生活中的变量关系高一上学期数学北师大版（2019）必修第一册

北师大版（2019）必修第一册2.1生活中的变量关系学习目标LearningObjectives探索新知Explorenewknowledge题型突破Breakthroughinquestiontypes当堂检测Classroomtest学习目录ParentConferenceDirectory壹叁贰肆学习目标PART01学习目标01了解生活中两个变量的依赖关系01能辨析依赖关系和函数关系的区别和联系02探索新知PART02探索新知02情境导学

通过播放视频，你发现了哪些量不可以改变？哪些量可以改变？（1）瓶口的大小不可以改变，水的数量也不能改变.（2）但瓶中水的高度可以改变，石块的数量可以改变，投的石块越多，水面越高.探索新知02例1下图是某高速公路加油站的图片，加油站在地下常用圆柱体储油罐储存汽油等燃料。储油罐的长度d、截面半径r是常量，油面高度h，油面宽度w、储油量V是变量。储油量V与油面高度h存在着依赖关系，也与油面宽度w存在着依赖关系.思考V，h，w是否具有某种关系？对于油面高度h的每一个取值，都有唯一的储油量V和它对应，但是，取一个油面宽度w的值，却对应着两个储油量V.探索新知02例2自2008年京津城际列车开通运营以来，高速铁路在中国大陆迅猛发展。截至2017年年底，中国高铁运营里程突破25000km。图2-2表示的是中国高铁年运营里程的变化。

由图2-2，不难看出(1)随着时间的变化，高铁运营里程在变化，它与年份存在着依赖关系.(2)从2008年到2017年，高铁年运营里程是不断增加的，与前一年相比，2014年增长得最多.探索新知02函数关系(传统定义)：如果在一个变化过程中，有两个变量x和y，对于变量x的每一个值，变量y都有唯一确定的值和它对应，那么y就是x的函数，其中x是自变量，y是因变量.这时变量x和y就建立起了函数关系.在现实生活中，凡是要确定两个变量具有函数关系，就要判断“对于变量x的每一个值，变量y都有唯一确定的值和它对应”知识点

变量间的函数关系依照这个概念，在以上两个例题中，储油量V是油面高度h的函数，高铁运营里程是年份时间的函数，但储油量V不是油面宽度w的函数.探索新知02依赖关系：一个变量的变化引起与之相关的另一个变量的变化，这时称这两个变量之间具有依赖关系.知识剖析：(1)依赖关系不一定是函数关系，函数关系是特殊的依赖关系.判断两个有依赖关系的变量之间是否是函数关系的方法：首先，确定因变量和自变量；其次，判断对于自变量的每一个确定值，因变量是否有唯一确定的值与之对应，若满足则是函数关系，否则不是函数关系.知识点

变量间的函数关系(2)研究函数关系时，通常要指明自变量和因变量，因为二者交换位置后可能会变成另一个函数关系，也可能不存在函数关系.探索新知02例3弹簧的伸长量x与弹力y满足函数关系y＝kx，其中k为劲度系数.对于变量“伸长量”的每一个值，变量“弹力”都有唯一确定的值和它对应，弹力y是伸长量x的函数.

探索新知02例4下表记录了几个不同气压下水的沸点：.对于变量“气压”的每一个值，变量“沸点”都有唯一确定的值和它对应，沸点是气压的函数.

气压/(105Pa)0.51.02.05.010沸点/0C82100121152180探索新知02例5绿化可以改变小环境气候。某市有甲、乙两个气温观测点，观测点甲的绿化优于观测点乙，图2-3是这两个观测点某一天的气温曲线图。为了方便比较，将两条曲线画在了同一直角坐标系中。图中反映的都是对于“时间”的每一个值，都有唯一确定的“气温”值和它对应，所以每一条曲线都表示了一个函数关系.探索新知02例5绿化可以改变小环境气候。某市有甲、乙两个气温观测点，观测点甲的绿化优于观测点乙，图2-3是这两个观测点某一天的气温曲线图。为了方便比较，将两条曲线画在了同一直角坐标系中。不能，因为对于任何一个气温值，时间并不是唯一确定的值与它相对应，例如气温为0℃时，对应了8点和21点两个时间。因此不能将时间看成气温的函数思考：能将时间看成气温的函数吗？探索新知02对于变量“用电量(x)”的每一个值，都有唯一确定的变量“应缴电费(y)”值和它对应，所以应缴电费是用电量的函数.如图例6某地电公司为励市民节约用电,采取阶梯电价，即按月用电量分段计费办法居民每月应缴电费y(单位：元)与用电量x(单位kW·h)的关系是

探索新知02形如上述的函数，一般叫做分段函数.在生活中，有很多可用分段函数描述的实际问题，如出租车的计费、个人所得税的税率等.

生活中存在着许许多多的函数关系.在很多时候，正是函数概念中的关键词“每一个”“唯一”“对应”恰当地反映了事物特征.探索新知02例如1.一定量的水银，温度与其体积间存在函数关系，温度越高，水银的体积越大.因此，可以用这个体积表示温度，这就是制造温度计的依据.2.在银行，给定本金和利率后，活期存款的利息依存款的天数而定，利息是天数的函数，天数越多，利息就越多.知识点

变量间的函数关系3.在田径比赛时，铅球运动员的掷远距离和出手速度、出手角度、出手高度均有关系.当出手速度和出手高度确定后，调整好出手角度，会使铅球掷得更远一些.这时，运动员的掷远距离是出手角度的函数.题型突破PART03题型突破03题型1依赖关系，函数关系的判断例1.下列过程中，各变量之间是否存在依赖关系？其中哪些是函数关系？(1)将保温瓶中的热水倒入茶杯中缓慢冷却，并将一温度计放入茶杯中，每隔一段时间，观察温度计示数的变化，冷却时间与温度计示数的关系；(2)商品的销售额与广告费之间的关系；(3)家庭的食品支出与电视机价格之间的关系；(4)高速公路上行驶的汽车所走的路程与时间的关系.【方法指导】两个变量中的一个变量发生变化时，如果另一个变量也发生变化，那么它们具有依赖关系；如果另一个变量发生变化且取值唯一，那么它们具有函数关系.【解析】(1)冷却时间与温度计示数具有依赖关系，根据函数的定义知，二者之间存在函数关系，且冷却时间是自变量，温度计示数是因变量.题型突破03题型1依赖关系，函数关系的判断例1.下列过程中，各变量之间是否存在依赖关系？其中哪些是函数关系？(2)商品的销售额与广告费之间的关系；(3)家庭的食品支出与电视机价格之间的关系；(4)高速公路上行驶的汽车所走的路程与时间的关系.【解析】(2)商品的销售额与广告费这两个变量在现实生活中存在依赖关系，但商品的销售额还受其他因素的影响，比如产品的质量、价格、售后服务等，所以商品的销售额与广告费之间不是函数关系.(3)家庭的食品支出与电视机价格之间没有依赖关系，更不具有函数关系.(4)高速公路上行驶的汽车所走的路程与时间这两个变量存在依赖关系，且对于每一个时间的值，路程是唯一确定的，因此它们之间存在函数关系，且时间是自变量，路程是因变量.题型突破03题型1依赖关系，函数关系的判断【解析】综上可知，(1)(4)中的变量间具有依赖关系，且是函数关系；(2)中变量间存在依赖关系，但不是函数关系；(3)中两个变量不存在依赖关系，也不具有函数关系.例1.下列过程中，各变量之间是否存在依赖关系？其中哪些是函数关系？(1)将保温瓶中的热水倒入茶杯中缓慢冷却，并将一温度计放入茶杯中，每隔一段时间，观察温度计示数的变化，冷却时间与温度计示数的关系；(2)商品的销售额与广告费之间的关系；(3)家庭的食品支出与电视机价格之间的关系；(4)高速公路上行驶的汽车所走的路程与时间的关系.题型突破03解题通法(1)判断两个变量之间是否具有依赖关系，只需分析当其中一个变量变化时，另一个变量是否也发生变化即可，如果发生变化，那么它们具有依赖关系，如果不发生变化，那么它们不具有依赖关系.(2)判断两个具有依赖关系的变量是否具有函数关系时，可分以下两个步骤：①确定因变量和自变量；②判断对于自变量的每一个确定值，因变量是否有唯一确定的值与之对应.若满足，则是函数关系，否则不是函数关系.题型1依赖关系，函数关系的判断题型突破03题型2分段函数

全月应纳税所得额税率不超过3000元的部分3%超过3000元至12000元的部分10%超过12000元至25000元的部分20%当堂检测PART04当堂检测041.下列变化过程中，变量之间存在怎样的依赖关系？其中哪些是函数关系？（1）地球绕太阳公转的过程中，二者间的距离与时间的关系；（2）在空中做斜抛运动的铅球，铅球距离地面的高度与时间的关系；（3）某超市一天的销售额与客流量之间的关系.解析：（1）地球绕太阳公转的过程中距离与时间存在周期性变化的依赖关系，在某段时间内两者距离随时间增大而减少，在另一段时间内随时间增大而增大。对于任何一个确定的时间，有唯一确定的距离与之对应，因此“距离”是“时间”的函数。当堂检测041.下列变化过程中，变量之间存在怎样的依赖关系？其中哪些是函数关系？（1）地球绕太阳公转的过程中，二者间的距离与时间的关系；（2）在空中做斜抛运动的铅球，铅球距离地面的高度与时间的关系；（3）某超市一天的销售额与客流量之间的关系.解析：（2）在空中做斜抛运动的铅球，铅球距离地面的高度与时间存在依赖关系，对于对于任何一个确定的时间，有唯一确定的高度与之对应，因此“高度”是“时间”的函数。当堂检测041.下列变化过程中，变量之间存在怎样的依赖关系？其中哪些是函数关系？（1）地球绕太阳公转的过程中，二者间的距离与时间的关系；（2）在空中做斜抛运动的铅球，铅球距离地面的高度与时间的关系；（3）某超市一天的销售额与客流量之间的关系.解析：（3）某超市一天的销售额与客流量之间存在对于变量“客流量”的每一个值，变量“销售额”都有唯一确定的值和它对应，因此“销售额”是“客流量”的函数。当堂检测042.坐电梯上升时，电梯距离地面的高度与时间之间存在怎样的依赖关系？解析：坐电梯上升时，电梯距离地面的高度与时间之间存在对于变量“时间”的每一个值，变量“距地面高度”都有唯一确定的值和它对应，因此“高度”是“时间”的函数。当堂检测043.在一定量的水中加入蔗糖，糖水的质量分数与所加蔗糖的质量之间存在怎样的依赖关系？解析：在一定量的水中加入蔗糖，糖水的质量分数与所加蔗糖的质量存在对于变量“蔗糖质量”的每一个值，变量“糖水的质量分数”都有唯一确定的值和它对应，因此“糖水质量分数”是“蔗糖质量”的函数。当堂检测044.找出一个生活实例，说明两个变量之间存在