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第3讲等式性质与不等式性质1.[2024四川广安模拟]已知P=a2+3,Q=4a-1,则P,Q的大小关系是(A)A.P≥Q B.P>QC.P≤Q D.P<Q解析P=a2+3,Q=4a-1,P-Q=a2+3-4a+1=(a-2)2≥0,故P≥Q,故选A.2.[2024上海高考]已知实数a,b,c,d满意:a>b>c>d,则下列选项中正确的是(B)A.a+d>b+c B.a+c>b+dC.ad>bc D.ac>bd解析对于选项A,如取a=4,b=3,c=2,d=-4,此时a+d<b+c,故A错误;对于选项B,a+c>b+c>b+d,故B正确;对于选项C,D,如取a=4,b=-1,c=-2,d=-3,此时ad<bc,ac<bd,故C,D错误.故选B.3.[2024陕西西安模拟]若a<b<0<c<d,则(C)A.ac<ad B.a-c>b-dC.ca>db D.a解析对于A,因为a<0,c<d,所以ac>ad,故选项A错误;对于B,取a=-4,b=-1,c=1,d=2,则a-c=-5,b-d=-3,故选项B错误;对于C,ca-db=bc-adab>ac-adab>对于D,取a=-2,b=-1,c=1,d=2,则a+cb=1,b+dc=14.已知0<a<b<1,设m=blna,n=alnb,p=ln(lnalnb),则m,n,p的大小关系为(A.m<n<p B.n<m<pC.p<m<n D.p<n<m解析由0<a<b<1,得ba>1,且lna<lnb<0,即有lnalnb>1,因此,ln(lnalnb)>0,即p>0,由m<0,n<0,mn=blnaalnb=ba·lnalnb5.[2024山东烟台模拟]已知x>y>z,x+y+z=0,则下列不等式成立的是(B)A.xy>yz B.xy>xzC.xz>yz D.x|y|>|y|z解析因为x>y>z,x+y+z=0,所以x>0,z<0,y的符号无法确定.对于A,由题意得x>z,若y<0,则xy<0<yz,故A错误;对于B,因为y>z,x>0,所以xy>xz,故B正确;对于C,因为x>y,z<0,所以xz<yz,故C错误;对于D,当|y|=0时,x|y|=|y|z,故D错误.故选B.6.[2024广西柳州模拟]一般认为,民用住宅的窗户面积必需小于地板面积,但窗户面积与地板面积的比应当不小于10%,而且这个比值越大,采光效果越好.若同时增加相同的窗户面积和地板面积,公寓的采光效果(B)A.变坏了 B.变好了C.不变 D.无法推断解析设a和b分别表示公寓原来的窗户面积和地板面积,m表示窗户和地板所增加的面积(面积单位都相同),由题意得0<a<b,m>0,则a+mb+m-a因为b>0,m>0,所以b(b+m)>0,又因为a<b,则b-a>0,所以a+mb+m-ab>所以同时增加相同的窗户面积和地板面积,公寓的采光效果变好了.故选B.7.[多选]若a>0>b>-a,c<d<0,则下列结论正确的是(BCD)A.ad>bc B.ad+bcC.a-c>b-d D.a(d-c)>b(d-c)解析因为a>0>b,c<d<0,所以ad<0,bc>0,所以ad<bc,故A错误;因为0>b>-a,所以a>-b>0,因为c<d<0,所以-c>-d>0,所以a(-c)>(-b)·(-d),所以ac+bd<0,又cd>0,所以ac+bdcd=ad+bc<0,故B正确;因为c<d,所以-c>-d,因为a>b,所以a+(-c)>b+(-d),即a-c>b-d,故C正确;因为a>0>b,d-c>0,所以a(d-c)>b(d-8.[多选]若a>0,b>0,则使a>b成立的充要条件是(ABD)A.a2>b2 B.a2b>ab2C.ba>b+1a+1 D.a+1解析对于A,因为a>0,b>0,所以a>b⇔a2>b2,A选项符合题意;对于B,因为a>0,b>0,所以a2b>ab2⇔ab(a-b)>0⇔a>b,B选项符合题意;对于C,当a>b>0时,ba-b+1a+1=b(a+1)-a(b对于D,当a>b>0时,1b>1a>0,所以a+1b>b+1a,反之,由a>0,b>0,a+1b>b+1a,可得a+1bb+1a>1,即a(ab+19.[多选/2024安徽模拟]已知2<x<3,-2<y<1,则下列选项正确的是(CD)A.-23<yx<12 B.2<xyC.-6<xy<3 D.3<2x-y<8解析对于A,2<x<3,13<1x<12,当y=0时,yx=0;当0<y<1时,0<yx<12;当-2<y<0时,0<-y<2,0<-yx<1,-1<yx<0.所以-1<yx<12,A选项错误.对于B,-2<y<1,当y=0时,xy2=0,B选项错误.对于C,当y=0时,xy=0;当0<y<1时,0<xy<3;当-2<y<0时,0<-y<2,0<-xy<6,-6<xy<0.所以-6<xy<3,C选项正确.对于D,由2<x<3,得4<2x<6,由-2<y<1,得-1<-y<2,所以3<210.[2024安徽省淮南市模拟]已知1≤a-b≤2,2≤a+b≤4,则4a-2b的取值范围是[5,10].解析令4a-2b=m(a-b)+n(a+b)=(m+n)a+(n-m)b,则m+n=4,n-m=-2,解得n=1,m=3.因为1≤a-b≤2,2≤a+b≤4,所以5≤3(a-b)+(11.若a=ln33,b=ln44,c=ln55,则(A.a<b<c B.c<b<aC.c<a<b D.b<a<c解析解法一易知a,b,c都是正数,ba=3ln44ln3=log8164<1,所以a>b;bclog6251024>1,所以b>c,即c<b<a.故选B.解法二构造函数f(x)=lnxx,则f'(x)=1-lnxx2,由f'(x)>0f'(x)<0,得x>e,所以f(x)在(0,e)上单调递增,在(e,+∞)上单调递减,所以f(3)>f(4)>f(5),即a>b>c.故选B.12.[2024河南郑州模拟]某品牌手机为了打开市场,促进销售,打算对其特定型号的产品降价,有四种降价方案:①先降价a%,再降价b%;②先降价a+b2%,再降价a%;③先降价a+b2%,再降价a+b2%;④一次性降价(a+b)%.其中aA.① B.② C.③ D.④解析设原价为1,对于①,降价后的价格为(1-a%)(1-b%),对于②,降价后的价格为(1-a+b2%)(1-对于③,降价后的价格为(1-a+b2%对于④,降价后的价格为1-(a+b)%.(1-a%)(1-b%)=1-(a+b)%+a%b%>1-(a+b)%,所以①>④.因为a>b,所以(1-a+b2%)2-(1-a%)(1-b%)=(a%+b%2)2-a%b%=(a%+b因为a>b,所以a%>a+b2%,1-a%<1-a+b2%,(1-a+b2%)(1-a%)<(1-则最终降价幅度最小的方案是③.故选C.13.[多选/2024广东名校联考]若a=lnb+1,c=eb-1,则(ACD)A.a≤b B.c≤b C.a<c D.b<c解析a-b=lnb-b+1,构造函数f(x)=lnx-x+1,则f'(x)=1x-1,所以f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,所以f(x)≤f(1)=0,所以a≤bc-b=eb-b-1,构造函数g(x)=ex-x-1(x>0),则g'(x)=ex-1,因为x>0,所以g'(x)>0,所以g(x)在(0,+∞)上单调递增,所以g(x)>e0-1=0,所以c>b.综上,a≤b<c,故选ACD.14.b克糖水中有a克糖(b>a>0),若再添加m克糖(m>0),就会使糖水变得更甜,试依据这个事实提炼出一个不等式:ab<a+解析原来糖水浓度为ab,添加m克糖后变为a+mb+15.[多选/2024山东菏泽模拟]下列结论确定正确的有(AD)A.若lna2>lnb2,则2|a|>2|b|B.若|a|a2>|b|C.若b>a>e,则ab<baD.若0<2a<b<3-a2,则sina<sinb解析由lna2>lnb2可得a2>b2,即|a|>|b|,而y=2x是增函数,所以2|a|>2|b|成立,故A正确.由|
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