高一数学教材同步知识点专题详解(苏教版必修第一册)第5章《函数概念与性质》中的新定义问题(原卷版+解析)

第5章《函数概念与性质》中的新定义问题一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的.）1．若定义在区间D上的函数，对区间D内的任意，，都有成立，则称为区间D上的平增函数．已知是定义域为的平增函数，且满足：①，；②，．则的值为（

）A．1 B． C．2 D．42．已知符号函数，偶函数满足，当时，，则（

）A． B．C． D．3．定义：如果函数在定义域内给定区间上存在，满足，则称函数是上的“平均值函数”，是它的一个均值点．则下列叙述正确的个数是（

）①是区间上的平均值函数，0是它的均值点；②函数在区间上是平均值函数，它的均值点是5；③函数在区间（其中）上都是平均值函数；④若函数是区间上的平均值函数，则实数m的取值范围是A．1 B．2 C．3 D．44．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，例如：，，已知函数，则函数的值域为（

）A． B．C． D．5．若定义在区间上的函数满足对任意的、，且，，则称为“低调函数”，给出下列命题：①函数是“低调函数”；②若奇函数是区间上的“低调函数”，则；③若是区间上的“低调函数”，且，则对任意的、，．其中正确的命题个数为（

）A．0 B． C． D．6．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，用他的名字命名了“高斯函数”．设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数．例如：，，已知函数，则下列选项中，正确的是（

）A．区间，上的值域为，B．区间，上的值域为，C．区间，上的值域为，D．区间，上的值域为7．给出定义：若(其中为整数)，则叫做离实数最近的整数，记作，即，例如：，．在此基础上给出下列关于函数的四个命题：；；；的定义域是，值域是，则正确的命题的个数是（

）个A．1 B．2 C．3 D．4二、多选题8．定义全集的子集的特征函数.已知，，所以下列结论中正确的是（

）A．若，则对于任意，都有B．对于任意，则C．对于任意，则D．对于任意，则9．对于实数，符号表示不超过的最大整数，例如.定义函数，则（

）A． B．函数是周期函数C．方程在仅有一个解 D．函数是增函数10．对于函数和，设，，若存在，，使得，则称与互为“零点相邻函数”．若函数与互为“零点相邻函数”，则实数的取值可以是（

）A．1 B．2 C．3 D．411．把定义域为且同时满足以下两个条件的函数称为“函数”：（1）对任意的，总有；（2）若，则有成立.下列说法错误的是（

）A．若为“函数”，则B．若为“函数”，则一定是增函数C．函数在上是“函数”D．函数在上是“函数”（表示不大于x的最大整数）三、填空题12．已知表示不小于x的最小整数．例如，，，若，，“”是“”的充分不必要条件，则m的取值范围是__________．13．定义区间的长度均为，多个区间并集的长度为各区间长度之和，如的长度，设，其中表示不超过的最大整数，且，若用表示不等式的解集区间的长度，则当时，___________.14．若函数与同在一个区间内取同一个自变量时，同时取得相同的最小值，则称这两个函数为“兄弟函数”，已知函数与是定义在区间上的“兄弟函数”，那么在区间上的最大值是___________.四、解答题15．对于两个定义域相同的函数，若存在实数使，则称函数是由“其函数”生成的.(1)若和生成一个偶函数，求的值；(2)若是由函数且生成，求的取值范围.16．对于函数，若存在，使成立，则称为的不动点.已知函数.(1)当时，求函数的不动点；(2)若对任意实数，函数恒有两个相异的不动点，求的取值范围；(3)在的条件下，若的两个不动点为，且，求实数的取值范围.17．已知函数，利用函数图象解决下列问题．(1)若，试比较与的大小．(2)若函数在区间D上的值域也为D，则称函数具有较好的保值性，这个区间称为保值区间，保值区间有三种形式：，，．试问是否具有较好的保值性？若具有，求出保值区间．18．若存在常数，使得对定义域D内的任意，，都有成立，则称函数在其定义域D上是“k－利普希茨条件函数”．(1)请写出一个“k－利普希茨条件函数”（要求明确函数的表达式、k的值及定义域D）；(2)若函数是“k－利普希茨条件函数”，求常数k的取值范围．19．阅读以下材料：对于三个实数a､b､c，用表示这三个数的平均数，用表示这三个数中最小的数.例如：；；；，解决下列问题：(1)填空：min{sin30°，cos45°，tan30°}=___________，如果，则x的取值范围为___________；(2)①如果，求=___________.②根据①，你发现了结论“如果，那么___________（填，b，c的大小关系）”.③运用②的结论，若，则x+y=___________；(3)在同一直角坐标系中作出函数，，的图象（不需列表描点），通过观察图象，填空：的最大值为___________.第5章《函数概念与性质》中的新定义问题一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的.）1．若定义在区间D上的函数，对区间D内的任意，，都有成立，则称为区间D上的平增函数．已知是定义域为的平增函数，且满足：①，；②，．则的值为（

）A．1 B． C．2 D．4【答案】C【分析】由条件①，可以得到函数的图象在上关于对称，；由条件②，结合“平增函数”这个信息，可以推出时，，时，也有，从而得出答案．【详解】因为，所以函数的图象在上关于对称，令可得．又因为，所以，因为是定义域为的平增函数，，所以当时，．因为函数的图象关于对称，所以当时，也有，所以，故选：C．2．已知符号函数，偶函数满足，当时，，则（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用函数的周期性以及题中定义可逐项判断可得答案.【详解】根据题意得函数是周期为2的函数，作出函数的大致图象，如下图所示．数形结合易知，则或，故A错误；，故B错误；因为，则，故C正确；因为，当为正整数时，，当为令时，，当为负整数时，，所以，故D错误.故选：C.3．定义：如果函数在定义域内给定区间上存在，满足，则称函数是上的“平均值函数”，是它的一个均值点．则下列叙述正确的个数是（

）①是区间上的平均值函数，0是它的均值点；②函数在区间上是平均值函数，它的均值点是5；③函数在区间（其中）上都是平均值函数；④若函数是区间上的平均值函数，则实数m的取值范围是A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】由平均值函数定义直接计算均值点可判断①②；取求均值点可判断③；按照平均值函数定义列方程求解，根据均值点在区间上可判断④.【详解】根据题意，依次分析题目中的四个结论：对于①，若是区间上的平均值函数，设其均值点为n，则有，解可得n＝0，即0是它的均值点，①正确；对于②，若函数在区间上是平均值函数，设其均值点为n，则有，解可得n＝5或－1（舍），即5是它的均值点，②正确，对于③，取，则由平均值函数定义可得，解得，，故③错误；对于④，若函数是区间上的平均值函数，则关于x的方程在内有实数根，而，解得x＝m－1，x＝1（舍），则x＝m－1必为均值点，即，即实数m的取值范围是，④正确；其中①②④正确.故选：C．4．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，例如：，，已知函数，则函数的值域为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据二次函数的性质，化成顶点式，在已知定义域的情况下，根据顶点式，得到的值域，进而根据高斯函数的定义，即可求解.【详解】因为，，所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以，又，，所以，因为，所以；故选：B5．若定义在区间上的函数满足对任意的、，且，，则称为“低调函数”，给出下列命题：①函数是“低调函数”；②若奇函数是区间上的“低调函数”，则；③若是区间上的“低调函数”，且，则对任意的、，．其中正确的命题个数为（

）A．0 B． C． D．【答案】D【分析】利用作差法可判断①的正误；利用奇函数的性质可得出，可得出，结合题中定义可判断②的正误；分、两种情况讨论，结合题中定义可判断③的正误.【详解】对于①，对任意的、且，则，，①对；对于②，因为函数是定义在上的奇函数，则，所以，对任意的，，故对任意的，，②对；对于③，若，则，若，不妨设，则，故，③对.故选：D.6．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，用他的名字命名了“高斯函数”．设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数．例如：，，已知函数，则下列选项中，正确的是（

）A．区间，上的值域为，B．区间，上的值域为，C．区间，上的值域为，D．区间，上的值域为【答案】A【分析】根据高斯函数的定义，可得函数的图象，即可的解.【详解】由高斯函数的定义可得：当时，，则，当时，，则，当时，，则，当时，，则，易见该函数具有周期性，绘制函数图象如图所示，由图象可知，在，的值域也为，.故选：A7．给出定义：若(其中为整数)，则叫做离实数最近的整数，记作，即，例如：，．在此基础上给出下列关于函数的四个命题：；；；的定义域是，值域是，则正确的命题的个数是（

）个A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根据定义可以得到，，，，进而求得各个函数值，然后判定，根据，可以得到，即得的值域，从而判定．【详解】因为，，,，所以，，，，∴，①正确；，②错误；因为，，所以，故③正确；的定义域是R，因为，所以，即，∴值域是，故④错误．综上，正确的命题个数为2个，故选：B．二、多选题8．定义全集的子集的特征函数.已知，，所以下列结论中正确的是（

）A．若，则对于任意，都有B．对于任意，则C．对于任意，则D．对于任意，则【答案】AB【分析】选项A分“”、“且”、“且”三种情况讨论，判断A选项正确；选项B分“”、“”两种情况讨论，判断B选项正确；选项C举反例：当时，则，，，判断C错误；选项D举反例：当且时，则，，，判断D选项错误.【详解】选项A，因为，当时，则，，则；当且时，则，，则；当且时，则，，则；故选项A正确.选项B，当时，则，，则；当时，则，，则；故选项B正确.选项C，当时，则，，，则；故C选项错误.选项D：当且时，则，，，则，故D选项错误.故选：AB.9．对于实数，符号表示不超过的最大整数，例如.定义函数，则（

）A． B．函数是周期函数C．方程在仅有一个解 D．函数是增函数【答案】BC【分析】根据定义判断A，利用分段函数形式表示，根据题意画出函数的图像，再依次判断选项B，C，D即可.【详解】由题意知，画出分段函数的图象，对选项A，定义可得，故A不正确；对选项B，由图知函数为周期函数，故B正确；对选项C，函数与函数在有一个交点，即方程在仅有一个解，故C正确；对选项D，由图象可知，所以函数不是增函数，故D不正确.故选：BC.10．对于函数和，设，，若存在，，使得，则称与互为“零点相邻函数”．若函数与互为“零点相邻函数”，则实数的取值可以是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】BCD【分析】根据的单调性以及，可得的零点为1，由“零点相邻函数”的定义可将问题转化为在区间上存在零点，分离参数即可求解.【详解】因为是上的单调递增函数，且，据此可知，结合“零点相邻函数”的定义可得，则，据此可知函数在区间上存在零点，即方程在区间上存在实数根，整理可得：，∵，当且仅当，即时取等号,又，则在区间上，，故当时，故选：BCD11．把定义域为且同时满足以下两个条件的函数称为“函数”：（1）对任意的，总有；（2）若，则有成立.下列说法错误的是（

）A．若为“函数”，则B．若为“函数”，则一定是增函数C．函数在上是“函数”D．函数在上是“函数”（表示不大于x的最大整数）【答案】BC【分析】对于A，由条件（1）得.由条件（2），得，所以，故A说法正确；对于B，举反例说明B说法错误；对于C，举反例说明C说法错误；对于D，说明函数符合条件（1）（2），故D说法正确.【详解】对于A，若函数为“函数”，则由条件（1）得.由条件（2），得当时，，所以，故A说法正确；对于B，若，，则满足条件（1）（2），但不是增函数，故B说法错误；对于C，当，时，，，，，不满足条件（2），所以不是“函数”，故C说法错误；对于D，在上的最小值是0，显然符合条件（1）.设上的每一个数均由整数部分和小数部分构成，设x的整数部分是m，小数部分是n，即，则.设y的整数部分是a，小数部分是b，即，则.当时，，当时，，所以，所以函数满足条件（2），所以在上是“函数”，故D说法正确.故选：BC.三、填空题12．已知表示不小于x的最小整数．例如，，，若，，“”是“”的充分不必要条件，则m的取值范围是__________．【答案】【分析】根据的定义得，由充分不必要关系有，即可求m的范围.【详解】∵表示不小于x的最小整数，∴，，即，又“”是“”的充分不必要条件，，∴，故，即m的取值范围是．故答案为：13．定义区间的长度均为，多个区间并集的长度为各区间长度之和，如的长度，设，其中表示不超过的最大整数，且，若用表示不等式的解集区间的长度，则当时，___________.【答案】【分析】由所给的定义可得的解析式，分区间求出不等式的解集，进而求出不等式的解集区间长度．【详解】解：因为表示不超过的最大整数，所以，即，又，所以等价于，即，①当，即时，不等式化为，即不成立；②当，即时，恒成立；③当，即时，不等式化为恒成立，所以不等式在时的解集为，所以解集的区间长度．故答案为：．14．若函数与同在一个区间内取同一个自变量时，同时取得相同的最小值，则称这两个函数为“兄弟函数”，已知函数与是定义在区间上的“兄弟函数”，那么在区间上的最大值是___________.【答案】【分析】利用基本不等式求出的最小值及对应的的值，根据“兄弟函数”的定义可知在区间上最小值为，根据二次函数的性质求出、的值，即可得到的解析式，最后根据二次函数的性质计算可得；【详解】解：，当且仅当即时取等号，当时，取最小值．函数与同在一个区间内取同一个自变量时，同时取得相同的最小值，则称这两个函数为“兄弟函数”，函数在区间上最小值为．点为抛物线的顶点．，．．在区间上单调递减，在区间上单调递增．，，在区间上的最大值是．故答案为：．四、解答题15．对于两个定义域相同的函数，若存在实数使，则称函数是由“其函数”生成的.(1)若和生成一个偶函数，求的值；(2)若是由函数且生成，求的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）先用待定系数法表示出偶函数，再根据其是偶函数这一性质得到引入参数的方程，求出参数的值，即得函数的解析式，代入自变量求值即可；（2）先用待定系数法表示出偶函数，再根据同一性建立引入参数的方程求参数，然后再求的取值范围；（1）设，是偶函数，∴，即，．（2）设，，解得，．由知，，当且时，，当时取等号，当时，，当时取等号，．16．对于函数，若存在，使成立，则称为的不动点.已知函数.(1)当时，求函数的不动点；(2)若对任意实数，函数恒有两个相异的不动点，求的取值范围；(3)在的条件下，若的两个不动点为，且，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根据不动点定义，，求解即可；（2）由题意，，对任意实数，恒有两个根，利用判别式，分析即得解；（3）由题意，因为，可得，结合均值不等式，即得解（1），因为为不动点，因此，所以，所以为的不动点.（2）因为恒有两个不动点，，，由题设恒成立，即对于任意恒成立，令，则由对于任意恒成立可得，所以，所以.故a的取值范围是.（3）因为，所以，则，当且仅当等号成立，可得17．已知函数，利用函数图象解决下列问题．(1)若，试比较与的大小．(2)若函数在区间D上的值域也为D，则称函数具有较好的保值性，这个区间称为保值区间，保值区间有三种形式：，，．试问是否具有较好的保值性？若具有，求出保值区间．【答案】(1)；(2)具有较好的保值性，保值区间是，，．【分析】（1）画出二次函数的图象，数形结合法判断函数值大小；（2）由的值域是，讨论、、结合保值区间定义求对应m、n，即可确定存在性.（1）由的图象，如下图所示．由图知：当时，．（2）具有较好的保值性，由的图象知：的值域是．当时，趋向，不符合题意；当时，要使值域为，则，所以m，n是方程的两个根，解得m＝1，n＝2，所以保值区间是；当时，要使值域为，则，解得m＝1或m＝2，所以保值区间是，．综上，具有较好的保值性，保值区间是，，．18．若存在常数，使得对定义域D内的任意，，都有成立，则称函数在其定义域D上是“k－利普希茨条件函数”．(1)请写出一个“k－利普希茨条件函数”（要求明确函数的表达式、k的