山西省运城市盐湖区2021-2022学年八下期末质量监测数学试题（解析版）

2021——2022学年度第二学期期末质量监测初二数学注意事项：1.本试卷共6页，满分120分，监测时间120分钟．2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡相应的位置．3.答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效．4.检测结束后，将答题卡交回．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给的四个选项中，只有一个符合题目要求，请把答题卡上该题目的选项涂黑）1.下列各式由左边到右边的变形，属于因式分解的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】直接利用因式分解的定义分别分析得出答案．【详解】解：A、，从左至右的变形是整式乘法运算，不是因式分解，故此选项不合题意；B、，等式右边是两个整式的差，所以从左至右的变形不是因式分解，故此选项不合题意；C、，等号左右两边不相等，所以从左至右的变形不是因式分解，故此选项不合题意；D、，从左至右的变形是因式分解，故此选项符合题意．故选：D．【点睛】此题主要考查了因式分解的定义，熟练掌握分解因式的定义是解题关键．2.在以下回收、绿色食品、节能、节水四个标志中，是中心对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．【详解】解：A、不是中心对称图形，故此选项不合题意；B、不是中心对称图形，故此选项不合题意；C、不是中心对称图形，故此选项不合题意；D、是中心对称图形，故此选项不合题意；故选：D．【点睛】本题考查的是中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．3.如果，那么下列不等式不成立的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据不等式的性质求解即可．【详解】解：A、由可以得到，故此选项不符合题意；B、当，由不可以得到，故此选项符合题意；C、由可以得到，故此选项不符合题意；D、由可以得到，故此选项不符合题意；故选B．【点睛】本题主要考查了不等式的性质，熟知不等式的性质是解题的关键：不等式两边同时加上或减去一个整式，不等式不改变方向；不等式两边同时乘以或除以一个正数不等式不改变方向；不等式两边同时乘以或除以一个负数，不等式改变方向．4.如果把分式中的x和y都扩大为原来的4倍，那么分式的值（）A.扩大为原来的4倍 B.扩大为原来的2倍 C.不变 D.缩小为原来的【答案】A【解析】【分析】根据分式的基本性质，进行计算即可解答．【详解】解：由题意得：，∴如果把分式中的x和y都扩大为原来的4倍，那么分式的值扩大为原来的4倍，故选：A．【点睛】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．5.如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且，添加下列条件后仍不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】A、由“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”可得出四边形ABCD是平行四边形；B、由“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”可得出四边形ABCD是平行四边形；C、由ABCD可得出∠BAO=∠DCO、∠ABO=∠CDO，结合OA=OC可证出△ABO≌△CDO（AAS），根据全等三角形的性质可得出AB=CD，由“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”可得出四边形ABCD是平行四边形；D、由ABCD、AD=BC无法证出四边形ABCD是平行四边形．此题得解．【详解】解：A、∵ABCD、AB=CD，∴四边形ABCD是平行四边形；B、∵ABCD、ADBC，∴四边形ABCD是平行四边形；C、∵ABCD，∴∠BAO=∠DCO，∠ABO=∠CDO．在△ABO和△CDO中，，∴△ABO≌△CDO（AAS），∴AB=CD，∴四边形ABCD是平行四边形；D、由ABCD、AD=BC，则四边形ABCD可能是平行四边形，也可能是等腰梯形．故选：D．【点睛】本题考查了平行四边形的判定以及全等三角形的判定与性质，逐一分析四个选项给定条件能否证明四边形ABCD是平行四边形是解题的关键．6.中考·激励卡中有一个多边形卡片，它的每一个内角都是，那么这个多边形是（）A.四边形 B.五边形 C.六边形 D.七边形【答案】B【解析】【分析】根据多边形的内角和公式列式计算即可得解．【详解】设这个多边形是n边形，由题意得，解得所以，这个多边形五边形故选：B．【点睛】本题主要考查多边形的内角问题，属于基础题型，难度不大．解题的关键是熟练运用多边形的内角和公式．7.如图，在□ABCD中，AC与BD相交于点O，点E是边BC的中点，AB=4，则OE的长是（）A.2 B.C.1 D.【答案】A【解析】【分析】根据平行四边形的性质得BO=DO，所以OE是△ABC的中位线，根据三角形中位线定理三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半．【详解】解：在▱ABCD中，AC与BD相交于点O，

∴BO=DO，

∵点E是边BC的中点，

所以OE是△ABC的中位线，

∴OE=AB=2．

故选A．【点睛】本题利用平行四边形的性质和三角形的中位线定理求解，需要熟练掌握．8.小明和小强为端午节做粽子，小强比小明每小时少做2个，已知小明做100个粽子的时间与小强做90个所用的时间相等，小明、小强每小时各做粽子多少个？假设小明每小时做个，则可列方程得（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】假设小明每小时做x个，则小强每小时做（x−2）个，根据题意可得：小明做100个粽子的时间与小强做90个所用的时间相等，据此列方程．【详解】解：假设小明每小时做x个，则小强每小时做（x−2）个，由题意得，．故选：C．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程．9.若不等式组的解为，则值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据不等式的性质求出每个不等式的解集，根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集，根据不等式组的解集得出，且，求出，，即可解答．【详解】解：，解不等式①得：，解不等式②得：，不等式组的解集为，若不等式组解为，，且，解得：，，，故选：．【点睛】本题考查了不等式的性质，解一元一次不等式（组，解一元一次方程等知识点，解此题的关键是根据不等式组解集得出关于和的方程，题目比较好，综合性比较强．10.2022北京冬奥会的设计呈现了中国美学，很多设计中利用了轴对称的美．如图，在平行四边形纸片ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，，，李旻老师设计时将平行四边形纸片ABCD沿对角线AC折叠，使得点B落在点的位置，连接，则的长为（）A. B. C. D.15【答案】A【解析】【分析】由折叠的性质可得，△ABE≌△AE，可得到∠DE＝90°，由平行四边形的性质得ED＝BE＝E＝2，则利用勾股定理可求D＝．【详解】解：由折叠的性质可得，△ABE≌△AE，∴∠BEA＝∠EA＝45°，∴∠BE＝90°，∴∠DE＝90°，∵BD＝4，四边形ABCD是平行四边形，∴ED＝BE＝E＝2，∴D＝，故选：A．【点睛】本题考查平行四边形的性质，翻折的性质，勾股定理，熟练掌握翻折的性质求出∠DE＝90°是解题的关键．二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）11.因式分解：________．【答案】m（m+1）（m﹣1）．【解析】【分析】原式提取m，再利用平方差公式分解即可．【详解】解：原式＝m（m2﹣12）＝m（m+1）（m﹣1）．故答案为：m（m+1）（m﹣1）．【点睛】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．12.如图，在△ABC中，AB=4，BC=7，∠B=60°，将△ABC绕点A按顺时针旋转一定角度得到△ADE，当点B的对应点D恰好落在BC边上时，则CD的长为__________．【答案】3【解析】【详解】由旋转的性质可得：AD=AB，，∴△ABD是等边三角形，∴BD=AB，∵AB=4，BC=7，∴CD=BC−BD=7−4=3.故答案为：3.13.在实数范围内定义一种运算☆，其规则为，根据这个规则的解为________．【答案】【解析】【分析】根据新定义下的运算法则可得出关于x的分式方程，解出x，再验算即可．【详解】∵，∴，解得：经检验是原方程的解．∴的解为．故答案：．【点睛】本题考查新定义下的实数运算，解分式方程．理解题意，掌握新定义下的实数运算法则是解题关键．14.如图，在中，AD是的角平分线，于E，F、G分别是边AB、AC上的点，连接DF、DG，且，和的面积分别为50和15，则的面积为________．【答案】20【解析】【分析】过点D作于点H．由角平分线的性质可得出，利用“HL”分别证明，，再由全等三角形的面积相等即可求解．【详解】如图，过点D作于点H．∵AD是的角平分线，∴．又∵，，∴(HL)，∴，∴．∵AD=AD，∴(HL)，∴，∴．故答案为：20．【点睛】本题考查角平分线的性质定理，全等三角形的判定和性质．正确的作出辅助线构造全等三角形是解题关键．15.如图，四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝4，AD＝3，点M，N分别为线段BC，AB上的动点（点M不与点B重合），点E，F分别为DM，MN的中点，则EF长度的最大值为______．【答案】【解析】【分析】根据三角形的中位线定理，可得EF=DN，当DN最大时，EF最大，只有当N与B重合时，DN最大，利用勾股定理求出BD的长，即得结论．【详解】连接DN、DB，如图所示：在Rt△DAB中，∠A＝90°，AB＝4，AD＝3，∴BD＝＝＝5，∵点E，F分别为DM，MN的中点，∴EF＝DN，由题意得，当点N与点B重合是DN最大，最大值为5，∴EF长度的最大值为2.5．故答案为：2.5．【点睛】本题考查三角形中位线定理、勾股定理等知识，解题的关键是中位线定理的灵活应用，学会转化的思想．三、解答题（本题8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16.（1）①解不等式组，并写出它的非负整数解；②解方程；（2）先化简，然后a在、1、2三个数中任选一个合适的数代入求值．【答案】（1）①；非负整数解为0，1；②；（2），5【解析】【分析】（1）①分别求出两个不等式的解集然后再求出不等式组的解集，最后写出其非负整数解即可；②先去分母转化为整式方程求解，求出整式方程的解后进行检验即可得解；（2）按照分式混合运算法则进行化简，然后再代入数据进行计算即可．【详解】解：（1）①，由①得：，由②得：，不等式组的解集为，则不等式组的非负整数解为0，1．②去分母得：，去括号得：，移项合并同类项得：，即，检验：把x=2代入x-3得：，∴是原方程的解．（2）解：∵，，∴，取，原式．【点睛】本题主要考查了解不等式组、解分式方程和分式的化简求值，注意解分式方程时，需要对解出的根进行检验．17.已知：如图A、C是▱DEBF的对角线EF所在直线上的两点，且AE＝CF．求证：四边形ABCD是平行四边形．【答案】证明见解析【解析】【分析】根据平行四边形和平行线的性质，推导得，；根据全等三角形的判定和性质，证明、，得、，即可完成证明．【详解】证明：∵平行四边形DEBF，∴，，∴，，∵，，，，∴，，∵平行四边形DEBF，∴，，在和中，∴，∴，在和中，∴，∴，∴四边形ABCD是平行四边形．【点睛】本题考查了平行四边形、平行线、全等三角形的知识；解题的关键是熟练掌握平行四边形、全等三角形的判定和性质，从而完成求解．18.智慧组成员为了完成一项校园规划设计任务，解决过程中遇到的问题转化为：如图，在平面直角坐标系中，一个三角板的三个顶点分别是，，．（1）操作与实践：步骤一：将三角板以点为旋转中心旋转，画出旋转后对应的；步骤二：平移三角板，点的对应点的坐标为，画出平移后对应的．（要求：不写作法，保留作图痕迹）（2）应用与求解：①智慧组成员将绕某一点旋转可以得到，请直接写出旋转中心的坐标________．②在轴上有一点，智慧组成员要求使得的值最小，请直接写出点的坐标________．【答案】（1）图见解析（2）①；②【解析】【分析】（1）根据旋转的性质画出即可；根据平移的性质画出即可；（2）①根据中心对称的性质，连接，，，交点即为旋转中心，即可得出答案；②作点关于轴的对称点，连接，与轴的交点即为所求的点，利用待定系数法求出直线的解析式，进而可得出点的坐标．【小问1详解】解：画出和如图所示．【小问2详解】由图可知，旋转中心为点．故答案为：．②如图，作点关于轴的对称点，连接，与轴的交点即为所求的点．设直线的解析式为，∵，，∴，将点，代入，得：，解得：，∴直线的解析式为，令，得，∴点的坐标为．故答案为：．【点睛】本题考查作图—旋转变换、平移变换，轴对称—最短路线问题，用待定系数法确定一次函数的解析式，一次函数图像与轴的交点坐标．熟练掌握平移、旋转、对称的性质是解答本题的关键．19.【阅读材料】若分式A与分式B的差等于它们的积，即，则称分式B是分式A的“关联分式”．例如与，解：，，是的“关联分式”．（1）【解决问题】已知分式，则，的“关联分式”（填“是”或“不是”）．（2）和谐小组成员在求分式的“关联分式”时，用了以下方法：解：设的“关联分式”为B，则，，．请你仿照和谐小组成员的方法求分式的“关联分式”．（3）【拓展延伸】观察（1）（2）的结果，寻找规律直接写出分式的“关联分式”：________．【答案】（1）是（2）（3）【解析】【分析】（1）根据关联分式的定义判断；（2）仿照和谐小组成员的方法，设的关联分式是N，则，求出N即可；（3）根据（1）（2）的结果找出规律，再利用规律求解．【小问1详解】解：∵，，∴是的“关联分式”．故答案为：是；【小问2详解】解：设的关联分式是N，则：∴∴∴；【小问3详解】解：由（1）（2）知：关联分式为：．故答案为：．【点睛】本题考查用新定义解决数学问题，熟练掌握分式混合运算法则是求解本题的基础．20.如图，点D、E、F分别是AC、BC、AB中点，连接DE，且BD是的角平分线．求证：．【答案】见解析【解析】【分析】先根据三角形中位线定理得到，，进而证明四边形ADEF是平行四边形，∠ABD=∠BDE，再由角平分线的定义证明，推出，则．【详解】证明：∵点D、E、F分别是AC、BC、AB中点，，，四边形ADEF是平行四边形，∠ABD=∠BDE，，BD是的角平分线，，，，．【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理，平行四边形的性质与判定，角平分线的定义，等腰三角形的判定，证明四边形ADEF是平行四边形是解题的关键．21.为抗击新型冠状病毒肺炎，某市医院打算采购A、B两种医疗器械，买1台A型机器比购买1台B型机器多花10万元，并且花费300万元购买A型机器和花费100万元购买B型机器的数量相等．（1）求购买一台A型机器和一台B型机器各需多少万元？（2）医院准备购买A、B型两种机器具80台，若购买A，B型机器的总费用不高于1050万元，那么最多购买A型机器多少台？【答案】（1）购买一台A型机器需要15万元，购买一台B型机器需要5万元；（2）65台【解析】【分析】（1）设购买一台B型机器需要x万元，则购买一台A型机器需要（x+10）万元，利用数量=总价÷单价，结合花费300万元购买A型机器和花费100万元购买B型机器的数量相等，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可求出购买一台B型机器所需费用，再将其代入（x+10）中可求出购买一台A型机器所需费用；（2）设购买m台A型机器，则购买（80-m）台B型机器，利用总价=单价×数量，结合总价不高于1050元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出最多购买A型机器的数量．详解】解：（1）设购买一台B型机器需要x万元，则购买一台A型机器需要（x+10）万元，依题意得：，解得：x=5，经检验，x=5是原方程的解，且符合题意，∴x+10=5+10=15．答：购买一台A型机器需要15万元，购买一台B型机器需要5万元．（2）设购买m台A型机器，则购买（80-m）台B型机器，依题意得：15m+5（80-m）≤1050，解得：m≤65．答：最多购买A型机器65台．【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．22.请阅读下列材料，完成相应的任务：无刻度直尺作图：“无刻度直尺”是尺规作图的工具之一，它的作用在于连接任意两点、作任意直线、延长任意线段．结合图形的性质，只利用无刻度直尺也可以解决一些几何作图问题．如图1，已知点P是线段AB的中点，分别以PA、PB为边在AB的同侧作与，其中，，．求作：线段PC的中点E．按照常规思路，用尺规作线段PC的垂直平分线，垂足即为PC的中点．仔细分析图形，你会发现，只用无刻度的直尺连接线段AD，AD与CP交点E即为PC的中点（如图2）．证明：连接CD．，（依据1），，，同理，．……（1）【任务1】写出上述证明过程中依据1的内容：________．（2）【任务2】请补全证明过程．（3）【任务3】如图，在平行四边ABCD中，点E是CD边的中点．求作：，使的面积与平行四边ABCD的面积相等．（要求：利用无刻度直尺作图，保留作图痕迹，不写画法．）【答案】（1）同一个三角形中，等边对等角（2）见解析（3）见解析【解析】【分析】（1）根据“同一个三角形中，等边对等角”判定即可．（2）根据已知易得四边形ACDP是平行四边形，利用平行四边形的性质求解；（3）连接AE，延长AE交BC的延长线于点Q，即为所求．【小问1详解】解：写出上述证明过程中依据1的内容：同一个三角形中，等边对等角．故答案为：同一个三角形中，等边对等角；【小问2详解】证明：连接CD，如图2．，（同一个三角形中，等边对等角）．，，同理，．，，．P是AB的中点，．在和中，，，．∵，四边形APDC是平行四边形.，E是PC的中点；【小问3详解】解：如图，即为所求【点睛】本题考查作图-复杂作图，全等三角形的判定，平行四边形的判定和性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．23.【综合探究】如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形OABC是平行四边形，点A的坐标为，点B的坐标为，且．（1）点C的坐标为________；平行四边形OABC的对称中心的坐标为________．（2）动点P从点O出发，沿OA方向以每秒1个单位的速度向终点A匀速运动，动点Q从点A出发，沿AB方向以每秒2个单位的速度向终点B匀速运动，当一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设点P运动的时间为t秒（），求当t为何值时，的面积是平行四边形OABC面积的