-〃(〃)=1+(??+—)In(7?)-(n+—)In(n+1)=1-(??+—)ln(l+—)

222n

由⑵知：X=-6(0,1]

n

13

则/山=(〃+!即(1+3>1

n2n

所以/z(〃+l)-/z(〃)<0

故〃(〃)在〃eN*上递减，故〃⑻W/z⑴=1

y-yEln(n!)-(724--)ln(n)+n>—

26

(x+5)(x-l)

令°(x)=Inx-且x>0

4x4-2

(X-l)2(l-X)

则(p\x)=

X(2X+1)2

当0<X<1时>（x）〉0,当X）递增

当x>l时夕（x）<0,当x）递减

所以。（x）⑴=0

故在xe（0,4w）±lnx<6m恒成立

1]1(6+；)C)i111

贝ljh(n)-h(n+l)=(n+-)ln(l+-)-l<(n+-)-------1=——~~—<—(—--一

2n22(3+4)4〃(3九+2)12n—\n

n

所以以"⑶</」），近3i（4）q《q）,…，/z（〃一i）j（〃）<9=-）

113]13

累加得：M2)-W<-(1--),而岫=2-”,^-W<-(l--)-2+-ln2

11

<

226-

12

5

6-

14

综上，|<〃⑺金，即1

〃+一ln(〃)+〃<1o

2

高考天津卷：《数学》2022年考试真题与答案解析

一、选择题

1.设全集U={-2,T,0,l,2},集合A={O,1,2},B={-1,2},则A献)=()。

A.{0,1}

B.{0,1,2)

C.{-1,1,2)

D.{0,-1,1,2)

答案：A

2.“x为整数”是"2x+l为整数”的()条件。

A.充分不必要

B.必要不充分

C.充分必要

D.既不充分也不必要

答案：A

15

答案：A

4.为研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据(单位：

kPa)的分组区间为区2,13),[13,14),[14,15),[15,16),[16,17],将其按从左到右的顺序分别编号为

第一组，第二组，…，第五组，如图是根据试验数据制成的频率分布直方图.已知第一组与第

二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为()

16

0.36

B.12

C.16

D.18

答案：B

5.已知。=2。7,匕=(£|，c=log2；，则()

A.a>c>b

B.b>c>a

C.a>h>c

D.c>a>h

答案：c

6,化简(21og43+log83)(log32+log92)的值为()

A.1

B.2

C.4

17

D.6

答案：B

22

7.已知抛物线丁=4后,片,鸟分别是双曲线点-方=l（a>0,b>0）的左、右焦点，抛物线的

准线过双曲线的左焦点门，与双曲线的渐近线交于点A,若/耳后4=（,则双曲线的标准方程

为（）

答案：C

8.如图，"十字歇山”是由两个直三棱柱重叠后的景象，重叠后的底面为正方形，直三棱柱的

底面是顶角为120。，腰为3的等腰三角形，则该几何体的体积为（）

18

A.23

B.24

C.26

D.27

答案：D

9.已知"r)=:sin2x,关于该函数有下列四个说法：

①f(x)的最小正周期为2万；

TT7T

②/(X)在-二，二上单调递增；

_44_

③当“el时,八无)的取值范围为一g，坐；

63J[44

④/(-v)的图象可由g(x)=:sin[2x+£)的图象向左平移g个单位长度得到.

2(4)8

以上四个说法中，正确的个数为()

A.1

B.2

C.3

D.4

答案：A

二、填空题

本题共6小题，每小题5分，共30分.试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对

19

的给5分。

10.已知i是虚数单位，化简子7三的结果为.

1+21

答案：1-5i

11.(«+*)展开式中的常数项为.

答案：15

12.直线％-)，+机=0(m>())与圆(％-1)2+(>-1)2=3相交所得的弦长为m,则加=

答案：2

13.52张扑克牌，没有大小王，无放回地抽取两次，则两次都抽到A的概率为；

已知第一次抽到的是A,则第二次抽取A的概率为.

答案：言；*

14.在△ABC中，CA=a,CB=b,D是AC的中点，CB=2BE,试用表示OE为

；若A3_LOE,则NAC5的最大值为

31

答案：^--a

15.设aeR,对任意实数x,记/(x)=min{|x|-2,/一必+3。-5}.若/(x)至少有3个零点，

则实数Q的取值范围为.

答案：。>10

三、解答题

20

16.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,C.已知a==2c,cos4=-；.

[I]求c的值；

⑵求sin5的值；

[3]求sin(2A—8)的值。

答案：

⑴c=l

[2]sinB=

4

[3]sin(2A一B)=

8

17.直三棱柱ABC-AMG中，AAi=AB=AC=2,AA]LAB,ACLAB,D为人圈的中点，E为

AA的中点，F为8的中点.

⑴求证：EF〃平面ABC;

⑵求直线BE与平面CC,D所成角的正弦值；

⑶求平面\CD与平面CC.D所成二面角的余弦值.

答案：

⑴略

[2]?

21

⑶亚

10

18.设｛4｝是等差数列，也｝是等比数列，且4=乙=%--4=L

⑴求｛4｝与也｝的通项公式；

⑵设｛4｝的前n项和为S,,,求证：（5用+,应=5向%-5也；

2〃L

⑶求£&+「（一1）%收。

k=\

答案：

[｝]an=2n-\,bn=T~'

⑵略

⑶略

19.椭圆「■+£•=1（。〉〃〉。）的右焦点为F、右顶点为A,上顶点为B,且满足耨=#.

⑴求椭圆的离心率e;

⑵直线I与椭圆有唯一公共点M,与y轴相交于点N（N异于M）.记。为坐标原点，若

\OM\=\ON\,且△QWN的面积为G,求椭圆的标准方程.

答案：

⑵匚£=1

62

20.已知Z?GR,函数f(x)=e'—asinx,g(x)=〃6.

22

⑴求函数y=/(x)在(OJ(O))处的切线方程；

⑵若y=/(x)和y=g(x)有公共点；

[i]当。=0时，求b的取值范围；

[川求证：a1+b2>e.

答案：[1]y=(l—a)x+l⑵[i]〃e[V^,+8);皿略

高考天津卷：《数学》2021年考试真题与答案解析

一、选择题

本大题共9道小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.设集合4={-1,。/卜B={1,3,5},C={0,2,4},则(Ac8)uC=()

A.{。}

B.{0,l,3,5}

C.{0,l,2,4)

D.{0,2,3,4)

答案：C

2.已知aeR,则“a>6”是，>36”的()

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不允分也不必要条件

23

答案：A

3.函数、=怨的图像大致为（）

答案：B

4.从某网络平台推荐的影视作品中抽取400部，统计其评分分数据，将所得400个评分数据

分为8组：［66,70）、［70,74）、、［94,98］,并整理得到如下的费率分布直方图，则评分在区

24

间［82,86）内的影视作品数量是（）

A.20

B.40

C.64

D.80

答案：D

5设”=1鸣0.3/=回0.4,°=04\贝1J。，匕，c的大小关系为（）

2

f\.a<b<c

&.c<a<b

C.h<c<a

D.a<c<b

答案：D

32万

6.两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为亍，两个圆锥的高

之比为1:3,则这两个圆锥的体积之和为（）

25

A.34

B.44

C94

D.Vin

答案：B

7.若2"=5=1(),贝旦+[=()

ab

A.-l

B.lg7

C.l

D.log710

答案：c

22

8.已知双曲线*-方=l(a>0/>0)的右焦点与抛物线y2=2px(p>0)的焦点重合，抛物线的准

线交双曲线于A,B两点，交双曲线的渐近线于C、D两点，若|CD|=e|A8].则双曲线的离

心率为()

A.V2

B.V3

C.2

D.3

COS(2〃X-2〃Q).x<a——

9.设aeR,函数/。)=,「2<、，若/⑴在区间(。什⑹内恰有6个零点，

x-2(。+1)%+。+5,x>a

26

则a的取值范围是()

95n-

-

--,

424

-

r7\z5

u-2-ud-1,2

B.v47v24

11

D23

-?F74'

答案：A

二、填空题

9+2i

m是虚数单位，复数罚

9+2i_（9+2i）（2-i）-20-5i_

口案.2+i—（2+i）（2—i）—5一,

2/+：了的展开式中，/的系数是

答案：160

12.若斜率为V3的直线与轴交于点A,与圆x?+()，-1)2=1相切于点B,则|AB|

答案：G

13.若a〉0">0,则:+找+匕的最小值为.

答案：20

14.甲、乙两人在每次猜谜活动中各猜一个谜语，若一方猜对且另一方猜错，则猜对的一方获

胜，否则本次平局，已知每次活动中，甲、乙猜对的概率分别为3和!，且每次活动中甲、乙

27

猜对与否互不影响，各次活动也互不影响，则一次活动中，甲获胜的概率为,3

次活动中，甲至少获胜2次的概率为.

公g220

答案:不药

15.在边长为1的等边三角形ABC中，D为线段BC上的动点，OE_L且交AB于点E.DF//AB

且交AC于点F,则|2BE+£>F|的值为；（DE+Q尸）.OA的最小值为.

答案：I；.

三、解答题

解答应写出文字说明，证明过程成演算步骤.

16.在aABC,角A、B、C所对的边分别为a、b、C,已知sinA:sin5:sinC=2:1:夜,h=近■

⑴求a的值；

⑵求cosC的值；

⑶求sin（2C-高的值。

答案：

[1]因为sinA:sin3:sinC=2:1:V2

由正弦定理可得a:Z?:c=2:1:>/2

b=叵

a—25/2,c=2o

2»2_28+2-4_3

⑵由余弦定理可得cosC=——

2ab2x272x72-4

28

3

[3]cosC=—

4

「・sinC=Vl-cos2C=

4

・•・sin2C=2sinCcosC=2x—x-=—

448

91

cos2c=2cos7-C—1-2x-----1=—

168

y

sinf2C--=sin2Ccos--cos2Csin—二近x——x—=3_1o

V6J66828216

17.如图，在棱长为2的正方体ABC。-A4CQ中，E为棱BC的中点，F为棱CD的中点.

[1]求证:RF//平面AEC;

⑵求直线AG与平面AEG所成角的正弦值.

⑶求二面角A-AG-E的正弦值。

答案：

⑴以A为原点，AB,AD，M分别为X,y,z轴，建立如图空间直角坐标系

则A（0,0,0）,4（0,0,2）,5（2,0,0）,C（2,2,0）,D（0,2,0）,C,（2,2,2）,〃（0,2,2）

因为E为棱BC的中点，F为棱CD的中点

29

所以E（2,l,0）,F（l,2,0）

所以。尸=(1,0,—2),AG=(2,2,0),A£=(2,1,-2)

设平面AEC的一个法向量为〃?=(%,y,zJ

则［"AG=2石+2M=0

/w•AE=2玉+x-2Z］-0

令王=2,贝Ij加=(2,—2,1)

因为。尸•利=2—2=0

所以。

因为QbO平面AEG

所以。尸//平面AEG。

⑵由⑴得，=(2,2,2)

设直线A,与平面AEG所成角为。

则sin6=cos/m,AC.)==曰。

'/|/H|.|AC,|3X2V39

⑶由正方体的特征可得，平面A4C的一个法向量为。8=（2,-2,0）

DB-m82逝

贝］jcos(D8,"?)=

\DB\-\m\3x2应

所以二面角A-AG-E的正弦值为Jl-cos?

30

18.已知椭圆5+¥=1（4>8>0）的右焦点为尸，上顶点为3,离心率为咨且g=6

⑴求椭圆的方程；

⑵直线/与椭圆有唯一的公共点M,与y轴的正半轴交于点N,过N与8尸垂直的直线交X轴

于点P.若MPHBF,求直线/的方程。

答案：

⑴易知点E（c，。）、8（0力）

故\BF\=Jc?+。2—a—>J5

因为椭圆的离心率为e=£=2且

a5

故c=2,b=yja2—c2=1

因此，椭圆的方程为:+：/=1。

2

⑵设点M（x0,%）为椭圆5+丁=1上一点

先证明直线MN的方程为当+为y=1

31

誓+y0y=i

联立；

—+y-1

5'

消去V并整理得V-2x0x+片=0,△=4%-4片=0

2

因此，椭圆2+V=1在点M(%,%)处的切线方程为当+%y=1

1

在直线MN的方程中，令％=0,可得y=一

%

(i、

由题意可知%>0,即点N0,—

Iyj

直线6尸的斜率为凝F=-2=

c2

01

所以直线PN的方程为y=2x+一

%

i(i)

在直线PN的方程中，令y=。，可得尢=一%，即点尸--,0

2%(2%)

因为MPHBF,则占“户=攵"

%2乂一1

即r+「2x0为+广2

人0Tc

32

整理可得（%+5%『=（）,所以毛=-5%

丈2

因为首+货=6火=1,；.%＞。

小瓜576

故％=b，"。=一_Z

OO

所以直线/的方程为-逅x+逅y=l,即x-y+«=O。

66

19.已知也｝是公差为2的等差数列，其前8项和为64.也“｝是公比大于0的等比数列,

b、=4也~~b2=48.

⑴求｛4｝和｛〃｝的通项公式；

出记4=邑+，，〃£"“。

用证明付一“｝是等比数列；

皿证