2024年高中数学专题7-11大题专项训练离散型随机变量的分布列和数学期望30道教师版新人教A版选择性必修第三册

专题7.11离散型随机变量的分布列和数学期望大题专项训练（30道）姓名：___________班级：___________考号：___________1．（2024春·河南焦作·高二开学考试）已知一个盒子里装有两种颜色的小球，其中有红球6个，黄球3个．(1)现从中每次随机取出一个球，且每次取球后都放回盒中，求事务“连续取球三次，至少两次取到黄球”发生的概率；(2)若从盒中一次随机取出3个小球，记取到黄球的个数为X，求随机变量X的数学期望．【解题思路】(1)先计算取到黄球的概率为13(2)X的全部可能取值为0，1，2，3，分别计算对应概率，再对应写出分布列及数学期望．【解答过程】（1）由题可知，从盒子中随机取出1个球，取到黄球的概率为36+3设连续从盒中取球三次，取到黄球的次数为ξ，则ξ∼B3,∴P(ξ≥2)=C（2）由题可知X的全部可能取值为0，1，2，3，P(X=0)=CP(X=2)=C∴X的分布列为：X0123P51531∴E(X)=0×52．（2024春·浙江·高三开学考试）其次十二届世界足球赛于2024年11月21日在卡塔尔实行，是历史上首次在中东国家境内实行，也是其次次再亚洲实行的世界杯足球赛，在此火热氛围中，某商场设计了一款足球游戏：场地上共有大、小2个球门，大门和小门依次射门，射进大门后才能进行小门射球，两次均进球后可得到一个世界杯祥瑞物“拉伊卜”．已知甲、乙、丙3位顾客射进大门的概率均为34，射进小门的概率依次为23，13(1)求这3人中至少有2人射进大门的概率；(2)记这3人中得到“拉伊卜”的人数为X，求X的分布列及期望．【解题思路】(1)依据二项分布求概率公式计算即可求解；(2)分别求出甲和乙、丙获得“拉伊卜”的概率，再求出P(X=0)、P(X=1)、P(X=2)、P(X=3)，列出分布列，结合数学期望的求法即可求解.【解答过程】（1）设三人中射进大门的人数为Y，则Y~B3,∴P(Y≥2)=P(Y=2)+P(Y=3)=C（2）甲获得“拉伊卜”的概率p1乙、丙获得“拉伊卜”的概率p2P(X=0)=1−12P(X=2)=CP(X=3)=1∴X的分布列如下：X0123P91571∴E(X)=0⋅93．（2024·全国·高三专题练习）某市公租房的房源位于A，B，C三个片区，设每位申请人只申请其中一个片区的房源，且申请其中任一个片区的房源是等可能的，求该市的任4位申请人中：(1)恰有2人申请A片区房源的概率；(2)申请的房源所在片区的个数ξ的分布列与期望【解题思路】（1）解法一：由排列组合求出全部可能的申请方式和恰有2人申请A片区房源的申请方式，由古典概率公式代入即可得出答案.解法二：设对每位申请人的视察为一次试验，这是4次独立重复试验.记“申请A片区房源”为事务A，则P(A)=13.由独立重复试验中事务A（2）求出ξ的全部可能值，再分别求出其对应的概率即可求出分布列，再由期望公式代入即可求出申请的房源所在片区的个数ξ的期望.【解答过程】（1）解法一：全部可能的申请方式有34种，恰有2人申请A片区房源的申请方式C42⋅2解法二：设对每位申请人的视察为一次试验，这是4次独立重复试验.记“申请A片区房源”为事务A，则P(A)=从而，由独立重复试验中事务A恰发生k次的概率计算公式知，恰有2人申请A片区房源的概率为P（2）ξ的全部可能值为1，2，3.P(ξ=1)=3P(ξ=2)=C32(P(ξ=3)=C31综上知，ξ有分布列为：ξ123P1144Eξ=1×14．（2024春·山西忻州·高三开学考试）甲、乙两班进行消防平安学问竞赛，每班选出3人组成甲、乙两支代表队，每队初始分均为4分，首轮竞赛每人回答一道必答题，答对则为本队得2分，答错或不答扣1分．已知甲队3人每人答对的概率分别为23，12，14，乙队每人答对的概率都是2(1)求随机变量X的分布列及其数学期望EX(2)求在甲队和乙队总分之和为14的条件下，甲队与乙队得分相同的概率．【解题思路】（1）求出X的全部可能取值及其概率可得分布列，依据数学期望公式可得数学期望；（2）设“甲队和乙队得分之和为14”为事务A，“甲队与乙队得分相同”为事务B，求出P(A)和P(AB)后，依据条件概率公式可求出结果.【解答过程】（1）X的可能取值为1，4，7，10，PX=1=1PX=7=2所以X的分布列为X14710P1531EX（2）设“甲队和乙队得分之和为14”为事务A，“甲队与乙队得分相同”为事务B，则PAPAB=35．（2024春·江苏常州·高三开学考试）设甲袋中有3个白球和4个红球，乙袋中有1个白球和2个红球，现从甲袋中任取2个球放入乙袋，再从乙袋中任取2个球(1)记从甲袋中取出的2个球中恰有X个白球，求随机变量X的概率分布和期望；(2)求从乙袋中取出的2个球中恰有1个红球的概率.【解题思路】（1）依据题意知X的取值，求出对应的概率，写出分布列，计算数学期望值；（2）依据题意，依据甲袋取球状况分类探讨，利用概率公式计算可得.【解答过程】（1）X的全部可能取值为0,1,2，PX=0∴X的分布列如下：X012P241X的数学期望EX（2）若从甲袋中取出2红，则乙袋中取出2球恰有1个红球概率P1若从甲袋中取出2白，则乙袋中取出2球恰有1个红球概率P2若从甲袋中取出1红1白，则乙袋中取出2球恰有1个红球概率P3∴乙袋中取出2球恰有1红的概率P=196．（2024春·河北石家庄·高三开学考试）北方某市组织中学生开展冰雪运动的培训活动，并在培训结束后对学生进行了考核，记考核成果不小于80分的为优秀，为了了解本次培训活动的效果，在参加培训的学生中随机抽取了60名学生的考核成果，如下表成果[50，60）[60，70）[70，80）[80，90）[90，100]人数55152510(1)从参加接训的学生中随机选取1人，请依据表中数据，估计这名学生考核优秀的概率，(2)用分层抽样的方法，在考核成果为[70，90）的学生中任取8人，再从这8人中随机选取4人，记取到考核成果在[80，90）的学生为X，求X的分布列和数学期望，【解题思路】（1）依据古典概型的概率计算公式即可求解，（2）依据分层抽样的抽样比可得[70，80）和[80，90）抽取的学生人数，由超几何分布即可求解概率，进而得分布列.【解答过程】（1）设该名学生考核成果优秀为事务A，由已知50名同学的成果中，优秀的有35名同学，所以PA可以可估计这名学生考核优秀的概率为712（2）由已知，用分层抽样方法，在考核成果为[70，90）的学生中任取8人，则考核成果在[70，80）的学生应抽取3人，考核成果在[80，90）的学生应抽取5人．由题意可得X的全部可能取值为1，2，3，4，所以P(X=1)=P(X=3)=所以随机变量X的分布列为X1234P530305所以E即所求数学期望为527．（2024·全国·高三专题练习）某学校组织“一带一路”学问竞赛，有A，B，C三类问题，每位参加竞赛的同学先在三类问题中随机选择一类，并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学竞赛结束；若回答正确则从剩下的两类问题中随机选择一类并从中抽取一个问题回答，回答错误则该同学竞赛结束；若回答正确，则从剩下的最终一类问题中随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学竞赛结束．A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分，C类问题中的每个问题回答正确得70分，否则得0分．已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，能正确回答C类问题的概率为0.7．且能正确回答问题的概率与回答次序无关．(1)若小明先回答A类问题，记ξ为小明的累计得分，求ξ的期望．(2)为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由．【解题思路】（1）由题意得出由随机变量ξ的可能取值为0，20，90，100，170，计算对应的不同随机变量的概率，即可求ξ的数学期望；（2）计算小明先回答B，C，问题时随机变量的取值及对应概率，求出均值与（1）比较即可．【解答过程】（1）解：ξ可能的取值为0，20，90，100，170，依题意得：Pξ=0=1−0.8=0.2，Pξ=90=0.8×1Pξ=170所以Eξ（2）解：设小明先回答B类问题，记Y为小明的累计得分，则Y的可能取值为0，80，100，150，170．依题意PY=0=0.4，PY=100=0.6×1PY=170所以E同理设小明先回答C类问题，记η为小明的累计得分，则η的可能取值为0，70，90，150，170，依题意得Pη=0=1−0.7=0.3，Pη=90=0.7×1Pη=170所以Eη因为Eη故小明应选择先回答C类问题．8．（2024·福建·统考一模）校内师生平安重于泰山，越来越多的学校纷纷引进各类急救设备．某学校引进M，N两种类型的自动体外除颤器（简称AED）若干，并组织全校师生学习AED的运用规则及方法．经过短期的强化培训，在单位时间内，选择M，N两种类型AED操作胜利的概率分别为23和1(1)现有某受训学生进行急救演练，假定他每次随机等可能选择M或N型AED进行操作，求他恰好在其次次操作胜利的概率；(2)为激发师生学习并正确操作AED的热忱，学校选择一名老师代表进行连续两次设备操作展示，下面是两种方案：方案甲：在第一次操作时，随机等可能的选择M或N型AED中的一种，若第一次对某类型AED操作胜利，则其次次接着运用该类型设备；若第一次对某类型AED操作不胜利，则其次次运用另一类型AED进行操作．方案乙：在第一次操作时，随机等可能的选择M或N型AED中的一种，无论第一次操作是否胜利，其次次均运用第一次所选择的设备．假定方案选择及操作不相互影响，以胜利操作累积次数的期望值为决策依据，分析哪种方案更好？【解题思路】（1）设“操作胜利”为事务S，“选择设备M”为事务A，“选择设备N”为事务B，结合题意和独立事务的概率计算公式即可求解；（2）设方案甲和方案乙胜利操作累计次数分别为X，Y，分别求出每一个次数对应的概率，然后求出每种方案对应的均值，进行比较即可得出结论.【解答过程】（1）设“操作胜利”为事务S，“选择设备M”为事务A，“选择设备N”为事务B由题意，P(A)=P(B)=恰在其次次操作才胜利的概率P=P(SP(S)=P(A)P(S|A)+P(B)P(S|B)=1P(所以恰在其次次操作才胜利的概率为512（2）设方案甲和方案乙胜利操作累计次数分别为X，Y，则X，Y可能取值均为0，1，2，P(X=0)=P(A)P(=1P(X=1)=P(A)P(+P(B)P(=1P(X=2)=P(A)P(S|A)P(S|A)+P(B)P(S|B)P(S|B)=1所以E(X)=0×方法一：P(Y=0)=P(A)P(=1P(Y=1)=P(A)P(+P(B)P(=P(Y=2)=P(A)P(S|A)P(S|A)+P(B)P(S|B)P(S|B)=1所以E(Y)=0×方法二：方案乙选择其中一种操作设备后，进行2次独立重复试验，所以E(Y)=1决策一：因为E(X)>E(Y)，故方案甲更好．决策二：因为E(X)与E(Y)差距特殊小，所以两种方案均可9．（2024·重庆·统考一模）在全民抗击新冠疫情期间，某校开展了“停课不停学”活动，一个星期后，某校随机抽取了100名居家学习的高二学生进行问卷调查，得到学生每天学习时间（单位：h）的频率分布直方图如下，若被抽取的这100名学生中，每天学习时间不低于8小时有30人．(1)求频率分布直方图中实数a，b的值；(2)每天学习时间在[6.0,6.5)的7名学生中，有4名男生，3名女生，现从中抽2人进行电话访谈，已知抽取的学生有男生，求抽取的2人恰好为一男一女的概率；(3)依据所抽取的样本，从每天学习时间在[6.0,6.5)和[7.0,7.5)的学生中按比例分层抽样抽取8人，再从这8人中选3人进行电话访谈，求抽取的3人中每天学习时间在[6.0,6.5)的人数的分布列和数学期望．【解题思路】（1）依据图表得(b+0.22)×0.5×100=30，解出b值，依据小矩形面积和为1可求得a值；（2）首先求得总数为21种，求出其中有男生的概率为67，求出有女生的概率为4（3）求出在各自区间的人数，设从8人中抽取的3人每天学习时间在[6.0,6.5)的人数为X,分X=0,1,2计算，最终求出期望值.【解答过程】（1）由(b+0.22)×0.5×100=30,解得b=0.38∵0.5×(0.14+a+0.42+0.58+0.38+0.22)=1,解得a=0.26.（2）从7名学生中任选2人进行电话访谈种数:C7记任选2人有男生为事务A,则P(A)=C记任选2人有女生为事务B,则P(AB)=C则P(B|A)=P(AB)（3）用按比例分层抽样的方式从每天学习时间在[6.0,6.5)和[7.0,7.5)的学生中抽取8人,抽中的8人每天学习时间在[6.0,6.5)的人数为14抽中的8人每天学习时问在[7.0,7.5)的人数为34设从8人中抽取的3人每天学习时间在[6.0,6.5)的人数为X,则X=0,1,2∴P(X=0)=C∴X的分布列为:X012P5153∴X的数学期望为E(X)=0×510．（2024·全国·高三专题练习）为喜迎马年新春佳节，怀化某商场在正月初六进行抽奖促销活动，当日在该店消费满500元的顾客可参加抽奖．抽奖箱中有大小完全相同的4个小球，分别标有字“马”“上”“有”“钱”．顾客从中随意取出1个球，登记上面的字后放回箱中，再从中任取1个球，重复以上操作，最多取4次，并规定若取出“钱”字球，则停止取球．获奖规则如下：依次取到标有“马”“上”“有”“钱”字的球为一等奖；不分依次取到标有“马”“上”“有”“钱”字的球，为二等奖；取到的4个球中有标有“马”“上”“有”三个字的球为三等奖．(1)求分别获得一、二、三等奖的概率；(2)设摸球次数为ξ，求ξ的分布列和数学期望【解题思路】（1）设“摸到一等奖、二等奖、三等奖”分别为事务A，B，C，每次摸球相互独立，每个球被摸到的概率为14，由事务的相互独立性性质求PA，先由排列方式计算事务B的基本事件个数，再由古典概型求概率方式求（2）由相互独立性计算ξ的取值为1、2、3、4时的概率，并列出对应的分布列，进而由均值计算公式求得均值.【解答过程】（1）解：设“摸到一等奖、二等奖、三等奖”分别为事务A，B，C．

则P(A)=14×三等奖的状况有：“马，马，上，有”；“马，上，上，有”；“马，上，有，有”三种状况，所以PC（2）解：设摸球的次数为ξ，则ξ的可能取值为1、2、3、4，

所以P(ξ=1)=14，P(ξ=2)=3P(ξ=4)=1−P(ξ=1)−P(ξ=2)−P(ξ=3)=27故取球次数ξ的分布列为ξ1234P13927所以取球次数ξ的数学期望Eξ11．（2024秋·湖南株洲·高三期末）某社区为丰富居民的业余文化生活，打算在周一到周五连续为该社区居民实行“社区音乐会”，每晚实行一场，但若遇到风雨天气，则暂停实行.依据气象部门的天气预报得知，在周一到周五这五天的晚上，前三天每天出现风雨天气的概率均为p1，后两天每天出现风雨天气的概率均为p2，每天晚上是否出现风雨天气相互独立.已知前两天的晚上均出现风雨天气的概率为14(1)求该社区能实行4场音乐会的概率；(2)求该社区实行音乐会场数X的分布列和数学期望E(X).【解题思路】（1）由题意先求出p1（2）求出X的可能取值和每个X对应的概率，即可求出X的分布列，再由期望公式即可求出E(X).【解答过程】（1）由已知可得，p12=14设Ai(i=1,2,3,4,5)表示第i天可以实行音乐会，则P(B)=P(=C（2）X的可能取值为0，1，2，3，4，5P(X=0)=(P(X=1)=CP(X=2)=CP(X=3)=CP(X=4)=CP(X=5)=(所以X的分布列为X012345P16567343111从而数学期望为：EX12．（2024·四川成都·统考一模）成都作为常住人口超2000万的超大城市，注册青年志愿者人数超114万，志愿服务时长超268万小时.2022年6月，成都22个市级部门联合启动了2022年成都市青年志愿服务项目大赛，项目大赛申报期间，共收到331个主体的416个志愿服务项目，覆盖文明实践､社区治理与邻里守望､环境疼惜等13大领域.已知某领域共有50支志愿队伍申报，主管部门组织专家对志愿者申报队伍进行评审打分，并将专家评分（单位：分）分成6组：40,50,(1)求图中m的值；(2)从评分不低于80分的队伍中随机选取3支队伍，该3支队伍中评分不低于90分的队伍数为X，求随机变量X的分布列和期望.【解题思路】（1）利用直方图中各矩形面积和为1列方程求解即可.（2）先求出评分不低于80分的队伍数，以及评分不低于90分的队伍数，确定随机变量X的取值，求出概率，写出分布列，求得期望.【解答过程】（1）由0.004×2+0.022+0.030+0.028+m×10=1解得m=0.012．（2）由题意知不低于80分的队伍有50×0.12+0.04不低于90分的队伍有50×0.04=2支.随机变量X的可能取值为0,1,2.∵P∴X的分布列为X012P5153∴EX13．（2024秋·河北石家庄·高三期末）党的二十大已胜利闭幕，某市教化系统为深化贯彻党的二十大精神，组织党员开展了“学习二十大”的学问竞赛活动.随机抽取了1000名党员，并依据得分（满分100分）按组别60,70，70,80，80,90，90,100绘制了频率分布直方图（如图），视频率为概率.(1)若此次活动中获奖的党员占参赛总人数20%，试估计获奖分数线；(2)接受按比例支配的分层随机抽样的方法，从得分不低于80的党员中随机抽取7名党员，再从这7名党员中随机抽取3人，记得分在90,100的人数为ξ，试求ξ的分布列和数学期望.【解题思路】（1）设分数线为x∈[80,90)，使得成果在[x,100]的概率为0.2，解方程(90−x)×0.025+0.010×10=0.2可得答案；（2）应从[80,90)和[90,100]两组内分别抽取5人和2人，求出ξ的可能取值以及对应的概率可得分布列和期望.【解答过程】（1）依据直方图可知，成果在80,100的频率为0.025+0.010×10=0.35成果[90,100]的频率为0.1，小于0.2，因此获奖的分数线应当介于[80,90)之间，设分数线为x∈[80,90)，使得成果在[x,100]的概率为0.2，即(90−x)×0.025+0.010×10=0.2，可得x=86，所以获奖分数线划定为86；（2）应从[80,90)和[90,100]两组内分别抽取5人和2人，则ξ的可能取值为0，1，2，P(ξ=0)=CP(ξ=1)=CP(ξ=2)=Cξ的分布列为ξ012P241数学期望E(ξ)=0×214．卡塔尔世界杯在今年11月21日至12月18日期间实行，赛程如下：第一轮中先将32个国家随机分为A，B，C，D，E，F，G，H，8个小组，每个小组中4个国家进行循环积分赛，在积分赛中，每局竞赛中胜者积3分，负者积0分，平局各积1分，积分前两名者晋级下一轮淘汰赛；每组的循环积分赛分3轮，其中C组国家是阿根廷，墨西哥，波兰，沙特，第一轮是阿根廷VS沙特，墨西哥VS波兰；其次轮是阿根廷VS墨西哥，沙特VS波兰；第三轮是阿根廷VS波兰，墨西哥VS沙特.小组赛前曾有机构评估C组四个国家的实力是阿根廷>墨西哥>波兰>沙特，并预料各自输赢概率如下：（1）阿根廷胜墨西哥概率为12，阿根廷胜波兰、阿根廷胜沙特的概率均为23，阿根廷平墨西哥、波兰、沙特的概率均为16；（2）墨西哥胜波兰、墨西哥胜沙特、波兰胜沙特的概率均为1(1)已知在C组小组赛第一轮中，阿根廷1:2沙特，墨西哥0:0波兰，其次轮中，阿根廷2:0墨西哥，沙特0:2波兰，求阿根廷最终小组赛晋级的概率（积分相同时实力强的优先晋级）；(2)设阿根廷在小组赛中的不败的场次为X，求X的分布列及数学期望.【解题思路】（1）首先分析两轮过后各队的积分状况，可得有①阿根廷胜波兰；②阿根廷平波兰且墨西哥不负于沙特，利用互斥事务及相互独立事务的概率公式计算可得.（2）依题意可得X的可能取值为0、1、2、3，求出所对应的概率，即可得到分布列与数学期望.【解答过程】（1）解：前两轮过后，阿根廷、墨西哥、波兰、沙特的积分分别是3分、1分、4分、3分；第三轮中，阿根廷VS波兰，阿根廷胜波兰概率为23，阿根廷平波兰概率为16，阿根廷负于波兰概率为墨西哥VS沙特，墨西哥胜沙特概率为12，墨西哥平沙特概率为16，墨西哥负于沙特概率为设所求事务为M，列举可知事务M包含以下两种状况：①阿根廷胜波兰；②阿根廷平波兰且墨西哥不负于沙特，则P(M)=2（2）解：依题意可得X的可能取值为0、1、2、3，又知P(X=0)=13×P(X=2)=2×23×所以X分布列如下：X0123P(X)11525所以X的数学期望EX15．（2024秋·江苏扬州·高三期末）某校为了合理配置校本课程资源，教务部门对学生们进行了问卷调查．据统计，其中14的学生支配只选择校本课程一，另外3(1)从学生中随机抽取3人，记这3人的合计得分为X，求X的分布列和数学期望；(2)从学生中随机抽取n人n∈N∗，记这n人的合计得分恰为n+1分的概率为Pn【解题思路】(1)依据题意得出不选择校本课程二的概率为14，选择校本课程二的概率为34，X的可能取值为3，4，5，6，分别求出对应的概率，由此能求出(2)这n人的合计得分为n+1分，则其中只有1人支配选择校本课程二，则Pn=C【解答过程】（1）由题意知，每位学生支配不选择校本课程二的概率为14选择校本课程二的概率为34则X的可能取值为3，4，5，6，PX=3=1PX=5=C所以X的分布列如下表所示：X3456P192727所以EX（2）因为这n人的合计得分为n+1分，则其中只有1人支配选择校本课程二，所以Pn设Sn则14由两式相减得34即34所以P116．（2024秋·广东·高三期末）疫情期间某大型快餐店严格遵守禁止堂食的要求，在做好自身防护的同时，为了实现收益，也为了满足人们餐饮需求，增加打包和外卖配送服务，不仅如此，还供应了一款新套餐，丰富产品种类，该款新套餐每份成本20元，售价30元，保质期为两天，假如两天内无法售出，则过期作废，且两天内的销售状况互不影响，现统计并整理连续30天的日销量（单位：百份），得到统计数据如下表：日销量（单位：百份）12131415天数39126(1)记两天中销售该款新套餐的总份数为X（单位：百份），求X的分布列和数学期望；(2)以该款新套餐两天内获得利润较大为决策依据，在每两天备餐27百份､28百份两种方案中应选择哪种？【解题思路】（1）列出X可能取值，分别计算出相应的概率，列出分布列表，即可求解.（2）依据利润的计算方式，分别计算出当每两天生产配送27百份时的利润和当每两天生产配送28百份时利润，比较后可得答案.【解答过程】（1）依据题意可得：X的全部可能取值为24,25,26,27,28,29,30，PX=24PX=25PX=26PX=27PX=28PX=29PX=30∴X的分布列为：X24252627282930P13177741EX（2）当每两天生产配送27百份时，利润为：24×10−3×20+27×10×1−当每两天生产配送28百份时，利润为：24×10−4×20×1100+∵260.4>254.8，∴选择每天生产配送27百份.17．（2024秋·江苏南通·高三期末）某公司开发了一款可以供n（n=3或n=4）个人同时玩的跳棋游戏.每局游戏起先，接受掷两颗质地匀整的骰子（骰子出现的点数为1，2，3，4，5，6），两个骰子的点数之和除以n所得的余数对应的人先走第一步.两个骰子的点数之和除以n的余数0，1，2，⋯，n−1分别对应游戏者A1，A2，A3，⋯(1)当n=3时，在已知两个骰子的点数之和为偶数的条件下，求A3(2)当n=4时，求两颗骰子点数之和除以n的余数X的概率分布和数学期望，并说明该方法对每个游戏者是否公允.【解题思路】（1）列举基本事件，利用古典概型的概率公式干脆求解；（2）依据试验，分析出当n=4时，两颗骰子点数之和除以n的余数X可能为0，1，2，3，分别求概率，得到分布列，即可推断.【解答过程】（1）因为掷两颗质地匀整的骰子所得点数之和有如下36种基本样本点（表）：123456123456723456783456789456789105678910116789101112在已知两个骰子点数之和为偶数的条件下，共有基本事件18个，设事务“A3先走第一步”为D，表示和被n=3除后的余数为2的基本事件有和为2，8对应的情形有6个，依据古典概型可知：P即A3先走第一步的概率为1（2）当n=4时，两颗骰子点数之和除以n的余数X可能为0，1，2，3，且PX=0=PX=2=所以随即变量X的概率分布为X0123P1215故EX由于和被4除所得余数（即随即变量X取值）的概率大小不完全相同，说明该方法对每个游戏者不公允.18．（2024春·安徽·高三开学考试）某大型国有企业支配在某双一流高校进行聘请面试，面试共分两轮，且第一轮通过后才能进入其次轮面试，两轮均通过方可录用．甲、乙、丙、丁4名同学参加面试，已知这4人面试第一轮通过的概率分别为23，45，34，34，面试笫二轮通过的概率分别为12，5(1)求甲、乙、丙、丁4人中至少有1人被录用的概率；(2)记甲、乙、丙、丁4人中最终被录用的人数为X，求X的分布列和数学期望．【解题思路】（1）依据题意分别计算出甲、乙、丙、丁4名同学参加面试通过的概率，利用对立事务的概率公式可知“至少有1人被录用的概率”与“没有人被录用的概率”之和为1，即可计算出结果；（2）写出X的全部可能取值，再依据积事务与和事务的概率公式分别求的其概率即可列出分布列，进而求得期望值.【解答过程】（1）由题意得，甲被录用的概率为23乙被录用的概率为45丙被录用的概率为34丁被录用的概率为34事务“至少有1人被录用”与事务“没有人被录用”互为对立事务，没有人被录用的概率为1−设甲、乙、丙、丁4人中至少有1人被录用为事务M，则PM即甲、乙、丙、丁4人中至少有1人被录用的概率为23（2）由题意得，X的全部可能取值为0，1，2，3，4，∴PX=0PX=1PX=2PX=3PX=4∴X的分布列为X01234P410171∴期望值EX19．（2024·全国·高三专题练习）单板滑雪U型场地技巧是冬奥会竞赛中的一个项目，进入决赛阶段的12名运动员依据预赛成果由低到高的出场依次轮番进行三次滑行，裁判员依据运动员的腾空高度、完成的动作难度和效果进行评分，最终取单次最高分作为竞赛成果．现有运动员甲、乙二人在某赛季单板滑雪U型场地技巧竞赛中的成果(单位：分)，如表：分站运动员甲的三次滑行成果运动员乙的三次滑行成果第1次第2次第3次第1次第2次第3次第1站80.2086.2084.0380.1188.400第2站92.8082.1386.3179.3281.2288.60第3站79.10087.5089.1075.3687.10第4站84.0289.5086.7175.1388.2081.01第5站80.0279.3686.0085.4087.0487.70假设甲、乙二人每次竞赛成果相互独立．(1)从上表5站中随机选取1站，求在该站甲的成果高于乙的成果的概率；(2)从上表5站中随意选取2站，用X表示这2站中甲的成果高于乙的成果的站数，求X的分布列和数学期望；(3)假如从甲、乙二人中举荐一人参加2024年北京冬奥会单板滑雪U型场地技巧竞赛，依据以上数据信息，你举荐谁参加？说明理由．【解题思路】（1）依据古典概型的概率公式求解即可；（2）求得X的可能取值及对应概率，完成分布列，依据期望的公式求解即可；（3）依据数据得出其概率，期望，平均数，方差等数据分析，理由合理即可.【解答过程】（1）设“从5站中随机选取1站，该站甲的成果高于乙的成果”为事务A．甲第1站、第2站、第3站、第4站、第5站的成果分别为86.20，92.80，87.50，89.50，86.00．乙第1站、第2站、第3站、第4站、第5站的成果分别为88.40，88.60，89.10，88.20，87.70．其中第2站和第4站甲的成果高于乙的成果，所以PA（2）X的全部可能取值为0，1，2，则PX=0=C20所以X的分布列为X012P331EX（3）答案一：举荐乙．从5站的成果可以看出，随意1站甲的成果高于乙的成果的概率为25，乙的成果高于甲的成果的概率为35．因为答案二：举荐乙．用“ζ=1”表示随意1站甲的成果高于乙的成果，用“ζ=0”表示随意1站甲的成果低于乙的成果，则Pζ=1=25，Pζ=0用“η=1”表示随意1站乙的成果高于甲的成果，用“η=0”表示随意1站乙的成果低于甲的成果，则Pη=1=35，Pη=0因为Eζ<Eη所以预料乙的成果好于甲的成果，举荐乙参加．答案三：举荐乙．设甲5站的平均成果、乙5站的平均成果、甲5站成果的方差、乙5站成果的方差分别为x甲，x乙，s甲则x甲x乙s甲s乙x甲s甲答案四：举荐甲．甲5站的平均成果为x甲乙5站的平均成果为x乙虽然甲、乙5站的平均成果相同，但是甲成果的极大值为92.80，乙成果的极大值为89.10，甲成果的极大值大于乙成果的极大值，所以预料甲的成果会比乙的更好，举荐甲参加．答案五：举荐甲．全部成果中两人均有一次0分成果，是持平的，但除此之外，甲低于80分的有2次，乙有3次，甲发挥不志向的次数要少，所以甲失误的可能性小，举荐甲参加．20．（2024春·江苏南京·高三期末）2024年的春节期间，某市举办了趣味射击过关竞赛.竞赛时，有甲、乙两个靶，竞赛规则如下：射手先向甲靶射击两次，再向乙靶射击一次，每命中甲靶一次得1分，每命中乙靶一次得4分，没有命中均得0分.现已知A射手向甲靶射击一次，命中的概率为p0<p<1，再向乙靶射击一次，命中的概率为23，假设(1)当p=12时，求(2)现规定射手总得分的数学期望超过4，竞赛过关，若A射手过关，求实数p的取值范围.【解题思路】（1）“A射手命中甲靶次数多于命中乙靶次数”包含“射击甲靶击中两次，射击乙靶不中或命中”和“射击甲靶的两次中只击中一次，射击乙靶不击中”，由乘法公式得出所求概率；（2）求出A射手总得分的全部可能取值以及相应概率，进而由E(X)>4，得出实数p的取值范围.【解答过程】（1）记“A射手命中甲靶次数多于命中乙靶次数”为事务B.事务B发生包含：“射击甲靶击中两次，射击乙靶不中或命中”和“射击甲靶的两次中只击中一次，射击乙靶不击中”，所以P(B)=C（2）设A射手总得分为X，则X的全部可能取值为：0,1,2,4,5,6.P(X=0)=(1−p)2P(X=2)=p2P(X=5)=C2所以E(X)=0×13(1−p)则当E(X)>4时，6p+83>4，所以21．（2024秋·河北邯郸·高三期末）2024年卡塔尔世界杯是其次十二届世界杯足球赛，是历史上首次在卡塔尔和中东国家境内实行，也是其次次在亚洲实行的世界杯足球赛.11月22日，卡塔尔世界杯小组赛C组第1轮竞赛中，梅西领衔的阿根廷队1:2不敌沙特阿拉伯队.梅西在开场阶段打入一粒点球，但沙特在下半场开局后连入两球反超比分，这也是亚洲球队在本届世界杯上获得的首场胜利！为提升球队的射门技术，某足球队进行一次足球定点射门测试，规定每人最多踢3次，每次射门的结果相互独立.在A处射进一球得3分，在B处射进一球得2分，否则得0分.将队员得分逐次累加并用X表示，假如X的值不低于3分就判定为通过测试，马上停止射门，否则应接着射门，直到踢完三次为止.现有两种射门方案，方案1：先在A处踢一球，以后都在B处踢；方案2：都在B处踢球.已知甲队员在A处射门的命中率为13，在B处射门的命中率为4(1)若甲队员选择方案1，求他测试结束后所得总分X的分布列和数学期望EX(2)你认为甲队员选择哪种方案通过测试的可能性更大？说明理由.【解题思路】（1）求出X的全部可能值，再利用独立事务、互斥事务的概率求出各个取值的概率，列出分布列求出期望作答.（2）求出甲分别选方案1和方案2通过测试的概率，再比较大小作答.【解答过程】（1）设甲队员在A处命中的事务为A，在B处命中的事务为Bi(i=1,2,3)，有X的全部可能值为0，2，3，4，P(X=0)=P(AP(X=2)=P(AP(X=3)=P(A)=13，所以X的分布列为：X0234P216132数学期望E(X)=0×2（2）设甲队员选择方案1通过测试的概率为P1，选择方案2通过测试的概率为P由（1）知，P1P2=P(B所以甲队员选择方案2通过测试的可能性更大.22．（2024秋·海南·高三期末）王先生打算利用家中闲置的10万元进行投资，投资公司向其举荐了A，B两种理财产品，其中产品A一年后固定获利8%，产品B的一年后盈亏状况的分布列如下（表中p>0盈亏状况获利16不赔不赚亏损4概率2p1p(1)假如王先生只投资产品B，求他一年后投资收益的期望值．(2)该投资公司为提高客户主动性，对投资产品B的客户赠送激励金，每年的激励金为产品B的投资额的2%【解题思路】（1）依据概率和为1求出p，然后依据数学期望公式求解盈亏状况.(2)依据0.07<0.08，0.07+0.02>0.08，能分析到先投资产品B，使激励金达到1200元，其余资金再投资产品A．【解答过程】（1）由已知得2p+14+p=1假如王先生只投资产品B，他一年后投资收益的期望值为10×0.16×（2）产品B的平均收益率为0.16×1因为0.07<0.08，0.07+0.02>0.08，即产品B的平均收益率比产品A的收益率小，但加上激励金后平均收益率比产品A的收益率大，故要使投资收益的期望值最大，应优先投资产品B，使激励金达到1200元，其余资金再投资产品A．因为12000.02=60000（元），所以应当用6万元投资产品B，4万元投资产品一年后投资收益的期望值最大为4×0.08+6×0.07+0.12=0.86（万元）．23．（2024秋·山西·高三期末）通过核酸检测可以初步判定被检测者是否感染新冠病毒，检测方式分为单检和混检，单检是将一个人的采集拭子放入一个采样管中单独检测：混检是将多个人的采集拭子放入一个采样管中合为一个样本进行检测，若检测结果呈阳性，再对这多个人重新采集单管拭子，逐一进行检测，以确定当中的阳性样本．混检按一个采样管中放入的采集拭子个数可具体分为“3合1”混检，“5合1”混检，“10合1”混检等．调查探讨显示，在群体总阳性率较低（低于0.1%）时，混检能较大幅度地提高检测效力、降低检测成本．依据流行病学调查结果显示，某城市每位居民感染新冠病毒的概率为p(0<p<1)．若对该城市全体居民进行一轮核酸检测，记每一组n位居民接受“n合1”（n∈N∗）混检方式共需检测(1)求随机变量X的分布列和数学期望；(2)已知当0<p<0.0005时，(1−p)n≈1−npn∈N∗．若p=0.0001【解题思路】(1)依据题干条件分状况X=1和X=n+1求概率,写出分布列计算数学期望即可;(2)由(1)的数学期望得出每位居民检测的次数,再应用基本不等式求出核酸检测中每位居民检测的最少次数,取等条件可求n.【解答过程】（1）X的取值为1和n+1，P(X=1)=(1−p)P(X=n+1)=1−(1−p)随机变量X的分布列为：X1n+1P1−p1−可得E(X)=1×(1−p)（2）由（1）可知每位居民检测的次数约为E(X)n又由1n当且仅当1n=0.0001n，即故当n=100时，接受“100合1”，这一轮核酸检测中每位居民检测的次数最少．24．（2024春·山东聊城·高二期中）为弘扬中国传统文化，山东电视台实行国宝学问大赛，先进行预赛，规则如下：①有易、中、难三类题，共进行四轮竞赛，每轮选手自行选择一类题，随机抽出该类题中的一个回答；②答对得分，答错不得分；③四轮答题中，每类题最多选择两次．四轮答题得分总和不低于10分进入决赛．选手甲答对各题是相互独立的，答对每类题的概率及得分如下表：简洁题中等题难题答对概率0.70.50.3答对得分345(1)若甲前两轮都选择了中等题，并只答对了一个，你认为他后两轮应当怎样选择答题，并说明理由；(2)甲四轮答题中，选择了一个简洁题、两个中等题、一个难题，若简洁题答对，记甲预赛四轮得分总和为X，求随机变量X的数学期望．【解题思路】（1）先分析得甲后两轮还有三种方案，利用独立事务的概率的乘法公式将每种方案进决赛的概率求出，比较之即可得解；（2）依据题意得到X的可能取值，结合独立事务的概率的乘法公式将X的每一个取值的概率求出，从而得到X的的分布列，从而求得X的数学期望．【解答过程】（1）依题意，甲前两轮都选择了中等题，只答对了一个，则甲得分为4分，要进入决赛，还须要得6分，所以甲后两轮的选择有三种方案：方案一：都选择简洁题，则总得分不低于10分的概率为P1方案二：都选择难题，则总得分不低于10分的概率为P2方案三：选择一个简洁题、一个难题，则总得分不低于10分的概率为：P3因为P1（2）依题意，X的可能取值为3、7、8、11、12、16，则P(X=3)=1P(X=8)=1P(X=12)=2×1所以X的分布列为：X378111216P773733所以E(X)=3×725．（2024·全国·高三专题练习）某公司在一种传染病毒的检测试剂品上加大了研发投入，其研发的检验试剂品α分为两类不同剂型α1和α2．现对其进行两次检测，第一次检测时两类试剂α1和α2合格的概率分别为34和35，其次次检测时两类试剂α1和α(1)设经过两次检测后两类试剂α1和α2合格的种类数为X，求(2)若地区排查期间，一户4口之家被确认为“与确诊患者的密切接触者”，这种状况下医护人员要对其家庭成员逐一运用试剂品α进行检测，假如有一人检测呈阳性，则检测结束，并确定该家庭为“感染高危户”．设该家庭每个成员检测呈阳性的概率均为p(0<p<1)且相互独立，该家庭至少检测了3个人才确定为“感染高危户”的概率为f(p)，若当p=p0时，f(p)最大，求【解题思路】（1）先得到剂型α1与α2合格的概率，求出（2）求出fp=1−p2p+【解答过程】（1）剂型α1合格的概率为：3剂型α2合格的概率为：3由题意知X的全部可能取值为0，1，2．则PX=0PX=1PX=2则X的分布列为X012P6136数学期望EX（2）检测3人确定“感染高危户”的概率为1−p2检测4人确定“感染高危户”的概率为1−p3则fp令x=1−p，因为0<p<1，所以0<x<1，原函数可化为gx因为x2当且仅当x2=1−x此时p=1−22，所以26．（2024·全国·高三专题练习）某中学2024年10月实行了2024“翱翔杯”秋季运动会，其中有“夹球跑”和“定点投篮”两个项目，某班代表队共派出1男（甲同学）2女（乙同学和丙同学）三人参加这两个项目，其中男生单独完成“夹球跑”的概率为0.6，女生单独完成“夹球跑”的概率为a（0<a<0.4）．假设每个同学能否完成“夹球跑”互不影响，记这三名同学能完成“夹球跑”的人数为ξ．(1)证明：在的概率分布中，Pξ=1(2)对于“定点投篮”项目，竞赛规则如下：该代表队先指派一人上场投篮，假如投中，则竞赛终止，假如没有投中，则重新指派下一名同学接着投篮，假如三名同学均未投中，竞赛也终止．该班代表队的领队了解后发觉，甲、乙、丙三名同学投篮命中的概率依次为ti=Pξ=i（i=1【解题思路】（1）分别求出Pξ=i（i=0（2）由（1）知t1>t2>t3，设三人随意依次出场时三场投中的概率分别为p1，p2，p3，计算竞赛时所需派出的人数【解答过程】（1）由已知，ξ的全部可能取值为0，1，2，3，Pξ=0Pξ=1Pξ=2Pξ=3∵0<a<0.4，∴Pξ=1Pξ=1Pξ=1所以概率Pξ=1（2）由（1）知，当0<a<0.4时，有t1且t2−t所以应当以甲、乙、丙的依次支配出场依次，才能使得该代表队出场投篮人数的均值最小．证明如下：假设p1，p2，p3为t1，该依次下三人能完成项目的概率为p1，p2，p3，记在竞赛时所需派出的人数为η，则η=1η123Pp1−1−数学期望Eη∵t1>t2要使1−p11−p2尽可能小，则须要p1,p2∴3−2p所以应当以甲、乙、丙的依次支配出场依次，才能使得该代表队出场投篮人数的均值最小．27．（2024·全国·高三专题练习）为了丰富孩子们的校内生活，某校团委牵头，发起同一年级两个级部A、B进行体育运动和文化项目竞赛，由A部、B部争夺最终的综合冠军．决赛先进行两天，每天实行三局两胜制，即先赢两局的级部获得该天胜利，此时该天竞赛结束．若A部、B部中的一方能连续两天胜利，则其为最终冠军；若前两天A部、B部各赢一天，则第三天只进行一局附加赛，该附加赛的获胜方为最终冠军．设每局竞赛A部获胜的概率为p0<p<1(1)记第一天须要进行的竞赛局数为X，求EX，并求当EX取最大值时(2)当p=12时，记一共进行的竞赛局数为Y，求【解题思路】（1）求出X可能取值，并求出对应的概率，得到期望，配方后得到期望最大值时对应的p的值；（2）先得到双方前两天的比分为2∶0或0∶2的概率均为12×12=14，比分为2∶1或1∶【解答过程】（1）X可能取值为2，3．PX=2PX=3故EX即EX=−2p−12（2）当p=12时，双方前两天的比分为2∶0或0∶2的概率均为比分为2∶1或1∶2的概率均为2×1PY≤5，则Y=4或Y=5Y=4即获胜方两天均为2∶0获胜，不妨设A部胜，概率为14×14=故PY=4Y=5即获胜方前两天的比分为2∶0和2∶1或者2∶0和0∶2再加附加赛，不妨设最终A部获胜，当前两天的比分为2∶0和2∶1时，先从两天中选出一天，竞赛比分为2∶1，三场竞赛前两场，A部一胜一负，第三场竞赛A获胜，另外一天竞赛比分为2：0，故概率为C2当前两天比分为2∶0和0∶2，附加赛A获胜时，两天中选出一天，竞赛比分为2：0，概率为C2故最终A部获胜的概率为18同理B部胜，概率为316故PY=5所以PY≤528．（2024秋·浙江杭州·高三期末）核电站某项具有高辐射紧急的工作须要工作人员去完成，每次只派一人，每人只派一次，工作时长不超过15分钟，若某人15分钟内不能完成该工作，则撤出，再派下一人，现有小胡、小邱、小邓三人可派，且他们各自完成工作的概率分别为p1，p2，p3.假设p1，(1)任务能被完成的概率是否与三个人被派出的先后依次有关？试说明理由；(2)若按某指定依次派出，这三人各自能完成任务的概率依次为q1，q2，q3，其中q1，q2①求所需派出人员数目X的分布列和数学期望EX②假定1>p【解题思路】(1)由概率算式知任务能被完成的概率与三个人被派出的依次无关.(2)①计算变量取值相应的概率得到分布列，计算数学期望；②依据不同依次方案数学期望的结果，得到数学期望最小时的派出依次.【解答过程】（1）无关，理由如下：由于任务不能被完成的概率为1-p故任务能被完成的概率为1-1-所以任务能被完成的概率与三个人被派出的依次无关．（2）①X的取值为1，2，3，P